Đề thi học sinh giỏi môn Toán năm học 2010-2011 của Thanh Hoá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2010 – 2011
Môn Toán, Lớp 12 THPT
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
CâuI (4,0 điểm) Cho hàm số
3 2 2
( 1) (4 ) 1 2y x m x m x m= − + − − − −

( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi
1m = −
.
2. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị
( )
m
C
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu II (6,0 điểm)
1. Giải phương trình :
cos 2 cos3 sin cos4 sin 6x x x x x
+ − − =
.
2. Giải bất phương trình:

2 4 2
6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤
.
3. Tìm số thực
a
để phương trình
9 9 3 cos( )
x x
a x
π
+ =
có nghiệm thực duy nhất.
Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân:
2
3
0
sin
(sin 3cos )
x
dx
x x
π
+
∫
.
Câu IV. (6,0 điểm)
1. Cho tứ diện đều
ABCD
có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm
thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Đặt
,AM x AN y= =
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện
DAMN nhỏ nhất.
2. Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho đường thẳng
: 5 0x y∆ − + =
và hai elíp
2 2 2 2
1 2
2 2
( ) : 1, ( ) : 1 ( 0)
25 16
x y x y
E E a b
a b
+ = + = > >
có cùng tiêu điểm. Biết rằng
2
( )E
đi qua điểm M thuộc đường thẳng
∆
. Tìm toạ độ điểm M sao cho
2
( )E
có
độ dài trục lớn nhỏ nhất.

3. Trong không gian
Oxyz
cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1 2
1 2 3 2
: 2 2 : 1 2 ( , )
1
x t x s
y t y s t s
z t z s
= + = +
 
 
∆ = − ∆ = − − ∈
 
 
= − + =
 
¡
. Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua M song song với trục
Ox
, sao cho (P) cắt hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1.
Câu V. (2,0 điểm) Cho các số thực

, ,a b c
thoả mãn
2 2 2
6
3
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + = −

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 6 6
P a b c= + +
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.