Đề+HD HSG Toán 12 Thanh hoa 10-11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2010 – 2011
Môn Toán, Lớp 12 THPT
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
CâuI (4,0 điểm) Cho hàm số
3 2 2
( 1) (4 ) 1 2y x m x m x m= − + − − − −

( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi
1m = −
.
2. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị
( )
m
C
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Câu II (6,0 điểm)
1. Giải phương trình :
cos 2 cos3 sin cos 4 sin 6x x x x x
+ − − =
.
2. Giải bất phương trình:

2 4 2
6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤
.
3. Tìm số thực
a
để phương trình
9 9 3 cos( )
x x
a x
π
+ =
có nghiệm thực duy nhất.
Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân:
2
3
0
sin
(sin 3cos )
x
dx
x x
π
+
∫
.
Câu IV. (6,0 điểm)
1. Cho tứ diện đều
ABCD
có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các
cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt

,AM x AN y= =
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2. Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho đường thẳng
: 5 0x y∆ − + =
và hai elíp
2 2 2 2
1 2
2 2
( ) : 1, ( ) : 1 ( 0)
25 16
x y x y
E E a b
a b
+ = + = > >
có cùng tiêu điểm. Biết rằng
2
( )E
đi qua
điểm M thuộc đường thẳng
∆
. Tìm toạ độ điểm M sao cho
2
( )E
có độ dài trục lớn nhỏ nhất.
3. Trong không gian
Oxyz

cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1 2
1 2 3 2
: 2 2 : 1 2 ( , )
1
x t x s
y t y s t s
z t z s
= + = +
 
 
∆ = − ∆ = − − ∈
 
 
= − + =
 
¡
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
M song song với trục
Ox
, sao cho (P) cắt hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
tại lần lượt A, B thoả
mãn AB = 1.
Câu V. (2,0 điểm) Cho các số thực
, ,a b c

thoả mãn
2 2 2
6
3
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + = −

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 6 6
P a b c= + +
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Gợi ý
Câu II 1. Giải phương trình :
cos 2 cos3 sin cos 4 sin 6x x x x x+ − − =
.
PT tương đương: cos2x - cos4x - sinx = sin6x - cos3x
(
( ) ( )
2
18 3
8 2
(2sin 3 1) sinx os3 0 ,

5 2
18 3
4
x k
x k
x c x k l
x k x l
π π
π π
π π
π
π


= +
= +


− − = ⇔ ∨ ∈




= + = − +




¢
)

II 2. Giải bất phương trình:
2 4 2
6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤
.
D = R
x = 0 không là nghiệm
x > 0. Chia 2 vế cho x,
( ) ( )
2
2
1
1 6 3 ; 2 0
2 3
11
2
5
5 36 55 0
BPT t t t x do x
x
t
x
t t
⇔ − ≤ − = + ≥ >
≤ ≤

⇔ → ≤ ≤

− + ≥

x < 0.

( ) ( )
2
1
1 6 3 ; 2 0BPT t t t x do x VN
x
⇔ − ≤ − = + ≤ − <
II 3. Tìm số thực
a
để phương trình
9 9 3 cos( )
x x
a x
π
+ =
có nghiệm thực duy nhất
NX x và 2 - x là nghiệm suy ra ĐK cần x = 1 suy ra a = - 6
Thử lại thấy thỏa mãn
III. Tính tích phân: I =
2
3
0
sin
(sin 3cos )
x
dx
x x
π
+
∫
.

HD dùng liên kết: Xét:
2
3
0
s
(sin 3cos )
co x
J dx
x x
π
=
+
∫
. Sau đó tính tích phân:
3 1 3
3 ; 3
3 3 6
I J I J I+ = − = → =
.
IV. 2. Trên mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho đường thẳng
: 5 0x y∆ − + =
và hai elíp
2 2 2 2
1 2
2 2
( ) : 1, ( ) : 1 ( 0)
25 16
x y x y

E E a b
a b
+ = + = > >
có cùng tiêu điểm. Biết rằng
2
( )E
đi qua điểm M
thuộc đường thẳng
∆
. Tìm toạ độ điểm M sao cho
2
( )E
có độ dài trục lớn nhỏ nhất.
(E
2
) có c
2
= a
2
- b
2
= 9 và qua M(t; t + 5). Vậy tìm t để:
( )
( )
2
2
2 2
5
1 *
9

t
t
a a
+
+ =
−
. có a > 0 nhỏ nhất. PT(*)
tương đương
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2 9 10 34 0 **a t a t a a− + − − =
có nghiệm t khi
TH1:
3
2
a =
loại
TH2:
2
2
17
0
9 ( )
a
a loai

≥
∆ ≥ ⇔


≤

.
Vậy
17a =
nên t = -17/5 suy ra M(-17/5;8/5)
IV 3. Trong không gian
Oxyz
cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1 2
1 2 3 2
: 2 2 : 1 2 ( , )
1
x t x s
y t y s t s
z t z s
= + = +
 
 
∆ = − ∆ = − − ∈
 
 
= − + =
 
¡
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song
song với trục
Ox
, sao cho (P) cắt hai đường thẳng
1

∆
và
2
∆
tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1.
Vì (P) song song Ox suy ra (P): b(y - 2) + cz = 0. Mặt khác b = 0 không thỏa mãn nên (P): y + mz - 2
= 0.
(P) giao với hai đường thẳng lần lượt tai
2 2 6 6 3
1;2 ; 1 ; 3 ; 1 ;
2 2 2 2 2 2
m m m
A B
m m m m m m
   
+ − − + + − −
 ÷  ÷
− − − − − −
   

AB = 1. Đặt
( )
1
3
1
2
13 / 9
4
t VN
m

t
m
t m
=

−

= →
−

−
= → =


. Vậy (P): 4y - z - 8 = 0.
4. IV 1. Cho tứ diện đều
ABCD
có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt
,AM x AN y= =
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
(HSG TP Hà Nội năm 2006 - 2007)
HD: mp(DMN) chứa đường cao DO của tứ diện. CM được x + y = 3xy.
5. quy về tìm GTNN của
( )
2 2
3 6 6
3

4 6 6
x y xy x y xy xy xy+ + + + − ≥ +
.
V. Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn
2 2 2
6
3
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + = −

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 6 6
P a b c= + +
.
tiếp tục cập nhật