Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG

1
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC
TOÁN CHO MÁY TÍNH
ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG
Trang
2
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG 12 NĂM 2013
LỜI MỞ ĐẦU
Hằng ngày,trước khi bắt tay làm một việc nào đó.Chúng ta đều phải tư duy,suy
nghĩ.chúng ta so sánh, phán đoán, suy lý, trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về các hiện
tượng, sự vật xung quanh. Nghĩa là tự nhiên ban cho con người chúng ta bộ não hoạt động
tư duy với các quy luật logic vốn có, khách quan ở tất cả mọi người và mọi dân tộc.Chính
quá trình đó là cơ sở tạo ra sự phát triển của logic học. Các quy luật của tư duy logic là
phổ biến cho toàn nhân loại.
Do đó dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học
mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v Các bộ
môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con người ngày càng
đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới khách quan.
Sự ra đời của lôgíc mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của lôgíc học,
chuyển từ lôgíc học truyền thống đến lôgíc học hiện đại. Sử dụng toàn bộ những khái
niệm của lôgíc mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phần
của mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng
lôgíc quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng từ bộ phận.
Trang
3
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
Tuy nhiên logic mệnh đề có một số hạn chế .Vì vậy lôgíc vị từ ra đời và đã khắc phục

những hạn chế của lôgíc mệnh đề như: thiếu việc sử dụng các lượng từ toàn thể và bộ
phận, không phân tích kết cấu của các mệnh đề. Sự khắc phục này cho phép ta đi sâu
vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng
nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn.
Trang
4
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
MỤC LỤC
Lời mở đầu
1
1. Thế nào là logic ?
2 Logic mệnh đề
3 Logic vị từ
3.1 Khái niệm về vị từ
3.2 Không gian của vị từ
3.3 Trọng lượng của vị từ
3.4 Phép toán vị từ
3.4.1 Hằng
3.4.2 Biến
3.4.3 Các vị từ
3.4.4 Hàm
3.5 Các lượng từ
3.5.1 Lượng từ tồn tại
3.5.2 Lượng từ với mọi
3.6 Công thức tương đương
3.6.1 Các phép tương đương
3.6.2 Các phép tương đương có giới
hạn
3.6.3 Một vài điều kiện không tương
đương

3.7 Công thức chỉnh dạng (well -
formed formulas)
3.7.1 Xây dựng công thức chỉnh dạng
3.7.2 Chuyển từ Wff sang mệnh đề
3.7.3 Sự tương đương
3.8 Quy tắc suy diễn trong logic vị từ
Trang
5
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
cấp 1
3.9 Dạng chuẩn tắc của công thức
logic vị từ-dạng chuẩn Prenex
3.10 Luật suy diễn
3.11 Các ví dụ
3.11.1 Diễn đạt các câu thông thường
thành biểu thức logic
3.11.2 Diễn đạt biểu thức logic thành
các câu thông thường
4 Ứng dụng1
4.1 Thuật toán các phép tính số
nguyên
4.2 Bài toán cộng hai số nguyên ở
dạng nhị phân
4.3 Bài toán nhân hai số nhị phân
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo


　　　
Trang

6
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
1. Thế nào là logic?
Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy là từ
ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu

đã trở thành có ý
nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí).

Logic thường được nhắc đến như là một
ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của
logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia. Tuy nhiên khi môn học được
xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân
tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được
luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý.
2.Logic mệnh đề
Bao gồm đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề, gọi chung là phép tính mệnh đề. Nhiệm
vụ cơ bản của đại số mệnh đề là xây dựng hệ thống quy tắc
kết cấu các mệnh đề, cũng như thực hiện các phép biến đổi mệnh đề đúng đắn, chính xác,
chặt chẽ. Nhờ đó, quá trình lập luận lôgic sẽ được chuyển thành các hệ toán lôgic. Hệ
toán mệnh đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên
đề (nếu là hệ toán lôgic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta
có thể thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá trị
chân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận lôgic.
3.Logic vị từ ?(LVT)
Là sự mở rộng lôgic mệnh đề bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào
ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán lôgic mệnh đề. Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển
thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ. Nếu lôgic mệnh đề cho
phép tiến hành các phép biến đổi toán học
chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán thì LVT, hơn thế nữa, còn cho phép thực

hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm.

Do đó, LVT không chỉ chính xác hoá cơ sở lôgic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn
thiện cơ sở lôgic của hệ thống khái niệm.
Trang
7
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
3.1. Khái niệm về vị từ
Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y, …Lấy giá trị trong những
tập hợp A,B,… cho trước, sao cho:
• Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề.
• Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B,… cho trước ta sẽ được một
mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là các biến tự do của vị từ.
Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: " x > 3 ", " x + y = 4 " rất hay gặp trong
toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu này không đúng cũng không
sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định.
Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều
biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập
luận của vị từ.
Ví dụ 2 : Cho vị từ P(x) = {x>3}. Xác định chân trị của P(4) và P(2).
Giải:
P(4) = {4>3} : mệnh đề đúng.
P(2) = {2>3} : mệnh đề sai.
3.2 Không gian của vị từ
Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc
tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{ , 1}. Tập hợp E này được gọi là không ϕ
gian của vị từ. Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm
cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai.
3. 3 Trọng lượng của vị từ
Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất

hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ.
Ví dụ 1 : Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta
nói P có trong lượng 2.
Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị
xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng
lượng là (n-1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề.
Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là . ϕ
Ví dụ 2: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}.
Trang
8
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
Cho x = ϕ : Q(y,z) = P(ϕ, y, z) = { ϕ + y = z}
y = ϕ : R(z) = Q(ϕ, z) = P(ϕ,ϕ, z) = { ϕ + ϕ = z}
z = ϕ : T = P(ϕ, ϕ, 1) = { ϕ + ϕ = 1} mệnh đề sai.
Câu có dạng P(x1, x2, , xn) được gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại
(x1, x2, , xn) và P cũng được gọi là vị từ.
3.4 Phép toán vị từ
Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng
của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức.
Ví dụ : Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích
nhau" dưới dạng logic vịtừ.
- Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết
như sau:
+ "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam,
Mai)
+ "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là:thích (Đông, Mai).
Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:
Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)
(Thích (X, Z)∧ thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y)
3.4.1 Hằng:

Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký
hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính.
3.4.2 Biến:
Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc
tính. Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể dùng vị từ có biến
để thể hiện các vị từ tương tự.
Ví dụ : Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y". Quả bóng
xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là biến.
3.4.3 Các vị từ
Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần.Vị từ và tham số.
Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về
đối tượng.
Trang
9
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
Ví dụ : Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).
Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là
các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán.
3.4.4 Hàm
Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số.
Ví dụ : Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của
nhau.
- Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này.
Mẹ (Mai) = Hoa
Cha (Cúc) = Đông
Bạn (Hoa, Đông)
- Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc)
3.5 Các lượng từ
Trong một vị từ có thể xảy ra các điều sau: vị từ đã cho đúng với mọi phần tử trong
không gian xác định của nó; cũng có thể chỉ đúng với một số phần tử nào đó trong không

gian xác định của nó, người ta gọi đó là sự lượng hóa hay lượng từ các hàm mệnh đề.
3.5.1 Lượng từ tồn tại (∃)
Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập
hợp rỗng" là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x)
là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x).
Ký hiệu:∃x P(x)
3.5.2 Lượng từ với mọi (∀)
Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E"
là một mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề
được gọi là lượng từ với mọi của P(x).
 Ký hiệu:∀xP(x)
Ý nghĩa của lượng từ " với mọi " và lượng từ " tồn tại " được rút ra trong
bảng sau:
Trang
10
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai
∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử Có ít nhất 1 phần
tử x để
x
P(x) sai
∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để
P(x) là sai với mọi phần tử x
P(x) là đúng
Ví dụ: Xét trong không gian các số thực, ta có:
Cho P(x) := " x + 1 > x", khi đó có thể viết:∀ xP(x)
Cho P(x) := " 2x = x + 1 ", khi đó có thể viết:∃xP(x)
Ví dụ : Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}. Xét chân trị của hai mệnh đề∀x
P(x) và∃x P(x).
Giải:

∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5.
∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng
khi x=10.
Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E. Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh
đề∀x P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng.
Nghĩa là∀x P(x) P(e1)⇔ ∧ P(e2)∧ ∧ P(en) là đúng.
Tương tự∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề
P(e1), P(e2), P(en) là đúng. Nghĩa là
∃x P(x) P(e1)⇔ ∨ P(e2)∨ ∨ P(en) là đúng.
Các định lý

Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó:
a)∀a∀b P(a,b) và∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là:∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b)
Trang
11
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
Ký hiệu:∀(a,b) P(a,b)
b)∃a∃b P(a,b) và∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là:∃a∃b P(a,b) ↔∃b∃a P(a, b)
Ký hiệu:∃(a,b) P(a,b)
c) Nếu∃a∀b P(a,b) là đúng thì∀b∃a P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng.
Nghĩa là:∃a∀b P(a,b) →∀b∃a P(a,b)
d) Nếu∃b∀a P(a,b) là đúng thì∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược
lại chưa đúng. Nghĩa là:∃b∀a P(a,b) →∀a∃b P(a,b)
Định lý 2:
¬(∀x P(x)) và∃x (¬P(x) là có cùng chân trị.
¬(∃x P(x)) và∀x (¬P(x) là có cùng chân trị.
Giải thích:
Phủ định với∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là

tất cả tập hợp E. Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x∈ E mà ở chúng P(x) là sai
hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x∈ E mà ở
chúng P(x) là đúng
¬∃x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp
rỗng. Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E
hay không có phần tử nào làm P(x) đúng. Ta có∀x (¬P(x)).
Ví dụ : Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3" là "Tồn tại ít
nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"
Ví dụ Hãy xét phủ định của câu sau đây :
"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"
- Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau:∀xP(x)
Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }.
-Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp
đều đã học môn Toán rời rạc 2". Điều này có nghĩa là :" Có ít nhất một sinh viên ở
lớp này chưahọc Toán rời rạc 2" . Đây chính là lượng
từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau :
∃x¬P(x). Ta có :
Trang
12
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x) ¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)
• Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây
dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định
lượng, người ta thay thế những định lượng∀ bởi∃, và∃ bởi∀ và
sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó.
Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.
1. Mệnh đề∀x (P(x)∧Q(x)) và (∀x (P(x)∧∀x (Q(x)) là có cùng chân trị.
2. Nếu mệnh đề∃x (P(x)∧Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃xP(x))∧ (∃xQ(x))
cũng đúng.
3. Mệnh đề∃x (P(x)∨Q(x)) và (∃xP(x)∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị.

4 . Nếu mệnh đề∀x (P(x)∨Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề
∀xP(x)∨∀x Q(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng.
Chú thích:
 Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có:
- Tập hợp A⊂E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng.
- Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.
 Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có:
-Tập hợp A⊂E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng.
-Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.
Khi đó người ta lưu ý rằng, A∧B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh đề P(x)∧Q(x)
là đúng. Trong khi đó A∨B là tập hợp những x của E mà ở đó mệnh P(x)∨Q(x) là đúng.
3.6 Công thức tương đương
A tương đương B nếu và chỉ nếu (A →B)∧ (B →A)
 Ký hiệu:
A ≡ B |= (A →B)∧ (B →A)
Trang
13
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
3.6.1 Các phép tương đương
+ ~∀x W(x) ≡∃x ~W(x)
+ ~∃x W(x) ≡∀x ~W(x)
+∃x (A(x)∨B(x)) ≡∃x A(x)∨∃x B(x) +∀x (A(x)∧B(x)) ≡∀x
A(x)∧∀x B(x) +∃x (A(x) →B(x)) ≡∀x A(x) →∃x B(x)
+∀x∀y W(x,y) ≡∀y∀x W(x,y) +∃x∃y W(x,y) ≡∃y∃x
W(x,y)
3.6.2 Các phép tương đương có giới hạn
Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:
-Disjunction
+∀x(C∨A(x)) ≡ C∨∀x A(x)
+∃x(C∨A(x)) ≡ C∨∃x A(x)

-Conjunction
+∀x(C∧A(x)) ≡ C∧∀x A(x)
+∃x(C∧A(x)) ≡ C∧∃x A(x)
-Implication
+∀x (C →A(x)) ≡ C →∀x A(x)
+∃x (C →A(x)) ≡ C →∃x A(x) +∀x (A(x) →C) ≡∃x
A(x) → C +∃x (A(x) →C) ≡∀x A(x) →C
3.6.3 Một vài điều kiện không tương đương
1 .∀x W(x) →∃x W(x)
2. ∀x A(x)∨∀x B(x) →∀x (A(x)∨ B(x))
3. ∃x (A(x)∧ B(x)) →∃x A(x)∧∃x B(x)
4. ∀x (A(x) → B(x)) →(∀x A(x) →∀x B(x))
5.∃y∀x W(x,y) →∀x∃y W(x,y)
Trang
14
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
3.7 Công thức chỉnh dạng (well - formed formulas)
Một tên vị từ theo sau bởi một danh sách các biến như: P (x, y), trong
đó P là tên vị từ, và x và y là các biến, được gọi là một công thức nguyên tử.
3.7.1 Xây dựng công thức chỉnh dạng ( Wff)
1. True, false và là Wff.
2. Mệnh đề hoặc biến mệnh đề là Wff.
3. Nếu A và B là Wff thì ¬A, A∧ B, A∨ B, A → B, A ↔ B là Wff.
4. Nếu A là Wff và x là một biến thì∃xA và∀xA là Wff.
5. Công thức nguyên tử là Wff.
Ví dụ :
+∀xA(x) là Wff
+ " Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội" là Wff
+∀xB(x)∧∃xR(x) là Wff
+∀xB(x) R(x), B(∃x) không là Wff

3.7.2 chuyển từ Wff sang mệnh đề
Ví dụ P (x) là Wff : x không âm.
+ Wff này là T, nếu miền giá trị là (1, 3, 5), (2, 4, 6) hoặc các số nguyên
dương. Nhưng nó không còn là T nếu miền giá trị là ( 1, 3, 5), hay các số
nguyên âm
+ Nếu giả thiết Q(x,y) là "x > y" thì∀xQ(x,y) có thể nhận giá trị T hay F tùy
thuộc theo biến y.
Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:
- Wff được gọi là thỏa mãn nếu tồn tại một giải thích làm cho nó T
Ví dụ:∀x P(x) là thỏa mãn.
- Wff là hợp lệ nếu nó là đúng với mọi giải thích .
Ví dụ :∀x P(x)∨∃x¬P(x) hợp lệ với mọi P và giải thich.
Wff là không hợp lệ hoặc không thỏa mãn nếu không tồn tại một
giải thích làm Wff T.
Ví dụ :∀x ( P(x)∧ ¬P(x) )
Trang
15
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
3.7.3 Sự tương đương
Hai Wff W1, W2 là tương đương nếu và chỉ nếu W1 ↔ W2 với mọi
giải thích.
Ví dụ
+∀x P(x) ↔∃x¬P (x) với mọi P
+∀x(P(x)∧ Q(x)) ,∀xP(x)∧∀xQ(x) với mọi P,Q
3.8 Quy tắc suy diễn trong logic vị từ cấp 1
+ Quy tắc suy diễn 1 ( rút gọn)
-Công thức cơ sở: (A B)˄ →A≡1
+ Quy tắc suy diễn 2( cộng)
-Công thức cơ sở: A → (AB) ≡ 1
- + Quy tắc suy diễn 3(khẳng

định )
- Công thức cơ sở: (A (A ˄ → B) → B ≡ 1 :
+ Quy tắc suy diễn 4( phủ định)
-Công thức cơ sở: ((A→B) ) ˄ → ≡ 1
+ Quy tắc suy diễn 5( bắc cầu)
- Công thức cơ sở: ((A→B) (B˄ →C))→(A→C)≡1
+ Quy tắc suy diễn 6( tam đoạn luận tuyển)
-Công thức cơ sở: ( (A B))˄ ˅ →B≡1
+Quy tắc suy diễn 7( mâu thuẫn)
- Công thức cơ sở:
+Quy tắc suy diễn 8( theo từng trường hợp)
-Công thức cơ sở: ((A→C) (B˄ →C))→((A B)˅ →C) ≡ 1
+Quy tắc suy diễn 9( đặc biệt hóa phổ dụng)
Nếu mệnh đề∀xP(x) đúng trên trường M thì khi thay x bởi phần tử a bất kỳ trong M ta được
mệnh đề a cũng đúng.
- Công thức cơ sở:∀xP(x)→P(a)≡1
+ Quy tắc suy diễn 10(tổng quát hóa phổ dụng)
Cho mệnh đề∀xP(x) trên trường M. Khi đó, nếu P(a) đúng với mọi
phần tử a trên trường M thì mệnh đề∀xP(x) cũng đúng trên trường M.
Trang
16
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
-Công thức cơ sở: P(a)→∀xP(x)≡1
+Quy tắc suy diễn 11
-Công thức cơ sở: ((∀x)(P(x)→Q(x) P(a))˄ →Q(a)≡1, aM mà P(a) đúng
+ Quy tắc suy diễn 12
- Công thức cơ sở: (∀x)(P(x)→Q(x))
+ Quy tắc suy diễn 13
- Công thức cơ sở:
((∀x)(P(x) → Q(x)) (˄ ∀x)(Q(x) → R(x)) →

(∀x) (P(x) → R(x)) ≡ 1
3.9 Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex
Chuyển về dạng chuẩn Prenex:
F = (∀x) (p(x) → (∃x) (∀y)(q(y)∨ r(x)))
F = (∀x) (¬p(x)∨ (∃x)(∀y)(q(y)∨ r(x)))
• Đổi tên biến cục bộ:
F = (∀x) (¬p(x)∨ (∃z)(∀y)(q(y)∨ r(z)))
F = (∀x) (∃z)(∀y)(¬p(x)∨ (q(y)∨ r(z))).
Qui tắc chuyển một công thức về dạng Prenex:
1. Xóa toán tử "→"
2. Chuyển lượng từ ra phía trước.
• Chuyển về dạng chuẩn Prenex tuyển:
F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1∨…∨Dk)
Dk là hội của một hoặc nhiều mệnh đề.
Ví dụ : F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x)∧ q(y))∨ (q(y)∧ r(z))).
• Chuyển về dạng Prenex hội :
F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1∧…∧ Dk)
Dk là tuyển của một hoặc nhiều mệnh đề.
Ví dụ : F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x)∨ q(y))∧ (q(y)∨ r(z))).
• Giải thuật chuyển một công thức về dạng chuẩn Prenex Hội/ Tuyển
- Đổi tên biến.
- Xóa toán tử "→" dùng A → D = ~A∨ B.
- Di chuyển ¬ (~) về bên trái của mỗi mệnh đề.
Trang
17
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
- Chuyển các lượng từ ra bên trái của công thức.
- Dùng luật phân bố và kết hợp để chuyển về dạng tương ứng ( Hội/
Tuyển).
Ví dụ : Cho W=∀xA(x)∨∃xB(x) →C(x)∧∃xC(x).

W ≡∀y A(y)∨∃z B(z) →C(x)∧∃t C(t) (Đổi tên biến)
≡ ~ (∀y A(y)∨∃z B(z))∨ (C(x)∧∃t C(t))(Xóa"→")
≡ (~∀y A(y)∧~∃z B(z))∨(C(x)∧∃tC(t))(Di chuyển ~)
≡ (∃y~A(y)∧∀z~B(z))∨ (C(x)∧∃t C(t))
≡∃y∀z∃t((~A(y)∧~B(z))∨(C(x)∧C(t))) (Di chuyển∃,∀)
Đây là dạng chuẩn Prenex tuyển
3.10 Luật suy diễn
Ví dụ : Một hóa đơn là trống nếu nó chưa được thanh toán (bằng tiền mặt) cho 30 ngày.
Hóa đơn A vẫn chưa được thanh toán cho 30 ngày. Vì vậy việc kiểm tra này là trống. Bạn
không thể thanh toán cho một hóa đơn trống. Do đó bạn không thể thanh toán cho hóa
đơn A. Bây giờ chúng ta đã có một hóa đơn mà không thể thanh toán.
Ta đặt:
Trang
18
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
+ C(x): x là một hóa đơn
+ T(x): x đã được thanh toán trong 30 ngày
+ V(x): x là trống
+ S(x): x có thể thanh toán
+ A: một hóa đơn
Vậy ta có:
(∀x((C(x) ¬T(x)) ˄ → V(x))) ¬T(A) ˄ →V(A)
∀x((C(x) V(x) ˄ → ¬S(x)) V(A) ˄ → ¬S(A)
C(A) ˄ ¬S(A) →∃x(C(x) ¬S(x)) ˄
3.11 Các ví dụ :
3.11.1 Diễn đạt các câu thông thường thành biểu thức logic
Sau khi đã được giới thiệu về các lượng từ, chúng ta có thể biểu diễn
được một tập hợp rộng lớn các câu thông thường thành các biểu thức logic. Việc làm
này nhằm mục đích loại đi những điều chưa rõ ràng và người ta có thể sử dụng các câu
suy luận này trong việc lập trình logic và trí tuệ nhân tạo.

Ví dụ

:

Biểu diễn câu "Mọi người đều có chính xác một người bạn tốt
nhất"thành một biểu thức logic.
Giải:
Giả sử B(x,y) là câu "y là bạn tốt của x". Để dịch câu trong ví dụ cần chú ý
B(x,y) muốn nói rằng đối với mỗi cá nhân x có một cá nhân khác là y sao cho y là bạn tốt
nhất của x, nếu z là một cá nhân khác y thì z không phải là
bạn tốt nhất của x. Do đó, câu trong ví dụ có thể dịch thành:
∀x∃y∀z [B(x,y)∧((z ≠y) →¬B(x, z))]
Ví dụ: Biểu diễn câu: "Nếu một người nào đó là phụ nữ và đã sinh con, thì
người đó sẽ là mẹ của một người nào khác" thành một biểu thức logic:
Giải:
Giả sử F(x) = "x là phụ nữ"P(x) = "x đã sinh con"và M(x,y) = "x là mẹ của
y"Vì trong ví dụ áp dụng cho tất cả mọi người nên ta có thể viết nó thành
biểu thức như sau:∀x (F(x)∧ P(x)) →∃y M(x,y)
Trang
19
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
Vi dụ
Xét các câu sau. Hai câu đầu tiên là tiền đề và câu ba là kết luận. Toàn bộ
tập hợp 3 câu này được gọi là một suy lý.
+ "Tất cả sư tử Hà Đông đều hung dữ".
+ "Một số sư tử Hà Đông không uống cà phê".
+ "Một số sinh vật hung dữ không uống cà phê".
Giải:
Gọi P(x)= {x là sư tử hà đông}
+ Q(x)= {x hung dữ}

+ R(x)= {x uống cà phê}
+ Giả sử rằng không gian là tập hợp toàn bộ các sinh vật, ta có cách suy
diễn sau:
∀x ( P(x) → Q(x)
∃x ( P(x)∧ ¬R(x)) ∃x ( Q(x)∧ ¬R(x))
Có một số điều cần lưu ý trong việc phủ định các lượng từ trong định lý 2.
Ví dụ : Hãy xét phủ định của câu sau đây :"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã
học môn Toán rời rạc 2"
Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau:∀xP(x)Trong đó
P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }.
Phủ định của câu này là: " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã
học môn Toán rời rạc 2".
Điều này có nghĩa là:" Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa học Toán
rời rạc 2"
Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được
viết như sau: ∃x¬P(x).
Ta có: ¬∀xP(x)⇔∃x¬P(x)
¬∃xP(x)⇔∀x¬P(x)
3.11.2 Diễn đạt biểu thức logic thành các câu thông thường
Vi dụ Diễn giải phát biểu sau:
∀x(C(x)˄∃y(C(y)∧ F(x, y))))
Trong đó:
Trang
20
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
• C(x): x có máy tính • F(x, y): x, y là
bạn
• x, y ϵ tất cả sinh viên trong trường
Giải:
Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy tính, hoặc tồn tại sinh

viên y có máy tính và sinh viên x, y là bạn.
Ví dụ Diễn giải phát biểu sau:
∃x∀y∀z (((F(x, y)∧ F(x, z)∧ (y ≠ z)) → ¬F(y, z)))
Trong đó:
• F(x, y): x, y là bạn
• x, y, z ϵ tất cả sinh viên trong trường
Giải:
Tồn tại một sinh viên x, sao cho với mọi sinh viên y, với mọi sinh viên z
khác y, nếu x là bạn của y và x là bạn của z thì y, z không là bạn của nhau.
Từ các ví dụ trên, ta có thể tóm tắt ý nghĩa của lượng từ như sau:
Trang
21
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
4 Ứng dụng:
4.1 Thuật toán các phép tính số nguyên
Các thuật toán thực hiện các phép tính với các so nguyên khi dùng khai
triển nhị phân là hết sức quan trọng trong bộ xử lý số học của máy tính. Như ta đã biết,
thực chất các số nguyên được biểu diễn trong máy tính là các xâu bit nhị phân, do vậy
chúng ta có thể sử dụng biểu diễn nhị phân của các số để thực hiện các phép tính.
Giả sử khai triển nhị phân của các số nguyên tương ứng là:
a = và b = .Khai triển của a và b có đúng n bit( chấp nhận những bit 0 ở
đầu để làm đặc n bit).
4.2 Bài toán cộng hai số nguyên ở dạng nhị phân
Ví dụ: cộng a với b:
+ Trước hết ta cộng hai bit phải nhất ( hai bit có trọng số nhỏ nhât)
+ = *2 + ; trong đó là bit phải nhất của số nguyên tổng a + b, là số cần
nhớ, nó có thể bằng 0 hoặc 1. Sau đó ta cộng hai bit tiep theo và số nhớ:
+ + = *2 + ; là bít tiếp theo của số a + b, là số nhớ. Tiếp tục quá trình
này bằng cách cộng các bit tương ứng trong khai
triển nhị phân và số nhớ, ở giai đoạn cuối cùng :

+ + = *2 +
Ví dụ Cộng a = , b =
Giải:
Trước hết:
+ = 0 + 1 = 0*2 + 1 → = 0, = 1
Tiếp tục:
+ + = 1 + 1 + 0 = 1*2 + 0 → = 1, = 0
+ + = 1 + 0 + 1= 1*2 + 0 → = 1, = 0
+ + = 1 + 1 + 1 = 1*2 + 1 → = 1, = 1
Cuối cùng:
= =1→a+b=,
Trang
22
HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ
4.3 Bài toán nhân hai số nhị phân:
Tương tự, sử dụng qui tắc nhân 2 số nhị phân sau đó cộng kêt quả
lại. Ví dụ: Tìm tích của a = và b =
Giải
Ta nhận thấy:
a = *1* = a = *0* = a = *1*
Sử dụng thuật toán tính tổng hai số nguyên a, b có biểu diễn n bit nhị phân (có thể thêm
số 0 vào đầu mỗi toán hạng) ta được : =+ = = ab
5.Kết luận
Logic vị từ vẫn còn một số những hạn chế, chưa được ứng dụng nhiều như logic
mờ.Tuy không phải là đỉnh cao của logic học nhưng những điều mà logic vị từ đã cống
hiến thực sự là rất to lớn, nó là cơ sở logic chung của tư duy chính xác, đặc biệt là các
lĩnh vực như toán học, khoa học thực nghiệm, luật học, kĩ thuật điều khiển từ xa, vv. Có
thể nói logic vị từ là nền tảng của logic toán học hiện đại.
6. Tài liệu tham khảo:
[1], Nguyễn Quang Châu, ebook " Logic_Vị từ ", khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM.

[2], TS. Trần Văn Hoài, ebook " Predicate logic ", 2008- 2009
[3], Giáo trình logic chuyên ngành -Phạm Đình Nghiệm
Trang