Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
ĐỀ TÀI:
Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
Sinh viên thực hiện: LÊ KIM NGA
Mã số sinh viên: CH1301040
Lớp : CAO HỌC – KHÓA 8
TPHCM, tháng 12/ 2013
2
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
3
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
MỤC LỤC
MỤC LỤC 3
LỜI MỞ ĐẦU 4
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LOGIC 6
1. 1. Giới thiệu về logic: 6
1. 2. Các loại logic: 7
1. 3. Logic toán: 7
1.3.1.Logic mệnh đề: 8
1.3.2.Logic vị từ: 8
CHƯƠNG 2. LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ TRONG
BIỂU DIỄN TRI THỨC 9
2. 1. Giới thiệu về logic vị từ: 9
2.1.1.Logic vị từ (Predicate Logic): 9
2.1.2.Vị từ và giá trị chân lý của vị từ: 10
2.1.3.Phép toán vị từ: 10
2.1.4.Ý nghĩa vị từ theo lý thuyết tập hợp và không gian của vị từ: 12
2.1.5.Trọng lượng của vị từ: 12
2.1.6.Các lượng từ, biến bị trói buộc và biến tự do: 13

2.1.7.Các loại công thức trong logic vị từ: 16
2.1.8.Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex: 17
2.1.9.Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ cấp 1: 18
2.1.10. Luật suy diễn: 21
2. 2. Ứng dụng logic vị từ trong biểu diễn tri thức: 21
2.2.1.Logic và suy diễn: 21
2.2.2.Biểu diễn tri thức bằng logic vị từ: 22
2.2.3.Giới thiệu một số triệu chứng bệnh ở trẻ em dùng Prolog: 24
CHƯƠNG 3. KẾT LUẬN 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO 29
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
4
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
LỜI MỞ ĐẦU
Logic học là khoa học xuất hiện rất sớm trong lịch sử. Nó xuất hiện vào thế kỷ IV
trước công nguyên, khi sự phát triển của khoa học nói riêng và tư duy nói chung đã đòi
hỏi phải trả lời câu hỏi: làm thế nào để đảm bảo suy ra được kết luận đúng đắn từ các
tiền đề chân thực?
Từ “Logic” có nguồn gốc từ Hy Lạp “Logos”, có rất nhiều nghĩa, trong đó hai
nghĩa ngày nay được dùng nhiều nhất như sau. Thứ nhất, nó được dùng để chỉ tính quy
luật của sự tồn tại và phát triển của thế giới khách quan. Thứ hai, từ “logic” dùng để chỉ
những quy luật đặc thù của tư duy. Khi ta nói “Logic của sự vật là như vậy”, ta đã sử
dụng nghĩa thứ nhất. Còn khi nói “Anh ấy suy luận hợp logic lắm”, ta dùng nghĩa thứ
hai của từ logic.
Theo quan điểm phổ biến nhất hiện nay thì logic học là khoa học về các hình thức,
các quy luật của tư duy. Nhưng khác với các khoa học khác cũng nghiên cứu về tư duy
tâm lý học, sinh lý học thần kinh…, logic học nghiên cứu các hình thức và quy luật của
tư duy để đảm bảo suy ra các kết luận chân thực từ các tiền đề, kiến thức đã có, và đưa
ra các phương pháp để có được các suy luận đúng đắn. Để hiểu cặn kẽ hơn về đối tượng
của logic học, ta phải tìm hiểu các đặc điểm của giai đoạn nhận thức lý tính và trả lời

cho câu hỏi thế nào là hình thức và quy luật của tư duy.
Luận lý toán học hay luận lý là một lý thuyết phân tích những kỹ thuật của lý luận
trong đời thường. Lý thuyết hướng tới việc hệ thống hóa và mã hóa các nguyên tắc của
lý luận, từ đó rút ra được các qui luật của ngôn ngữ.
Luận lý toán học được hình thành từ việc nghiên cứu cách sử dụng ngôn ngữ tự
nhiên trong lý luận. Tuy nhiên, hệ thống này không hàm chứa ý nghĩa của thực tế, nên
nó có tính hình thức.
Luận lý toán học từ lâu đã được nghiên cứu và có nhiều công trình. Thêm vào đó,
luận lý toán học lại có rất nhiều ngành, nhưng có hai dạng cổ điển, phổ biến là luận lý
mệnh đề và luận lý vị từ.
Sự phát minh logic vị từ là một cuộc cách mạng lớn trong ngành triết học. Logic
vị từ đủ mạnh để có thể diễn tả hết mọi lập luận của ngôn ngữ tự nhiên (đặc biệt thông
dụng là logic vị từ bậc nhất). Lợi ích của logic vị từ là chúng ta có thể dễ dàng chứng
minh một lập luận tự nhiên là đúng hay sai bằng cách đưa những lập luận ấy về dạng
logic vị từ và chứng minh kết luận có đúng hay không nhờ vào những định lý, tiên đề
của logic vị từ.
Được học tập và được truyền thụ kiến thức về môn Toán học cho khoa học máy
tính của PGS.TS Nguyễn Phi Khứ, cùng với thời gian nghiên cứu, tìm hiểu từ bài giảng,
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
5
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
các tài liệu và Internet. Em chọn nội dung về logic vị từ để tìm hiểu và thực hiện tiểu
luận cho môn học này.
Nội dung của tiểu luận được thể hiện qua 3 chương, bao gồm:
Chương 1: Tổng quan về logic.
Chương 2: Tìm hiểu về logic vị từ và ứng dụng của logic vị từ trong biểu diễn
tri thức.
Chương 3: Kết luận.
Do thời gian nghiên cứu có hạn và bản thân em cũng có một số hạn chế nên tiểu
luận này chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Kính mong được sự

thông cảm và góp ý của PGS.TS Nguyễn Phi Khứ để hướng nghiên cứu sắp tới của em
sẽ hoàn thiện và đạt hiệu quả hơn. Em xin cảm ơn!
Học viên thực hiện
LÊ KIM NGA
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
6
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LOGIC
Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy
là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có
ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí). Logic thường được nhắc đến như là một
ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của
logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia. Tuy nhiên khi môn học
được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc
phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt
được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý.
Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học. Kể từ
giữa thế kỉ 19, logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật. Gần đây nhất
logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo. Là một ngành khoa học
hình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai
đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự
nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên. Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi
từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và nghịch lý, đến những phân
tích chuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất đúng và các lý lẽ có liên
quan đến quan hệ nhân quả. Ngày nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết
lý luận.
Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân biệt lập luận
tốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều
là quen thuộc đối với chúng ta. Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận
thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đó, trong khi trong logic toán

học và triết học phân tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic như là
một đối tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ trừu
tượng hơn.
Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không phải là được
nghiên cứu trong chân không. Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩy
chính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do mà chúng ta quan tâm đến logic
được đặt ra một cách rõ ràng.
1. 1. Giới thiệu về logic:
 Logic là một ngôn ngữ hình thức cho phép biểu diễn thông tin dưới dạng các
kết luận có thể được đưa ra. Nói cách khác, logic là một ngôn ngữ để lý luận. Nó là một
tập hợp các quy tắc chúng ta sử dụng khi thực hiện suy luận hợp lý.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
7
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
 Logic là một nhánh của triết học và toán học nghiên cứu về nguyên tắc, phương
pháp và tiêu chuẩn hình thức cho sự hợp lệ của suy luận và kiến thức.
− Là khoa học ước lượng các suy luận;
− Các luật của logic xác định ý nghĩa chính xác của một lý luận;
− Logic dùng để: Suy luận trong toán học; Trong Khoa học máy tính: vi mạch,
xây dựng chương trình, kiểm chứng chương trình, trí tuệ nhân tạo,
 Logic có hai thành phần: Logic = Syntax + Semantics
− Syntax (Cú pháp): để xác định các mệnh đề (sentences) trong một ngôn ngữ;
− Semantics (Ngữ nghĩa): để xác định “ý nghĩa” của các mệnh đề trong một
ngôn ngữ.
 Ví dụ, trong ngôn ngữ toán học:
• x + 1 ≥ y là một câu, nhưng x2 + y> không là một câu;
• x + 1 ≥ y là Đúng nếu x+1 không nhỏ hơn y
• x + 1 ≥ y Đúng trong một không gian khi mà x = 2 và y = 0;
• x + 1 ≥ y Sai trong một không gian khi mà x = 0 và y = 3;
 Thuật ngữ: Một mệnh đề là

− Hợp lệ: nếu nó là đúng trong tất cả các trường hợp
− Thoả: nếu nó là đúng trong ít nhất một trường hợp
− Không thỏa: nếu nó là sai trong tất cả các trường hợp.
1. 2. Các loại logic:
− Propositional Logic (Boolean logic):
− First-Order Logic (first-order predicate calculus)
− Non-Monotonic Logic,
− Markov Logic,
− Temporal Logic,
− Probability theory,
− Fuzzy Logic.
1. 3. Logic toán:
Logic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống hình thức
trong việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán học. Chẳng hạn tập
hợp và số, chứng minh toán học và tính toán. Ngành này thường được chia thành các
lĩnh vực con như lý thuyết mô hình (model theory), lý thuyết chứng minh (proof
theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory). Nghiên cứu về logic
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
8
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of
mathematics).
Các tên gọi cũ của logic toán là logic ký hiệu (để đối lập với logic triết học) hay
meta toán học.
Logic toán không phải là logic của toán học mà là toán học của logic. Ngành này
bao gồm những phần của logic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toán
học. Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như: lý thuyết mô hình và lý
thuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm.
Logic toán được xây dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ.
1.3.1.Logic mệnh đề:

Cơ sở của logic toán, thực chất bao gồm đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề, gọi
chung là phép tính mệnh đề.
Nhiệm vụ cơ bản của đại số mệnh đề là xây dựng hệ thống quy tắc kết cấu các
mệnh đề, cũng như thực hiện các phép biến đổi mệnh đề đúng đắn, chính xác, chặt chẽ.
Nhờ đó, quá trình lập luận logic sẽ được chuyển thành các hệ toán logic. Hệ toán mệnh
đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề
(nếu là hệ toán logic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta
có thể thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tùy thuộc giá trị
chân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận logic.
1.3.2.Logic vị từ:
Cùng với logic mệnh đề, cấu thành cơ sở của logic toán. Về thực chất, logic vị từ
là sự mở rộng logic mệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào
ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán logic mệnh đề. Kết quả, đại số mệnh đề sẽ
chuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ.
Nếu logic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác và
chặt chẽ đối với các phán đoán thì logic vị từ còn cho phép thực hiện các phép biến đổi
chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm. Do đó, logic vị từ không chỉ chính xác hoá
cơ sở logic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở logic của hệ thống khái
niệm.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
9
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
CHƯƠNG 2. LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ
TRONG BIỂU DIỄN TRI THỨC
2. 1. Giới thiệu về logic vị từ:
2.1.1. Logic vị từ (Predicate Logic):
Môn Logic được nghiên cứu như ngày nay rất khác với môn học đã được nghiên
cứu trước đây, và sự khác biệt chính là sự phát minh của logic vị từ (predicated logic or
first-order logic). Trong khi logic tam đoạn luận của Aristote định ra những dạng thức
cho những phần có liên quan với nhau trong mỗi phán đoán, logic vị từ cho phép các

câu được phân tích thành chủ đề và các luận cứ theo nhiều cách khác nhau, do vậy cho
phép logic vị từ giải quyết được vấn đề tổng quát hóa nhiều lần – vấn đề đã làm bối rối
các nhà logic học thời trung cổ. Với logic vị từ, lần đầu tiên, các nhà logic học đã có
khả năng đưa ra các phép lượng hóa (quantifiers) đủ tổng quát để diễn tả mọi luận cứ có
mặt trong ngôn ngữ tự nhiên.
Sự khám phá ra logic vị từ thường được coi là công của Gottlob Frege, người
cũng được xem là một trong những sáng lập viên của ngành triết học phân tích, nhưng
dạng phát biểu có hệ thống thông dụng nhất ngày nay của logic vị từ là logic bậc nhất
(first-order logic) được trình bày trong cuốn sách Các nguyên lý về logic lý thuyết
(Grundzüge der theoretischen Logik) của David Hilbert và Wilhelm Ackermann vào
năm 1928. Tính tổng quát có tính phân tích của logic vị từ cho phép hình thức hóa toán
học và đẩy mạnh nghiên cứu về lý thuyết tập hợp, cho phép sự phát triển của cách tiếp
cận của Alfred Tarski đối với lý thuyết mô hình; và không quá lời khi nói rằng nó là
nền tảng của logic toán học hiện đại.
Hệ thống nguyên thủy của Frege về logic vị từ không phải là bậc nhất mà là bậc
hai. Logic bậc hai được bảo vệ mạnh mẽ nhất bởi George Boolos và Stewart Shapiro
(trước các phê phán của Willard Van Orman Quine và những người khác).
Logic vị từ xây dựng chủ yếu dựa vào những ý tưởng của logic mệnh đề để cung
cấp một hệ thống mạnh mẽ hơn cho các biểu thức và lý luận.
Như chúng ta đã đề cập, một vị từ chỉ là một chức năng với một phạm vi của hai
giá trị là sai và đúng.
Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y,…Lấy giá
trị trong những tập hợp A,B,… cho trước, sao cho:
• Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề.
• Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A, B, … cho trước ta
sẽ được một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là các
biến tự do của vị từ.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
10
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ

Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: “ x > 3”, “ x + y = 4” rất hay gặp
trong toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu này không đúng cũng
không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định.
Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc
không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận
của vị từ.
Vi dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ. Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẵn
hay là lẻ ta được một mệnh đề:
• n = 2 :{2 là chẵn}: mệnh đề đúng.
• n = 5 :{5 là chẵn}: mệnh đề sai.
Vị từ {n là chẵn} có 2 phần: Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu. Phần thứ
hai "là chẵn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có.
Ký hiệu: P(n) = {n là chẵn}
Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n. Một khi biến n
được gán trị thì P(n) là một mệnh đề.
Ví dụ 3: Cho vị từ P(x) = {x>3}. Xác định chân trị của P(4) và P(2).
Giải:
P(4) = {4>3}: mệnh đề đúng.
P(2) = {2>3}: mệnh đề sai.
2.1.2. Vị từ và giá trị chân lý của vị từ:
− Biểu thức P(x
1
, x
2
, …, x
n
) (n ≥ 1 với x
i
lấy giá trị trên tập M
i

) (i = 1, 2, …, n))
được gọi là vị từ n biến xác định trên trường M = M
1
x M
2
x … x M
n
khi và chỉ khi
biểu thức P(x
1
, x
2
, …, x
n
) không phải là một mệnh đề hoặc đúng hoặc sai.
− Nếu ta thay biến x
i
bởi a
i
∈ M
i
(i = 1, 2, …, n) ta được P(x
1
, x
2
, …, x
n
) là một
mệnh đề hoặc đúng hoặc sai.
− Thường ký hiệu vị từ bởi các chữ P, Q, R, F, … (có thể kèm chỉ số) và gọi là

các biến vị từ.
− Vị từ 1 biến được gọi là vị từ cấp 1.
2.1.3. Phép toán vị từ:
2.1.3.1. Các phép toán trên vị từ 1 biến:
Cho vị từ 1 biến P(x) và Q(x) trên trường M
 Phủ định của P(x) ký hiệu
( )P x
cũng là một vị từ trên trường M mà khi
thay x = a  M, ta được mệnh đề
( )P a
nhận giá trị đúng khi P(a) nhận giá trị sai và
ngược lại;
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
11
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
 Hội (^) vị từ P(x) với vị từ Q(x) ta được vị từ P(x) ^ Q(x) trên trường M
mà khi thay x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) ^ Q(a) nhận giá trị đúng khi P(a) và Q(a)
nhận giá trị đúng, và sai trong các trường hợp còn lại;
 Tuyển (∨) vị từ P(x) với vị từ Q(x) ta được vị từ P(x) ∨ Q(x) trên trường
M mà khi thay x = a ∈ M ta được mệnh đề P(a) ∨ Q(a) nhận giá trị sai khi P(a) và Q(a)
nhận giá trị sai, và đúng trong các trường hợp còn lại;
 Vị từ P(x) suy ra (→) vị từ Q(x) trên trường M mà khi thay x = a ∈ M ta
được mệnh đề P(a) → Q(a) đúng khi P(a) sai hoặc P(a) và Q(a) đúng. Mệnh đề này sai
khi giả thiết P(a) đúng còn kết luận Q(a) sai.
2.1.3.2. Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng
của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức.
Ví dụ 1: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau"
dưới dạng logic vịtừ.
Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:
+"Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai).

+"Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).
Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:
Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)
⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬thích (X, Y)
Ví dụ 2 : Cho vị từ "Quả bóng màu xanh". Phép toán vị từ cho phép mô tả theo
quan hệ tri thức theo dạng: (quả bóng, xanh).
Cách thể hiện này thuận tiện đối với việc dùng biến và hàm trong xử lý tri thức.
Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, để lập trình trên các vị từ người ta sử dụng ngôn ngữ
Prolog. Đó là một ngôn ngữ cấp cao có đặc điểm gần với ngôn ngữ tự nhiên, do ông
C.Cameraller (Đại học Marseilles, Pháp) và nhóm đồng sự cho ra đời năm 1973.
2.1.3.3. Hằng:
Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký hiệu bởi các
chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính.
2.1.3.4. Biến:
Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính. Biến
được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể
hiện các vị từ tương tự.
Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y".
Quả bóng, xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là
biến.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
12
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
2.1.3.5. Các vị từ:
Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành hai phần: Vị từ và
tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để
khẳng định về đối tượng.
Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y).
Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là các ký
hiệu thay cho các đối tượng của bài toán.

2.1.3.6. Hàm: Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số.
Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của nhau.
Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này.
+ Mẹ (Mai) = Hoa
+ Cha (Cúc) = Đông
+ Bạn (Hoa, Đông)
Các hàm được dùng trong vị từ là: Bạn, Mẹ (Mai), Cha (Cúc).
2.1.4. Ý nghĩa vị từ theo lý thuyết tập hợp và không gian của vị từ:
Cho P(x) là vị từ cấp 1 trên trường M ≠ ∅, tập tất cả các điểm x ∈ M mà P(x)
đúng, được ký hiệu là E
P
= { x ∈ M | P(x) đúng}.
Ứng với mỗi vị từ P(x) trên trường M, ta có E
P
⊆
M. Ngược lại, ứng với mỗi tập
con E
P
⊆
M có tồn tại vị từ P(x) xác định trên M sao cho E = E
P
.
Gọi E
P
= { x ∈ M | P(x) đúng} là miền đúng của vị từ P(x) trên trường M, còn
\
P
P
E M E=
là miền sai của P(x) trên trường M.

Ta có:
P
P
P
P
E E M
E E
∪ =
∩ = ∅

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập hợp E ta
được một ảnh P(x) ∈ {ϕ, 1}. Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ. Không
gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng
hoặc sai.
2.1.5. Trọng lượng của vị từ:
Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất hiện cũng như
một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ.
Ví dụ 1: Vị từ P(a, b, c) = {a + b + c = 15} là một vị từ 3 biến trên không gian N.
Ta nói: P có trọng lượng 3.
Trong vị từ P(x
1
, x
2
, , x
n
) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị xác định cho một
biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x
1
, x
2

, x
n
) có trọng lượng là (n-1).
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
13
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
Qui luật này được áp dụng cho đến khi n = 1 thì ta có một mệnh đề. Vậy, thực chất
mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ.
Ví dụ 2: Cho vị từ P(x, y, z) = {x + y = z}.
Cho x = ϕ: Q(y, z) = P(ϕ, y, z) = {ϕ + y = z}
Cho y = ϕ: R(z) = Q(ϕ, z) = P(ϕ, ϕ, z) = {ϕ + ϕ = z}
Cho z = 1: T = P(ϕ, ϕ, 1) = { ϕ + ϕ = 1}
là mệnh đề sai.
Câu có dạng P(x
1
, x
2
, , x
n
) được gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại (x
1
,
x
2
, , x
n
) và P cũng được gọi là vị từ.
2.1.6. Các lượng từ, biến bị trói buộc và biến tự do:
Trong một vị từ có thể xảy ra các điều sau: vị từ đã cho đúng với mọi phần tử
trong không gian xác định của nó; cũng có thể chỉ đúng với một số phần tử nào đó

trong không gian xác định của nó, người ta gọi đó là sự lượng hóa hay lượng từ các
hàm mệnh đề.
2.1.6.1. Lượng từ tồn tại (
∃
):
Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng"
là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là
đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x).
Ký hiệu: ∃x P(x)
2.1.6.2. Lượng từ với mọi (
∀
):
Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một
mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề
được gọi là lượng từ với mọi của P(x).
Ký hiệu: ∀xP(x)
2.1.6.3. Ý nghĩa của lượng từ “với mọi” và lượng từ “tồn tại” được rút ra trong
bảng sau:
Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai
∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử x Có ít nhất 1 phần tử x để P(x)
∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) là đúng P(x) là sai với mọi phần tử x
Ví dụ 1: Xét trong không gian các số thực, ta có:
Cho P(x) := “ x + 1 > x”, khi đó có thể viết: ∀xP(x)
Cho P(x) := “ 2x = x + 1 ”, khi đó có thể viết: ∃xP(x)
Ví dụ 2: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}. Xét chân trị của hai
mệnh đề∀x P(x) và ∃x P(x).
Giải:
∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
14

TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khi
x=10.
Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E. Nếu E = {e
1
, e
2
, e
n
}, mệnh đề ∀x
P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e
1
), P(e
2
), P(e
n
) là đúng. Nghĩa là ∀x P(x) ⇔
P(e
1
) ∧ P(e
2
) ∧ ∧ P(e
n
) là đúng.
Tương tự, ∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e
1
),
P(e
2
), P(e

n
) là đúng. Nghĩa là ∃x P(x) ⇔ P(e
1
) ∨ P(e
2
) ∨ ∨ P(e
n
) là đúng.
2.1.6.4. Các định lý:
 Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó:
a) ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là: ∀a∀b P(a,b) ↔ ∀b∀a P(a, b)
Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)
b) ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị.
Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔∃b∃a P(a, b)
Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)
c) Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng nhưng điều
ngược lại chưa đúng. Nghĩa là: ∃a∀b P(a,b) →∀b∃a P(a,b)
d) Nếu ∃b∀a P(a,b) là đúng thì ∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều
ngược lại chưa đúng. Nghĩa là: ∃b∀a P(a,b) →∀a∃b P(a,b)
 Định lý 2:
¬(∀x P(x)) và∃x (¬P(x) là có cùng chân trị.
¬(∃x P(x)) và∀x (¬P(x) là có cùng chân trị.
Giải thích:
Phủ định với ∀x P(x) nói rằng: tập hợp những x làm cho P(x) đúng không
là tất cả tập hợp E. Vậy nói rằng: hiện hữu ít nhất 1 phần tử x∈ E mà ở chúng P(x)
là sai, hay nói rằng: hiện hữu ít nhất 1 phần tử x∈E mà ở chúng P(x) là đúng.
¬∃x P(x) nói rằng: tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp
rỗng. Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E hay không
có phần tử nào làm P(x) đúng. Ta có ∀x (¬P(x)).

Ví dụ 1: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít
nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3".
Ví dụ 2: Hãy xét phủ định của câu sau đây:
"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"
Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x)
Trong đó P(x) = {x đã học môn Toán rời rạc 2 }.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
15
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
Phủ định của câu này là: "Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học
môn Toán rời rạc 2". Điều này có nghĩa là: "Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa
học Toán rời rạc 2". Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu
được viết như sau: ∃x¬P(x). Ta có: ¬ ∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x)
¬ ∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x)
Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng
liên kết của những biến của vị từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những
định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ
đó.
 Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.
1)Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧ ∀x (Q(x)) là có cùng chân
trị.
2)Nếu mệnh đề ∃ x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧
(∃x Q(x)) cũng đúng.
3)Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) là có cùng chân trị.
4)Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x) ∨
∀xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng.
Giải thích:
Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có:
+ Tập hợp A⊂E: Tập hợp những phần tử x ∈ E mà ở chúng thì P(x) là đúng.
+ Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x ∈ E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.

Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có:
+ Tập hợp A⊂E: Tập hợp những phần tử x ∈ E mà ở chúng thì P(x) là đúng.
+ Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x ∈ E mà ở chúng thì Q(x) là đúng.
Khi đó người ta lưu ý rằng, A ∧ B là tập hợp những x ∈ E mà ở chúng mệnh đề
P(x) ∧ Q(x) là đúng. Trong khi đó A ∨ B là tập hợp những x của E mà ở đó mệnh đề
P(x) ∨ Q(x) là đúng.
2.1.6.5. Biến bị trói buộc (bound variable) và biến tự do (free variable):
− Biểu thức như P(x) được gọi là có biến tự do x (x không xác định).
− Lượng từ (∃ hoặc ∀) tác động lên biểu thức có một hay nhiều biến tự do và
trói buộc 1 hay nhiều biến khác tạo thành một biểu thức có 1 hay nhiều biến trói buộc.
Ví dụ: P(x,y) có 2 biến tự do là x và y;
∀x P(x,y) có 1 biến tự do và 1 biến trói buộc.
“P(x), trong đó x=3” là một cách trói buộc x
− Biểu thức không có biến tự do là mệnh đề thực sự;
− Biểu thức với một hay nhiều biến tự do vẫn còn là vị ngữ (predicate).
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
16
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
Ví dụ: Q(y) = ∀x P(x,y)
2.1.7. Các loại công thức trong logic vị từ:
Mỗi biến mệnh đề X, Y, Z (có thể có chỉ số) hoặc mỗi biến vị từ P, Q, R, F (có thể
có chỉ số) gọi là công thức.
Nếu A, B là công thức thì biểu thức: (A^B), (A∨B), (A→B),
A
cũng là công thức.
Nếu A là công thức thì (∀x)A và (∃x)A cũng là công thức.
2.1.7.1.Công thức tương đương:
Phát biểu: A tương đương B nếu và chỉ nếu (A → B) ∧ (B → A)
Ký hiệu: A ≡ B |= (A →B) ∧ (B →A)
 Các phép tương đương:

+ ~∀x W(x) ≡ ∃x ~W(x)
+ ~∃x W(x) ≡ ∀x ~W(x)
+ ∃x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x)
+ ∀x (A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x)
+ ∃x (A(x) → B(x)) ≡ ∀x A(x) → ∃x B(x)
+ ∀x∀y W(x, y) ≡ ∀y∀x W(x, y)
+ ∃x∃y W(x, y) ≡ ∃y∃x W(x, y)
 Các phép tương đương có giới hạn: Các phép tương đương sau đúng khi
x không xuất hiện trong biểu thức C:
• Disjunction:
+ ∀x(C ∨ A(x)) ≡ C ∨ ∀x A(x)
+ ∃x(C ∨ A(x)) ≡ C ∨ ∃x A(x)
• Conjunction:
+ ∀x(C ∧ A(x)) ≡ C ∧ ∀x A(x)
+ ∃x(C ∧ A(x)) ≡ C ∧ ∃x A(x)
• Implication:
+ ∀x (C → A(x)) ≡ C → ∀x A(x)
+ ∃x (C → A(x)) ≡ C → ∃x A(x)
+ ∀x (A(x) → C) ≡ ∃x A(x) → C
+ ∃x (A(x) → C) ≡ ∀x A(x) → C
 Một vài điều kiện không tương đương:
+∀x W(x) → ∃x W(x)
+∀x A(x) ∨ ∀x B(x) → ∀x (A(x) ∨ B(x))
+∃x (A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃ x B(x)
+∀x (A(x) → B(x)) → (∀x A(x) → ∀x B(x))
+∃y ∀x W(x, y) → ∀x ∃y W(x, y)
2.1.7.2.Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas):
Một tên vị từ theo sau bởi một danh sách các biến như: P (x, y), trong đó P là
tên vị từ, x và y là các biến, được gọi là một công thức nguyên tử.
 Công thức chỉnh dạng (wff) được xây dựng như sau:

TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
17
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
− True (T), False (F) là wff.
− Mệnh đề hoặc biến mệnh đề là wff.
− Nếu A và B là wff thì ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B là wff.
− Nếu A là wff và x là một biến thì ∃xA và ∀xA là wff.
− Công thức nguyên tử là wff.
Ví dụ:
+ ∀x A(x) là wff.
+ "Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội" là wff.
+ ∀x B(x) ∧ ∃x R(x) là wff.
+ ∀x B(x) R(x), B(∃x) không là wff.
 Từ Wff sang mệnh đề:
Ví dụ: P(x) là wff: x không âm.
− Wff này là T, nếu miền giá trị là (1, 2, 3), hoặc các số nguyên dương.
− Wff này là F, nếu miền giá trị là (- 1, 2, 3), hay các số nguyên âm.
− ∀x Q(x, y) có thể nhận giá trị T hay F tùy thuộc theo biến y (với giả thiết
Q(x, y) là "x > y").
⇒ Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:
+ Đặc tả cụ thể của một miền giá trị, vị từ, và việc gán giá trị cụ thể với
các biến tự do trong wff được gọi là sự giải thích.
+ Một wff là một mệnh đề khi nó được gán một giải thích.
 Sự tương đương: Hai wff W1, W2 là tương đương nếu và chỉ nếu W1 ↔
W2 với mọi giải thích.
Ví dụ:
− ∀x P(x) ↔ ∃x¬P (x) với mọi P.
− ∀x (P(x) ∧ Q(x)), ∀x P(x) ∧ ∀x Q(x) với mọi P, Q.
 Những dạng Wff:
• Wff là thỏa mãn nếu tồn tại một giải thích làm wff T.

Ví dụ: ∀x P(x) là thỏa mãn.
• Wff là hợp lệ nếu wff đúng với mọi giải thích.
Ví dụ: ∀x P(x) ∨ ∃x ¬P(x) là hợp lệ với mọi P và giải thích.
• Wff là không hợp lệ hoặc không thỏa mãn nếu không tồn tại một giải
thích là wff T.
Ví dụ: ∀x (P(x) ∧ ¬P(x))
2.1.8. Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex:
 Chuyển về dạng chuẩn Prenex:
+ F = (∀x) (p(x) → (∃x) (∀y)(q(y) ∨ r(x)))
+ F = (∀x) (¬p(x) ∨ (∃x)(∀y)(q(y) ∨ r(x)))
 Đổi tên biến cục bộ:
+ F = (∀x) (¬p(x) ∨ (∃z)(∀y)(q(y) ∨ r(z)))
+ F = (∀x) (∃z)(∀y)(¬p(x) ∨ (q(y) ∨ r(z)))
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
18
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
 Qui tắc chuyển một công thức về dạng Prenex:
+ Xóa toán tử "→".
+ Chuyển lượng từ ra phía trước.
 Chuyển về dạng chuẩn Prenex tuyển:
F = (Q
1
x 1) (Q
n
x n) (D
1
∨ … ∨ D
k
)
D

k
là hội của một hoặc nhiều mệnh đề.
Ví dụ: F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∧ q(y)) ∨ (q(y) ∧ r(z))).
 Chuyển về dạng Prenex hội :
F = (Q
1
x1) (Q
n
x n) (D
1
∧…∧ D
k
)
D
k
là tuyển của một hoặc nhiều mệnh đề.
Ví dụ: F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∨ q(y)) ∧ (q(y) ∨ r(z))).
 Giải thuật chuyển một công thức về dạng chuẩn Prenex Hội/ Tuyển
1) Đổi tên biến.
2) Xóa toán tử "→" dùng A → D = ~A ∨ B.
3) Di chuyển ¬ (~) về bên trái của mỗi mệnh đề.
4) Chuyển các lượng từ ra bên trái của công thức.
5) Dùng luật phân bố và kết hợp để chuyển về dạng tương ứng
(Hội/Tuyển).
Ví dụ: Cho W= ∀xA(x) ∨ ∃xB(x) →C(x) ∧∃xC(x).
W ≡ ∀y A(y) ∨ ∃z B(z) →C(x) ∧ ∃t C(t) (Đổi tên biến)
W ≡ ~ (∀y A(y) ∨ ∃z B(z)) ∨ (C(x) ∧ ∃t C(t)) (Xóa "→")
W ≡ (~∀y A(y) ∧ ~∃z B(z)) ∨(C(x) ∧ ∃tC(t)) (Di chuyển ~)
W ≡ (∃y~A(y) ∧ ∀z~B(z)) ∨ (C(x) ∧ ∃t C(t))
W ≡ ∃y∀z∃t((~A(y) ∧ ~B(z)) ∨ (C(x) ∧ C(t))) (Di chuyển ∃, ∀)

⇒ Đây là dạng chuẩn Prenex tuyển
2.1.9. Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ cấp 1:
2.1.9.1. Quy tắc suy diễn 1 (rút gọn):
 Công thức cơ sở: (A ˄ B) → A ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.2. Quy tắc suy diễn 2 (cộng):
 Công thức cơ sở: A → (AB) ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.3. Quy tắc suy diễn 3 (khẳng định):
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
19
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
 Công thức cơ sở: (A ˄ (A → B)) → B ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.4. Quy tắc suy diễn 4 (phủ định):
 Công thức cơ sở: ((A→B) ˄ )→ ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.5. Quy tắc suy diễn 5 (bắc cầu)
 Công thức cơ sở: ((A → B) ˄ (B → C)) → (A → C) ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.6. Quy tắc suy diễn 6 (tam đoạn luận tuyển):
 Công thức cơ sở: ( ˄ (A ˅ B)) → B ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.7. Quy tắc suy diễn 7 (mâu thuẫn):
 Công thức cơ sở:
(
 Mô hình suy diễn:
≡
2.1.9.8. Quy tắc suy diễn 8 (theo từng trường hợp):
 Công thức cơ sở: ((A → C) ˄ (B → C)) → ((A ˅ B) → C) ≡ 1

 Mô hình suy diễn:
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
20
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
2.1.9.9. Quy tắc suy diễn 9 (đặc biệt hóa phổ dụng):
Nếu mệnh đề ∀xP(x) đúng trên trường M thì khi thay x bởi phần tử a bất kỳ
trong M ta được mệnh đề a cũng đúng.
 Công thức cơ sở: ∀xP(x) → P(a) ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
với a là phần tử cố định bất kỳ trong M
2.1.9.10. Quy tắc suy diễn 10 (tổng quát hóa phổ dụng):
Cho mệnh đề ∀xP(x) trên trường M. Khi đó, nếu P(a) đúng với mọi phần tử a
trên trường M thì mệnh đề ∀xP(x) cũng đúng trên trường M.
 Công thức cơ sở: P(a) → ∀xP(x) ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
với a là phần tử bất kỳ trong M.
2.1.9.11. Quy tắc suy diễn 11:
 Công thức cơ sở:
((∀x)(P(x) → Q(x) ˄ P(a)) → Q(a) ≡ 1, aM mà P(a) đúng.
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.12. Quy tắc suy diễn 12:
 Công thức cơ sở: (∀x)(P(x) → Q(x))
 Mô hình suy diễn:
2.1.9.13. Quy tắc suy diễn 13:
 Công thức cơ sở:
((∀x)(P(x) → Q(x)) ˄ ( ∀x)(Q(x) → R(x)) → (∀x)(P(x) → R(x)) ≡ 1
 Mô hình suy diễn:
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
21
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ

Ở đây: M = , với = ϕ (i ≠ j)
2.1.10. Luật suy diễn:
Tên Luật suy diễn
Universal Instantiation
∀xP(x) → P(c)
c là 1 giá trị trong universe
Universal Generalization
P(c) → ∀xP(x)
P(c) là T với mọi c trong một universe đang xem xét
Existential Instantiation
∃xP(x) → P(c)
c trong universe vá P(c) là T
Existential Generalization
P(c) → ∃xP(x)
c trong universe
Negation ¬∃x P(x) ↔ ∀x¬P(x)
Ví dụ: Một hóa đơn là trống nếu nó chưa được thanh toán (bằng tiền mặt) cho 30
ngày. Hóa đơn A vẫn chưa được thanh toán cho 30 ngày. Vì vậy việc kiểm tra này là
trống. Bạn không thể thanh toán cho một hóa đơn trống. Do đó bạn không thể thanh
toán cho hóa đơn A. Bây giờ chúng ta đã có một hóa đơn mà không thể thanh toán.
Ta đặt:
- C(x): x là một hóa đơn
- T(x): x đã được thanh toán trong 30 ngày
- V(x): x là trống
- S(x): x có thể thanh toán
- A: một hóa đơn
Vậy ta có:
- (∀x((C(x) ˄ ¬T(x)) → V(x))) ˄ ¬T(A) → V(A)
- ∀x((C(x) ˄ V(x) → ¬S(x)) ˄ V(A) → ¬S(A)
- C(A) ˄ ¬S(A) → ∃x(C(x) ˄ ¬S(x))

2. 2. Ứng dụng logic vị từ trong biểu diễn tri thức:
2.2.1. Logic và suy diễn:
2.2.1.1. Logic là một cách để biểu diễn hình thức và suy diễn tự động.
Việc suy diễn (reasoning) có thể được thực hiện ở mức cú pháp (bằng các
chứng minh): suy diễn diễn dịch (deductive reasoning).
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
22
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
Việc suy diễn có thể được thực hiện ở mức ngữ nghĩa (bằng các mô hình): suy
diễn dựa trên mô hình (model-based reasoning).
2.2.1.2. Cách biểu diễn tri thức: Có nhiều cách biểu diễn tri thức:
Cách 1: Biểu diễn tri thức = logic
Cách 2: Biểu diễn tri thức = luật sản xuất
Cách 3: Biểu diễn tri thức = mạng ngữ nghĩa
Cách 4: Biểu diễn tri thức = frame
Cách 5: Biểu diễn tri thức = bộ 3 Object – Attribute – Value
2.2.2. Biểu diễn tri thức bằng logic vị từ:
2.2.2.1. Ý nghĩa:
Mệnh đề thì không có cấu trúc → hạn chế nhiều thao tác suy luận → đưa
vào khái niệm vị từ và lượng từ (∀ - với mọi , ∃ - tồn tại) để tăng cường tính cấu trúc
của một mệnh đề.
Trong logic vị từ, một mệnh đề được cấu tạo bởi 2 thành phần là các đối tượng tri
thức và mối liên hệ giữa chúng (gọi là vị từ).
Biểu diễn: Vịtừ (<đối tượng 1>,<đối tượng 2>, …,<đối tượng n>)
Ví dụ: Cam có vị ngọt ⇒ Vị (cam, ngọt)
Cam có màu xanh ⇒ Màu(cam, xanh)
 Các sự kiện (Fact) được mô tả bởi vị từ (Predicate). Mỗi vị từ là một phát
biểu, quan sát về đối tượng mà ta đang xét.
F = {p(t
1

, t
2
, …, t
n
)/ p vị từ}
p: tên vị từ
t
i
: hạng thức (term) có thể là một biến, một hằng hoặc là một hàm (rất quan trọng)
Ví dụ: Ai cũng có kẻ yêu người ghét
 Luật (Rule): Mọi tri thức chuyên môn đều được biểu diễn bằng mệnh đề: Nếu
… thì …
p
1
(t
1
… t
k
) … … p
n
(u
1
… u
n
) suy ra q (v
1
… v
m
)
Trong đó:

TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
23
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
+ p
i
, q: Tên vị từ;
+ t
i
, u, v: các hạng thức.
 Câu (Clause): là một câu và tương ứng với một luật có dạng như ở trên.
Ví dụ 1: Tri thức “A là bố của B nếu B là anh hoặc em của một người con của A”
có thể được biểu diễn dưới dạng vị từ như sau :
Bố (A, B) = Tồn tại Z sao cho: Bố (A, Z) và (Anh(Z, B) hoặc Anh(B,Z))
Trong trường hợp này, mệnh đề Bố(A,B) là một mệnh đề tổng quát
Như vậy nếu ta có các mệnh đề cơ sở là :
a) Bố (“An”, “Bình”) có giá trị đúng (An là bố của Bình)
b) Anh(“Tú”, “Bình”) có giá trị đúng (Tú là anh của Bình)
thì mệnh đề c) Bố (“An”, “Tú”) sẽ có giá trị là đúng (An là bố của Tú).
Ví dụ 2: Câu cách ngôn “Không có vật gì là lớn nhất và không có vật gì là bé
nhất!” có thể được biểu diễn dưới dạng vị từ như sau:
LớnHơn(x,y) = x>y
NhỏHơn(x,y) = x<y
∀x, ∃y : LớnHơn(y,x) và ∀x, ∃y : NhỏHơn(y,x)
Ví dụ 3: Câu châm ngôn “Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng” được hiểu là “chơi
với bạn xấu nào thì ta cũng sẽ thành người xấu” có thể được biểu diễn bằng vị từ như
sau: NgườiXấu (x) = ∃y : Bạn(x,y) và NgườiXấu(y)
⇒ Nhận xét:
+ Kiểu biểu diễn tri thức vị từ giống như hàm trong các ngôn ngữ lập trình,
đối tượng tri thức là tham số của hàm, giá trị mệnh đề chính là kết quả của hàm (kiểu
Boolean).

+ Biểu diễn tri thức bằng mệnh đề gặp khó khăn là không thể can thiệp vào
cấu trúc của một mệnh đề → đưa ra khái niệm lượng từ, vị từ.
+ Với vị từ cụ thể biểu diễn tri thức dưới dạng các mệnh đề tổng quát.
2.2.2.2. Cách biểu diễn vị từ:
Logic vị từ là sự mở rộng của logic mệnh đề nhằm cung cấp một cách biểu
diễn rõ hơn về tri thức. Logic vị từ dùng ký hiệu để biểu diễn tri thức.
Logic vị từ, cũng giống như logic mệnh đề, dùng các ký hiệu để thể hiện tri
thức. Những ký hiệu này gồm hằng số, vị từ, biến và hàm.
 Hằng (Constants): Các hằng số dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt
hay thuộc tính. Nhìn chung, các hằng số được ký hiệu bằng chữ viết thường, chẳng hạn
an, bình, nhiệt độ. Hằng số an có thể được dùng để thể hiện đối tượng An, một người
đang xét.
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
24
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
 Các vị từ (Predicates): Một mệnh đề hay sự kiện trong logic vị từ được
chia thành 2 phần là vị từ và tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của
mệnh đề; còn mệnh đề dùng để khẳng định về đối tượng. Chẳng hạn mệnh đề "Nam
thích Mai" viết theo vị từ sẽ có dạng:
thích(Nam, Mai)
Với cách thể hiện này, người ta dùng từ đầu tiên, tức "thích", làm vị từ. Vị từ
cho biết quan hệ giữa các đối số đặt trong ngoặc. Đối số là các ký hiệu thay cho các đối
tượng của bài toán. Theo quy ước chuẩn, người ta dùng các chữ thường để thể hiện các
đối số.
 Biến (Variables): Các biến dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối
tượng hay thuộc tính. Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Như vậy,
có thể dùng vị từ có biến để thể hiện nhiều vị từ tương tự.
Ví dụ:
Có hai mệnh đề tương tự "Nam thích Mai" và "Bắc thích Cúc". Hai biến X, Y
dùng trong mệnh đề thích(X, Y).

Các biến nhận giá trị sẽ được thể hiện qua X=Nam, Bắc; Y=Mai, Cúc. Trong phép
toán vị từ người ta dùng biến như đối số của biểu thức vị từ hay của hàm.
 Hàm (Function): Logic vị từ cũng cho phép dùng ký hiệu để biểu diễn
hàm. Hàm mô tả một ánh xạ từ các thực thể hay một tập hợp đến một phần tử duy nhất
của tập hợp khác. Ví dụ, các hàm sau đây được định nghĩa nhằm trả về một giá trị xác
định: cha(sơn) = Nam
mẹ(sơn) = Mai
 Phép toán (Operation): Logic vị từ cũng dùng các phép toán như logic
mệnh đề.
Ví dụ: thích(X,Y) AND thích(Z,Y) -> thích(X,Z).
2.2.2.3. Các ứng dụng của logic vị từ:
 Định nghĩa các hệ toán học hiện thực và để chứng minh bất cứ điều gì mà
có thể chứng minh trong hệ đó;
 Là cơ sở cho việc chứng minh định lý tự động và nhiều hệ thống trí tuệ
nhân tạo khác. Ví dụ: Hệ thống kiểm chứng chương trình tự động, hệ chẩn đoán, …
2.2.3. Giới thiệu một số triệu chứng bệnh ở trẻ em dùng Prolog:
 Phát biểu dưới dạng logic vị từ về bệnh:
Phát biểu Vị từ
X là các triệu chứng của bệnh sởi trieuchungsoi(X)
X là các triệu chứng của bệnh quai bị trieuchungquaibi(X)
X là các triệu chứng của bệnh
rubella
trieuchungrubella(X)
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040
25
TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: PGS.TS. NGUYỄN PHI KHỨ
X là các triệu chứng của bệnh thủy
đậu
trieuchungthuydau(X)
X là các triệu chứng của bệnh sốt

xuất huyết
trieuchungsotxuathuyet(X)
X là các triệu chứng của một loại
bệnh trẻ em Y
trieuchungbenhtreem(X,Y)
Trẻ mắc bệnh sởi khi có những triệu
chứng của bệnh sởi
∀X trieuchungsoi(X)
→ trieuchungbenhtreem(X, soi)
Trẻ mắc bệnh quai bị khi có những
triệu chứng của bệnh quai bị
∀X trieuchungquaibi(X)
→ trieuchungbenhtreem(X, quaibi)
Trẻ mắc bệnh rubella khi có những
triệu chứng của bệnh rubella
∀X trieuchungrubella(X)
→ trieuchungbenhtreem(X, rubella)
Trẻ mắc bệnh thủy đậu khi có những
triệu chứng của bệnh thủy đậu
∀Xtrieuchungthuydau(X)
→ trieuchungbenhtreem(X, thuydau)
Trẻ mắc bệnh sốt xuất huyết khi có
những triệu chứng của bệnh sốt xuất
huyết
∀X trieuchungsotxuathuyet (X)
→ trieuchungbenhtreem(X, sotxuathuyet)
 Mô tả các sự kiện về triệu chứng các loại bệnh
Mã luật Sự kiện
R1 trieuchungsoi([phatban,sot,chaymui,ho,domat])
R2 trieuchungquaibi([sungtuyenmangtai,daunhuckhinhai,sot,nhucdau])

R3 trieuchungrubella([sunghach,phatban,sot,daukhop])
R4 trieuchungthuydau([hongban,bongnuoc,dauhong,nhucdau,sot])
R5 trieuchungsotxuathuyet([cochamxuathuyen,ganto,sot])
 Định nghĩa các luật dựa trên các sự kiện
Mã luật Luật
R1 trieuchungbenhtreem(X,soi) : -trieuchungsoi(X)
R2 trieuchungbenhtreem(X,quaibi): -trieuchungquaibi(X)
R3 trieuchungbenhtreem(X,rubella): -trieuchungrubella(X)
R4 trieuchungbenhtreem(X,thuydau) : -trieuchungthuydau(X)
R5 trieuchungbenhtreem(X,sotxuathuyet) : -trieuchungsotxuathuyet(X)
 Một số hình ảnh minh họa:
TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ HVTH: LÊ KIM NGA-CH1301040