Đạo hàm cấp cao

ĐẠO HÀM CẤP CAO
Dạng 1. Tìm đạo hàm của hàm số
1. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau
a)
2 3
.
2
x
y
x
-
=
-
Đáp số:
( )
3
2
" .
2
y
x
=
-
b)
2
1
.
2 2
x x
y
x

- +
=
-
Đáp số:
( )
3
1
" .
1
y
x
=
-
c)
2
os .y c x=
Đáp số:
" 2 os2 .y c x= -
d)
. sin .y x x=
Đáp số:
'' 2 cos sin .y x x x= -
e)
2
1 .y x x= -
Đáp số:
( )
3
3
2

3 2
" .
1
x x
y
x
- +
=
-
2. Cho hàm số
3 4
.
2
x
y
x
-
=
+
Tìm
x
sao cho
" 20.y =
Đáp số:
3.x = -
3. Tính gia tốc tức thời của chuyển động
( )
s f t=
tại thời điểm
0

t
trong các trường hợp sau:
a)
( )
3 2
0
2 3 5 2, 2.s f t t t t t= = - + - =
Đáp số: 18
b)
( )
0
2 sin 2 os2 , .
4
s f t t c t t
p
= = + =
Đáp số: -8
4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên
1,n ³
ta có
a) Nếu
1
y
x
=
thì
( )
( )
1
!

1 . .
n
n
n
n
y
x
+
= -
b) Nếu
cosy x=
thì
( )
4
cos .
n
y x=
5. Tìm đạo hàm cấp
n
của hàm số
a)
( )
*
sin .y x n N= Î
Đáp số:
( )
*
sin . , .
2
n

y x n n N
p
æ ö
÷
ç
÷
= + " Î
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
b)
( )
*
1
.
3
y n N
x
= Î
+
Đáp số:
( )
( )
( )
*
1
!

1 . , .
3
n
n
n
n
y n N
x
+
= - " Î
+
c)
os .y c x=
d)
2
.
2
x
y
x
-
=
+
6. Chứng minh rằng
a) Nếu
sin ay x=
thì
( )
4
4

. sin .
n
n
y a ax=
b) Nếu
2
siny x=
thì
( )
4
4 1
2 . os2 .
n
n
y c x
-
= -

7. Chứng minh rằng:
a) Nếu
siny x x=
thì
2 ' " 2 si n .xy y xy x- + = -

b) Nếu
coty x=
thì
' sin tan 0.
2
x

y y x+ + =
c) Nếu
3
1
cot cot
3
y x x x= - + +
thì
4
' cot .y x=
d) Nếu
3
4
x
y
x
-
=
+
thì
( )
'2 ''
2 1 .y y y= -
e) Nếu
2
2y x x= -
thì
3
'' 1 0.y y + =
8. Cho hàm số

2
1.y x x= + +
Chứng minh rằng
a)
2
2 1. ' .x y y+ =
b)
( )
2
4 1 " 4 ' 0.x y xy y+ + - =