tap so phuc

Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
1
Chương IV : SỐ PHỨC
1. SỐ PHỨC
Giới thiệu về số phức :
. Số i: Xét phương trình : x
2
+ 1= 0 (*) ( vô nghiệm trong R)
Đặt i
2
=1. Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm x = i
Gọi i là một số phức .
. Căn bậc hai của một số âm : + coi 2i là căn bậc hai của 4
+
3
i là căn bậc hai của 3
. Phương trình bậc hai với biệt số âm :
Ví dụ : Xét phương trình : x
2
2x+10=0 <=> (x1)
2
=9
Giá trò : x1 = 3i <=> x =1 3i là nghiệm của pt
Bài tập :
1. Tìm căn bậc hai của : a) 16 b) 11 c) 12
2. Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) x
2
+x+1 = 0 b) x
2

3x+3 =0 c) x
2

+2 =0
1. Đònh nghóa số phức :
+ Xét tập hợp C ={a+bi / a,bR, i
2
=1 }
Mỗi phần tử z =a+bi  C được gọi là số phức ; a được gọi là phần thực ;
b được gọi là phần ảo của z .
Ví dụ : 2+3i ; 5+
3
i ; 3i …
Chú ý : N  Z  R  C ;
Mỗi số thực được coi như một số phức với phần tử ảo bằng 0
+ Hai số phức bằng nhau: a+bi = c+di <=>
a c
b d






2. Biểu diễn hình học số phức :
+ Số phức z =a+bi tương ứng biểu diễn điểm M(a;b) trên mp Oxy
+ Mặt phẳng biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức : trục Ox gọi
là trục thực ; trục Oy gọi là trục ảo
3. Phép cộng. Phép trừ :
(a+bi) (c+di) = (a  c) +(b  d)i

Ví dụ : (3+2i) + (5+8i) ; (76i) (1+
3
i)
4. Phép nhân : như nhân hai nhò thức chú ý i
2
=1
(a+bi).(c+di) = (acbd) +(ad+bc)i
Ví dụ : (52i)(4+3i) = ? ; ( 23i)(2+3i) = ? ; (47i)(25i) = ?
Ví dụ : cho z= 2i
2
. Tính z
2
; z
3
?
Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
2
5. Số phức liên hợp , Mô đun của số phức :
Cho số phức z =a+bi ; số phức liên hợp
z
=abi
+ Biểu diễn z và
z
đối xứng nhau qua trục thực
 Chú ý :
z
= z ;
z z


+ Môn đun của số phức :
z
=
OM

=
2 2
a b

=
z.z

Ví dụ : Tính mô đun của các số phức sau :
a) 23i b) 12i c) 
3
+i d) 11 e) 7i
6. Phép chia cho số phức khác 0
 Nghòch đảo của số phức :
Cho số phức z khác 0 . Khi đó
z
là số thực khác 0
Từ công thức : z.
z
=
2
z
=>
1
z

=
2
z
z
;Vậy z =a+bi thì
1
z
=
2 2
a
a b


2 2
b
a b

i
Chú ý :
2
z
≠
2
z
;
2
z
≠ z
2

Ví dụ : Cho số phức z = 34i . Tìm
1
z
=?
 Phép chia :Cho hai số phức : c+di và a+bi ≠ 0 . Phép chia c+di cho a+bi là
phép nhân c+di với nghòc đảo của a+bi .

c di
a bi


=(c+di).(
2 2
a
a b


2 2
b
a b

i)=
2 2
ac bd
a b


+



2 2
ad bc
i
a b

Ví dụ : Tính :
1 i
2 3i


;
6 3i
5i

;
4 2i
3 2i



7. Một số kết quả khác
a) Các lũy thừa của i:
Ta có : i
2
=1 ; i
3
= i
2
.i =i ….
Suy ra : i

4n
=1 ; i
4n+1
=i ; i
4n+2
=1 ; i
4n+3
=i …
b). Tổng và tích của hai số phức liên hợp :
Cho số phức z= a+bi  C thì
z
=abi
Ta có : z +
z
= 2a và z.
z
= a
2
+b
2
=
2
z

Ví dụ : cho z = 32i . Tính z+
z
= ? ; z.
z
= ?
c) Liên hợp của tổng, hiệu, tích,thương các số phức :

 z
1
, z
2
 C ta có các tính chất sau :

1 2
z z

=
1
z
+
2
z

1 2
z z

=
1
z

2
z

Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
3


1 2
z .z
=
1
z
.
2
z

1
2
z
z
 
 
 
=
1
2
z
z
( z
2
≠ 0)
Ví dụ : cho z
1
= 3+2i , z
2
= 43i . Tính
1 2

z z

;
1
2
z
z
 
 
 
;
1 2
z .z
;
1
2
z
z
 
 
 

Bài tập :
1) Tìm các số thực x, y biết :
a) (3x9)+3i =12+(5y7)i b) (2x3)(3y+1)i=(2y+1)+(3x7)i
2) Tính môn đun của số phức z :
a)z=2i
3
b) z=
2

2i c) z =11 d) z =7i
3. Thực hiện các phép tính :
a) (35i) +(2+4i) b) (116i)(24i) c) (3i)(2+5i)
d) 2i(74i) e)
5 i
4 3i


f)
5 2i
3i


g) (3i)(4+2i)(2+3i) h) 2i(6+i) 11i i)
(3 i)
2i(5 6i)



4. Thực hiện các phép tính :
a) (3+2i)(1i) +(32i)(1+i) b)
1 2i
1 2i


+
1 2i
1 2i



c)
(2 i)(1 2i) (2 i)(1 2i)
2 i 2 i
   

 
d) (1+i)
2
e) (1+i)
3

f) (1i)
2009
g) i
17
h) (1+i)
2008
i)
3
4
(1 i)
(1 i)


h) i
2008
= ?
5. Cho z= 
1

2
+
3
2
i. Hãy tính :
1
z
;
z
; z
2
;


3
z
; 1+z +z
2

6. Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa ĐK :
a) Phần thực của z bằng 2 b) phần ảo của z bằng 2
c) Phần thực của z thuộc khoảng (1;2) d) Phần ảo thuọc đoạn [1;2]
7. Xác đònh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
thoả mãn từng điều kiện sau :
a)
z i

=1 b)
z i
z i



=1 c)
z
=
z 3 4i
 
d) z
2
là số thực âm
e) z
2
=


2
z
f)
1
z i

là số ảo

Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
4
 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Căn bậc hai của số phức :
Cho số phức w . Nếu số phức z sao cho z
2

= w thì z được gọi là căn
bậc hai của số w. Nói cách khác mỗi căn bậc hai là nghiệm của pt : z
2
 w =0
Ví dụ :  i là căn bậc hai của số 1 vì i
2
=1 và (i)
2
=1
  (2+3i) là căn bậc hai của 5 +12i vì (2+3i)
2
= 5+12i
a) Trường hợp w là số thực : khi đó w =a
+ Nếu a= 0 ; căn bậc hai của số 0 là 0
+ Nếu a > 0 ; thì z
2
 a= (z
a
)(z+
a
) . Do đó z
2
a =0 <=>
z a
z a



 




+ Nếu a < 0 ; thì z
2
a= (z
a

.i)(z+
a

.i).Do đó : z
2
a =0 <=>
z i a
z i a



 



Ví dụ : 5 =5i
2
. Căn bậc hai của số 5 là  i
5

+ Tìm căn bậc hai của số 16 ?
b.Trường hợp w=a+bi : ( a,b  R , b  0)
Cho số phức w = a+bi . Hãy tìm các căn bậc hai của số w

Giải : z =x+yi là căn bậc hai của số w
Theo đònh nghóa : (x+yi)
2
= a+bi 
2 2
x y a
2xy b

 






 Nếu b ≥ 0 thì z = 
2 2 2 2
a a b a a b
i
2 2
 
    
 

 
 

 Nếu b < 0 thì z = 
2 2 2 2
a a b a a b

i
2 2
 
    
 

 
 

Ví dụ : Tìm căn bậc hai của các số sau :
a) 3+4i b) 5+12i c) 8+6i d) 1+i
3

2. Phương trình bậc hai : az
2
+bz +c =0
C
1
: Biến đổi : a(z+
b
2a
)
2
+ c
2
b
4a
=0 <=>(z+
b
2a

)
2
=
2
2
b
4a

c
a
….
C
2
: Tính  = b
2
4ac

= (x+iy)
2
. Suy ra theo công thức nghiệm …
Ví dụ : giải phương trình : z
2
z +3 =0 ; 3x
2
4x +5=0 ; 3x
2
12x 7=0
Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
5

Bài tập :
1. Tính căn bậc hai của số phức :
a) 8 +6i b) 1+2
2
i c) 1630i d) i e) 1i e) 5
2. Giải phương trình :
a) 2z
2
+3z +5 =0 b) z
2
(2+i)z+(1+7i) =0
c) z
2
+(32i)z+(55i)=0 d) z
4
3z
2
+4

=0
3. Cho z
1
và z
2
là hai nghiệm của phương trình :
x
2
+(2i)x +3+5i

=0 . Không giải phương trình hãy tính :

a)
2
1
z
+
2
2
z
b)
4
1
z
+
4
2
z
c)
1
2
z
z
+
2
1
z
z
d)
4
1
z

z
2
+
4
2
z
z
1

4. Giải các phương trình sau :a) z
3
1 =0 b) z
3
+1 =0
c) z
4
1=0 d) z
4
+1=0 e) z
4
+4= 0 f) 8z
4
+8z
3
=z+1
5. a) Tìm các số thực b,c để phương trình ẩn z :
z
2
+bz +c =0 nhận z =1+i là nghiệm
b) Tìm các số thực a, c để phương trình : a.z

2
5z +c =0 nhận z =23i làm nghiệm
c) Chứng minh rằng : ( cos +i.sin)
2
= cos 2+ i.sin2

3. DẠNG LƯNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. Số phức dưới dạng lượng giác :
a) argumen của số phức z 0 :
Giả sử z= a+bi là một số phức khác 0 . M là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng
phức . Điểm M hòan toàn xác đònh véc tơ
OM

=(a;b)
+ argumen của số phức z ký hiệu arg z là góc  tạo bởi
Ox

và
OM


Chú ý : +Mọi acgumen của z có dạng  + k2 , k  Z
b) Dạng lượng giác của số phức : Giả sử z= a+bi là một số phức khác 0 .
Ký hiệu: r là mô đun của z và  là một acgumen của z
Ta có : a= r .cos  , b = r.sin. Viết lại : z = r.(cos +i.sin)
+ Cho số phức z =a+bi : dạng đại số
z= r.(cos +i.sin) : dạng lượng giác
Nếu r và  tương ứng là môn đun và arumen của số phức z thì :
Số phức
Gv: Cao Đức Đệ

6
y

a

b

r

x

M

O



2 2
r a b
a
cos
r
b
sin
r


 



 



 



Ví dụ1: a)Viết z = 1+ i dưới dạng lượng giác
b) Viết số phức : 1i
3
;
3
i dưới dạng lượng giác .
c) Tìm mô đun và acgumen của các số phưc sau : 1+i.
3
;
3
i ;
3
+3i
Chú ý: Cho z = r.(cos +i.sin) , z ≠ 0. Dạng lượng giác của các số phức :

1
z
=
1
r
[cos() +i.sin()]
 z = r [cos +i.sin] = r [cos(+) +i.sin(+) ]


z
= r [cos  i.sin  ]= r [cos() +i.sin()]
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :
a) Mô đun và argumen của hai số phức bằng nhau :
Giả sử z
1
= r
1
( cos 
1
+i.sin 
1
) , z
2
= r
1
(cos 
2
+i.sin 
2
)
z
1
= z
2
<=>
1 2
1 2
r r

k2



    


b) Nhân và chia :  Tích của hai số phức dạng lượng giác :
Giả sử z
1
= r
1
( cos 
1
+i.sin 
1
) , z
2
= r
1
(cos 
2
+i.sin 
2
)
Khi đó z
1
.z
2
= r

1
.r
2
[cos(
1
+
2
)+i.sin( 
1
+
2
)]
Ví dụ : cho z
1
=
2
cos i.sin
3 3
 
 

 
 
và z
2
=
2
cos i.sin
4 4
 

 

 
 
. Tính z
1
.z
2

=?
 Nghòch đảo và thương của hai số phức dưới dạng lượng giác :
+ Cho số phức : z = r.(cos +i.sin) thì
1
z
=
1
r
[cos() +i.sin()]
+ Giả sử z
1
= r
1
( cos 
1
+i.sin 
1
) , z
2
= r
1

(cos 
2
+i.sin 
2
)
1
2
z
z
=
1
2
r
r
[cos(
1

2
)+i.sin( 
1

2
)]
Ví dụ : a) Cho z =
1
2
cos i.sin
3 3
 
 

   
  
 
   
   
 
=>
1
z
= ?
Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
7
b) cho z
1
=
6
cos i.sin
6 6
 
 

 
 
; z
2
=
3
cos i.sin
3 3

 
 

 
 
. Tính
1
2
z
z

Bài tập :
1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác :
a) 1+i b) 1i c) 1i d) 1 e) 8i g) 4
2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :
a)
2
cos i.sin
6 6
 
 

 
 
b) 
3
cos i.sin
3 3
 
 


 
 

c) 2
cos i.sin
4 4
 
 
 
 
 
d) ( cos  i.sin )
3. Tìm phần ảo và phần thực của các số phức sau :
a) 2
cos i.sin
6 6
 
 

 
 
b) 4(cos120
0
+i.sin120
0
)
c)
2
(cos 315

0
+i.sin315
0
) d) cos240
0
+i.sin240
0

3. Công thức Moavrơ và ứng dụng
a) Công thức Moavrơ:
 
n
r.(cos +i.sin )
 
= r
n
( cos n+i.sin n ) với mọi n nguyên dương
Đặc biệt : khi r =1 thì (cos +i.sin)
n
= cos n+i.sin n
Ví dụ : Tính (1+i
3
)
15
= ? ; (1+i)
20
= ?
b) Ứng dụng : Tính sin n ; cos n
( cos +i.sin  )
3

= ….
( cos +i.sin  )
3
= ( cos 3+i.sin 3 )
Suy ra : cos 3 = ? ; sin3= ?
c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
+ Với số phức z = r.(cos+ i.sin  ) , r >0 có hai căn bậc hai là :

r
cos i.sin
2 2
 
 

 
 
và 
r
cos i.sin
2 2
 
 

 
 
=
r
cos( ) i.sin( )
2 2
 

 
    
 
 

Bài tập :
4. a) Cho z = 1+
3
i. Tìm dạng lượng giác của các số phức :
z
; z ;
1
z

b) Cho z =
3
i .Tìm dạng lượng giác của các số phức :
z
; z ;
1
z
; z
2

5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :
Số phức
Gv: Cao Đức Đệ
8
a) 1i.
3

b) (1i.
3
)(1+i) c) 3i(
3
i) d) 1+
3
i
e) 1i.tan
5

f) tan
5
8

+ i g) 1 cos  i.sin 
6. a) Sử dụng công thức Moavrơ để tính sin 4 và cos4 theo sin  và
cos
b)Tính (1+cos +i.sin)
n

7. Tính : a)


6
3 i

; b)
2004
i
1 i

 
 

 
c (1+i)
25
d)
24
3 i
1
2
 


 
 
 

e)


20
3 i
 g) Cho z= 
1
(1 i 3)
2
 , Tìm n để z
n
là số thực

8. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z
trong các trường hợp sau :
a)
z
=3 và acgumen của iz là
5
4


b)
z
=
1
3
và một acgumen của
z
1 i

là 
3
4


9. a) Dùng khai triển (1+i)
19
. Tính
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
C C C C C
    

b) Tính tổng : 1
2 4 6
n n n
C C C
 
+… =? ;
1 3 5 7
n n n n
C C C C
  
+…. =?
c) Chứng minh rằng :1+
4 8 12
n n n
C C C
  + …. =
n
n 1
2
1 n
2 2 cos
2 4

 


 
 
 

d) Chứng minh rằng :
1
n
C
+
5 9 13
n n n
C C C
  + …. =
n
n 1
2
1 n
2 2 sin
2 4

 


 
 
 

10. Giải các phương trình :
a) z
2
3z +3+i= 0 b) z
2
(cos  +i.sin ) z +i.sin  cos =0
c)

z
z =1+2i d)
z
+z =2+i
e) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng
4
11. a) Nếu z +
1
z
=2cos  . CM rằng :
m
m
1
z
z
 =2cos m
Soỏ phửực
Gv: Cao ẹửực ẹeọ
9
b) CMR :
n
1 i.tan
1 i.tan





=
1 i.tan(n )

1 i.tan(n )



c) Giaỷi heọ pt :
(3 i)x (4 2i)y 2 6i
(4 2i)x (2 3i)y 5 4i