tóm tắt luận án phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o

DƯƠNG NGỌC HẢO

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ
CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01


TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT



Hà Nội - 2015


Luận án được thực hiện tại Viện cơ học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh


Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Viện họp tại Viện Cơ học, 264 Đội Cấn – Ba Đình – Hà Nội.
Vào hồi giờ phút ngày tháng năm 2015

Có thể tìm luận án tại
- thư viện Quốc Gia Việt Nam
- thư viện Viện Cơ học.

1
MỞ ĐẦU
Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất trong thiết kế các hệ kỹ
thuật hoặc kết cấu là phải đánh giá được độ an toàn. Thường thì nhiệm vụ
này rất phức tạp vì có rất nhiều yếu tố có thể có ảnh hưởng đáng kể đến
hệ kỹ thuật hoặc kết cấu mà ta khó định nghĩa nó rõ ràng. Các yếu tố này
có thể gây ra các đáp ứng có tính chất thay đổi bất thường làm cho công
trình nhanh xuống cấp, hư hỏng, thậm chí bị phá hủy đột ngột.
Có rất nhiều hệ kỹ thuật/kết cấu chịu các tác động ngẫu nhiên như
vậy, chẳng hạn như các kết cấu trên biển chịu tác động của gió và các đợt
sóng ngẫu nhiên, các phương tiện giao thông chịu tác động ngẫu nhiên
gây ra bởi mặt đường không bằng phẳng,… Trong thực tế không có hệ
thống nào thực sự là hệ tuyến tính. Các hệ phi tuyến chịu tác động của tổ
hợp các kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên có thể xảy ra các hiện tượng
phức tạp như các hiện tượng nhảy, rẽ nhánh, và hỗn độn. Do đó để hiểu
rõ ứng xử của hệ phi tuyến và thiết kế các hệ phi tuyến, phân tích đáp
ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên, và các hệ chịu đồng thời cả lực tuần
hoàn và ngẫu nhiên rất quan trọng trong động học kết cấu. Đặc tính xác
suất của đáp ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên có thể được xác định
qua hàm mật độ xác suất, hay các mô men đồng thời, hoặc qua các bán

bất biến. Tuy nhiên, rất khó để xác định chính xác hàm mật độ xác suất
và sự tiến triển theo thời gian của một hàm mật độ xác suất phụ thuộc vào
thời gian của đáp ứng ngoại trừ lớp nhỏ các trường hợp hệ phi tuyến
(Socha, 2008; Narayanan và Kumar, 2012).
Trong các nghiên cứu giải tích, các nghiên cứu dựa vào phương trình
Fokker-Planck (FP) thường gặp khó khăn do phương trình FP ứng với hệ
dao động không có lời giải giải tích, trừ một số trường hợp riêng. Do đó
các phương pháp/ kỹ thuật phát triển trong các nghiên cứu thường chỉ
giải quyết được một lớp bài toán dao động cụ thể. Luận án cũng tập trung
vào điểm mấu chốt này để đề xuất kỹ thuật phân tích cho lớp rộng hơn
các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn.
Trong luận án này, tác giả đề xuất một kỹ thuật mới kết hợp hai
phương pháp kinh điển là phương pháp trung bình ngẫu nhiên và phương
pháp tuyến tính hoá ngẫu nhiên để nghiên cứu hệ dao động phi tuyến yếu
chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu. Ý tưởng chính của phương
pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu
trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số
dịch chuyển phi tuyến ứng với các phương trình trung bình bằng cách sử
2
dụng phương pháp tuyến tính hoá tương đương (Kazakov, 1954) và
phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông Anh, 1986).
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Luận án nghiên cứu đặc trưng xác suất của đáp ứng của hệ dao động
phi tuyến yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu
nhiên yếu trong miền cộng hưởng chính, được mô tả bởi phương trình vi
phân ngẫu nhiên cấp hai có dạng
(
)
(
)

2
,,,
xxfxxtt
wenesx
+=+
&&&
(0.1)
với w và v là các hằng số có quan hệ
22
wne
-=D
, D là tham số lệch tần,
s
là tham số dương,
e
là tham số bé, f là hàm phi tuyến, được giả thiết là
hàm tuần hoàn theo thời gian t và là một đa thức theo x và
x
&
, và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị
Cấu trúc luận án:
Chương 1. Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích hệ
dao động phi tuyến chịu kích động bởi lực ngẫu nhiên và lực tuần hoàn.
Chương 2. Trình bày sơ lược về giải tích ngẫu nhiên liên quan đến
luận án và các phương pháp và kỹ thuật chính trong lý thuyết dao động

phi tuyến.
Chương này cũng trình bày hai kết quả mới của luận án, đó là dựa
vào phương pháp hàm bổ trợ để đưa ra cách giải cho phương trình FP với
các hệ số dịch chuyển là các hàm tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng số
viết cho hàm mật độ xác suất dừng ứng với hệ hai phương trình tuyến
tính chịu kích động ồn trắng, từ đó đề xuất giải xấp xỉ phương trình FP
với các hệ số dịch chuyển là các hàm phi tuyến và hệ số khuếch tán hằng
số bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương.
Chương 3. Chương này đề xuất kỹ thuật phân tích dao động trong hệ
phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động phi tuyến kinh
điển chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên như: Hệ Van der Pol (đại
diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến), hệ Duffing (đại diện
cho các hệ dao động có độ cứng phi tuyến), hệ Van der Pol – Duffing
(đại diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến và độ cứng phi
tuyến), hệ Mathieu – Duffing (đại diện cho các hệ dao động phi tuyến
chịu kích động thông số).
Kết quả phân tích cho thấy ta có thể tìm được trung bình theo xác
suất đáp ứng của hệ, cùng với phân phối xác suất của nó tại một thời
3
điểm nào đó, và ta cũng có thể tính được các đặc trưng xác suất khác của
đáp ứng như giá trị trung bình bình phương, hàm mật độ xác suất đồng
thời theo các biến trạng thái.
Chương 4. Áp dụng kỹ thuật đề xuất trong chương 3 để phân tích
đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing chịu kích động
tuần hoàn và ngẫu nhiên. Đây là kết quả mới, cho thấy tiềm năng áp dụng
của kỹ thuật được phát triển trong luận án trong phân tích hệ dao động
phi tuyến.
Kết luận và kiến nghị: Trình kết quả nghiên cứu chính và hướng
phát triển tiếp theo của luận án.
* Các công trình đã công bố liên quan đến luận án:

Bài báo đăng trên tạp chí quốc tế SCI: 01
Bài báo đăng trên tạp chí trong nước: 02
Bài báo báo cáo tại hội nghị khoa học chuyên ngành: 02
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu
Vào giữa những năm 1950, các kỹ sư đã phát hiện ra rằng các tấm ở
phần thân máy bay gần động cơ dao động ở mức cao do kích động âm
thanh từ khí thải máy bay phản lực, khiến các vết nứt do mỏi kim loại có
thể phát triển và lây lan nhanh chóng (Clarkson và Mead, 1973). Dạng
kích động và đáp ứng này không chỉ là không tuần hoàn, không theo qui
luật, mà nó còn không có tính lặp lại, như hai thí nghiệm kế tiếp thực
hiện theo các điều kiện giống hệt nhau nhưng lại cho hai kết quả hoàn
toàn khác nhau, mặc dù về “trung bình” thì chúng có thể trùng nhau. Rõ
ràng không thể giải quyết một vấn đề như vậy trên cơ sở lý thuyết tất
định truyền thống. Do vậy, phương pháp xác suất đã được đề cập đến,
trong đó kích thích và đáp ứng được mô tả theo các thông số thống kê.
Thực tế đã chứng tỏ việc tiếp cận theo hướng xác suất là hiệu quả hơn
nhiều so với lý thuyết tất định (Roberts và Spanos, 1999).
1.2. Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến
Trong mục này, tác giả điểm qua một số phương pháp đã được phát
triển trong thời gian vừa qua, gần với hướng tiếp cận của luận án, cho hệ
dao động một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss có dạng như sau
(
)
(
)
2
,,
xxfxxtt
wenesx

+=+
&&&
(1.1)
4
với
w
là tần số tự nhiên,
s
là hằng số,
(
)
t
x
là ồn trắng Gauss có cường
độ đơn vị và hàm tương quan
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
REtt
x
txxtdt
=+=
, trong đó

(
)
dt
là hàm Dirac delta, và ký hiệu
(
)
.
E
là toán tử kỳ vọng toán học, f
là hàm bất kỳ.
1.3. Hệ dao động chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên
Trong hơn 50 năm nghiên cứu hệ dao động chịu cả hai loại kích động
tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên, nhiều phương pháp và kỹ thuật đã
được phát triển để nghiên cứu hệ dạng này. Tuy nhiên, các phương
pháp/kỹ thuật được phát triển thường chỉ giải tốt cho một lớp phương
trình dao động và phụ thuộc nhiều vào lớp phương trình FP giải được. Do
vậy, các phương pháp vẫn cần tiếp tục được phát triển cho các hệ phi
tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên.
1.4. Mục tiêu của luận án
Luận án nghiên cứu và phát triển một kỹ thuật mới kết hợp hai
phương pháp nổi tiếng là phương pháp trung bình và phương pháp tuyến
tính hóa để nghiên cứu hệ dao động một bậc tự do phi tuyến yếu chịu
kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu trong miền cộng hưởng chính với
mục tiêu:
- Xây dựng được kỹ thuật tính toán và các biểu thức giải tích cho các
đặc trưng xác suất của đáp ứng.
- Đánh giá được các ứng xử xác suất của đáp ứng của hệ dao động phi
tuyến đang xét.
- Trên cơ sở kết quả thu được từ các biểu thức giải tích, so sánh với kết
quả mô phỏng số, khảo sát được ảnh hưởng của các tham số hệ lên

đáp ứng.
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên
Mục này trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, quá
trình ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên mà tác giả có sử
dụng trong luận án này (Stratonovich ,1967; Arnold, 1974; Lutes và
Sarkani, 2004; Oksendal, 2000).
5
2.2. Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên
2.2.1. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ và pha
Mục này trình bày phương pháp trung bình ngẫu nhiên với phép biến
đổi
(
)
(
)
cos;sin;
xtaxtat
jwjjwq
==-=+
&
, (2.76)
tọa độ trạng thái
(
)
,
xx
&
sẽ được chuyển thành cặp tọa độ
(

)
,
a
q
.
2.2.2. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong hệ tọa độ Đề-
các
Xét chuyển động một bậc tự do được cho bởi phương trình vi phân
ngẫu nhiên có dạng như sau
(
)
(
)
2
,,,
xxfxxtt
nenesx
+=+
&&&
(2.87)
với
n
và
s
là các số dương,
e
là tham số bé, f là hàm phi tuyến, được
giả thiết là hàm tuần hoàn theo thời gian
t
và là một đa thức theo x và

x
&
,
và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị. Ta tìm
nghiệm của phương trình (2.87) dưới dạng
1212
cossin,sincos,,
xaaxaat
jjnjnjjn
=+=-+=
&
(2.88)
trong đó
1
a
và
2
a
là các quá trình ngẫu nhiên biến đổi chậm.
Phương trình (2.87) được viết lại dưới dạng hệ phương trình vi phân
Ito theo x và
x
&
như sau
(

)
(
)
2
,,,,
dxxdtdxxfxxtdtdWt
nenes
éù
==-++
ëû
&&&
(2.90)
trong đó
(
)
Wt
là quá trình Wiener đơn vị. Áp dụng qui tắc đạo hàm
ngẫu nhiên Ito (2.57) cho hệ (2.89) ta được (Manohar và Iyengar, 1991)
( ) ( ) ()
( ) ()
1112
2212
,,sin,
,,cos,
daKaadtdWt
daKaadtdWt
es
ejj
n
es

ejj
n
=+-
=+
%
%
(2.91)
trong đó
( ) ( )
112212
sincos
,,,,,,,
KaafKaaf
jj
jeje
nn
=-=
%%
, (2.92)
(
)
1212
cossin,sincos,
ffaaaat
jjnjnj
=+-+ . (2.93)
6
S dng phng phỏp trung bỡnh ngu nhiờn, h (2.91) c n
gin húa thnh
() ()

111222
,,
22
aKtaKt
eses
exex
nn
=+=+
%%
&&
(2.94)
trong ú
(
)
1
t
x
v
(
)
2
t
x
l cỏc quỏ trỡnh n trng Gauss c lp, v
12
11
sin,cos.
KfKf
jj
nn

=-=
%%
(2.95)
Phng trỡnh FP, c vit cho hm mt xỏc sut dng
(
)
12
,
paa

tng ng vi h (2.94), cú dng
( ) ( )
222
12
222
1212
4
pp
KpKp
aaaa
s
n
ộự
ảảảả
+=+
ờỳ
ảảảả
ởỷ
%%
. (2.96)

Cho n nay, nghim chớnh xỏc ca phng trỡnh FP (2.96) ch tỡm
c trong mt s rt hu hn cỏc bi toỏn, ú l lp cỏc phng trỡnh FP
tha iu kin th nng (Stratonovich, 1967; Socha, 2008)
12
21
KK
aa
ảả
=
ảả
%%
. (2.97)
Nu phng trỡnh (2.96) cú dng
( ) ( )
222
1112121222
222
1212
4
pp
aapaap
aaaa
s
ablabl
n
ộự
ảảảả
ộ++ự+ộ++ự=+
ờỳ
ởỷởỷ

ảảảả
ởỷ
(2.98)
thỡ vi cỏc h s dch chuyn tuyn tớnh bt k, ta cng khụng th ch ra
li gii cho phng trỡnh (2.98) ny vỡ nú khụng tho iu kin th nng
(2.97). Tuy nhiờn, li gii ca nú cú th c xỏc nh bng phng phỏp
hm b tr c xut bi Nguyn ụng Anh (1986).
Tng quỏt, t phộp bin i (2.88), cỏc h s dch chuyn
1
K
%
,
2
K
%
trong (2.94) s cú dng a thc theo
1
a
v
2
a
, tc l ta cú:

( ) ( )
1122
1121221212
0000
11
,sin,,cos.
nmnm

ijij
ijij
ijij
KaafraaKaafsaa
jj
nn
====
=-===
ồồồồ
%%
(2.99)
Do ú, phng trỡnh FP (2.96) s cú dng:
1122
222
1212
222
0000
1212
.
4
nmnm
ijij
ijij
ijij
pp
raapsaap
aaaa
s
n
====

ộựộự
ổửổử
ộự
ảảảả
+=+
ờỳờỳ
ỗữỗữ
ờỳ
ảảảả
ờỳờỳ
ởỷ
ốứốứ
ởỷởỷ
ồồồồ
(2.100)
7
Dng (2.99) l a thc theo cỏc bin
1
a
v
2
a
nờn rt thun li cho
vic ỏp dng phng phỏp tuyn tớnh húa tng ng. iu ny khin
tỏc gi ny sinh ý tng gii xp x phng trỡnh FP (2.96) vi cỏc h s
dch chuyn phi tuyn bng phng phỏp tuyn tớnh húa tng ng
ngu nhiờn, ngha l xp x phng trỡnh (2.100) bi phng trỡnh (2.98).
2.2.3. Phng phỏp hm b tr v li gii phng trỡnh FP
2.2.3.1. Phng phỏp hm b tr
Xột phng trỡnh FP trung bỡnh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
222
12111222
22
1
20
2
GpGpGpGpGp
aaa
qqq
ộự
ảảảảả
+-++=
ờỳ
ảảảảảả
ởỷ
(2.101)
trong ú
i
G
,
jl
G
l cỏc hm theo hai bin a,
q
. Theo phng phỏp hm
b tr, tớch phõn c phng trỡnh ny, ta a vo mt hm ph
(
)
,

ua
q
cú o hm n cp hai v t
221112
1
122212
2
22
112212
11
222
11
11
222
,
44
GGuG
MG
a
GGuG
uG
aa
GGGu
qq
q
ỡ
ảảả
ổử
=-+-+
ớ

ỗữ
ảảả
ốứ
ợ
ỹ
ảảả
ổửổử
+
ý
ỗữỗữ
ổử
ảảả
ốứốứ
ỵ
-+
ỗữ
ốứ
(2.107)
112212
2
121112
1
22
112212
11
222
11
11
222
.

44
GGuG
NG
aa
GGuG
uG
a
GGGu
q
qq
ỡ
ảảả
ổử
=
ớ
ỗữ
ảảả
ốứ
ợ
ỹ
ảảả
ổửổử
-+-+-
ý
ỗữỗữ
ổử
ảảả
ốứốứ
ỵ
-+

ỗữ
ốứ

Phng trỡnh tỡm hm
(
)
,
ua
q
:
,,,,,,,,
uuuu
MauNau
aaa
qq
qqq
ảảảảảả
ổửổử
=
ỗữỗữ
ảảảảảả
ốứốứ
. (2.108)
Sau khi tỡm c hm
(
)
,
ua
q
, ta tỡm c hm mt xỏc sut

dng t (2.104), (2.106) bng phộp cu phng
( )
,exp,,,,,,,,
uuuu
paCMaudaNaud
aa
qqqq
qq
ỡỹ
ảảảả
ổửổử
=+
ớý
ỗữỗữ
ảảảả
ốứốứ
ợỵ
ũũ
(2.109)
vi C l hng s chun húa.
8
2.2.3.2. Nghiệm của phương trình FP với các hệ số dịch chuyển tuyến
tính
Xét phương trình FP cho hàm mật độ xác suất dừng
(
)
12
,
paa
:

( ) ( )
222
1112121222
222
1212
4
pp
aapaap
aaaa
s
ablabl
n
éù
¶¶¶¶
é++ù+é++ù=+
êú
ëûëû
¶¶¶¶
ëû
(2.110)
Theo phương pháp hàm bổ trợ, ta tính được nghiệm của (2.110):
{
}
22
1211223124152
(,)exp
paaCaaaaaa
ttttt
= +++ , (2.117)
với

(
)
( ) ( )
( ) ( )
2
12
1112221
22
2
2112
2
,
nab
taabaab
sabab
+
éù
=-++-
ëû
éù
-++
ëû

(
)
( ) ( )
( ) ( )
2
12
2122211

22
2
2112
2
,
nab
tabbabb
sabab
+
=-é++-+ù
ëû
éù
-++
ëû

(
)
( ) ( )
( )
2
12
31122
22
2
2112
4
,
nab
tabab
sabab

+
=+
éù
-++
ëû

(
)
( ) ( )
( ) ( )
2
12
4112221
22
2
2112
4
,
nab
tlablab
sabab
+
=é++-ù
ëû
éù
-++
ëû

(
)

( ) ( )
( ) ( )
2
12
5121212
22
2
2112
4
.
nab
tlablab
sabab
+
=é-+++ù
ëû
éù
-++
ëû
(2.118)
2.2.3.3. Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP
Xét phương trình FP trung bình ở dạng như sau
( ) ( )
222
12
222
1212
4
pp
pp

aaaa
s
n
éù
¶¶¶¶
G+G=+
êú
¶¶¶¶
ëû
. (2.141)
trong đó
1
G
,
2
G
là các hàm phi tuyến theo các biến
1
a
và
2
a
.
Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các hàm phi tuyến
1
G
và
2
G
trong (2.141) được thay thế bằng các hàm tuyến tính

,1,2
i
Hi=
có dạng
(
)
(
)
1121112121221222
,,,.
HaaaaHaaaa
ablabl
=++=++ (2.142)
9
Khi đó, theo phương pháp hàm bổ trợ, phương trình FP (2.141) đã
được tuyến tính hóa sẽ có nghiệm cho bởi các công thức (2.117) và
(2.118).
Để xác định các hệ số tuyến tính hoá, luận án sử dụng tiêu chuẩn sai
số bình phương bé nhất (Kazakov, 1954; Caughey, 1959) và tính chất
1
a

và
2
a
tuân theo phân phối Gauss, tính chất sau của véc tơ ngẫu nhiên
Gauss
(
)
12

,
Xaa
=
r

(
)
(
)
(
)
(
)
121
,
i
nnn
iiiai
EaEaEanEa
s
+-
=+ (2.148)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
12121212
12
11
1212112212
,1,2
ii
nnnnnnnn
iiaaaa
EaaaEaEaankEaankEaai

=++=
với
2
i
a
s
là phương sai của
i
a
,
ij
aa
k
là hiệp phương sai của
i
a
và
j

a
, và n,
1
n
và
2
0,1,2,
n =
và
[ ]
2435
1
2
123
2
,
4
Ea
tttt
ttt
+
=
-
[ ]
1534
2
2
123
2
,

4
Ea
tttt
ttt
+
=
-
1
2
2
2
123
2
,
4
a
t
s
ttt
=
-

2
2
1
2
123
2
,
4

a
t
s
ttt
=
-

12
3
2
123
4
aa
k
t
ttt
=
-
. (2.150)
2.2.4. Phương pháp mô phỏng số
Cho đến nay, mô phỏng Monte-Carlo gần như là công cụ duy nhất để
đánh giá độ chính xác của nghiệm ngẫu nhiên tìm được bằng các phương
pháp giải tích gần đúng (Robert và Spanos, 1999, tr. 361). Luận án sử
dụng simulink của Matlab để tính toán mô phỏng Monte-Carlo cho đáp
ứng dừng với 10,000 đường mẫu và tính trong chu kỳ cuối (coi như trạng
thái đáp ứng dừng trong khoảng thời gian này) của đáp ứng trong khoảng
thời gian 300 giây, bước thời gian 0.05. Khi mô phỏng hàm mật độ xác
suất, luận án tính với 100,000 đường mẫu.
2.3. Kết luận chương 2
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu

nhiên và các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên có liên
quan đến việc phát triển phương pháp luận nghiên cứu hệ dao động phi
tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn trong luận án. Lời giải
tổng quát cho phương trình FP hai biến với các hệ số dịch chuyển tuyến
tính và hệ số khuếch tán hằng, và đề xuất sử dụng phương pháp tuyến
tính hoá ngẫu nhiên trong giải phương trình FP với các hệ số dịch chuyển
phi tuyến là các kết quả mới của luận án.
10
CHNG 3: PHN TCH DAO NG TRONG H PHI TUYN
CHU KCH NG NGU NHIấN V TUN HON
Trong chng ny, lun ỏn xut mt k thut kt hp cỏc phng
phỏp ó nờu trong chng 2, phõn tớch h dao ng phi tuyn chu
ng thi kớch ng tun hon v ngu nhiờn bao gm cỏc bc sau:
Bc 1: p dng phng phỏp trung bỡnh ngu nhiờn trong ta
-cỏc
(
)
12
,
aa
cho h dao ng dng (0.1).
Bc 2: Lp phng trỡnh FP dng (2.96) cho hm mt xỏc sut
dng theo cỏc bin ta -cỏc cho cỏc phng trỡnh trung bỡnh (2.94).
Bc 3: S dng phng phỏp tuyn tớnh húa ngu nhiờn cho cỏc h
s dch chuyn ca h trung bỡnh húa bng tiờu chun bỡnh phng sai s
bộ nht, v ỏp dng phng phỏp hm b tr gii phng trỡnh FP cú
cỏc h s dch chuyn tuyn tớnh nh ó trỡnh by trong mc 2.2.3.3.
Bc 4: Kt qu thu c l xp x ca hm mt dng theo cỏc
bin ta -cỏc. Cỏc phõn tớch ỏp ng theo bin ỏp ng ca h c
tớnh t hm mt ny.

C th, hm mt xỏc sut ng thi ca x v
x
&
:


. (3.2)
Hm mt ca x:
( ) ( )
,,,.
pxtpxxtdx
+Ơ
-Ơ
=
ũ
&&
(3.3)
Trung bỡnh bỡnh phng ỏp ng:
(
)
(
)
(
)
(
)
22222
1212
cossinsin2
ExtEatEatEaat

nnn
ộự
=++
ởỷ
. (3.4)
Trung bỡnh theo thi gian ca trung bỡnh bỡnh phng ỏp ng:
(3.6)
trong ú c cho bi (2.118).
22
12
(,,)expcossinsincos
Cxx
pxxtxttxtt
tnntnn
nnn
ỡ
ù
ổửổử
= ++
ớ
ỗữỗữ
ốứốứ
ù
ợ
&&
&
34
cossinsincoscossin
xxx
xttxttxtt

tnnnntnn
nnn
ổửổửổử
+-++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
&&&
5
sincos
x
xtt
tnn
n
ỹ
ổử
++
ý
ỗữ
ốứ
ỵ
&
()
(
)
(
)
( )
22
243515342
12

2
2
2
123
123
22
,
4
24
Ext
tttttttt
tt
ttt
ttt
+++
+
ộự
=+
ởỷ
-
-
,1,5
i
i
t
=
11
3.1. Hệ dao động Van der Pol
Phương trình dao động của hệ Van der Pol chịu kích động tuần hoàn
và ngẫu nhiên có dạng như sau:

(3.7)
trong đó
a
,
b
,
w
, Q,
n
,
s
là các tham số dương,
e
là tham số bé, và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ 1. Giả sử hai tham số
w
và
n
có quan hệ:
22
wne
-=D
.
3.1.1. Tính toán lý thuyết
Theo phương pháp trung bình ngẫu nhiên ta tính được các hệ số dịch
chuyển của hệ trung bình hóa (2.94) là

( )
( )
( )
( )
32
11212112
23
21212122
11
,,
228
11
,.
2282
Kaaaaaaa
Q
Kaaaaaaa
b
a
n
b
a
nn
=+D-+
=-D+-++
%
%
(3.10)
Tuyến tính hoá phần phi tuyến trong (3.10) bởi các hàm tuyến tính
11223

iii
aa
hhh
++
, ta được các hệ số tuyến tính hóa:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12
12
1212
2222
1112
22
121213112
2222
21122212
3,
8
,,
44
,3,

48
aa
aa
aaaa
EaEa
EaEakEaEaEa
EaEakEaEa
b
hss
bb
hh
bb
hhss
éù
=-+++
ëû
=-+=+
éù
=-+=-+++
ëû

( ) ( ) ( )
( )
22
23212
.
4
EaEaEa
b
h

=+
(3.16)
Chẳng hạn, với phương trình dao động Van der Pol
, (3.17)
ta có
e
=0.1,
a
=
b
=Q=
s
=
w
=1,v=1.02 . Giải hệ phương trình xác định
hệ số tuyến tính hoá ta được (Phụ lục A)
(3.18)
Thay (3.18) vào các công thức (2.117) và (2.118) ta được hàm mật độ
xác suất dừng theo
1
a
và
2
a
là
(
)
(
)
22

12121212
,exp1.840.91851.21167.10453.8426
paaCaaaaaa
= +-+ , (3.19)
trong đó C là hằng số chuẩn hoá.
(
)
(
)
22
cos,
xxxxQtt
eabwenesx
+=+
&&&
(
)
(
)
(
)
2
0.110.1cos1.020.1
xxxxtt
x
+=+
&&&
(
)
(

)
111213212223
,,,,,1.2973, 0.3573,1.4313, 0.3573,1.028
4, 0.9432
hhhhhh
»
12
e

2
mc
x
2
xx
x
Sai số (%)

0.05 2.4378 2.0917 14.19
0.10 2.5806 2.6528 2.80
0.20 2.6745 2.7219 1.77
0.30 2.7106 2.7343 0.88

n

2
mc
x
2
xx
x

Sai số (%)

0.98 2.3599 2.3555 0.19
0.99 2.5563 2.6650 4.25
1.00 2.6332 2.7500 4.44
1.01 2.5820 2.6528 2.74
1.02 2.4008 2.3260 3.12

3.1.2. Kết quả và thảo luận
Trong các bảng 3.1.1-3.1.4, mô phỏng số trung bình theo thời gian
của trung bình bình phương đáp ứng, ký hiệu là
2
mc
x , được tính bằng
phương pháp Monte-Carlo. Trung bình theo thời gian của trung bình bình
phương đáp ứng tính bằng kỹ thuật được đề xuất, ký hiệu là
2
xx
x , được
tính theo công thức (3.6).
Bảng 3.1.1. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá trị
xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình
phương đáp ứng
theo tham số
e
(
abw
==

2
1
Q
s
===
, ).
Có thể thấy từ Bảng 3.1.1 là khi tăng tham số
e
, tham số đặc trưng
cho tính nhỏ của tính phi tuyến và kích động, sai số giữa kỹ thuật được đề
xuất và mô phỏng Monte-carlo giảm từ 14.19% xuống 0.88%. Khi
phần trăm sai số khá lớn, khoảng 14.19%. Điều này xảy ra có
thể do lý do sau đây. Vì hệ (3.7) chịu kích động ồn trắng nên thành phần
cản không thể bỏ qua, nếu không thì hệ sẽ có các ứng xử bất ổn định. Khi
e
rất nhỏ, nghĩa là thành phần cản cũng sẽ rất nhỏ, hệ sẽ dao động rất
mạnh và điều này làm cho các phương pháp xấp xỉ cho hệ phi tuyến khó
có thể cho được dự báo tốt. Do đó, trong trường hợp này, phần trăm sai
số của phương pháp đề xuất ở đây sẽ lớn. Trường hợp tính toán với tham
số
e
không nhỏ quá có thể được tìm thấy trong các nghiên cứu của Haiwu
và cs. (2001), Manohar và Iyengar (1991).
Bảng 3.1.2. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá
trị xấp xỉ của trung bình
theo thời gian của trung
bình bình phương đáp ứng
theo tham số
n

( , ,
,
2
1
s
=
).

(
)
2
Ext
éù
ëû
1.01
n
=
0.05
e
=
(
)
2
Ext
éù
ëû
1,
a
=
1

b
=
1
Q
=
1,
w
=
0.1
e
=
13
Bảng 3.1.4. Sai số giữa kết quả
mô phỏng và các giá trị xấp xỉ
của trung bình theo thời gian
của trung bình bình phương
đáp ứng theo tham
số
2
s
(
1
Q
abw
=====
,
, ).
Bảng 3.1.2 cho thấy trung bình thời gian của trung bình bình phương đáp
ứng đạt giá trị lớn nhất khi tần số kích động tuần hoàn trùng với tần số
riêng của hệ. Hai bảng 3.1.1 và 3.1.2 cho thấy kỹ thuật phân tích trong

luận án này cho dự báo tốt khi tham số
e
không quá nhỏ (trong trường
hợp này ) và tần số v của kích động tuần hoàn được lấy gần với
tần số tự nhiên
w
của hệ. Bảng 3.1.4 cho thấy, sai số của phương pháp
phân tích tăng khi cường độ ồn
2
s
tăng. Tuy nhiên, với các giá trị
2
s

nhỏ thì phương pháp phân tích cho dự báo khá tốt.
Hình 3.1.2. Đồ thị trung bình
theo thời gian của trung bình
bình phương đáp ứng theo
tham số Q so sánh với kết quả
mô phỏng số ( , ,

2
1
s
=
, ,
).


a. Kết quả giải tích

b. Kết quả mô phỏng
Hình 3.1.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất của hệ dao động Van
der Pol tại thời điểm t=294s (
a
=
b
=Q=
s

2
=
w
=1,
e
=0.1,v=1.02).
(
)
2
Ext
éù
ëû
0.2
e
=
1.02
n
=
0.1
e

³
1
a
=
1
b
=
1,
w
=
0.1
e
=
1.01
n
=
(
)
,
pxx
&
2
s

2
mc
x
2
xx
x

Sai số (%)
0.1

2.6595 2.7318 2.72
0.5

2.6204 2.6982 2.97
1.0

2.5860 2.6472 2.37
2.0

2.6146 2.5231 3.50
3.0

2.7194 2.3780 12.55
14

Hình 3.1.4. Đồ thị của hàm mật
độ xác suất của dịch chuyển x
theo các thời gian khác nhau (s)
( , , ,
2
1
s
=
,
, , ).

Hình 3.1.5. Đồ thị của hàm mật

độ xác suất của dịch chuyển x tại
thời điểm s ( ,
, ,
2
1
s
=
, ,
, ).
Trong Hình 3.1.2, đường cong theo Q được vẽ và được so
sánh với kết quả mô phỏng Monte-Carlo. Kết quả cho thấy các giá trị
rất gần với kết quả mô phỏng số.
Đồ thị hàm mật độ xác suất của đáp ứng x được tính theo công thức
(3.3) và được vẽ tại một số thời điểm t=294, 294.5, 295 (s) trong Hình
3.1.4. Hình 3.1.3 và Hình 3.1.5 cho thấy kết quả phân tích bằng phương
pháp giải tích khá phù hợp với các kết quả mô phỏng.
3.1.3. So sánh với phương pháp phi tuyến tương đương
Bảng 3.1.5. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung
bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng theo
kỹ thuật của luận án và phương pháp phi tuyến tương đương theo tham
số
2
s
( , , , , , ).

2
mc
x
2
pt

x

Sai số
pt
(%)

2
xx
x

Sai số(%)
0.1 2.6595 2.7077 1.81 2.7318

2.72
0.5 2.6204 2.7211 3.84 2.6982

2.97
1.0 2.5860 2.7026 4.51 2.6472

2.37
2.0 2.6146 2.6872 2.78 2.5231

3.50
3.0 2.7194 2.7326 0.49 2.3780

12.55
1
a
=
1

b
=
1
Q
=
1
w
=
0.1
e
=
1.02
n
=
294
t
=
1
a
=
1
b
=
1
Q
=
1
w
=
0.1

e
=
1.02
n
=
(
)
2
Ex
(
)
2
Ex
(
)
2
Ext
éù
ëû
1
a
=
1
b
=
1
Q
=
1
w

=
0.2
e
=
1.02
n
=
2
s
15
Có thể thấy là sai số của kỹ thuật phân tích trong luận án cho kết quả
có kém đi so với phương pháp phi tuyến tương đương khi cường độ
nhiễu tăng lên. Tuy nhiên, khi các tham số ở mức độ “nhỏ vừa phải” thì
kết quả giữa hai phương pháp gần đúng không chênh nhau mấy. Tuy
nhiên, phương pháp phi tuyến tương đương rất khó, thậm chí là không
thể, áp dụng cho các hệ phi tuyến khác (chẳng hạn, với hệ Duffing), điều
mà ta không gặp với phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Đây
chính là ưu điểm của kỹ thuật phân tích trong luận án. Ưu điểm này còn
được thể hiện qua các áp dụng đối với hệ dao động một bậc tự do có độ
cứng phi tuyến trong các mục 3.2-3.4 và phân tích đáp ứng thứ điều hoà
trong chương 4 (xem chi tiết trong công bố số 1)
3.2. Hệ dao động Duffing
Trong mục này, luận án xét hệ dao động Duffing, là hệ dao động một
bậc tự do với cản tuyến tính và độ cứng phi tuyến bậc 3. Phương trình
chuyển động của hệ có dạng
(3.24)
trong đó
h
,
g

,
w
,
n
, Q,
s
là các hằng số,
e
là tham số bé, và
(
)
t
x
là
quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị,

22
wne
-=D
.
3.2.1. Tính toán lý thuyết
Làm tương tự như phân tích hệ Van der Pol trong mục 3.1 để xác
định hàm mật độ xác suất dừng theo các biến Đề-các.
Ta tính được trung bình của đáp ứng
(
)
xt
như sau
() ( ) ( )
( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
12
22
12
2222
1212
cossin
EaEa
ExtEaEatt
EaEaEaEa
nn
éù
êú
éù=++
ëû
êú
++
ëû


( ) ( ) ( )
22
12
cos,
EaEat
nq
=++
(3.30)

với
(
)
( )
2
1
tan
Ea
Ea
q
=-
. Do đó, trung bình của đáp ứng là một hàm tuần
hoàn theo thời gian với biên độ A xác định bởi
(
)
(
)
222
12
.
AEaEa
=+
(3.31)
3.2.2. Kết quả và thảo luận
Kết quả trong Bảng 3.2.1 cho ta thấy phương pháp được đề nghị cho
kết quả rất tốt, và hệ số phi tuyến tăng làm giảm trung bình theo thời gian
của trung bình bình phương đáp ứng. Trong khi đó, Bảng 3.2.2 cho thấy,
(
)
32

cos,
xhxxxQtt
eegwenesx
+++=+
&&&
16

2
mc
x
2
xx
x
Sai số (%)

0.5

2.0307

2.1001

3.42
1

1.4542

1.5005

3.18
2

0.9872

1.0171

3.03
5

0.5679

0.5865

3.27

g

2
mc
x
2
xx
x
Sai số (%)

0.1

1.4385

1.4720

2.33
1

1.4539

1.5005

3.20
2

1.4802

1.5451

4.38
3

1.5140

1.6066

6.12
4

1.5558

1.6899

8.62

2
s
một cách tổng quát, sai số của phương pháp tăng khi cường độ nhiễu 


tăng. Tuy nhiên với các giá trị 

nhỏ thì phương pháp cho kết quả khá
tốt.
Bảng 3.2.1. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá trị
xấp xỉ của trung bình theo thời
gian của trung bình bình
phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû

theo tham số
g
( , ,
h=2, , ,
).
Bảng 3.2.2. Sai số giữa kết
quả mô phỏng và các giá trị
xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình

phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû

theo tham số 

( ,
, , ,
, ).
Hình 3.2.1 trình bày một số đường mẫu
(
)
xt
và , và so sánh
kết quả tính kỳ vọng toán học của chúng bằng phương pháp giải tích và
phương pháp mô phỏng Monte Carlo. Kết quả so sánh cho thấy kết quả
giải tích khá trùng khớp với kết quả mô phỏng số.

Hình 3.2.1. Kết quả tính toán
(
)
Ext
éù
ëû
và
(

)
2
Ext
éù
ëû
bằng phương pháp giải
tích và so với kết quả mô phỏng số, , , ,
5
Q
=
, .
Màu xanh- quĩ đạo
(
)
xt
và
(
)
2
xt
, màu đen- mô phỏng số, màu đỏ-giải tích.
1
w
=
5
Q
=
2
1
s

=
0.2
e
=
1.01
n
=
1
w
=
5
Q
=
2
h
=
1
g
=
1.01
n
=
0.2
e
=
(
)
2
xt
2

h
=
1
w
=
1.01
n
=
2
1
s
=
17
Hình 3.2.5. Đồ thị đường cong
cộng hưởng của hệ Duffing với
các tham số đầu vào là ,
, , , và
.

Đường cong cộng hưởng của hệ Duffing được vẽ trong Hình 3.2.5,
nó có xu hướng lệch phải và không có tính “đối xứng qua đường xương
sống” như khi phân tích hệ Duffing tất định. Kết quả tính toán hệ dao
động Duffing được trình bày trong công bố số 3.
3.3. Dao động Van der Pol – Duffing
Trong mục này, luận án nghiên cứu phương trình chuyển động của hệ
Van der Pol- Duffing dưới kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên
(3.32)
trong đó
a
,

b
,
g
,
w
, Q,
n
,
s
là các tham số dương,
e
là tham số bé, và
là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị, tham số
w
và
n
có
quan hệ (3.8). Kết quả phân tích được trình bày trong công bố số 2.
3.4. Hệ dao động Mathieu-Duffing
Phương trình dao động Mathieu phi tuyến có dạng sau:
(
)
(
)
23
cos2cos,
xhxtxxQtt
eweanegenesx
++++=+
&&&

(3.38)
trong đó
,,,,,
hQ
wans
là các tham số dương,
e
là tham số dương,
nhỏ, và hàm là quá trình ồn trắng Gauss có cường độ đơn vị.
Phương trình (3.38) còn được gọi là phương trình Mathieu-Duffing
cưỡng bức. Giả sử các tham số
w
và
n
có quan hệ
22
wne
-=D
.
Ramakrishnan và Brian (2012) đã sử dụng phương trình (3.38) khi
nghiên cứu ảnh hưởng của gió, trường lực hấp dẫn và tải khí động học
lên cánh quạt của tua bin gió có trục xoay nằm ngang.
Khi không có thành phần ngẫu nhiên, phương trình (3.38) trở thành
phương trình tất định, và đã được Ramakrishnan và Brian (2012) nghiên
cứu bằng phương pháp nhiều tọa độ. Còn khi không có phần phi tuyến
2
h
=
1
w

=
0.2
e
=
1
g
=
2
1
s
=
3
Q
=
(
)
(
)
232
cos,
xxxxxQtt
eabegwenesx
++=+
&&&
(
)
t
x
(
)

t
x
18



2
mc
x

2
xx
x
Sai số (%)

0.1

0.5354

0.5063

5.44

1

0.6768

0.6533

3.47

3

0.9857

0.9808

0.50

5

1.2847

1.3097

1.95


bậc ba và kích động tuần hoàn ngoài, phương trình (3.38) được
Dimentberg (1976) nghiên cứu bằng phương pháp phương trình FP. Theo
tác giả tìm hiểu, khi phần phi tuyến bậc ba, và các kích động tuần hoàn
và ngẫu nhiên được thêm vào phương trình Mathieu, việc tìm nghiệm của
nó trở thành bài toán rất khó và dường như cho đến thời điểm hiện tại vẫn
chưa có nghiên cứu nào cho lớp các phương trình Mathieu dạng này. Kết
quả phân tích hệ Mathieu-Duffing được trình bày trong công bố số 4.
3.4.1. Tính toán lý thuyết
Tương tự như mục 3.1.1.
3.4.2. Kết quả và thảo luận
Từ Bảng 3.4.1 ta thấy rằng phương pháp giải tích ở đây cho dự báo
tốt khi 


nằm trong khoảng (0.1, 5).
Bảng 3.4.1. Sai số giữa kết quả mô
phỏng và kết quả giải tích của trung
bình theo thời gian của trung bình bình
phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham
số 

thay đổi ( , ,
).


Hình 3.4.1. Kết quả giải tích
(
)
Ext
éù
ëû
được so sánh với các kết
quả số (h=3,
w
=1, v=1.01, Q=3,
, ).

Hình 3.4.2. Kết quả giải tích
(
)
2
Ext
éù
ëû
được so sánh với các
kết quả số, h=3,
w
=1, v=1.01,
, ,



1
w
=
0.1
a
=
3,
Q
=
3,
h
=
0.2,
e

=
1.01,
n
=
0.1
g
=
2
1
s
=
0.1
g
=
3
Q
=
2
1
s
=
0.1
g
=
19
a) Kết quả mô phỏng b) Kết quả giải tích
Hình 3.4.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ Mathieu-
Dufing tại thời điểm ,

g

=0.1.
Hình 3.4.4. Đồ thị hàm mật
độ xác suất của x tại thời
điểm t=294(s) với các tham
số đầu vào

.

Hình 3.4.5. Đồ thị hàm mật
độ xác suất của x tại vài thời
điểm (s) với các tham số


.

Trong Hình 3.4.1 và Hình 3.4.2, kỳ vọng của và được so
sánh với kết quả mô phỏng Monte-Carlo. Có thể thấy là các đường cong
kỳ vọng rất gần với kết quả mô phỏng. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng
thời được phác họa và được so sánh với kết quả mô phỏng trong Hình
3.4.3 trong không gian 3 chiều. Hình 3.4.4 cho thấy kết quả phân tích rất
tương thích với kết quả mô phỏng số. Đồ thị hàm mật độ xác suất
294
ts
=
1,
w
=
0.1,
a
=

3,
Q
=
3,
h
=
0.2,
e
=
1.01,
n
=
1,
w
=
0.1,
a
=
3,
Q
=
3,
h
=
0.2,
e
=
1.01,
n
=

0.1
g
=
1,
w
=
0.1,
a
=
3,
Q
=
3,
h
=
0.2,
e
=
1.01,
n
=
0.1
g
=
(
)
xt
(
)
2

xt
20
(
)
(
)
pxt
của đáp ứng
(
)
xt
và kỳ vọng toán học của nó tại một số thời
điểm cụ thể được cho trong Hình 3.4.5.
3.5. Kết luận chương 3
Đối với từng hệ, tại thời điểm t cho trước, ta có thể tính được:
- Xấp xỉ hàm mật độ đồng thời theo các biến
(
)
xt
và
(
)
xt
&
.
- Xác định được hàm mật độ cho đáp ứng tại thời điểm bất kỳ.
- Các đặc trưng trung bình và trung bình bình phương của đáp ứng.
Kết quả so sánh với tính toán số cho thấy kỹ thuật được đề xuất cho
dự báo tốt cho trung bình bình phương đáp ứng của hệ dao động.
CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA

TRONG HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU
NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN
4.1. Giới thiệu
Trong chương này, luận án trình bày nghiên cứu đáp ứng thứ điều
hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing. Khi nghiên cứu hệ Duffing chỉ chịu
kích động bởi lực tuần hoàn, các nhà khoa học đã phát hiện ra hiện tượng
đáp ứng thứ điều hòa và hiện tượng này đã được mô tả trong nhiều sách
(Nayfeh và Mook, 1995; Mitropolski và Nguyễn Văn Đạo, 1997; Kelly,
2012; Davies và Rajan, 1988) và các nghiên cứu (Dimentberg và cs.,
1998; Haiwu và cs., 2009; Li và Yao, 2013).
Khi hệ chịu đồng thời kích động ngoài là lực tuần hoàn và lực ngẫu
nhiên, dù đáp ứng của dao động ngày càng được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu (chẳng hạn như Huang và cs., 2000; Narayanan và Kumar,
2012), nhưng theo tìm hiểu của tác giả, có khá ít kết quả nghiên cứu về
đáp ứng thứ điều hòa của nó. Do đó, trong nghiên cứu này, tác giả dùng
kỹ thuật đã được đề xuất trong phần đầu chương 3 để nghiên cứu sơ lược
đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của dao động Duffing chịu đồng thời kích
động tuần hoàn và kích động ngẫu nhiên.
4.2. Kỹ thuật phân tích
Xét hệ Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên có dạng
(
)
32
0
cos,
zhzzzQtt
eegwenesx
+++=+
&&&
(4.1)

trong đó
(
)
zt
,
(
)
zt
&
,
(
)
zt
&&
lần lượt là độ dịch chuyển, vận tốc, và gia tốc
của hệ,
e
là tham số dương nhỏ, h là hệ số cản,
g
là hệ số độ cứng phi
21
tuyến;
w
là tần số tự nhiên của hệ;
0
Q
,
n
, và
s

là các tham số; và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss đơn vị. Giả sử tần số tự nhiên
w
rất gần
với
n
/3, nghĩa là các tham số
w
và
n
có mối quan hệ
2
2
9
n
we
-=D
(4.2)
với
D
là tham số điều hướng. Ta đưa vào biến mới x như sau
0
22
cos,.
Q
xzQtQ

n
wn
=-=
-
(4.3)
Theo đó, phương trình (4.1) trở thành
( ) ()
2
,,,
3
xxFxxtt
n
eesx
æö
+=+
ç÷
èø
&&&
(4.5)
với
(
)
(
)
(
)
3
,,sincos.
FxxtxhxQtxQt
nngn

=-D +
&&
(4.6)
Ta tìm nghiệm của phương trình (4.5) ở dạng
12
12
cossin,sincos,
333333
aa
xatatxtt
nnnnnn
=+=-+
&
(4.7)
với
1
a
và
2
a
là các quá trình ngẫu nhiên biến đổi chậm thỏa điều kiện
12
cossin0
33
atat
nn
+=
&&
. (4.8)
Đến đây, ta áp dụng cách tính như trong mục 3, và tìm được hàm mật

độ dừng
(
)
{
}
22
1211223124152
,exp
paaCaaaaaa
zzzzz
= +++ , (4.19)
trong đó C là hằng số chuẩn hóa và các hệ số
,1,5
i
i
z
=
được xác định như
sau
( )
11
22
11122212112
6969
242
hQQ
h
gg
zmmmmmm
nn

æö
æöæö
D+D+
æö
=-Y-+-+++-+-+-
ç÷
ç÷ç÷
ç÷
ç÷
èø
èøèø
èø
,
( )
22
2112222211212
6969
224
hQQ
h
gg
zmmmmmm
nn
æö
æöæö
D+D+
æö
=-Y-++-+ +-+
ç÷
ç÷ç÷

ç÷
ç÷
èø
èøèø
èø
,
22
321221211
6969
2
4242
QhQh
gg
zmmmm
nn
æö
æöæö
D+D+
æöæö
=Y-+-+++-+
ç÷
ç÷ç÷
ç÷ç÷
ç÷
èøèø
èøèø
èø
,
22
( )

2
4131122232112
69
2
2
Q
h
g
zmmmmmm
n
ổử
ổử
D+
=Y-+++-+-
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
,
( )
2
5212113112223
69
2
2
Q
h
g
zmmmmmm

n
ổử
ổử
D+
=Y-+-+-++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
, (4.20)
vi
(
)
( )
2
1122
2
2
2
2
21121122
2
69
9
2
h
Q
h
nmm

g
smmmm
n
-++
Y=
ộự
ổử
D+
-+-+-++
ờỳ
ỗữ
ờỳ
ốứ
ởỷ
(4.21)
Tng t cỏch lm khi phõn tớch cỏc h trong chng 3, ta tỡm c
cỏc h s tuyn tớnh hoỏ, t ú tớnh c
()
( ) ( )
( )
( )
22
24351534
0
2
22
2
123
22
coscos

3
4
Q
Ezttt
zzzzzzzz
n
qn
wn
zzz
+++
ổử
ộự=++
ỗữ
ởỷ
-
ốứ
-
, (4.31)
vi
1534
2435
2
tan
2
zzzz
q
zzzz
+
=-
+

. (4.32)
Ta tớnh c trung bỡnh bỡnh phng ỏp ng
(
)
zt
:
()
( ) ( )
( )
22
24351534
2
2
2
123
22
24
Ezt
zzzzzzzz
zzz
+++
ộự
=
ởỷ
-
2
12
2
123
42

Q
zz
zzz
+
++
-
(4.38)
4.3. Kt qu v tho lun
Hỡnh 4.1. th trung bỡnh
theo thi gian ca trung bỡnh
bỡnh phng ỏp ng th iu
hũa theo tham s
2
s

(
1
w
=
,
3.01,
n
=
Q
0
=1, h=2,
e
=0.01,
g
=1) .

Kt qu Hỡnh 4.1 cho thy cỏc giỏ tr tớnh toỏn gii tớch rt gn vi
cỏc tớnh toỏn mụ phng.
T Hỡnh 4.3, ta cú th thy l vi cỏc tham s
e
,
g
,
w
, v, Q
0
cho trc,
trung bỡnh theo thi gian ca trung bỡnh bỡnh phng ỏp ng gim khi
h s cn tng.

23
Hình 4.3. Ảnh hưởng
2
s
và h lên
trung bình bình phương đáp ứng
thứ điều hòa
(
1
w
=
,
3.01,
n

=

Q
0
=1,
e
=0.01,
g
=1)


4.4. Kết luận chương 4
Với kỹ thuật phân tích được phát triển trong luận án này, theo tác
giả, lần đầu tiên đáp ứng thứ điều hòa bậc 1/3 của hệ dao động Duffing
chịu kích động đồng thời hai lực tuần hoàn và ngẫu nhiên dạng phương
trình (4.1) được nghiên cứu. Dù các kết quả tìm được ở đây còn đơn giản
do tác giả bị hạn chế về thời gian nghiên cứu, nhưng là kết quả mới cho
thấy ta có thể áp dụng kỹ thuật phân tích dao động được phát triển trong
luận án hoàn toàn có thể dùng để phân tích các đáp ứng thứ điều hòa bậc
m/n của các hệ dao động phi tuyến.
KẾT LUẬN
Luận án đã đề xuất một kỹ thuật mới để phân tích dao động trong hệ
phi tuyến chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên. Về mặt phương pháp
luận, kỹ thuật phân tích dao động được đề xuất trong luận án được xây
dựng dựa trên hai phương pháp kinh điển, đó là phương pháp trung bình
ngẫu nhiên và phương pháp tuyến tính hóa tương đương, và phương pháp
hàm bổ trợ - là sự mở rộng điều kiện thế năng đã được thừa nhận trong
việc giải phương trình FP (Nguyễn Đông Anh, 1986, 1995). Hơn nữa, khi
phân tích dao động của các hệ, tính chính xác của kỹ thuật phân tích cũng
được kiểm chứng qua so sánh với kết quả thu được bằng phương pháp

mô phỏng Monte-Carlo, đây là cách làm kinh điển khi cần đánh giá một
kỹ thuật/phương pháp phân tích hệ ngẫu nhiên và để kết luận về phạm vi
các khoảng tham số.
Áp dụng kỹ thuật đã đề xuất, luận án đã trình bày phân tích dao động
của các hệ Van der Pol (đại diện cho lớp hệ có cản phi tuyến), Duffing
(độ cứng phi tuyến), Van der Pol – Duffing (cản và độ cứng phi tuyến),
Mathieu – Duffing (hệ kích động thông số phi tuyến) chịu kích động bởi
lực tuần hoàn và lực ngẫu nhiên dạng ồn trắng. Các đặc trưng xác suất