tóm tắt luận án phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (480.94 KB, 27 trang )
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o
NGUYỄN NGỌC LINH
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
HÀ NỘI – 2015
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH Nguyễn Đông Anh
2. TS Lưu Xuân Hùng
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Viện họp tại Viện Cơ học, 264 Đội Cấn – Ba Đình – Hà Nội.
Vào hồi giờ phút ngày tháng năm
Có thể tìm luận án tại thư viện Quốc Gia Việt Nam và thư viện Viện
Cơ học.
1
MỞ ĐẦU
Dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ
thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng,
ổ, trục đỡ của cơ cấu di chuyển. Do đặc điểm của các tải trọng này là
ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán dao động được mô hình
hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên. Việc xây
dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập
và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Do kích động
là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng
có tính chất ngẫu nhiên. Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu
nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình
theo nghĩa xác suất. Sự tồn tại nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ
nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn của mô hình được thiết
lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ hai nó cho
phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển
trong các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra. Tuy
nhiên, do những hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán
ngẫu nhiên phi tuyến có nghiệm chính xác. Mặc dù các phương pháp
số giúp cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được, nhưng một hệ
phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số không có nghĩa là đã
đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ. Ví dụ, đối với hệ có
nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình
tính toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự
do gồm nhiều thông số đầu vào thì khối lượng cần tính toán là rất lớn
và mất nhiều thời gian tính toán. Do vậy, phương pháp giải tích xấp
xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi tuyến.
2
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính
hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ
biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc
nhiều bậc tự do, hệ dừng hoặc không dừng, hệ có trễ. Theo thống kê
của Proppe (2003), kể từ khi được đề xuất trong những năm 1950-
1960 cho đến năm 1998 đã có hơn 400 bài báo về chủ đề tuyến tính
hóa ngẫu nhiên, còn theo thống kê của Socha (2008) chỉ tính từ năm
1990 đến 2005 đã có hơn 200 bài báo trên các tạp chí và hội nghị
liên quan đến tuyến tính hóa ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực
học gắn với mô hình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, một trong những nhược
điểm cơ bản của phương pháp này là độ chính xác giảm khi mức độ
phi tuyến tăng, lên đến hơn 20%. Do đó, vấn đề nâng cao độ chính
xác của nghiệm xấp xỉ rất được quan tâm trong nghiên cứu, ứng
dụng.
Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết nhược
điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với
mục tiêu, đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu cụ thể
như sau:
Mục tiêu của luận án là xây dựng một tiêu chuẩn đối ngẫu
có trọng số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để phân
tích mô men đáp ứng bậc hai của dao động phi tuyến chịu kích động
ngẫu nhiên với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, sai số của
nghiệm xấp xỉ vào khoảng 10%.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các dao động phi
tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng có hàm phi tuyến dạng
đa thức.
Phương pháp nghiên cứu của luận án sử dụng phương
pháp giải tích, phương pháp hình học giải tích và phương pháp số.
3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất
Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên thường sử dụng các đặc trưng là
các hàm không ngẫu nhiên như hàm mật độ xác suất, trung bình,
trung bình bình phương, phương sai, hàm tương quan, mật độ phổ.
Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu nhiên
x t
, , /
p x t F x t x t
(1.1)
trong đó
,
F x t
là hàm phân bố xác suất.
,
p x t
có tính chất
, 1
p x t dx
(1.2)
Giá trị trung bình hay kỳ vọng là mô men bậc nhất
;
x
E x t m t x t x t p x t dx
(1.3)
Trung bình bình phương là mô men bậc hai
2 2 2
;
E x t x t x t p x t dx
(1.4)
Phương sai
2
2
2 2
x x x
D E x t m t x t x t
(1.5)
Hiệp phương sai
1 2
11 1 2 1 2 1 2
,
xx x x
D t t D x x x x
(1.6)
Trong phân tích tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên
1 2
X, Y
x t x t
, thường sử dụng hệ số tương quan
11 XY
1/2
X Y
20 02
, 1
r r
, (1.7)
4
Nếu biểu diễn X và Y dưới dạng hai véc tơ trong không gian xác suất
với
là góc giữa hai véc tơ này, Rodgers (1988) chứng minh
cosr
(1.8)
Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng hệ số tương quan bình
phương r
2
thay cho r. r và r
2
là độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính
của X và Y, cường độ tương quan có thể được đề xuất (Cohen,
1988).
1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt thường gặp trong dao động phi
tuyến như quá trình dừng, quá trình Wiener, quá trình Markov được
giới thiệu trong đó quá trình ồn trắng Gauss có hàm mật độ xác suất
2
2
1
exp
2
2
x
p x
(1.9)
1.3 Phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov
Đối với quá trình Markov hàm mật độ xác suất có thể xác định từ
phương trình FPK dừng
2
1 , 1
1
0
2
n n
i ij
i i j
i i j
a x p x K x p x
x x x
(1.10)
1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss
Xét hệ cơ học một bậc tự do như hình 1.1
,
tt tt pt
mx b x k x g x x u t
(1.11)
trong đó m là khối lượng, b
tt
, k
tt
là các hệ số cản và độ cứng
tuyến tính,
,
pt
g x x
là hàm
của các lực cản và đàn hồi phi
tuyến,
u t
là kích động ngoài.
Hình 1.1 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do
Đặt
0
2 / , / , , , /
tt tt pt
h b m k m g x x g x x m
, khi kích động
5
ngoài là ồn trắng Gauss
/
f t u t m t
, (1.11) viết dưới
dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên là
2
2 ,
o
x hx x g x x t
(1.12)
Hàm mật độ xác suất dưới dạng giải tích của đáp ứng của (1.12) có
thể xác định từ phương trình FPK (1.10) trong một số trường hợp:
- Khi
, 0
g x x
, hay (1.12) là hệ tuyến tính.
- Khi dao động (1.12) có dạng
2
0
,
x f H x x x x g x t
(1.13)
trong đó
g x
đại diện lực đàn hồi phi tuyến, hệ số cản phi tuyến
,
f H x x
là hàm của tổng năng lượng hay hàm Hamilton.
- Khi hệ (1.12) có cản tuyến tính và đàn hồi phi tuyến
2
0
2
x hx x g x t
(1.14)
1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến
Do hạn chế của phương pháp phương trình FPK, một số phương
pháp giải tích xấp xỉ được sử dụng như phương pháp nhiễu, trung
bình hóa ngẫu nhiên, tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, phi
tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên, phương pháp sử dụng hàm mật
độ phổ. Bên cạnh đó, một số phương pháp số cũng được sử dụng như
các phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK, phương pháp mô
phỏng số Monte Carlo.
Kết luận chương 1
Trong chương này trình bày sơ lược về lý thuyết xác suất và dao
động ngẫu nhiên sẽ được áp dụng trong các chương kế tiếp. Một số
phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến
được liệt kê cùng với ưu nhược điểm của từng phương pháp.
6
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG
ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính
hóa tương đương ngẫu nhiên được sử dụng rất phổ biến trong kỹ
thuật do tính đơn giản, và có thể áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do với
nhiều loại kích động khác nhau. Để giới thiệu về ý tưởng cơ bản của
phương pháp này, ta xem xét tiêu chuẩn kinh điển, một trong những
tiêu chuẩn tuyến tính hóa ngẫu nhiên nổi tiếng nhất, được Caughey
đề xuất trong những năm 1950-1960.
Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss
(1.12). Khi thay thế hàm phi tuyến
,
g x x
bằng các hàm tuyến tính
tương ứng,
,
g x x bx kx
, thu được phương trình tuyến tính
2
2
o
x h b x k x t
(2.1)
trong đó b, k được gọi là các hệ số tuyến tính hóa tương đương
Xuất phát từ sai số phương trình của (1.12) và (2.1) là
, ,
e x x g x x bx kx
(2.2)
Tiêu chuẩn kinh điển yêu cầu
2
2
,
, , , min
kd
b k
S b k e x x g x x bx kx
(2.3)
Điều kiện cực tiểu trong (2.3) dẫn tới
2 2
, ,
,
xg x x xg x x
b k
x x
(2.4)
Kết luận chương 2
Trong chương 2 giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương
đương ngẫu nhiên và một số phát triển của phương pháp này như tiêu
chuẩn cực tiểu sai số thế năng, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương
đương có điều chỉnh, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương dựa trên
phân bố khác Gauss, tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần.
7
CHƯƠNG 3. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP
TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN
3.1. Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng
quát
Dựa trên cách tiếp cận đối ngẫu, N.Đ.Anh (2010) đề xuất tiêu chuẩn
2 2 2
3 3 3 3
1 2
,
min
k
S x kx p kx x p x x
(3.1)
trong đó
1 2
,
p p
là các trọng số.
3.2. Tiêu chuẩn đối ngẫu
3.2.1. Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu
Cách thay thế đối ngẫu của N.Đ Anh
A kB A
(3.2)
trong đó ký hiệu A là hàm phi tuyến, B là phần tử tuyến tính tương
ứng với hệ số tuyến tính hóa k,
là hệ số trở về.
Dựa trên cách thay thế đối ngẫu, đề xuất tiêu chuẩn đối ngẫu
2 2
,
1 1
min
2 2
dn dn
dn dn dn dn
k
S A k B k B A
(3.3)
Từ điều kiện cực tiểu (3.3), xác định được
2
1
2
dn
AB
k
B
(3.4)
2
dn
(3.5)
trong đó
2
2 2
AB
A B
(3.6)
µ là đại lượng không thứ nguyên, theo bất đẳng thức Schwarz có
0 1
(3.7)
3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính trong tiêu chuẩn đối ngẫu
Theo giả thiết A và B có trung bình không nên
2 2
A
A
,
2 2
B
B
,
AB
AB
, hệ số tương quan của chúng sẽ có dạng
8
1/2 1/2
2 2
AB
r
A B
(3.8)
Kết hợp (3.6) và (3.8) ta có
2
r
(3.9)
µ được gọi là mức độ phụ thuộc tuyến tính.
3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu
Xét không gian Hilbert hai chiều H của các hàm ngẫu nhiên
,
u x v x
có trung bình không, mô men bậc hai hữu hạn và hàm
mật độ xác suất
p x R
, không gian này có tích trong, chuẩn và
khoảng cách được định nghĩa bởi
1/2
2 2
1/2
2
2
,
,
u v uv u x v x p x dx
u u u u u x p x dx
u v u v u x v x p x dx
(3.10)
Các hàm
,
u x v x
có thể biểu diễn dưới dạng các véc tơ u, v. Theo
định lý phép chiếu trực giao, , tồn tại duy nhất một véc tơ hình chiếu
,
p
u
của phép chiếu trực giao véc tơ u lên phương của véc tơ v
,
inf
p
u u u v
(3.11)
Véc tơ
,
p
u
, hệ số tương quan và góc θ giữa u và v có liên hệ
1/2 1/2
2 2
( , )
cos
uv
u v
r
u v
u v
(3.12)
,p
v
u r u
v
(3.13)
Hai véc tơ u và v được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một hệ
số c,
c R
thỏa mãn phép nhân
u cv
, nghĩa là các véc tơ u và v có
9
cùng phương hay
cos 1
. Khi u và v khác phương, ta có thể
biểu diễn được quan hệ tuyến tính giữa véc tơ v với véc tơ hình chiếu
p
u
của một phép chiếu véc tơ u lên phương của v. Nói một cách
khác, véc tơ u được thay thế tương đương bằng véc tơ hình chiếu
p td
u k v
(3.14)
trong đó
td
k
là hệ số tương đương. Trong phép thay thế tuyến tính
tương đương sử dụng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu, bình phương
khoảng cách giữa hai véc tơ u và
td
k v
được yêu cầu là nhỏ nhất
2
min
td
td
k
u k v (3.15)
Điều kiện (3.15) chính là phép chiếu trực giao mô tả bởi (3.11), hay
tiêu chuẩn kinh điển với ,
td kd
u A k v k B
2
min
kd
kd kd
k
S A k B
(3.16)
Tương tự, tiêu chuẩn đối ngẫu (3.3) có thể viết dưới dạng
2 2
,
1 1
min
2 2
dn dn
dn dn dn dn
k
S A k B k B A
(3.17)
a)
0 / 2
b)
/ 2
Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu
Biểu diễn như (3.17) cho thấy quá trình thay thế lượt đi từ
dn
A k B
là phép chiếu véc tơ A lên phương của B. Quá trình thay thế lượt về
từ
dn dn
k B A
là phép chiếu véc tơ k
dn
B lên phương của véc tơ A.
Tương ứng với cách thay thế đối ngẫu, sự kết hợp hai phép chiếu này
được gọi là phép chiếu đối ngẫu. Biểu diễn hình học của tiêu chuẩn
10
đối ngẫu cho hai trường hợp
0 / 2
và
/ 2
được thể
hiện trên hình 3.1, các hệ số tuyến tính hóa và hệ số trở về được biểu
diễn theo chuẩn và hệ số tương quan là
1
cos cos
2
dn
dn tb tb
k B A A A r
(3.18)
trong đó
1 1
2 2
tb dn
A A A
(3.19)
Từ (3.40) ta có
cos
dn dn dn
A k B k B r
(3.20)
3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai
của dao động ngẫu nhiên phi tuyến
Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (1.12) với
,
g x x
là hàm phi tuyến dạng đa thức
1 1
, , ,
M N
i j
i j
g x x g x x g x x
(3.21)
trong đó
,
i
g x x
là hàm lẻ của
x
đại diện cho thành phần lực cản
phi tuyến thứ i,
,
j
g x x
là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực
đàn hồi phi tuyến thứ j. Vì hệ phi tuyến được thay thế bằng một hệ
tuyến tính nên áp dụng nguyên lý chồng chất cho việc thay thế
1 1 1 1
, ; ,
, ; ,
i i j j
M M N N
i i j j
i i j j
g x x b x g x x k x
g x x bx b x g x x kx k x
(3.22)
Kết quả thu được phương trình tuyến tính hóa tương đương
2
2
o
x h b x k x t
(3.23)
trong đó b và k gọi là các hệ số tuyến tính hóa tương đương, còn b
i
và k
j
gọi là các hệ số tuyến tính hóa thành phần tương ứng. Áp dụng
tiêu chuẩn đối ngẫu với
, , ;
i i i
A g x x B x
,
, ,
j j j
A g x x B x
xác định được
11
2
2
2 2 2 2
,
,
;
, ,
j
i
i j
i j
xg x x
xg x x
g x x x g x x x
(3.24)
2 2
,
,
1 1
;
2 2
j
i
i j
i j
xg x x
xg x x
b k
x x
(3.25)
2 2
1 1
,
,
1 1
;
2 2
M N
j
i
i j
i j
xg x x
xg x x
b k
x x
(3.26)
3.3 Các ví dụ áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương
theo tiêu chuẩn đối ngẫu
Trong phần các ví dụ áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô
men bậc hai các dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu
kích động ồn trắng Gauss trung bình không. Các dao động này có
nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số đã được các nhà nghiên
cứu khác công bố. Sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác
(hay nghiệm mô phỏng số) được tính theo phần trăm.
3.3.1. Dao động Van der pol
2 2
o
x x x x t
(3.27)
trong đó
, , ,
o
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính
hóa tương đương là
2
o
x b x x t
(3.28)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
1/ 3
(3.29)
Bảng 3.2 Đáp ứng của dao động Van der Pol với α=0.2;
=1; =2; σ
2
thay đổi
2
2
MC
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
0.02 0.2081 0.1366 34.36 0.2069 0.56
0.2 0.3638 0.2791 23.27 0.3838 5.50
1 0.7325 0.5525 24.57 0.7342 0.23
4 1.4525 1.0512 27.62 1.3770 5.20
12
3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba
3 2
2
o
x h x x x t
(3.30)
trong đó
, , ,
o
h
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính
hóa tương đương là
2
2
o
x h b x x t
(3.31)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
3/ 5
(3.32)
Bảng 3.3 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến bậc ba với
0.05, 1, 4
o
h h
, và γ thay đổi
γ
2
ENLE
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
1 0.4603 0.4343 5.66 0.4885 6.14
5 0.2479 0.2270 8.43 0.2624 5.84
10 0.1835 0.1667 9.17 0.1939 5.69
3.3.3 Dao động Duffing
3
1 3
2
x hx c x c x t
(3.33)
trong đó
3
, ,
h c
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính hóa
tương đương là
1
2
x hx c k x t
(3.34)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
3/ 5
(3.35)
Bảng 3.4 Đáp ứng của dao động Duffing với
1
1, 0.5, 2, 1
o
h c
,
3
c
thay đổi
3
c
2
x
c
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
0.1 0.8176 0.8054 1.49 0.8465 3.54
1 0.4679 0.4343 7.19 0.4885 4.41
10 0.1889 0.1667 11.77 0.1939 2.67
100 0.0650 0.0561 13.65 0.0660 1.63
3.3.4 Dao động có cản và đàn hồi phi tuyến
2 2 2 4 2 3
4 / 2 / 2 / 4
o o
x h x x x x x x t
(3.36)
13
trong đó
, , ,
o
h
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính
hóa tương đương là
2
o
x bx k x t
(3.37)
trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Các mức độ phụ thuộc
tuyến tính thành phần là
1 2 3 4
3/ 5; 1/ 3; 3/ 35; 3/ 5
(3.38)
Bảng 3.6 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản và đàn hồi phi tuyến, với
0
0.1, 1, 1
h
và
thay đổi
2
x
c
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
0.1 0.7677 0.6659 13.26 0.8176 6.50
1 0.4652 0.3816 17.98 0.4808 3.35
10 0.1924 0.1509 21.55 0.1928 0.20
100 0.0666 0.0513 22.97 0.0659 1.16
3.3.5 Dao động Lutes Sarkani
sgn ( )
a
x x x f t
(3.39)
trong đó a, γ là các số thực dương,
( )
f t
là ồn trắng Gauss có mật độ
phổ
o
S const
. Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
( )
x kx f t
(3.40)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
2 1
2
1
2 2
2
a a
a
(3.41)
Bảng 3.7 Đáp ứng của dao động Lutes Sarkani với
0
1; 1
S
và a thay đổi
a
2
x
c
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%) µ
0.039 1.901 1.537 19.18 2.661 39.94 0.67
0.222 1.564 1.395 10.81 1.880 20.22 0.80
0.424 1.332 1.265 5.03 1.446 8.57 0.90
1.000 1.000 1.000 0.00 1.000 0.00 1.00
14
1.775 0.810 0.779 3.83 0.835 3.00 0.90
2.200 0.751 0.695 7.43 0.779 3.74 0.80
2.715 0.699 0.614 12.06 0.716 2.54 0.67
3.000 0.676 0.577 14.59 0.683 1.06 0.60
3.437 0.647 0.528 18.34 0.634 1.96 0.50
3.935 0.621 0.482 22.34 0.583 6.05 0.40
4.342 0.603 0.450 25.40 0.545 9.61 0.33
4.537 0.595 0.435 26.80 0.527 11.33 0.30
5.340 0.568 0.386 32.07 0.465 18.22 0.20
6.633 0.536 0.326 39.20 0.386 28.06 0.10
14.681 0.451 0.166 63.18 0.181 59.78 0.001
Kết luận chương 3
Dựa trên cách thay thế tương đương đối ngẫu của N.Đ.Anh, đã đề
xuất tiêu chuẩn đối ngẫu và khái niệm phép chiếu đối ngẫu. Các tính
chất cơ bản và các đặc trưng hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu được
xây dựng. Các ví dụ áp dụng cho thấy: một cách gần đúng, nghiệm
xấp xỉ có sai số ở mức nhỏ hơn 10% với các dao động có giá trị của
µ trong khoảng
1/3 2/3
. Trong các khoảng
0 1/3
và
2/3 1
, nghiệm xấp xỉ có sai số lớn, lên đến gần 60% (bảng 3.7).
Do vậy, tiêu chuẩn đối ngẫu cần tiếp tục cải tiến để thu được kết quả
chính xác hơn, đặc biệt cho các trường hợp
0 1/3
và
2/3 1
.
CHƯƠNG 4. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CÓ TRỌNG SỐ CỦA
PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU
NHIÊN
4.1 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
4.1.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
Để đánh giá ảnh hưởng của các quá trình thay thế, xét tiêu chuẩn
15
2 2
,
1 min
ts ts
ts ts ts ts
k
S p A k B p k B A
(4.1)
trong đó p là trọng số chuẩn hóa có đặc điểm
0 1
p
(4.2)
Các hệ số tuyến tính hóa
ts
k
và hệ số trở về
ts
xác định được là
2
1
1
ts
AB
p
k
p
B
(4.3)
1
1
ts
p
p
(4.4)
trong đó mức độ phụ thuộc tuyến tính µ vẫn có dạng như (3.6)
2
2 2
AB
A B
(4.5)
Trong các tính toán trên giả thiết
2 2
0, 0
A B
và
1
p
(4.6)
Dựa trên phép chiếu đối ngẫu đã trình bày ở mục 3.2.3, tiêu chuẩn
đối ngẫu có trọng số (4.1) có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn
2 2
,
1 min
ts ts
ts ts ts ts
k
S p A k B p k B A
(4.7)
1 cos cos
ts ts tb
k B p p A A
(4.8)
1
tb ts
A p A p A
(4.9)
cos
ts ts
A k B
(4.10)
Các đặc trưng hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số là
(a). Véc tơ k
ts
B là véc tơ hình chiếu của một phép chiếu véc tơ A
tb
lên
phương của véc tơ B, với chiều dài của véc tơ A
tb
bằng trung bình
trọng số chiều dài của các véc tơ A và λ
ts
A.
(b). Véc tơ λ
ts
A là véc tơ hình chiếu của phép chiếu trực giao véc tơ
k
ts
B lên phương của véc tơ A.
(c). Khi
2
cos 1
,
1
(mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất),
các véc tơ A và B cùng phương,
1
ts
,
ts
k B A
(hình 4.1a).
16
(d). Khi
2
cos 0
,
0
(mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu nhất),
các véc tơ A và B trực giao,
0
ts
,
0
ts
k
(hình 4.1b).
a)
1, 0
và
b)
0, / 2
Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất và yếu nhất
4.1.2 Xác định dạng giải tích của trọng số
Xét các trường hợp riêng của tiêu chuẩn (4.1) như sau
(i). Trường hợp ảnh hưởng của quá trình thay thế lượt đi là lớn nhất
cho bởi
0
p
. Tiêu chuẩn (4.1) trở thành tiêu chuẩn kinh điển
(3.22). Theo (c) khi
1
, thì xấp xỉ tuyến tính là chính xác.
(ii). Trường hợp ảnh hưởng của các quá trình thay thế lượt đi và lượt
về là tương đương nhau cho bởi
1/ 2
p
. Tiêu chuẩn (4.1) trở
thành tiêu chuẩn đối ngẫu (3.3), xấp xỉ tuyến tính có kết quả tốt
với giá trị của µ nằm trong khoảng [1/3, 2/3] như kết quả khảo sát
ở chương 3.
(iii). Trường hợp ảnh hưởng của quá trình thay thế lượt về là lớn
nhất cho bởi
1
p
. Tiêu chuẩn (4.1) có dạng
2
1
,
min
ts ts
ts ts
ts p
k
S k B A
(4.11)
Từ điều kiện cực tiểu (4.11), có
0
ts ts
k
tương ứng với
0
AB
hay
0
, theo đó A và B trực giao.
Đặt ra bài toán: tìm trọng số là hàm của mức độ phụ thuộc tuyến
tính
( )
p
, với giả thiết qui luật ảnh hưởng của các quá trình thay thế
là tương tự nhau đối với các hệ dao động trong bài toán tuyến tính
hóa tương đương.
17
Dựa trên giả thiết này các trường hợp riêng (i, ii, iii), các đặc trưng
hình học (c, d) và các kết quả khảo sát trong chương 3 có thể được sử
dụng để xây dựng hàm
( )
p
. Đề xuất phân loại
- Mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu,
0 1/ 3
1 1
p
(4.12)
0 1
p
(4.13)
- Mức độ phụ thuộc tuyến tính trung bình,
1/ 3 2 / 3
1/ 2
p
(4.14)
- Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh,
2 / 3 1
2 2
( )p
(4.15)
1 0
p
(4.16)
trong đó (4.13), (4.16) được gọi là các điều kiện biên, theo đó
1 1
1, 1 khi 0 1/ 3
p
(4.17)
2 2 2 2
, khi 2 / 3 1
p
(4.18)
Tiếp theo, sử dụng phương pháp nội suy từ hệ phi tuyến có nghiệm
chính xác để tìm
1
và
2
. Chọn dao động Lutes Sarkani mô tả bởi
(3.39) vì: đại diện cho một lớp hệ phi tuyến và có hàm mật độ xác
suất chính xác; có mức độ phụ thuộc tuyến tính là liên tục.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
m
p
(m)
Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ)
Kết quả thu được
1 2
1.162 6/ 5; 1.514 3/ 2
(4.19)
18
Tại điểm gián đoạn µ = 1/3, hệ số tuyến tính hóa tương đương được
đề xuất là trung bình đại số
1/3
(1/3) (1/3)
2 2
1 1 1 3 11
2 2 2 5 20
AB AB
k k k
B B
(4.20)
0 0.1 0.2 1/3 0.4 0.5 0.6 2/3 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
m
p
(m)
p =1/2
(m)
p =
p =0
p =27/49
(m)
(m)
(m)
p =
(m) -6m/5+1
-3m/2+3/2
Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính từng đoạn p(µ)
Bảng 4.3 Trọng số và hệ số tuyến tính hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
N
Mức độ
phụ thuộc
tuyến tính
µ Trọng số p(µ)
Hệ số tuyến tính hóa
k
ts
1 Yếu
0, 1/ 3
6
1
5
p
2
2
6
6 5 5
AB
k
B
2 Yếu
1/ 3
27
49
p
1/3
2
11
20
AB
k
B
3
Trung
bình
1/ 3, 2 / 3
1
2
p
2
1
2
AB
k
B
4 Mạnh
2 / 3, 1
3 3
2 2
p
2
2
3 1
3 3 2
AB
k
B
4.1.3 Một số tính chất khác của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
được đề xuất
19
0 0.1 0.2 1/3 0.4 0.5 0.6 2/3 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
d
k
(m)
m
Hình 4.4 Tỉ số
/
k ts kd
d k k
4.1.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số để phân tích mô
men bậc hai của dao động ngẫu nhiên phi tuyến
Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (1.12), áp dụng
tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số xác định được
2
2
2 2 2 2
,
,
;
, ,
j
i
i j
i j
xg x x
xg x x
g x x x g x x x
(4.21)
2 2
,
,
1
1
;
1 1
j
i
j
i
i j
i i j j
xg x x
xg x x
p
p
b k
p p
x x
(4.22)
2
1
,
1
1
M
i
i
i
i i
xg x x
p
b
p
x
(4.23)
2
1
,
1
1
N
j
j
j
j j
xg x x
p
k
p
x
(4.24)
4.2 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương
đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
4.2.1 Dao động đàn hồi phi tuyến không cản
1
x c x x x t
(4.25)
trong đó
1
, ,
c
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính hóa
20
tương đương là
1
x c k x t
(4.26)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
0.85
(4.27)
Bảng 4.2 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi tuyến không cản với
1, 2
,
thay đổi
2
x
c
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
2
ts
x
sai số (%)
0.1 0.8720 0.8704 0.19 0.8847 1.45 0.8749 0.33
1.0 0.4864 0.4760 2.14 0.5040 3.62 0.4846 0.38
10 0.1492 0.1424 4.56 0.1549 3.81 0.1462 2.05
100 0.0351 0.0332 5.43 0.0364 3.65 0.0342 2.71
4.2.2 Dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ
2
2
a
o
x hx x x t
(4.28)
trong đó
, , , ,
o
h a
là các số thực dương, hàm phi tuyến
a
x
là
hàm lẻ. Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
2
0
2
x hx k x t
(4.29)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
2 1
2
1
2 2
2
a a
a
(4.30)
Bảng 4.3 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ với
0
0.5, 1
h
,
2
,a = 7 và γ thay đổi
2
x
c
x
2
kd
x
sai số
(%)
2
dn
x
sai số
(%)
2
ts
x
sai số
(%)
µ p
0.1 0.6170 0.4733 23.30 0.5388 12.68 0.7131 15.57 0.082 0.902
1.0 0.4156 0.2871 30.92 0.3323 20.03 0.4679 12.61 0.082 0.902
10 0.2595 0.1678 35.35 0.1958 24.56 0.2835 9.23 0.082 0.902
100 0.1549 0.0963 37.82 0.1128 27.16 0.1656 6.90 0.082 0.902
4.2.3 Dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5
3 5
1 3 5
2
x hx c x c x c x t
(4.31)
trong đó
1 3 5
, , ,
h c c c
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính
hóa tương đương là
21
1
2
x hx c k x t
(4.32)
với k là hệ số tuyến tính hóa tương đương. Các mức độ phụ thuộc
tuyến tính thành phần là
1 2
3/ 5; 4/ 35
(4.33)
Bảng 4.4 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5 với
1 3
2 1
h c c
,
2
và
5
c
thay đổi
5
c
2
x
c
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
2
ts
x
sai số (%)
0.5 0.8081 0.5732 29.07 0.6730 16.72 0.8861 9.65
1 0.5687 0.4197 26.21 0.4945 13.05 0.6136 7.90
10 0.2483 0.1829 26.36 0.2181 12.15 0.2578 3.81
50 0.1480 0.1073 27.50 0.1287 13.08 0.1515 2.34
4.2.4 Dao động có cản phi tuyến phụ thuộc năng lượng
2 2 2 2
0 0
/ 2 / 2
a
x x x x x f t
(4.34)
trong đó
0
,
, a là các số thực dương,
f t
là ồn trắng Gauss với
mật độ phổ
o
S const
. Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
2
0
x bx x t
(4.35)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
2 1
2 2 2a a
(4.36)
Bảng 4.5 Đáp ứng của dao động có cản phi tuyến phụ thuộc năng lượng, a thay đổi
a
cx
h a
kd
h a
sai số
(%)
dn
h a
sai số
(%)
ts
h a
sai số
(%)
µ p
ts
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0
0.7008 0.8329 0.7741 7.06 0.8617 3.46 0.8125 2.45 0.800 0.300
1.0000 0.7979 0.7071 11.38 0.8165 2.33 0.8165 2.33 0.667 0.500
1.3955 0.7644 0.6351 16.92 0.7522 1.60 0.7522 1.60 0.500 0.500
1.8820 0.7349 0.5650 23.12 0.6746 8.21 0.6952 5.40 0.333 0.551
2.0000 0.7290 0.5503 24.51 0.6568 9.91 0.7205 1.16 0.300 0.640
2.4353 0.7104 0.5024 29.27 0.5962 16.07 0.7255 2.14 0.200 0.760
3.1302 0.6876 0.4416 35.78 0.5158 24.98 0.7215 4.94 0.100 0.880
5.2277 0.6453 0.3245 49.72 0.3624 43.85 0.6590 2.11 0.010 0.988
7.1107 0.6230 0.2627 57.84 0.2861 54.08 0.5956 4.40 0.001 0.999
22
4.2.5 Dao động tự do
2 1
0
n
x x
(4.37)
trong đó n nguyên dương. Các điều kiện đầu là
0 1, 0 0
x x
(4.38)
Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
0
x kx
(4.39)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
2 1
2 / 2 /
2 2 4 2
0 0
2 cos cos
2 2
n n
t dt t dt
(4.40)
Bảng 4.6 Tần số góc của dao động tự nhiên với n thay đổi
n
cx
kd
sai số
(%)
dn
sai số
(%))
ts
sai số
(%))
µ
1 0.8472 0.8660 2.22 0.8257 2.54 0.8585 1.33 0.900
2 0.7468 0.7906 5.86 0.7198 3.62 0.7564 1.28 0.794
3 0.6750 0.7395 9.56 0.6521 3.39 0.6709 0.61 0.714
4 0.6204 0.7016 13.08 0.6045 2.56 0.6045 2.56 0.653
5 0.5772 0.6717 16.38 0.5687 1.46 0.5687 1.46 0.605
6 0.5418 0.6473 19.46 0.5406 0.24 0.5406 0.24 0.566
7 0.5123 0.6267 22.34 0.5176 1.04 0.5176 1.04 0.534
Kết luận chương 4
Các kết quả chính của chương này như sau:
- Dựa trên sự mở rộng của tiêu chuẩn đối ngẫu, đã đề xuất tiêu chuẩn
đối ngẫu có trọng số với trọng số được chuẩn hóa p được sử dụng để
phản ánh ảnh hưởng khác nhau của các quá trình thay thế lượt đi và
lượt về. Các đặc trưng hình học cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có
trọng số được mô tả dựa trên phép chiếu đối ngẫu.
- Đã đề xuất phân loại mức độ phụ thuộc tuyến tính của µ thành ba
mức là yếu, trung bình và mạnh và trọng số là hàm tuyến tính từng
đoạn phụ thuộc µ.
- Kết hợp tính chất của µ và ảnh hưởng của các quá trình thay thế, đã
xác định được các điều kiện biên của hàm
p
tại
0
và
1
.
Dựa trên các điều kiện biên, biểu thức giải tích của hàm
p
cho
23
các mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu và mạnh được xây dựng trên
phương pháp nội suy sử dụng các số liệu chính xác của dao động phi
tuyến Lutes Sarkani.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Những kết quả mới chủ yếu của luận án này bao gồm:
1. Đã xây dựng được các biểu thức cho tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu
chuẩn đối ngẫu có trọng số theo phương pháp trung bình bình
phương tối thiểu dựa trên quan điểm đối ngẫu trong bài toán thay
thế tương đương. Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được coi như
một dạng tổng quát hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn
kinh điển, áp dụng cho quá trình dừng Gauss trung bình không.
2. Dựa trên ý nghĩa của mức độ phụ thuộc tuyến tính và ảnh hưởng
của các quá trình thay thế lượt đi và lượt về, đã đề xuất phân loại
mức độ phụ thuộc tuyến tính của hàm phi tuyến so với hàm tuyến
tính tương đương và phân tích được các đặc điểm và tính chất cơ
bản của các tiêu chuẩn này.
3. Đã xây dựng được trọng số là hàm tuyến tính từng đoạn của mức
độ phụ thuộc tuyến tính, dạng giải tích của trọng số được xác định
trên cơ sở đặc điểm của các tiêu chuẩn đối ngẫu, đối ngẫu có
trọng số và bài toán nội suy từ trọng số chính xác của dao động
đàn hồi phi tuyến Lutes Sarkani.
4. Đã xây dựng công thức và trình tự tính toán để phân tích mô men
bậc hai khi áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số cho dao động
ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng
Gauss có hàm phi tuyến dạng đa thức.
5. Các kết quả thu được khi phân tích các dao động ngẫu nhiên
phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss khác nhau
