đề thi HSG lớp 11 năm 2011 tỉnh Quảng Ngãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (5,0 điểm)
1/ Giải phương trình:
1 tan .tan 2 cos3x x x− =
2/ Trong tam giác
ABC
biết số đo ba góc
, ,A B C
lập thành cấp số cộng với
A B C≥ ≥

và thỏa hệ thức
1 3
cos cos cos
2
A B C
+
+ + =
. Tính số đo các góc
, ,A B C
.
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2 2 2
1ba c+ + =
.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
2 3 2 3 2 3
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Bài 3: (4,0 điểm)
1/ Cho hàm số
2
2
( ) 1
2 2 2
n
n
x x x
g x = + + + + +
. Xét tính liên tục trên
¡
của hàm số
f

được xác định như sau:
2
5
, 1
3
( ) ( ),
1,

1
1
x x
y f x g x x
x x

+ ≤ −


= = <

+

≥


2/ Cho
( )y f x=
là hàm số liên tục trên đoạn
[0;1]
và
(0) (1)f f=
. Chưng minh phương
trình:
1
( ) 0
2
f x f x
 
− + =

 ÷
 
có nghiệm trên đoạn
1
0;
2
 
 
 
.
Bài 4: (5,0 điểm)
1/ Cho hình bình hành
ABCD
. Từ
B
kẻ các đường thẳng
BE
vuông góc với
CD
và
BK
vuông góc với
AD

( , )E CD K AD∈ ∈
. Biết
3 , 5KE a BD a= =
. Tính khoảng cách từ
B

đến trực tâm tam giác
BEK
.
2/ Cho tứ diện
ABCD
có trọng tâm
G
. Tìm điểm
M
sao cho tổng:
. . . . . . . .
MA MB MC MD
GB GC GD GAGC GD GA GB GD GA GB GC
+ + +
đạt giá trị bé nhất.
Bài 5: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng không thể chia các số từ 1 đến 15 thành hai tập
A
và
B
sao cho
| | 2,A =

| | 13B =
mà tổng các số ở
B
bằng tích các số ở
A
. (
| |A

là số phần tử của tập hợp
A
).
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC