Phương trình bậc 2-Hệ thức viét

CHỦ ĐỀ 7: Phương trình bậc hai – đònh lý vi ét
I. MỤC TIÊU:
• HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa
các nghiệm
• Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm;
• Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức
giữa các nghiệm độc lập đối với m
II. NỘI DUNG:
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0

∆
= b
2
– 4ac > 0
⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
=
-b +
2a
∆
;
x
2
=
-b -
2a
∆


∆
= b
2
– 4ac = 0
⇒
phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
b
2a
−

∆
= b
2
– 4ac < 0
⇒
phương trình vô nghiệm
2. Đònh lý Vi ét:
 Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm x
1
; x
2
thì tổng và tích các nghiệm đó

là: S = x
1
+ x
2
=
-b
a
; P = x
1
.x
2
=
c
a
 Nếu có hai số x
1
; x
2
có S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
x
2
– Sx + P = 0

3. Chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m
• Lập
∆
• Biến đổi
∆
về dạng:
∆
= A
2

≥
0 với mọi m
hoặc
∆
= A
2
+ k > 0 với mọi m
Ví dụ:
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m
Hướng dẫn:
∆
’ = (m – 1)
2
– m + 3
= m
2
– 3m + 4

= (m –
2
3
)
2
+
4
7
> 0 với mọi giá trò của m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó:
• Lập
∆
• Phương trình có nghiệm khi
∆
≥
0. Từ đó suy ra điều kiện của m
• Áp dụng đònh lý Vi ét tính S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x
2
• Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích
• Thay S và P vào suy ra giá trò của m
• Đối chiếu điều kiện và kết luận
Ví dụ:
Cho phương trình: (m – 1)x

2
– 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:
Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức:
0
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
=++
Hướng dẫn:
Δ
’ = m
2
– (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
≠
1
Áp dụng đònh lý Viét ta có: x
1
.x
2

=
1m
1m
−
+
= 5
⇒
m =
2
3


⇒
x
1
+ x
2
=
1m
m2
−
= 6
0
2
5
x
x
x
x
1

2
2
1
=++

⇔
2(x
1
2
+ x
2
2
) + 5x
1
x
2
= 0
⇔
2[(x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
] + 5x
1

x
2
= 0
⇔
2(x
1
+ x
2
)
2
+ x
1
x
2
= 0
⇔
2.
( )
1m
1m
1m
m4
2
2
−
+
+
−
= 0
⇔

9m
2
= 1
⇔
m =
3
1
±
5. Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m
• Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm
Ví dụ:
Cho phương trình x
2
+ (m + 1)x + 5 – m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với m tìm được ở câu a, hãy viết một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập đối với m
Hướng dẫn:
a) Ta có:
∆
= (m + 1)
2
– 4(5 – m) = m
2
+ 6m – 19
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
∆

= m
2
+ 6m – 19 > 0. Ta xét dấu
∆
m –3 – 2
7
–3 + 2
7
∆
+ 0 – 0 +
Vậy khi m < –3 – 2
7
hoặc m > –3 + 2
7
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Ta có: x
1
+ x
2
= –m – 1 (1) ; x
1
. x
2
= 5 – m (2).
Từ (2) suy ra: m = –x
1
.x
2
+ 5
Thay vào (1): x

1
+ x
2
= x
1
.x
2
– 6
Vậy hệ thức cần tìm là x
1
+ x
2
– x
1
.x
2


+ 6 = 0
6. Một số hệ thức khác:
Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có:
 Hai nghiệm trái dấu
⇔
P < 0
 Hai nghiệm đều dương
⇔

0
S > 0
P > 0
∆ ≥





 Hai nghiệm đều âm
⇔
0
S < 0
P > 0
∆ ≥





Ví dụ:
Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x
2
+ 2(m + 1)x + m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương
Hướng dẫn:
a) Phương trình có hai nghiệm dương khi:
( )
m - 1 0

' = m + 3 0
2 m + 1
S = - > 0
m - 1
m + 2
P = > 0
m - 1
≠


∆ ≥








⇔
m 1
m -3
-1 < m < 1
m < -2 hay m > 1
≠


≥






⇔
m
∈
∅
b) Phương trình có đúng một nghiệm dương khi xảy ra một trong các trường hợp sau:
• Có nghiệm kép dương:
⇔
0

-b m + 1
x = = - > 0
2a m - 1
∆ =






⇔
m = -3
m + 1
- > 0
m - 1







⇔
không có giá trò của m
• Có một nghiệm bằng 0; một nghiệm dương
⇔
x = 0 suy ra m = -2. Lúc đó nghiệm thứ hai
là x = -
2
3
không thoả mãn
• Có hai nghiệm trái dấu
⇔
(m – 1)(m + 2) < 0

⇔
-2 < m < 1
B. LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho phương trình x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6
c) Xác đònh m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trò nhỏ nhất
Hướng dẫn:
a) Ta có
Δ
= (2m – 3)
2
– 4(m
2
– 3m) = 9 > 0
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) x
1
= m – 3; x
2
= m
⇒
1 < x
1
< x

2
< 6
⇔
1 < m – 3 < m < 6
⇔
4 < m < 6
c) x
1
2
+ x
2
2
= (m – 3)
2
+ m
2
= 2m
2
– 6m + 9 = 2( m
2
– 3m +
2
9
) = 2(m –
2
3
)
2
+
2

9

≥
2
9
Vậy giá trò nhỏ nhất của x
1
2
+ x
2
2
là
2
9
khi m =
2
3
Bài 2:
Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
≠
1
b) Xác đònh giá trò của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy
tính tổng hai nghiệm của phương trình
c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x

2
thoả mãn hệ thức:
0
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
=++
Hướng dẫn:
a)
Δ
’ = m
2
– (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
≠
1
b) Áp dụng đònh lý Viét ta có: x
1
.x
2
=
1m
1m
−

+
= 5
⇒
m =
2
3


⇒
x
1
+ x
2
=
1m
m2
−
= 6

a) x
1
+ x
2
=
1m
m2
−
=
1m
m2

−
– 1 + 1 =
2m-(m-1) m+1
+1= +1=
m-1 m-1
x
1
.x
2
+ 1
Vậy hệ thức cần tìm là: x
1
.x
2
– (x
1
+ x
2
) + 1 = 0
d)
0
2
5
x
x
x
x
1
2
2

1
=++

⇔
2(x
1
2
+ x
2
2
) + 5x
1
x
2
= 0
⇔
2[(x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
] + 5x
1
x
2

= 0
⇔
2(x
1
+ x
2
)
2
+ x
1
x
2
= 0
⇔
2.
( )
1m
1m
1m
m4
2
2
−
+
+
−
= 0
⇔
9m
2

= 1
⇔
m =
3
1
±
Bài 3:
Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
– 4m + 5 = 0
a) Đònh m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tính x
1
2
+ x
2
2
theo m
c) Tìm m sao cho x
1
2
+ x
2
2

= 12
Hướng dẫn:
a) Ta có
∆
’ = (m + 1)
2
– m
2
+ 4m – 5
= 6m – 4
Phương trình có nghiệm khi
∆
’
≥
0
⇔
m
≥

2
3
b) p dụng hệ thức Viet ta có S = x
1
+ x
2
= 2(m + 1)
P = x
1
. x
2

= m
2
– 4m + 5
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 12
4(m + 1)
2
– 2m
2
+ 8m – 10 = 12
2m
2
+ 16m – 6 = 12
m
2

+ 8m – 9 = 0
m
1
= 1; m
2
= -9 (loại)
Bài 4:
Cho phương trình x
2
+
2
mx – m
2
+ m – 1 = 0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m. Xác đònh
dấu của các nghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trò
nhỏ nhất

Hướng dẫn:

a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m
2
+ m – 1 = -(m -
1
2
)
2
-
3
4
< 0 nên ac < 0 với mọi
m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu
b) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= -
2
m; P = x
1
.x
2
= – m
2
+ m – 1
x
1
2
+ x
2

2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
.x
2
= 2m
2
+ 2m
2
– 2m + 2
= 4m
2
– 2m + 2
= (m -
1
2
)
2
+
7
4

≥

7
4
với mọi m
Vậy giá trò nhỏ nhất của x
1
2
+ x
2
2
là
7
4
khi m =
1
2
Bài 5:
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x
2
– 2x – m
2
– 4 = 0
a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x
1
2
+ x

2
2
= 20
c) Giải phương trình khi m = -2
Hướng dẫn:
a) Ta có:
∆
’ = 1 + m
2
+ 4 = m
2
+ 5 > 0
∀
m. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với
mọi giá trò của m
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S = x
1
+ x
2
= 2; P = x
1
.x
2
= – m
2
– 4
mà x
1
2
+ x

2
2
= 20 hay (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 20
4 + 2m
2
+ 8 = 20
2m
2
= 8
m
2
= 4
m =
±
2
c) Khi m = -2 ta có phương trình: x
2
– 2x – 8 = 0. Giải phương trình này ta được hai nghiệm x
1
=

4; x
2
= -2
Bài 6:
Cho phương trình 2x
2
– 5x + 1 = 0
Tính
1 2 2 1
x x x x+
(x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình)
Hướng dẫn:
Ta có:
∆
= 25 – 8 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng đònh lý Viét : S = x
1
+ x
2
=
2
5
> 0; P = x
1
.x
2

=
2
1
> 0
⇒
hai nghiệm của phương trình
đều là nghiệm dương
⇒
( )
2
225
2
1
2
2
5
2
2211
2
21
+
=+=++=+ xxxxxx

⇒

2
225
21
+
=+ xx

A =
1 2 2 1
x x x x+
=
( )
2121
xxx +x

=
2
225
2
1 +
⋅
=
225
2
1
+⋅
Bài 7:
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
Hướng dẫn:
a)
∆
’ = (m – 1)
2

– m + 3
= m
2
– 3m + 4
= (m –
2
3
)
2
+
4
7
> 0 với mọi giá trò của m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Áp dụng đònh lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= 2(m – 1) ; x
1
.x
2
= m – 3
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x
1
+ x
2
= 2(m – 1) = 0
m = 1
Bài 8:

Cho hai phương trình: x
2
– (2m + n)x – 3m = 0 (1)
x
2
– (m + 3n)x – 6 = 0 (2)
Tìm m và n để hai phương trình tương đương
Hướng dẫn:
Xét hai phương trình: x
2
– (2m + n)x – 3m = 0 (1)
x
2
– (m + 3n)x – 6 = 0 (2)
Ta có:
∆
1
= (2m + n)
2
+ 12m;
∆
2
= (m + 3n)
2
+ 24 > 0 với mọi m; n
⇒
phương trình (2) luôn luôn có 2
nghiệm phân biệt . Do đó để hai phương trình tương đương thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng đònh lý Viét ta có:




=
+=
-3mP
n2mS
1
1
và
2
2
S m 3n
P 6
= +


=

(1)
⇔
(2) nên P
1
= P
2
và S
1
= S
2

⇔




+=+
=
3nmn2m
63m-

⇔



=
=
-1n
-2m
Bài 9:
Cho phương trình x
2
+ mx + n – 3 = 0 (1)
a) với n = 0. Hãy chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm
b) Tìm m; n sao cho



=−
=−
7xx
1xx
2

2
2
1
21
với x
1
; x
2
là các nghiệm của (1)
Hướng dẫn:
a) Phương trình x
2
+ mx – 3 = 0 có
∆
= m
2
+ 12 > 0 với mọi m
b) p dụng đònh lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= -m; x
1
.x
2
= n - 3
x
1
2
– x

2
2
= (x
1
+ x
2
)(x
1
– x
2
) = 7
⇒
m = -7 và x
1
= 4; x
2
= 3
⇒
n = 15
Bài 10:
Cho phương trình x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m
c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m
Hướng dẫn:
a) Khi m = 2 ta có phương trình: x
2
– 2x – 1 = 0 . Giải phương trình ta được:

x
1
= 1 +
2
; x
2
= 1 –
2
b) Ta có:
∆
’ = (m – 1)
2
– m + 3
= m
2
– 3m + 4
= (m –
3
2
)
2
+
7
4

≥

7
4
> 0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2m – 2
P = x
1
. x
2
= -m + 3
⇒
S + 2P = 4
Vậy hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là: x
1
+ x
2
+ 2 x
1
. x
2
= 4
Bài 11:
Cho phương trình x
2
– 10x – m
2
= 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trò m
≠

0
b) Chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1) là nghòch đảo của các nghiệm của
phương trình: m
2
x
2
+ 10x – 1 = 0 (2) với m
≠
0
c) Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện
6x
1
+ 5x
2
= 5
Hướng dẫn:
a) Vì a = 1 > 0; c = -m
2
< 0
⇒
ac < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m khác 0
b) Gọi a là nghiệm của phương trình (1) ta có: a
2
– 10a – m
2
= 0
Vì a khác 0 nên chia cả hai vế cho a
2
ta được: 1 – 10.

– m
2
.
2
1
a
= 0
Hay: m
2
.
2
1
a
+ 10.

- 1 = 0

⇒


là nghiệm của phương trình m
2
x
2
+ 10x – 1 = 0
Vậy nghiệm của phương trình (1) là nghòch đảo của các nghiệm của phương trình:
m
2
x
2

+ 10x – 1 = 0 (2) với m
≠
0
c) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 10; P = x
1
. x
2
= -m
2
Kết hợp với giả thiết 6x
1
+ 5x
2
= 5 ta được x
1
= - 45 ; x
2
= 55
⇒
x
1
. x
2
= -m
2
= -2475

⇒
m =
2475±
Bài 12:
Cho ba số a; b; c thoả mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12. Chứng minh rằng
trong 3 phương trình sau: x
2
+ ax + b = 0 (1)
x
2
+ bx + c = 0 (2)
x
2
+ cx + a = 0 (3)
có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn:
Từ a > b > c > 0 và a + b + c = 12
⇒
3a > a + b + c = 12 > 3c
⇒
a > 4 > c
Δ
1
= a
2
– 4b > 4a – 4b = 4(a – b) > 0
⇒
phương trình x
2
+ ax + b = 0 có nghiệm

Δ
2
= c
2
– 4a < 4c – 4a = 4(c – a) < 0
⇒
phương trình x
2
+ cx + a = 0 vô nghiệm
Bài 13:
Xác đònh m để hai phương trình :
x
2
– mx + 2m + 1 = 0
mx
2
– (2m + 1)x – 1 = 0
có nghiệm chung
Hướng dẫn:
Gọi x
0
là nghiệm chung của hai phương trình ta có:

( )
( )
2
0 0
2
0 0
x mx 2m m 0 (1)

mx 2m 1 x 1 0 (2)

− + + =


− + − =


Từ (2) suy ra x
0

≠
0. Nhân cả hai vế của (1) với x
0
rồi cộng với (2) ta được: x
0
3
= 1
⇒
x
0
= 1
Thay x
0
= 1 vào hệ phương trình ta được:
m 2 0
m 2
m 2 0
+ =


⇒ = −

− − =

Vậy với m = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung
Bài 14:
Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn:
2
1
=+
b
1
a
1
. Chứng minh phương trình ẩn x
sau luôn có nghiệm (x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0
Hướng dẫn:
Xét phương trình (x
2
+ ax + b) = 0 (1) có
∆
1
= a
2
– 4b
Xét phương trình (x

2
+ bx + a) = 0 (2) có
∆
2
= b
2
– 4a
∆
1

+
∆
2
= a
2
+ b
2
– 4(a + b)
mà
2
1
=+
b
1
a
1

⇔
2(a + b) = ab
⇒

∆
1

+
∆
2
= a
2
+ b
2
– 4(a + b) = a
2
+ b
2
– 2ab = (a – b)
2

≥
0

⇒
Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Do đó phương trình (x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm