PP quy nap Toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. Mục tiêu:
1. Về ki ế ân thức: giúp học sinh nắm vững được:
- Thế nào là phương pháp quy nạp.
2. Về kó năng:
- Biết cách giải toán bằng phương pháp quy nạp
- Vận dụng vào làm được bài tập sách giáo khoa
3. Về tư duy, thái độ:
- Có nhiều sáng tạo, tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo trong học tập.
- Tư duy các vấn đề của toán học, thực tế một cách lôgic và hệ thống.
- Cẩn thận trong tính toán và trình bày.
- Tích cực hoạt động trả lời câu hỏi
II. Phương pháp và phương tiện dạy học:
1. Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp diễn giải, đặt vấn đề.
2. Phương tiện:
- Giáo án, sách giáo khoa, bảng phụ.
- Phấn màu.
III.Chuẩn bò:
- Giáo viên: giáo án, phấn màu, bảng phụ…
- Học sinh: xem trước bài mới.
IV.Tiến trình bài học:
1. Ổn đònh lớp, kiểm tra só số.
2. Kiểm tra bài cũ.
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học
- Treo bảng phụ kẻ bảng xét tính đúng sai
của mệnh đề P(n), Q(n) trong hoạt động 1.
- Cho học sinh xét xem với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì
mệnh đề P (n), Q (n) đúng hay sai?

- Q(n) đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5. Vậy Q(n)
đúng với mọi
∗
Ν∈n
đúng không?
- Muốn chứng tỏ một mệnh đề chứa biến
đúng ta phải làm thế nào?
Chưa thể kết luận được
vì ta chưa kiểm tra với n
= 6, 7, 8
- Để chứng tỏ một mệnh
đề chứa biến đúng ta
cần chứng minh nó đúng
trong mọi trường hợp.
- Để chứng tỏ một mệnh
đề chứa biến sai ta chỉ
n 2
n
Q
(n)
1
2
3
4
5
2
4
8
16
32

Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
n 3
n
n + 100 P
(n)

1
2
3
4
5
3
9
27
81
243
101
102
103
104
105
Đ
Đ
Đ
Đ
S

- Muốn chứng tỏ mệnh đề chứa biến sai, ta
phải làm thế nào?
- Dù Q(n) đúng với n = 1,2,3,4, 5 nhưng chưa
thể kết luận Q(n) đúng với mọi
∗
Ν∈n
được,
ta lại không thể thử hết tất cả các giá trò nên
phải sử dụng một phương pháp là phương
pháp quy nạp toán học.
cần chỉ ra một trường hợp sai.
Để chứng minh một mệnh đề chứa biến đúng với
mọi
∗
Ν∈n
bằng phương pháp quy nạp toán học ta
tiến hành 2 bước:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự
nhiên bất kì n = k (gọi là giả thiết quy nạp), chứng
minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.
Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh với
∗
Ν∈n
, ta có đẳng
thức
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3

6
n n n
n
+ +
+ + + + =
(1)
- Kiểm tra rằng (1) đúng với n=1
- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k > 1 ta
có đẳng thức nào đúng?
- Vì ta đã giả sử (1) đúng với n = k ≥1 nên ta
thay giá trò của S
k
vào S
k+1
để chứng minh (1)
cũng đúng với n = k+1.
- Giáo viên làm từng bước để học sinh theo
dõi.
- Lưu ý học sinh sau khi chứng minh xong
phải ghi kết luận.
Ví dụ 2 Chứng minh với
∗
Ν∈n
thì n
3
– n
chia hết cho 3
- Trình bày kết quả:
Bước 1: n = 1

2
1 1
1.2.3
1
6
VT
VP

= =


= =


⇒
(1) đúng khi n=1
Bước 2: đặt VT = S
n
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥1, tức là:
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3
6
k k k
k
+ +
+ + + + =
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức
là:
2 2 2 2

1
1 2 ( 1)
k
S k k
+
= + + + + +

( 1)( 2)(2 3)
=
6
k k k+ + +
Theo giả thiết quy nạp ta có:
2
1
( 1)
k k
S S k
+
= + +
=
( 1)(2 1)
6
k k k+ +
+
2
( 1)k +
=
3 2
2 3
6

k k k+ +
+
2
6 12 6
6
k k+ +
=
3 2
2 9 13 6
6
k k k+ + +
=
( 1)( 2)(2 3)
6
k k k+ + +
(đpcm)
Vậy (1) đúng với mọi
∗
Ν∈n
Đặt A
n
= n
3
– n
Với n = 1 ta có: A
1
= 1
3
– 1 = 0
M

3
Hướng dẫn học sinh làm từng bước bằng
phương pháp quy nạp toán học:
- Yêu cầu học sinh thực hiện bước 1.
- Giả sử với n = k ≥ 1 đúng nghóa là ta có
điều gì?
- Cần chứng minh điều gì?
- Hướng dẫn học sinh tách VP thành A
k
cộng
với một thành phần chia hết cho 3.
Giả sử với n = k ≥ 1 ta có A
k
= (k
3
– k)
M
3
Ta phải chứng minh A
k+1

M
3, thực vậy ta có:
A
k+1
= (k + 1)
3
– (k + 1) = k
3
+ 3k

2
+ 3k + 1 – k - 1
= (k
3
– k) + 3(k
2
+ k)
= A
k
+ 3(k
2
+ k)
Theo giả thiết quy nạp A
k

M
3 và 3(k
2
+ k)
M
3 nên
A
k+1
M
3
Vậy A
n
= n
3
– n chia hết cho 3 với mọi

∗
Ν∈n
Hoạt động 3: Chú ý cho trường hợp tổng quát
Yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 3 sgk
- So sánh 3
n
và 8n với
*
n Ỵ ¥
- Dự đoán 3
n
> 8n khi nào?
- Lưu ý: n ≥ 3 khác với
*
n Ỵ ¥
, vậy ta có thử
với n = 1 nữa không
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng
với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là 1 số tự nhiên
thì)
- Ở bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng
với n = p
- Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với mọi
số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng
minh rằng nó cũng đúng với n = k+1
- Dự đoán 3
n
> 8n với mọi n là số tự nhiên và n ≥ 3
- Không, ta thử với n = 3
4. Củng cố:

- Để chứng minh một bài toán bằng phương pháp quy nạp ta cần làm theo 2 bước.
- Xem lại các ví dụ đã giải.
n 3
n
So sánh
8n
1 1
<
8
2 9 < 16
3 27 > 24
4 81 > 32
5 243 > 40