Giáo án giải tích 12 xen tự chọn (Chương 3_Nguyên hàm, tích phân)

CHƯƠNG 3 :NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG
§ 49. NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU
-Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số. Biết các tính chất cơ bản của nguyên
hàm.Thấy được mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm của hàm số.
-Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào định nghĩa và
bảng đạo hàm. Nắm bảng đạo hàm các hàm số thường gặp.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Kiểm tra bài cũ ( Không kiểm tra)
2. Bài giảng
Phương pháp Nội dung
- Yêu cầu học sinh thực hiện HĐ1
SGK.
(?) Có tìm các h/s nào khác không
Từ HĐ1 GV tổng quát : H/s F(x)
được tìm như trên gọi là nguyên hàm
của h/s f(x)
(?) Từ đó phát biểu định nghĩa khái
niệm nguyên hàm (yêu cầu học sinh
phát biểu, giáo viên chính xác hoá và
ghi bảng).
(?) Gọi h/s tìm nguyên hàm của các
h/s trong ví dụ
TQ; Như vậy bài toán tìm nguyên
hàm là bài toán ngược của tính
đạo hàm . Hay để tìm nguyên hàm
của f(x) ta tìm hàm số F(x) mà
F'(x) = f(x)
(?) Tìm thêm những nguyên hàm

khác của các hàm số nêu trong ví dụ
trên?
I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
HĐ 1: Tìm hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x)với
a. f(x) = 3x
2
với
( ; )x∈ −∞ +∞
b.
2
1
( )
os
f x
c x
=
với
( ; )
2 2
x
π π
∈ −
LG: a. F(x) = x
3
b. F(x) = tan x
a) Định nghĩa
-Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của R.
- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x)được
gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu:

F'(x) = f(x)
x∀ ∈
K.
b) Ví dụ: Tìm một nguyên hàm các hàm số
a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ f(x) =
1
x
trên (0; +∞)
c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞)
Thực hiện:
a) F(x) = x
2
là nguyên hàm của f(x) = 2x trên (-∞; +∞)
vì F’(x) = (x
2
)’=2x
( )
; x∀ ∈ −∞ + ∞
b) F(x) = ln
x
c)F(x) = sinx
c) Định lý:
ĐL1:F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì
G(x) = F( x) + C ( C:hằng số) cũng là một nguyên
hàm của f(x) trên K.
ĐL2: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì
mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C,
C: hằng số.
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
122

- Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận
xét tổng quát rút ra kết luận là nội
dung định lý 1 và định lý 2 SGK.
GV hướng dẫn hs ký hiệu nguyên
hàm Yêu cầu học sinh làm ví dụ
trên băng cách ghi ký hiệu Giáo viên
có thể hướng dẫn học sinh nếu cần,
chính xác hoá lời giải của học sinh và
ghi bảng.
Dựa vào t/ c đạo hàm ta có t/c 1; 2;3
của tích phân như sau :Để tính
nguyên hàm ta tách thành 2 nguyên
hàm
(?) Gọi hs đứng tại chỗ làm ví dụ
(?) Giáo viên cho học sinh phát biểu
và thừa nhận định lý 3.
(?) Nêu công thức tính đạo hàm h/s
lũy thừa; h/s mũ; h/s lượng giác. Từ
đó nêu công thức tính nguyên hàm
các h/ s thường gặp
(?) Gọi hs lên bảng tính . GV cho hs
nx và chính xác hóa
• KH: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K
=> F(x) + C (với C
∈
R) là họ tất cả các nguyên
hàm của f(x) trên K.
• Kí hiệu:
( ) ( )f x dx F x C= +

∫

• Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của
nguyên hàm F(x) của f(x)vì dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Ví dụ :
2
2xdx x C= +
∫

x R
∀ ∈

1
ln (0; )dx x C x
x
= + ∀ ∈ +∞
∫
;
cos sin ( )xdx x C x R
= + ∀ ∈
∫
2. Tính chất của nguyên hàm
TC1:
'( ) ( )f x dx f x C= +
∫
TC2:
( ) ( )kf x dx k f x dx=
∫ ∫
TC3:
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +

∫ ∫ ∫
Ví dụ : ∫(3sinx +4x
3
)dx = 3∫sinxdx + ∫4x
3
dx
= -3cosx + x
4
+C
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
ĐL3: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm
trên K
4.Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

0dx C=
∫
;
dx x C= +
∫
cos sinxdx x C= +
∫

1
1
1
x dx x C
α α
α
+
= +

+
∫
( Với
1
α
≠ −
)
sin xdx cosx C= − +
∫

1
lndx x C
x
= +
∫
2
1
tandx x C
cos x
= +
∫

ln
( 0, #1)
x
x
a
a dx C
a
a a

= +
>
∫
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫

x x
e dx e C= +
∫
Ví dụ : Tính nguyên hàm của hàm số
2
3
1
(2 )x dx
x
+
∫
= 2∫x
2
dx + ∫
2
3
x
−

dx =
2
3
x
3
+ 3
1
3
x
+ C
3. Củng cố
+ Nhắc lại định nghĩa, một số tính chất của nguyên hàm, bang nguyên hàm các hs
thường gặp
+ Học bài và làm bài tập 1 ,2 SGK ( trang 100.)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
123

BS : ÔN T P V O HÀM VÀ XÁC NH NGUYÊN HÀM(T1)Ậ Ề ĐẠ ĐỊ
I. MỤC TIÊU
- Ôn tập quy tắc tính đạo hàm , công thức tính đạo hàm các h/s thường gặp
-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm
bằng đn các h/s đơn giản
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ
(?) Nêu quy t c tính đ/h c a t ng hi u tích th ng. B ng đ o hàm các h/s th ng g pắ ủ ổ ệ ươ ả ạ ườ ặ
(?) Nêu định nghĩa và tính chất của ng/h. Nêu bảng ng/h các hs thường gặp
2.Bài m iớ
Phương pháp Nội dung
(?) GV g i 3 h/s làm Bài 1; 2(a;b)ọ
D i l p GV ki m tra v BT và ướ ớ ể ở

yêu c u h/s làm BT sau ầ
BT1: CMR hai h/s sau cùng là
nguyên hàm c a m t h/s ủ ộ

2 2
2
2
6 1 10
) ( ) ; ( )
2 3 2 3
1
) ( ) ; ( ) 10 cot
sin
x x x
a F x G x
x x
b F x G x x
x
+ + +
= =
− −
= = +
BT2:Ki m tra xem h/s nào là ể
nguyên hàm c a h/s nàoủ
2
2
sinx sinx
2
2
1

) ( ) ln( 1 ); ( )
1
) ( ) cos ; ( )
1
) ( ) ; ( ) 2 2
2 2
a f x x x g x
x
b f x e x g x e
x
c f x g x x x
x x
= + + =
+
= =
−
= = − +
− +

GV : G i hs nh n xét và chính xác ọ ậ
hóa
GV:G i hs lên b ng làm BT1(a), ọ ả
BT2(a) ; BT3 (Và HD hs n u c n)ế ầ
• Quy t c tính o hàm ắ đạ
2
( )' ' ' ;( )' '. . '
'. . '
( )' ( #0)
u v u v uv u v u v
u u v u v

v
v v
± = ± = +
−
=
• Vi phân: du=u’.dx
I.D ng toán 1ạ :Tìm h nguyên hàm b ng n;b ng o ọ ằ đ ả đạ
hàm các h/s th ng g p (CMR: F(x) là ng/hc a f(x))ườ ặ ủ
Bài 1(SGK): a) e
-x
là nguyên hàm c a - eủ
-x
b) sin
2
x là nguyên hàm c a sin2xủ
c)
4
(1 )
x
e
x
−
là nguyên hàm c a ủ
2
2
(1 )
x
e
x
−

Bài 2(SGK):
1
2 1 1
2
3 6 3
1
3
3
5 7 2
3 6 3
1 1
)
3 6 3
5 7 2
x x x x
a dx dx x dx x dx x dx
x
x
x x x C
−
+ + + +
= = + +
= + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b)
2 1 2 2
( )
(ln 2 1)
x x
x x x

x x
dx dx e dx e C
e e e
− −
−
= − = + +
−
∫ ∫ ∫
BT1: CMR hai h/s sau cùng là nguyên hàm c a m t h/s ủ ộ

2 2
2 2
2 6 20 2 6 20
) '( ) ; '( )
(2 3) (2 3)
x x x x
a F x G x
x x
− − − −
= =
− −
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
124

GV:g i hs nêu ph ng pháp làm Bài ọ ươ
2(d,e) SGK. Sau đó cho hs lên b ngả
trình bày
(?) G i hs nh n xét và chính xác ọ ậ
hóa . T đó t ng k t công th c tínhừ ổ ế ứ
nguyên hàm và ph ng pháp tính ươ

nguyên hàm
V y 2 h/s trên là ng/ h c a h/sậ ủ
2
2
2 6 20
( )
(2 3)
x x
f x
x
− −
=
−
BT2:Ki m tra xem h/s nào là nguyên hàm c a h/s nàoể ủ
2
2
1
) '( ) (ln( 1 ))' ( )
1
a f x x x g x
x
= + + = =
+
Bài 2(SGK)
1
) in5x.cos3 (sin8 sin2x)
2
1 1 1
in5x.cos3 ( sin8 sin2xdx)= cos8 cos2x+C
2 16 4

d s x x
s xdx xdx x
= +
−
= + −
∫ ∫ ∫
2 2
2 2
1 1
) tan 1; tan t anx
os os
e x x dx dx dx x C
c x c x
= − = − = − +
∫ ∫ ∫
• M t cách TQ ta có công th c tìm nguyên hàm sau:ộ ứ
1
cos sinkxdx x C
k
= +
∫

1
sin kxdx cosx C
k
= − +
∫

2
1 1

tandx kx C
cos kx k
= +
∫

2
1 1
cot
sin
dx kx C
kx k
= − +
∫
• tính nguyên hàm d ng:Để ạ
. ; . ; .dx dx dx
∫ ∫ ∫
sinkx sinmx coskx sinmx coskx cosmx

ta s d ng công th c bi n i l ng giác t tích ử ụ ứ ế đổ ượ ừ
v t ng r i s d ng công th c trên ề ổ ồ ử ụ ứ

3. C ng củ ố
- Ph ng pháp tính nguyên hàm b ng đn và s d ng b ng nguyên hàm các hàm s ươ ằ ử ụ ả ố
th ng g pườ ặ
-Công th c tính nguyên hàm các hàm s l ng giácứ ố ượ

ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
125

§ 50 NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU
-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm.
- Biết phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.Vận dụng phương pháp đổi biến
số để tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ
(?) Nêu công th c tính đ o hàm c a hàm h p, công th c tính vi phânứ ạ ủ ợ ứ
2. Bài m iớ
Phương pháp Nội dung
(?) Gọi hs đứng tại chỗ tìm ∫(x-1)
2
dx
HS: =∫(x
2
-2x+1)dx
Gv đặt vấn đề cho học sinh là:
∫(x-1)
2013
dx có tìm theo phương pháp
trên ?
- HD học sinh giải quyết vấn đề bằng
định lý 1(SGKT98)
(?) Tính vi phân du và nguyên hàm I
theo u
GV nêu Định lý 1 và các bước tìm
nguyên hàm bằng phương pháp đổi
biến
(Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu
nếu tính nguyên hàm theo biến mới).

II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm I= ∫(x-1)
2013
dx
Đặt u= u(x)= x-1
⇒
du=(x-1)’dx=dx
Ta có

( )
2013
2013 2014
2014
1
x 1 dx
2014
1
( 1)
2014
I u du u C
I x C
= − = = +
⇒ = − +
∫ ∫
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý1 :Nếu
( ) ( )f u du F u C= +
∫
và u = u(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục thì

( ( )). '( ) ( ( ))f u x u x dx F u x C= +
∫
• Phương pháp tìm nguyên hàm bằng phương pháp
đổi đổi biến số :Chỉ áp dụng các h/s có thể phân tích
về dang g(x)dx=f(u(x).u’(x)dx . Khi đo ta thực hiện
+B1: Đặt u= u(x)
⇒
du=u’(x).dx . Khi đó ta tính
g(x)dx theo biến u và du .Giả sử g(x)dx=f(u)du
hay
( ) ( )g x dx f u du=
∫ ∫
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
126

- Nêu vd và y/c học sinh thực hiện.
HD học sinh làm a.
(?) Đặt u =?
(?) Viết biểu thức theo biền u vàdu
(?) Tìm
6
u du
∫
rồi chuyển về biến x
GV gọi 3 hs làm các ý còn lại.
GV cho hs nhận xét và chính xác hóa
bài làm của hs
GV cho hs nhận dạng một vài phép
đổi biến Thông thường:
1. Nếu h/s có chứa lũy thừa ta đặt

biểu thức trong lũy thừa là u(x)
2. Nếu h/s có chứa ln ta đặt u(x)là ln
3. Nếu h/s có chứacăn ta đặt u(x) là
biểu thức căn
4. Nếu h/s có chứa h/s lượng giác ta
đặt u(x) là biểu thức lượng giác
+B2: Tìm nguyên hàm
( ) ( )f u du F u C= +
∫
+B3: Đổi lại biến x bằng cách thay u=u(x)và KL

( )g x dx =
∫
F(u(x))+C
Ví dụ: Tìm họ các nguyên hàm sau
a. A=
6
(sinx 2) cos xdx+
∫
b. B=
2x 1
e dx
+
∫
c. I=
ln 2x
dx
x
+
∫

d. D=
5
( 1)
x
dx
x +
∫
Lời giải :
a. A=
6
(sinx 2) cos xdx+
∫
Đặt u= sinx +2
⇒
du=cosxdx . Khi đó (sinx+2)
6
cosxdx=u
6
du

6
(sinx 2) cos xdx+
∫
=
6 7 7
1 1
(sinx 2)
7 7
u du u C C= + = + +
∫

Vậy A=
7
1
(sinx 2)
7
C+ +
b. B=
2x 1
e dx
+
∫
Đặt u=2x+1

2 1 2 1
1 1 1
B
2 2 2
x u u x
e dx e du e C e C
+ +
⇒ = = = + = +
∫ ∫
c. I=
ln 2x
dx
x
+
∫
Đặt u=lnx+2
⇒

2 2
ln 2 1 1
(ln 2)
2 2
x
I dx udu u C x C
x
+
= = = + = + +
∫ ∫
d. D=
5
( 1)
x
dx
x +
∫
Đặt u=(x+1)
5

2 2
2
1
( 1)
1 1
ln
x u
D dx du
x u

du u du u C
u u
−
−
⇒ = =
+
= − = + +
∫ ∫
∫ ∫
Chú ý:
• Nếu u=ax+b( với a#0) thìdu=a.dx hayadx =d(ax+b)
• Nếu u=sinx thì du=cosxdx hay cosxdx = d(sinx)
Nếu u=cosx thì du=-sinxdx hay -sinx dx =d(cosx)
Nếu u=tanx thì du=
2
1
os
dx
c x
hay
2
1
os
dx
c x
=d(tanx)
Nếu u=cotx thì du=
2
1
sin

dx
x
−
hay
2
1
sin
dx
x
−
=d(tanx)
• Nều u=lnx thì du=
1
dx
x
hay
1
dx
x
=d(lnx)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
127


1 1
ln ax ( ói #0)
ax
dx b C v a
b a
⇒ = + +

+
∫
3. Củng cố
+ Nhắc lại bảng nguyên hàm và phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.
+Một vài cách đổi biến
+ BTVN: 2 ,3 :SGK ( trang 100 ); Bài 3.4(SBT)
TCBS NGUYÊN HÀM(T2)
TÍNH NGUYÊN HÀM THEO PH NG PHÁP I BI N ƯƠ ĐỔ Ế
I. MỤC TIÊU
-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm.
-Vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của một số hàm
số . Nhớ lại phương pháp đồng nhất thức hàm số hưu tỉ
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ (cùng bài gi ng)ả
2. Bài m iớ
Phương pháp Nội dung
GV: Gọi 4 hs lên bảng làm
HS1; Nêu ph ng pháp tính nguyên ươ
hàm theo ph ng pháp đ i bi n. Các ươ ổ ế
b c làmướ
HS2: 3.4(a)
HS3:3.4(b)
HS4:3.4(c)
Dưới lớp yêu cầu hs quan sát bài
làm của bạn và làm các bài tập sau
BT3: Xác định nguyên hàm sau:

2
1
1

J dx
x
=
−
∫
;
2
1
4
I dx
x
=
+
∫

II. Dạng to á n 2 : Tính nguyên hàm theo phương pháp
đổi biến
1. Dạng
( )
g x dx
∫
với g(x)dx=f(u(x).u’(x)dx. Khi đó
+B1: Đặt u= u(x)
⇒
du=u’(x).dx . Khi đó ta tính
g(x)dx theo biến u và du .Giả sử g(x)dx=f(u)du
hay
( ) ( )g x dx f u du=
∫ ∫
+B2: Tìm nguyên hàm

( ) ( )f u du F u C= +
∫
+B3: Đổi lại biến x bằng cách thay u=u(x)và KL

( )g x dx =
∫
F(u(x))+C
Bài 3.4(SBT)
a). Đặt
3 3
1 x t+ =
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
128

GV cho hs nhận xét và chính xác
hóa bài làm của hs
GV: Gọi 3 hs làm bài 3.4(g,h,l)
Dưới lớp HD hs xác định nguyên
hàm J : Phân tích

2
1 1
1 ( 1)( 1) 1 1
A B
x x x x x
= = +
− − + − +

(?) Gọi hs tìm A,B
GV cho hs nhận xét và chính xác

hóa bài làm của hs và củng cố một
số cách đổi biến thường gặp: Biểu
thức chứa căn; Biểu thức chứa ln;
Biểu thức e
u
; biểu thức chứa
GTLG
(?) Để tìm A,B ta có những cách nào
(HS: C1: Đồng nhất thức
C2; Cho x các giá trị lập hệ
phương trình tìm A,B
(?) Xác dịnh J bằng cách phân làm 2
nguyên hàm
GV: HD hs làm b)
1 1
ln ax ( ói #0)
ax
dx b C v a
b a
= + +
+
∫
(?) Biến đổi biểu thức dx và x
2
+4
theo biến t
3 3 2 2 2 2
3 32 3 2 3 4 3
4
3 32 3 3 3 3

3
1 3 3
1
1 . ( ói 1 )
4
1 1
â 1 ( 1 ) (1 ) 1
4 4
x t x dx t dt x dx t dt
x x dx t t dt t dt t C V t x
V y x x dx x C x x C
⇒ + = ⇒ = ⇒ =
+ = = = + = +
+ = + + = + + +
∫ ∫ ∫
∫
b). Đặt t=-x
2
2
2
dt
dt xdx xdx
−
⇒ = − ⇒ =
2 2
1 1 1
ây
2 2 2
x t t x
V xe dx e dt e C e C

− −
− − −
= = + = +
∫ ∫
c . Đặt t= 1+x
2

2
2
dt
dt xdx xdx⇒ = ⇒ =
Vậy
2
2 2 2 2
1 1 1 1
(1 ) 2 2 2 2(1 )
x dt
dx t dt C C
x t t x
−
− −
= = = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
g. Đặt=lnx
.
dx
dt
x
⇒ =

2
2 3 3
(ln ) 1 1
â (ln )
3 3
x
V y dx t dt t dt C x C
x
= = + = +
∫ ∫
h. Đặt t=
cos sin xt x dt dx
= ⇒ = −
2 1
3
3 3
3 32 2
sinx
â 3 3 cos
os
dt
V y dx t dt t C x C
c x t
−
−
= = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
l. Đặt
2

sinx cos sinx cos 2 (sinx cos )t x t x tdt x dx= − ⇒ = − ⇒ = +
cos sin 2
2 2 2 sinx cos
sinx cos
x x tdt
dx dt t C x C
t
x
+
= = = + = − +
−
∫ ∫ ∫
BT3: b)
2
1
4
I dx
x
=
+
∫
. Đặt

2 2
2
2
4
4 4(1 tan )
os
2

os
2.tan
x t
c t
dx dt
c t
x t
+ = + =
=


= ⇒



2
2 2
1 os 2. 1 1
.
4 4 os 2 2
1
tan
2 2
c t dt
I dx dt t C
x c t
x
acr C
= = = = +
+

= +
∫ ∫ ∫
a)
2
1
1
J dx
x
=
−
∫
. Ta có
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
129

(?) Chuyển nguyên hàm I theo biến t
và tính nguyên hàm I
2
2
2
1 1
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 1 1
1 1
1 ; 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
ó ( )

1 1 1 2 1 1
1 1 1 1
â ( )
1 2 1 1
1 1 1
(ln 1 ln 1) ln
2 2 1
A B
A x B x
x x x x x
Cho x A Cho x B
Ta c
x x x x x
V y dx dx dx
x x x
x
x x C C
x
= = + ⇒ = + + −
− − + − +
= ⇒ = = − ⇒ = −
−
= + = −
− − + − +
= −
− − +
−
= − − + + = +
+
∫ ∫ ∫

3. Củng cố + phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.
+BTAD tương tự (về nhà) :Tìm
2
1
1
dx
x +
∫

Tìm các ng/h sau (HD:phân tích mẫu thành nhân tử rồi dùng phương pháp đồng nhất
thức)
2
2 2 3 3
1 1 1 3 3 3
; ; ;
3 4 2 3 1 3 2
x x x
A dx B dx C dx D dx
x x x x x x x x
+ + +
= = = =
+ − − + − − +
∫ ∫ ∫ ∫

TC NGUYÊN HÀM(T3)
( NGUYÊN HÀM HÀM H U T . PH NG PHÁP NG NH T TH C) Ữ Ỷ ƯƠ ĐỒ Ấ Ứ
I. MỤC TIÊU
-Vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của một số
hàm số .
- Nắm được phương pháp tính nguyên hàm hàm số hữu tỉ bằng phương pháp

đồng nhất thức
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ (cùng bài gi ng)ả
2. Bài m iớ
Phương pháp Nội dung
GV:Gọi 3 hs làm nguyên hàm A;B;C
Dười lớp yêu cầu hs quan sát bài làm
II I . Dạng to á n 3 : Tính nguyên hàm theo phương
pháp đông nhất thức
•
2
1
;
3 4
A dx
x x
=
+ −
∫
Ta có
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
130

của bạn và làm BT sau:
sinx 3cos
1: ( )
2sin ox
2cos sinx
2sin ox
im ; à ( )

x
BT Cho f x
x c
x
A B
x c
T A B v f x dx
−
=
+
−
= +
+
∫
BT2: Xđ:
3 2
2
2 10 16 1
5 6
x x x
I dx
x x
− + −
=
− +
∫

(?) Gọi hs nhận xét và chính xác hóa
nguyên hàm A;B;C
GV: Gọi chữa nguyên hàm D

(?) B1; Phân tích mẫu thành nhân tử
sau đó đồng nhất thức thành tổng
các phân thức
(?)B2: Nêu cách tìm và tìmA;B; C.
(?) B3: Tìm nguyên hàm D
Từ các ví dụ trên Gv TQ cho hs cách
tìm nguyên hàm loại này
GV: Cho hs nêu P
2
làm 2 BT trên
lớp:
BT2: Thực hiên chia đa thức đua
2
2
1 1 1 1
;
3 4 ( 1)( 4) 1 4 5 5
1 1 1 1 1 1
( ) ln
3 4 5 1 4 5 4
A B
A B
x x x x x x
x
A dx dx dx C
x x x x x
= = + ⇒ = = −
+ − − + − +
−
= = − = +

+ − − + +
∫ ∫ ∫
•
2
1
2 3 1
x
B dx
x x
+
=
− +
∫
. Ta có
2
2
1 1
2; 3
2 3 1 ( 1)(2 1) 1 2 1
1 1 1
2 3
2 3 1 1 2 1
3
2ln 1 ln 2 1
2
x x A B
A B
x x x x x x
x
B dx dx dx

x x x x
x x C
+ +
= = + ⇒ = = −
− + − − − −
+
= = −
− + − −
= − − − +
∫ ∫ ∫

•
3
1
C dx
x x
=
−
∫

3
3
1 1
( 1)( 1) 1 1
1 1
1; ;
2 2
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1
1 1

ln ln 1 ln 1
2 2
A B D
x x x x x x x x
A B D
dx dx dx dx
x x x x x
x x x C
= = + +
− − + − +
⇒ = − = =
= − + +
− + −
= − + + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2
3
3 3 3
3 2
x x
D dx
x x
+ +
=
− +
∫

Ta có :
2 2

3 2 2
3 3 3 3 3 3
3 2 ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2
x x x x A B C
x x x x x x x
+ + + +
= = + +
− + − + − − +
2
2; 3; 1
2 3 1
1 ( 1) 2
3
2ln 1 ln 2
1
A B C
D dx dx dx
x x x
x x C
x
⇒ = = =
⇒ = + +
− − +
= − − + + +
−
∫ ∫ ∫
Tổng quát : Để xác định nguyên hàm hàm hữu tỉ(có
bậc mẫu nhỏ hơn bậc của tử) ta phân tích mẫu thành
tích sau đó dùng p
2

đồng nhât thức chia thành các
ng/h
Vd :
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
131

về nguyên hàm hàm hữu tỉ
BT1:Tìm A;B sau đó chia thành 2
ng/h .Rồi dùng p
2
đổi biến tính ng/ h
còn lại
1
1 2 1
1
1
( )

( )( ) ( )
( )

( ) ( ) ( )

( )
n
n n
n
n m n
m
m

A
Af x
dx dx dx
x x x x x x x x x x
A
Af x
dx dx dx
x a x b x a x a
B
B
dx dx
x b x b
+ = + +
− − − − −
+ = + +
− − − −
+ + +
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Chú ý :
1 1
ln ax ( ói #0)
ax
dx b C v a
b a
= + +
+
∫

( Nếu bậc tử lớn hơn bậc của mẫu ta thực hiện chia
đa thức sau đó áp dụng cách tính trên
3. Củng cố + phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ
+BT(về nhà): Hoàn thiện Bt1;BT2
BT3: Tìm nguyên hàm sau:

3
3 2 2 2
1 2
; ;
2 2 2 3
x x
dx dx dx
x x x x x x x
+
+ + + − + −
∫ ∫ ∫
§51 NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU
-Biết phương pháp tính nguyên hàm từng phần
-Vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của một số
hàm số đơn giản.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
132

(?) Nêu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? Áp dụng: Tìm
9
(1 )x dx−

∫

(?) Tìm nguyên hàm
2
2
2
x
dx
x x
+
+ −
∫
2.Bài m i ớ
Phương pháp Nội dung
Hoạt động 1: Hình thành phương
pháp nguyên hàm từng phần.
( ?) Nêu CT tính đạo hàm của tích
HS : (uv)’= u’v+uv’

⇒
uv’=(uv)’-u’v
GV :
. ' ( . )' . 'u v dx u v dx v u dx= −
∫ ∫ ∫
=uv-
'u vdx
∫
( ?) Theo công thức tính vi phân thì
u’(x)dx= ?; v’(x) dx= ?
Hoạt động 2: Rèn luyện tính

nguyên hàm hàm số bằng phương
pháp nguyên hàm từng phần.
GV : Hd hs làm a/
(?) Tính du; v
(?) ADCT (2) Tính I=?
GV: HD hs đặt b; c Gọi hs lên bảng
trình bày
(?) Nhận xét , đánh giá kết quả và
chính xác hoá lời giải , ghi bảng ngắn
gọn và chính xác lời giải.
(?)yêu cầu học sinh điền vào bảng
cách đặt u ;dv
GV: Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học
sinh thực hiện tính khi sử dụng
phương pháp nguyên hàm từng phần
ở mức độ linh hoạt hơn.
( ?) Đặt u= ?; dv= ?. Thu được A=?
(?) Tính ∫x sin x dx . từ đó KL
nguyên hàm A=?
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
• Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v=v(x) có đạo
hàm liên tục trên K thì
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= −
∫ ∫
(2)
Chúy: u’(x)dx=du; v’(x) dx=dv nên CT (2) viết tắt dạng

vdu uv udv= −
∫ ∫
• Để tính ng/h

( )g x dx
∫
theo p
2
ng/h từng phần ta phải
viết g(x) dx dưới dạng : g(x)dx= u(x).v’(x) dx =u(x)dv
• VD1 : Tính các nguyên hàm sau :
a/ I=∫x e
x
dx ; b/ J=∫ x cos x dx; c/ K= ∫ lnx dx
Lời giải:
a/ Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
I= ∫x e
x
dx = x . e
x
- ∫ e
x
dx = x e
x
- e

x
+ C
b/ Đặt
u x du dx

dv cosxdx v sin x
= =
 
=>
 
= =
 

J= ∫ x cos x dx = x sin x - ∫sin dx = x sin x + cosx + C
c/ Đặt
1
u lnx
du dx
dv dx
v x
x

=
=


⇒
 
=



=

K= ∫ lnx dx = xlnx -
dx
∫
=xlnx - x + C
Tông quát ta có bảng sau đặt u và dv như sau:
( )
x
P x e dx
∫
( )cosP x xdx
∫
( )sinP x xdx
∫
( )lnP x xdx
∫
u P(x) P(x) P(x) lnx
dv e
x
dx cosxdx sinx dx P(x)dx
VD2: Tính nguyên hàm
a) A=
2
cosx xdx
∫
b)
sin x
x

B e dx=
∫
Bài làm
a/ Đặt
2
du 2xdx
u x
v sin x
dv cosx dx
=

=

⇒
 
=
=


do đó:
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
133

(?) GV gọi hs lên bảng làm b)(GV
HD nếu cần) .Dưới lớp quan sát,
nhận xét và chính xác hoá kế
t quả.
A= ∫x
2
cosxdx = x

2
sin x - ∫2x sin x dx
Đặt
u x du dx
dv sin x dx v cosx
= =
 
⇒
 
= = −
 
∫x sin x dx = - xcos x + ∫ cos x dx= - x cos x + sin x + C
Vậy A= x
2
sin x - 2 (- x cosx + sin x +C)
b)
sin x
x
B e dx=
∫
Đặt
sinx cos
sinx cos
osx sinx
* ính cos .
cos cosx+ sinx cosx sin x
â sin x sinx-( cosx sin x )
sin x
x x
x x

x
x x
x x x x x
x x x x
x
u du xdx
B e e xdx
dv e dx v e
u c du dx
T e xdx
dv e dx v e
e xdx e e dx e e dx C
Dov y e dx e e e dx C
B e dx
= =
 
⇒ ⇒ = −
 
= =
 
= = −
 
⇒
 
= =
 
= = + +
= + +
⇒ =
∫

∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
1 1
( sinx- cosx) -
2 2
x x
e e C
=
4. Củng cố
- Nhắc lại phương pháp tính nguyên hàm từng phần. cách đặt thông thường u và dv
đối với các nguyên hàm thường gặp
- BTVN - 4 SGK trang 100-101; 3.6; 3.7(SBT)
TC : NGUYÊN HÀM(T4)
(TÍNH NGUYÊN HÀM THEO P
2
NGUYÊN HÀM T NG PH N) Ừ Ầ
I. MỤC TIÊU
- Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần,
củng cố cách đặt u và dv để tìm nguyên hàm .
-Học sinh nhận dạng một số nguyên hàm tìm theo p
2
nguyên hàm từng phần
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
134

1. Ki m tra bài c (ể ũ Cùng bài gi ng)ả
2. Bài m i ớ

Phương pháp Nội dung
HĐ11:Rèn luyện tính nguyên hàm
hàm số bằng phương pháp nguyên
hàm từng phần.

GV : Gọi 4 hs lên bảng làm
HS1 : Nêu phương pháp tìm nguyên
hàm từng phần? Bảng đặt u và dv
tương ứng
HS2 :3.5(a,b)
HS3 : 3.5(c)
HS4 :3.5(d)
Dưới lớp :BT1: Tính nguyên hàm
2
/ ln(1 ) ;
sinx
/
os
x x
a e e dx
x
b dx
c x
+
+
∫
∫

(?) Nhận xét , đánh giá kết quả và
chính xác hoá lời giải bài của bạn.

Qua đó củng cố tính nguyên hàm
hàm hữu tỉ
(?) Gọi Hs đứng tại chỗ nêu cách làm
BT1(a).
IV: Dạng 4. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính
nguyên hàm từng phần
• Công thức:
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= −
∫ ∫
(2)

vdu uv udv= −
∫ ∫
( )
x
P x e dx
∫
( )cosP x xdx
∫
( )sinP x xdx
∫
( )lnP x xdx
∫
u P(x) P(x) P(x) lnx
d
v
e
x
dx cosxdx sinx dx P(x)dx
• Bài 3.5(SBT) :

a/ Đặt
x x
u 1-2x du -2dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
∫(1-2x) e
x
dx = (1-2x ). e
x
- ∫ (-2)e
x
dx
= (1-2x ) e
x
+2e
x
+ C= (3-2x) e
x
+2e
x
+ C
b/ Đặt
u x du dx

dv dx v -e

x x
e
− −
= =
 
=>
 
= =
 

∫ xe
-x
dx = -x e
-x
+∫ e
-x
dx = -x e
-x
- e
-x
+ C
c/ Đặt
2
1
du dx
u ln(1-x)
1
dv xdx
1
v

2
x
x

=

=


−
⇒
 
=


=



( )
2
2
2
2 2
1 1
xln 1 x dx ln(1 )
2 2 1
1 1 1
ln(1 ) ( 1 )
2 2 1

1 1 1 1
ln(1 ) ln 1
2 4 2 2
x
x x dx
x
x x x dx
x
x x x x x C
− = − −
−
= − − + +
−
= − − − − − +
∫ ∫
∫
d/
2
1 os2 1
sin . ( cos2 )
2 2
c x
x dx x dx xdx x xdx
−
= = −
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
du dx
u x
1

v sin2x
dv cos2x dx
2
=


=

⇒
  −
=
=



sin 2 sin 2 sin 2 os2
cos 2
2 2 2 4
x x x x x c x
x xdx dx C
− −
= + = − +
∫ ∫
• Chú ý: dv=p(x) dx thì
( )v p x dx=
∫
BT1: Tính nguyên hàm
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
135

GV : Chữa b/.
GV: Gọi 2 hs nêu cách tính I;J
(?) Nêu p
2
sử dụng tính ng.h I . Hãy
tính I
(?)Nêu p
2
sử dụng tính ng.h J . Hãy
tính J

(?) Cho hs nx và chính xác hóa
nguyên hàm . Qua đó củng cố
phương pháp đổi biến
a/ HD: Đặt
ln( 1)
x
x
u e
dv e dx

= +


=


b/ Ta có
2 2 2
sinx sinx

os os os
x x
dx dx dx
c x c x c x
+
= +
∫ ∫ ∫
Gọi I=
2
sinx
os
dx
c x
∫
; J=
2
os
x
dx
c x
∫
*Tính I : Đặt t=cosx
⇒
dt=-sinxdx
I=
2
sinx
os
dx
c x

∫
=
2
1 1
cos
dt
C C
t t x
−
= + = +
∫
*Tính J :
2
2
1
tan
os
sinx
tan tan x tan
os cos
( osx)
tan tan ln osx
cos
u x
du dx
v x
dv dx
c x
x
dx x x dx x x dx

c x x
d c
x x x x c
x
=

=


⇒
 
=
=



⇒ = − = −
= + = +
∫ ∫ ∫
∫
4. Củng cố
- Nhắc lại phương pháp tính nguyên hàm từng phần; phương pháp đổi biến và tính
nguyên hàm hàm số hữu tỉ
§ 52: NGUYÊN HÀM (Bài tập)
I. MỤC TIÊU
-Rèn luyện kỹ năng vận dụng tính chất nguyên hàm,bảng nguyên hàm các hàm số
thường gặp và sử dụng các phương pháp tính nguyên hàm vào làm bài tập
- Bước đâu học sinh vận dụng các phương pháp tìm nguyên hàm một cách độc lập ,
cách đổi biến và từng phần tìm nguyên hàm
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
136

1. Ki m tra bài c : ể ũ
2.Bài gi ngả
Phương pháp Nội dung
Hoạt động 1 :Củng cố bảng nguyên hàm
các hàm số thường gặp và xác định
nguyên hàm bằng đn
GV: Gọi 4 hs lên bảng làm
Bài 2(c;d;e;h)
Dưới lớp: Làm bài 3.3(SBT)
GV: Cho học sinh nhận xét bài làm
của bạn và chính xác hóa lời giải. Qua
Đó GV cho hs nhắc lại bảng nguyên
hàm các hàm số thường gặp và cách
tính nguyên hàm hàm hữu tỉ
Hoạt động 2 : Sử dụng phương pháp
đổi biến số
GV: Gọi 4 hs làm bài 3(SGK)
GV: Cho học sinh nhận xét bài làm
của bạn và chính xác hóa lời giải. Qua
Đó GV cho hs nhắc lại phương pháp
đổi biến số, và một vài chú ý khi đổi
biến
GV:Gọi hs đứng tại chỗ làm Bài 2(g)
Hoạt động 3 : Rèn luyện kỹ năng
đặt u, dv trong phương pháp tính
nguyên hàm từng phần
GV: Gọi 3 học sinh lên bảng làm

Bài 2(SGK)

2 2
2 2 2 2
2 2
1 sin os
.
sin . os sin . os
1 1
t anx-cotx+C
os sin
x c x
c dx dx
x c x x c x
dx dx
c x x
+
=
= + =
∫ ∫
∫ ∫
1
. sin5 cos3 (sin 8 sin 2 )
2
1 1 1
[ sin8 sin 2 cos8 cos2
2 16 4
d x xdx x x dx
xdx xdx x x C
= +

−
= + = − +
∫ ∫
∫ ∫
2
2
1
. tan ( 1) t nx
os
e xdx dx a x C
c x
= − = − +
∫ ∫
1 1 2
. ( ) ;
(1 )(1 2 ) 1 1 2 3 3
1 1 1 1 2 1 1
* ln
(1 )(1 2 ) 3 1 3 2 1 3 1 2
A B
h f x A B
x x x x
x
dx dx dx C
x x x x x
= = + ⇒ = =
+ − + −
+
= − = +
+ − + − −

∫ ∫ ∫
Bài 3(SGK)
a, Đặt u=1-x ; du= - dx
10 10
9 9
(1 )
(1 )
10 10
u x
x dx u du C C
− − −
− = − = + = +
∫ ∫
b,Đặt u= 1+x
2
; du=2xdx

3 3 5
2 2 5/2
2 2 2
1 1 1
(1 ) (1 )
2 5 5
x x dx u du u C x C+ = = + = + +
∫ ∫
c, Đặt u=cosx ; du=-sinx dx
3 3 4 4
1 1
os sin cos
4 4

c x xdx u du u C x C
− −
= − = + = +
∫ ∫
d,
2 2
2 2 1 ( 1)
x x
x x x x x
dx e dx e dx
e e e e e
−
= =
+ + + + +
Đặt u=
x
e
+1 ; du=
x
e
dx
2
1 1
2 1
x x x
dx du
C C
e e u u e
−
− −

= = + = +
+ + +
∫ ∫
g,
3 2 3 2
(3 2 )
1
2
x x
x
e dx e d
− −
−
−
= =
∫ ∫

Ce
x
+
−
−23
2
1
• Biểu thức chứa căn; Biểu thức chứa ln; Biểu thức
ta đặt u= biểu thức đó
• Biểu thức chứa e
u
; Biểu thức chứa lũy thừa u
n

(x)
ta đặt u=u(x)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
137

bài 4(a.c.d) sgk
GV: Cho hs nêu cách đặt u dv trong
phương pháp nguyên hàm từng phần
• Biểu thức chứa GTLG ta đặt u là các h/s LG
Bài 4
a, Đặt
2 2
u ln(1 x)
1 1
Kq: ( 1)ln(1 )
dv x dx
2 4 2
x
x x x C
= +

− + − + +

=

c, Đặt
,
1
: cos(2 1) sin(2 1)
sin(2 1)

2 4
u x
x
Kq x x C
dv x dx
=

−
+ + + +

= +

d, Đặt
,
: (1 )sin cos
cos
u x
Kq x x x C
dv xdx
=

− − +

=

b, Đặt
2 2
1, : ( 1)
x x
u x dv e dx Kq e x C= + = − +

• Phương pháp từng phần đối với hàm thường gặp
( )
x
P x e dx
∫
( )cosP x xdx
∫
( )sinP x xdx
∫
( )lnP x xdx
∫
u P(x) P(x) P(x) lnx
dv e
x
dx cosxdx sinx dx P(x)dx
4. Củng cố + Nhắc lại các kiến thức sử dụng trong bài tập.
+ Hoàn thiện các bài tập còn lại. BT 3.3; 3.7(SBT)
+ Bài tập thêm Tính a,
dx
x
x
∫
+ sin21
cos
b,
∫
x
xdx
3
sin

cos
§53. TÍCH PHÂN
I. MỤC TIÊU
-HS nắm được diện tích hình thang cong, khái niệm tích phân, ý nghĩa hình học
của tích phân
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
138

- HS hi u đ c đ nh ngh a c a tích phân và bi u th c đ nh ngh a c a tích phân. ể ượ ị ĩ ủ ể ứ ị ĩ ủ
Hi u b n ch t bài toán tính tích phânể ả ấ
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài c (ể ũ Cùng bài gi ng)ả
2. Bài m i ớ
Phương pháp Nội dung


(?) Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5. (H46, SGK, trang 102)
(?) Hãy tính diện tích S(t) của hình
T khi t ∈ [1; 5].
(?) Hãy CM: S(t) là một nguyên hàm
của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5]
+Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :

+Gv giới thiệu cho hs công thức tính
diện tích hình thang cong và củng cố
qua ví dụ 1
( ?) Tìm một nguyên hàm của y=x
2

( ?) Dựa vào KL trên tính diện tích
hình thang cong tương ứng

+Gv giới thiệu với Hs nội dung
định nghĩa về tích phân

( ?) Khi a=b thì ta có điều gì

GV : Củng cố cho hs qua ví dụ 2 :
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1. Diện tích hình thang cong:
a. Hoạt động 1 : (H45, SGK, trang 102)
HD:
2
3 11
* .4 28; ( ) 2; '( ) 2 1 ( )
2
S S t t t S t t f t
+
= = = + − = + =
Vậy S(t) là nguyên hàm của f(t)
b) Hình thang cong : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không
âm trên đoạn [a ; b].Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f(x), trục hoành và hai đt : x = a ; x = b được
gọi là hình thang cong (H47a, SGK- 102)”
* Diện tích hình thang cong : Hình thang cong được
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đt : x = a ; x = b có diện tích là S=F(b)-F(a)( Với
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

• Ví dụ 1 : Cho h/s y=x
2
. Tính diện tích hình thang
cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x
2
, trục
hoành và hai đt : x = 1 ; x = 4
HD: + H/s y=x
2
liên tục, không âm trên đoạn [1 ; 4]
+ H/s y=x
2
có một nguyên hàm là F(x)=
3
1
3
x
Vậy diện tích hình thang cong là S=F(4)-F(1)=21(đvdt)
2. Định nghĩa tích phân (SGK)
ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
hay
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a

= −
.

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
• Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước :
( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx= = −
∫ ∫ ∫
• Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
139

( ?) Để tính tích phân (1) ta cần tìm
một nguyên hàm của h/s nào,Kq là gì
( ?) Gọi 2 hs lên bảng làm .Hs nhận
xét và chính xác hóa bài làm
( ?) GV gọi Hs đứng tại chỗ làm (4)
( ?) Qua trên bản chất bài toán tìm
tích phân là bài toán nào

( ?) Đọc NX SGK
(1) .
2
2
3 4
1
1
1 16 15
1
4 4 4
x dx x
−
−
= = − =
∫
(2) .
0
0
1 1 1 2
sin 5 os5
5 5 5 5
xdx c x
π
π
−
= = + =
∫
(3).
1
1

3 3 3
0
0
1 1 1
3 3 3
x x
e dx e e= = −
∫
(4).
2
2
2
2 1
2ln 1 2ln
1 1
e
e
e
e
e
dx x
x e
+
= + =
+ +
∫
Kết luận: Bài toán tính tích phân là bài toán tìm
nguyên hàm và tính giá trị của h/s tại một điểm)
• Nhận xét :
+ Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là

( )
b
a
f x dx
∫
hay
( )
b
a
f t dt
∫
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm
f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]
thì S =
( )
b
a
f x dx
∫
( với S là diện tích của hình thang giới
hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đt x = a; x = b)
2. Củng cố:
+Định nghĩa tích phân , biểu thức tính tích phân,quan hệ nguyên hàm và tích phân
+VN: Xem lại tính chất và các phương pháp tính nguyên hàm
§54. TÍCH PHÂN
I. MỤC TIÊU
- Hs nắm được tính chất tích phân và vận dụng tính chất của tích phân để tính
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
140

tích phân
- Biết cách tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp
-Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ Tính các tích phân sau
HS1:
1
2
0
(2 1)I x dx= +
∫
HS2: Tìm nguyên hàm
2
1
.
1
J dx
x
=
−
∫
Từ đó tìm
2
2
1
1
e
e
dx

x −
∫
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV: Tương tự t/c nguyên hàm ta có
t/c của tích phân như sau

GV: Cho hs củng cố t/c qua ví
dụ1
(?) Gọi 2 hs làm a; d
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN.
• T/c 1 :
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
• T/c 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
• T/c 3 :
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <
∫ ∫ ∫
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

2
4
2
2
4
2
2
2
0 0
4
) ( 3sin ) ) 1
os
) 1 os2 ) os
a A x x dx b B x dx
c x
c C c x dx d D c xdx
π
π
π
π
−
−
= − + = −
= + =
∫ ∫
∫ ∫
Bài làm
4 4 4
2
4 4 4

4
2
4 4
4 4
4
4
) 3sin
os
1
4 tan 3 os 8
2
a A dx xdx xdx
c x
x c x x
π π π
π π π
π
π π
π π
π
− − −
− −
−
= − +
= + + =
∫ ∫ ∫
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
141

(?) Gọi hs nhận xét và chính xác

hóa bài làm của hs
(?) Dùng định nghĩa gttđ hãy xác
định
1x −
(?) Để tính B ta chia thành thành
các khoảng nào . Tính B
(?) Gọi 1 hs nêu phương pháp
làm tích phân C
2
2 2
0 0
0
1 os2 sin 2
)
2 2 4 4
c x x x
d D dx
π
π π
π
+
= = − =
∫
1 1
) 1
1 1
x khi x
b x
x khi x
− ≥


− =

− + <


2 1 2
2 2 1
1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
1 1 1
1 1
(1 ) ( 1) ( ) ( )
2 2
B x dx x dx x dx
x dx x dx x x x x
− −
−
−
= − = − + −
= − + − = − − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫

2
) 1 os2 2cos
3

2 cos ói x [0; ] [ ;2 ]
2 2
2 cos
3
2 cos ói x [ ; ]
2 2
c c x x
x v
x
x v
π π
π
π π
+ =

∈ ∪


= =


− ∈


3
2 2
2 2
3
0 0
2 2

3
2
2
2
3
0
2
2
* 1 os2 2( cos cos cos
2(sinx sinx sinx )
C c xdx xdx xdx xdx
π π
π π
π π
π
π
π
π
π
= + = − +
= − +
∫ ∫ ∫ ∫
• Chú ý : Để tính tích phân chứa dấu gttđ ta dùng
phương pháp phân khoảng để tách dấu gttđ sau đó
chia thành nhiều tích phân trên từng khoảng đó
3. Củng cố
- Nhắc lại tính chất cơ bản của tích phân
- Học và làm bài tập 1;2(SGK-tr 112)
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
142

TC TÍCH PHÂN (T1)
(Dùng tính chất tích phân tính tích phân chia thành nhiều tích phân )
I. MỤC TIÊU
- Hs vận dụng tính chất của tích phân để tính tích phân
- Biết cách tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp
-Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra bài cể ũ
Nêu định nghĩa và tính chất của tích phân
2. Bài giảng
Phương pháp Nội dung
(?) Gọi 4 hs lên bảng làm 1(a;b;c;g)
Dưới lớp tình tích phân sau
4
2
2
1
1
( ) ;A x dx
x
= +
∫
4
2
6
2
2 ( 3) ;
sin
x

x
B dx
x
π
π
−
= +
∫
2
3
1
2 1x x
C dx
x
− −
=
∫
(?)Gv cho hs nhận xét và chính
xác hóa bài làm của hs
Qua đó củng cố cách đổi vi phân
đơn giản
• Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
• T/c 1:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
T/c 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
T/c 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <
∫ ∫ ∫
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách chia thành tổng
hiệu nhiều tích phân
Bài 1: (SGK)
1 1
1
2 5
2 2
2
2
3

3 3
1
1 1
2
2 2
3
) (1 ) (1 ) (1 )
5
a x dx x dx x
−
− −
− = − = − −
∫ ∫
2 2
4
0
0 0
) sin( ) sin( ) ( ) cos( )
4 4 4 4
b x dx x d x x
π π
π
π π π π
− = − − − = −
∫ ∫
2 2
2
1
2
1 1

2 2
1 1 1
) ( ) (ln ln 1) ln 2
( 1) 1
c dx dx x x
x x x x
= − = − − =
− −
∫ ∫
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
143

(?)GV gọi 3 hs làm A;B;C
(?)Gv cho hs nhận xét và chính
xác hóa bài làm của hs
(?) GV gọi hs dứng tại chỗ nêu
phương pháp làm 1e. Qua đs GV
cho hs nhắc lại phương pháp đồng
nhất thức nguyên hàm
2 2
2 2
2
2
1
) sin3 cos5 (sin 8 sin 2 )
2
1 1
( os2 os8 )
4 16
g x xdx x x dx

c x c x
π π
π π
π
π
− −
−
= −
= −
∫ ∫
Chú ý: du=u’dx; d(ax+b)=adx (với a#0)
*
4
4
2 3
2
1
1
1 1 1 261
( ) ( ) ;
3 12
A x dx x
x x
= + = − =
∫
4 4 4
2 2
6 6 6
4
6

2 1
* 2 ( 3) 3 2
sin sin
2
(cot 3 ) ;
ln 2
x
x x
x
B dx dx dx
x x
x
π π π
π π π
π
π
−
= + = +
= +
∫ ∫ ∫
2 2 2
3
2
1 1 1
2
3
1
2 1 1
* ( 2)
1

( 2 ln )
3
x x
C dx x dx dx
x x
x x x
− −
= = − +
= − +
∫ ∫ ∫
e) Sử dụng phương pháp đồng nhất thức ta có

2 2
1 3
4; 3
( 1) ( 1) 1
x A B
A B
x x x
−
= + ⇒ = = −
+ + +

2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
1 3 4 3
(1 )
(1 ) (1 ) 1

x
dx d x dx
x x x
−
= + −
+ + +
∫ ∫ ∫
3. Củng cố :
- Tính tích phân bằng phương pháp đồng nhất thức
-Hoàn thiện bài tập và làm 3.9(SBT) và tính tích phân sau
1
2
1
4
dx
D
x
−
=
−
∫
;
0
2
1
3 2
dx
E
x x
−

=
− +
∫
;
3
2
3
2
3 3 3
3 2
x x
F dx
x x
+ +
=
− +
∫
;
3
2
2
2
( 1)
x
G dx
x
+
=
+
∫

;
1
3 2
3 2
1
3 6
5 6
x x x
H dx
x x x
−
− + +
=
− +
∫
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
144

TC TÍCH PHÂN (T2)
( Tính tích phân hàm số hữu tỉ )
I. MỤC TIÊU
-Rèn luyện kỹ năng tính tich phân các hàm số hữu tỉ bằng phương pháp đồng nhất
thức
-Củng cố sử dụng bảng nguyên hàm thường gặp
II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ki m tra baì c ể ũ
(?) Nêu b ng nguyên hàm th ng g p và ph ng pháp tìm nguyên hàm hàm h u t ả ườ ặ ươ ữ ỉ
2. Bài mới
Phương pháp Nội dung
GV : Từ phương pháp nguyên hàm

hàm h u t t ng quát nên ữ ỉ ổ tích phân
hàm hữu tỉ
(?) Gọi 4 hs làm tích phân D;E;F;G
Dưới lớp tính
1
3 2
2
1
2 10 16 1
5 6
x x x
I dx
x x
−
− + −
=
− +
∫
(?)Gv cho hs nhận xét và chính
xác hóa bài làm của hs
*Tổng quát : Để xác định tích phânhàm hữu tỉ(có bậc
mẫu nhỏ hơn bậc của tử) ta phân tích mẫu thành tích sau
đó dùng p
2
đồng nhât thức chia thành các ng/h
1
1 2 1
1
1
( )

1.
( )( ) ( )
( )
2.
( ) ( ) ( )

( )
n
b b b
n n
a a a
b b b
n
n m n
a a a
b b
m
m
a a
A
Af x
dx dx dx
x x x x x x x x x x
A
Af x
dx dx dx
x a x b x a x a
B
B
dx dx

x b x b
= + +
− − − − −
= + +
− − − −
+ + +
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Chú ý :
1 1
ln ax ( ói #0)
ax
dx b C v a
b a
= + +
+
∫
( Nếu bậc tử lớn hơn bậc của mẫu ta thực hiện chia đa
thức sau đó áp dụng cách tính trên
1 1 1
2
1 1 1
1
1
1
1
*
4 ( 2)( 2) ( 2)( 2)

1 1 1 1
( ) (ln 2 ln 2 )
4 2 2 4
dx dx dx
D
x x x x x
dx x x
x x
− − −
−
−
= = =
− − + − +
= − = − − +
− +
∫ ∫ ∫
∫
0 0 0 0
2
1 1 1 1
0
1
*
3 2 ( 2)( 1) 2 1
(ln 2 ln 1) 2ln 2 ln3
dx dx dx dx
E
x x x x x x
x x
− − − −

−
= = = −
− + − − − −
= − − − = −
∫ ∫ ∫ ∫
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
145

Gv cùng hs làm tích phân H
(?) Tích phân H đã sử dụng phương
pháp đòng nhất thức ngay được
chưa ta phải làm gì trước tiên hãy
thực hiện
(?) Gọi 1 hs lên phân tích thành
nhiều phân số bàng cách đồng nhất
thức sau đó tình tích phân H
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa
(?) Gọi học sinh tính tích phân I
(?) Gọi hs nhận xét và chính xác
hóa
3 3 3
2 2
2 2 2
3
2
2 1 1
*
( 1) ( 1) 1
1

( ln 1)
1
x
G dx dx dx
x x x
x
x
+
= = +
+ + +
= − + +
+
∫ ∫ ∫
3 3
2 2
3 2
2 2
3 3 3
2
2 2 2
3
2
3 3 3 3 3 3
*
3 2 ( 1) ( 2)
3 2 1
( 1) 1 2
3 3
( 2ln 1 ln 2) ln5
1 2

x x x x
F dx dx
x x x x
dx dx dx
x x x
x x
x
+ + + +
= =
− + − +
= + +
− − +
= − + − + + = +
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1
3 2
3 2
1
3 2 2
3 2
1
1
3 6
*
5 6
3 6 2 5 6 1 3 2
1 1
5 6 ( 2)( 3) 3 2

( ln 3ln 3 2ln 2 )
x x x
H dx
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
H x x x x
−
−
− + +
=
− +
− + + − +
= + = + + −
− + − − − −
⇒ = + + − − −
∫
*
1
3 2
2
1
2 10 16 1
5 6
x x x
I dx
x x
−
− + −
=

− +
∫
1 1
3 2
2
1 1
1
1
1
2
1
2 10 16 1 4 1
(2 )
5 6 ( 2)( 3)
11 7
(2 )
3 2
( 11ln 3 7ln 2 )
x x x x
I dx x dx
x x x x
x dx
x x
x x x
− −
−
−
− + − −
= = +
− + − −

= + −
− −
= + − − −
∫ ∫
∫
3. Củng cố :
- Cách tính tích phân hàm số hữu tỉ
- BTVN: Tính
1
3 2
1
2
dx
x x x+ +
∫
- Xem lại nguyên hàm các hàm số lượng giác ; tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt
đối
ĐẠI SỐ-GIẢI TÍCH 12 . Năm học 2013-2014
146