ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP

Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1
( Biên soạn theo cấu trúc đề thi hết học phần)
I.Chương 1: Tập hợp – Ánh xạ.
 Dạng: Tìm căn bậc n của số phức z.
 Bước 1: Chuyển về dạng lượng giác:
)sin(cos

irz 

 Bước 2: Gọi w là căn bậc n của số phức z. Khi đó:
)sin(cos

ihw 

 Bước 3: Ta có:
)sin(cos)sin(cos

irninhzwzw
nn
n



.1, ,0,
2










 nk
n
k
rh
n



 Bước 4: Kết luận.
Vậy căn bậc n của số phức z là:























n
k
i
n
k
rw
n
k

2
sin
2
cos
, k = 0,…,n – 1.
II. Chương 2: Định thức – Ma trận.
 Dạng: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 3.
 Bước 1: Tính
AA )det(

 TH
1
:

AA )det(
= 0 thì ma trận A không khả nghịch.
 TH
2
:
0)det(  AA
thì ma trận A khả nghịch.
 Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo ta tìm:
ij
ji
ij
MC .)1(


.
Từ đó tìm ma trận C. Suy ra ma trận C
T
.
 Bước 3: Kết luận.
T
C
A
A .
1
1



III. Chương 3: Không gian vectơ.
 Dạng: a. Chứng minh hệ E là một cơ sở của không gian R

3
hoặc P
2
[x].
b. Tìm tọa đôn của một vectơ theo cơ sở E.
 Để chứng minh hệ E là cơ sở của một không gian R
3
hoặc P
2
[x] thì ta chỉ cần chứng
minh nó độc lập tuyến tính.
 Để tìm tọa độ của một vectơ theo cơ sở E thì ta phân tích tọa độ đó theo cơ sở E

hệ
phương trình

nghiệm.
IV. Chương 4: Ánh xạ tuyến tính.
 Dạng 1: Tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf.
 Tìm Kerf.
 Bước 1: Viết Kerf theo định nghĩa:
 
wvfVvKerf

 )(

 Bước 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nhận được.
 Bước 3: Viết v

Kerf theo tổng quát, cô laaoj tham số tìm hệ sinh.

 Bước 4: Tìm số vectơ độc lập tuyến tính trong hệ sinh

cơ sở

số chiều.
 Tìm Imf.
 Bước 1: Viết Imf theo định nghĩa:
 
wvfVvWwf  )(:Im

 Bước 2: Từ f(v) = w, cô lập tham sô, tìm hệ sinh.
 Bước 3: Tìm sô vectơ độc lập tuyến tính trong hệ sinh

cơ sở

DimImf.
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
2
 Dạng 2: Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong một cặp cơ sở E,F.
 Bước 1: Tìm tọa độ
   
1
, ,
n
FF
f e f e
   
   

 Bước 2: A
E,F
=
   
1
, ,
n
FF
f e f e
   
   

* Chú ý: A
E,F
viết theo cột.
 Dạng 3: Tìm trị riêng và vectơ riêng.
 Bước 1: Tìm ma trận trong cặp cơ sở chính tắc.
 Bước 2: Giải phương trình đặc trưng:

 0IA

 Bước 3: Ứng với mỗi

thay vào
 
vXXIA  0


V.Chương 5: Giới hạn – Liên tục.
 Dạng: Tìm và phân loại điểm gián đoạn.

 Bước 1: Khẳng định câu: Hàm số đã cho luôn liên lục và xác định trên R\{x
0
}.
 Bước 2: Tính f(x
0
).
 Bước 3: Tìm
).(lim),(lim
0
0
xfxf
xx
xx




 Bước 4: Kết luận. Để hàm số đã cho luôn liên lục và xác định trên R\{x
0
} thì:

)(lim)(lim)(
00
0
xfxfxf
xxxx




 Một số chú ý:
 Điểm gián đoạn loại 1:
Trong các trường hợp sau đây thì thuộc vào điểm gián đoạn loại 1.
-
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx



hoặc không xác định tại x
0
.
-
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx



.
 Điểm gián đoạn có bước nhảy:
)(lim)(lim
00
xfxfh
xxxx




.
 Điểm gián đoạn loại 2:
Trong các trường hợp sau đây thì thuộc vào điểm gián đoạn loại 2.
-


)(lim
0
xf
xx
.
-



)(lim
0
xf
xx
.
-



)(lim
0
xf
xx

hoặc không tồn tại các giới hạn gọi là trường hợp điểm giới hạn vô cực.
VI. Chương 6: Đạo hàm và vi phân.
 Dạng 1: Tính đạo hàm cấp n.
Cách giải : Áp dụng Công thức Lepnit vào bài toán và sử dụng các công thức đạo hàm cấp n có sẵn
( Chú ý xem công thức ở phần sau ).
 Dạng 2: Khai triển Taylo và Maclorin.
Cách giải : Áp dụng Công thức Taylo và Maclorin vào bài toán và sử dụng các công thức có sẵn
( Chú ý xem công thức ở phần sau ).
VII. Chương 7: Tích phân.
 Dạng: Tính tích phân suy rộng.
Cách giải : Áp dụng các công thức Tích phân vào bài toán và sử dụng các công thức Tích phân có sẵn
( Chú ý xem công thức ở phần sau ).


Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
3
MỘT SỐ CÔNG THỨC HỖ TRỢ CHO VIỆC GIẢI BÀI TOÁN
1.Công thức lượng giác đầy đủ.

I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/
22
sin cos 1

2/
sin
tg
cos

3/
cos
cotg
sin

4/
2
2
1
1 tg
cos

5/
2
2
1
1 cotg
sin

6/
tg .cotg 1


II. Công thức cộng - trừ:
1/
sin a b sina.cos b sin b.cosa

2/
sin a b sina.cos b sin b.cosa

3/
cos a b cosa.cos b sina.sin b

4/
cos a b cosa.cos b sin a.sin b

5/
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
6/
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb

7/
cotga.cotgb 1
cotg a b
cotga cotgb

cotga cotgb 1
8 / cotg a b
cotga cotgb


III. Công thức góc nhân đôi:
1/
22
sin2a 2sina.cosa sina cosa 1 1 sina cosa

2/
2 2 2 2
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a

3/
2
2tga
tg2a
1 tg a
4/
2
cotg a 1
cotg2a
2cotga


IV. Công thức góc nhân ba:
1/
3
sin3a 3sina 4sin a
2/
3
cos3a 4cos a 3cosa

3/
3
3
3tga tg a
tg3a
1 3tg a

4/
3
2
cotg a 3cotga
cotg3a
3 cotg a 1


V. Công thức hạ bậc hai:

sin



cosa
tg

cotga
sin
cos
tan
cotg
t
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
4
1/
2
2
2

1 cos2a tg a
sin a
2
1 tg a
2/
2
2
2
1 cos2a cotg a
cos a
2
1 cotg a

3/
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
4/
1
sin a cosa sin2a
2


VI. Công thức hạ bậc ba:
1/
3
1
sin a 3sin a s in3a
4

2/
3
1
cos a 3cosa cos 3a
4


VII. Công thức biểu diễn
sin x,cos x, tgx
qua
tgx
t
2
:
1/
2
2t
sin x
1t
2/
2
2
1t
cos x
1t

3/
2
2t
tgx

1t

2
1t
cotgx
2t


VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1/
 
)cos()cos(
2
1
cos.cos bababa 

2/
 
)cos()cos(
2
1
sin.sin bababa 

3/
 
)sin()sin(
2
1
cos.sin bababa 

IX. Công thức biến đổi tổng thành tích:
1/
a b a b
cos a cos b 2cos .cos
22
2/
a b a b
cos a cos b 2sin .sin
22

3/
a b a b
sin a sin b 2sin .cos
22
4/
a b a b
sin a sin b 2cos .sin
22

5/
sin a b
tga tgb
cosa.cosb
6/
sin a b
tga tgb
cosa.cos b

7/

sin a b
cotga cotgb
sina.sin b
8/
sin a b
cotga cotgb
sina.sin b

9/
sin a b
tga cotgb
cosa.sinb
9/
2
tga cotga
sin2a

10/
cos a b
cotga tgb
sina.cos b
11/
cotga tga 2cotg2a


Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
5
X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:
1/ Góc đối:











aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
2/ Góc bù:










aa

aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(






3/ Góc sai kém

:










aa
aa
aa
aa

cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(




4/ Góc phụ:













































aa
aa
aa
aa
tan
2
cot

cot
2
tan
sin
2
cos
cos
2
sin







XI. Công thức bổ sung:











































4

cos2
4
sin2cossin/3
4
sin2
4
cos2sincos/2
4
sin2
4
cos2sincos/1



aaaa
aaaa
aaaa


4/
2 2 2 2 2 2
Asina Bcosa A B sin a A B cos a , A B 0

5/
2
1 sin cos sin

Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
6
XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt:

XIII. Định lý hàm số cosin:
1/
2 2 2
a b c 2bc.cosA

2/
2 2 2
b c a 2ca.cos B

3/
2 2 2
c a b 2bc.cosC


XIV. Định lý hàm số sin:
a b c
2R
sin A sin B sinC

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC

Hay









CRc
BRb
ARa
sin2
sin2
sin2


XV. Công thức tính diện tích tam giác:
Gọi
h
là đường cao thuộc cạnh trong
ABC
.
a b c
p
2
là phân nửa chu vi
ABC
.
S là diện tích
ABC
.
R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
R là bán kính đường tròn nội tiếp
ABC

.
1/
a b c
1 1 1
S a.h b.h c.h
2 2 2

Giá trị
lượng giác
Góc lượng giác: “ dòng trên tính bằng đơn vị độ,
dòng dưới tính bằng đơn vị radian”

0
0

0
0
30

6


0
45

4


0
60

3


0
90

2


0
120

2
3


0
150

5
6


0
180



Sin

0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

1
2

0
Cos
1
3
2

2
2

1
2

0

1
2


3
2


-1
Tan
0
1
3

1
3


3

1
3


0
Cot

3

1

1
3

0
1
3


3


A
B
C
a
b
c
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
7
2/
1 1 1
S ab.sinC bc.sin A ca.sin B
2 2 2

3/
abc
S
4R
(R là bán kính đường tròn) ; 4/

S p.r
(r là nửa chu vi)
5/
S p p a p b p c
với
2
cba
p


(Hệ thức Hêrông)

XVI. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau:
1/
iz iz
ee
sin z
2i
2/
iz iz
ee
cos z
2

3/
zz
ee
sinh z i sin iz
2
4/

zz
ee
cosh z cos iz
2


2. Bảng công thức đạo hàm đầy đủ.
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO
STT
Hàm số
Đạo hàm cấp n
1
x
ey 

 
xn
ey 

2
bax
ey



 
baxnn
eay

 .

3
 

baxy 

 
nnn
baxnay




)).(1) (2)(1(.

4
x
y


1
1

 
 
 
1
1
!
.1




n
n
n
x
n
y

5
x
y


1
1

 
 
1
1
!



n
n
x
n

y

6
xy sin

 







2
sin

n
xy
n

7
y = cosx
 








2
cos

n
xy
n

8
)sin( baxy 

 







2
sin.

n
baxay
nn

9
)cos( baxy 

 








2
cos.

n
baxay
nn

10
y = lnx
 
 
 
n
n
n
x
n
y
!1
1
1




11
)ln( baxy 

 
 
 
n
n
nn
bax
an
y




!1
.)1(
1

12
xy 

 
12
1
.2
!)!32()1(





nn
n
n
x
n
y

13
x
x
y



1
1

 
 
1
1
!2



n
n

x
n
y

14
)( baxfy 

   
).(. baxfay
nnn


Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
8

1. Công thức Lepnit.
 
         
gfCgfCgfCgfCgf
nn
n
n
n
n
n
knkk
n
n
k

n
'
110
0
)(






2. Công thức Taylor
Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng
a,b
. Khi đó tồn tại một
điểm
 
bax ,
0

sao cho:

 
 
)()(
!
)(
)(
!2
)(''

)(
!1
'
)()(
0
0
2
0
0
0
0
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
k
n

=

3. Công thức Maclaurin:
Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp
n1
tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa
điểm 0). Khi đó :
n
2n
n
f ' 0 f " 0 f 0
f x f 0 x x x R x
1! 2! n!

Với
n1
n1
n
fx
R x x , 0 1
n 1 !
(phần dư dạng lagrange)
Hoặc
n1
n
n1
n
fx
R x 1 x , 0 1
n!
(phần dư dạng Cauchy).
4. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.

BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC CƠ BẢN
CÔNG THỨC MỞ RỘNG

 Cxdx

C
x
dxx 




1
1





 Cx
x
dx
ln

 
C
n
bax
a

dxbax
n
n






1
1
)(
1


 Cedxe
xx


 C
a
a
dxa
x
x
ln


 Cudu

C
u
duu 




1
1







Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(
1

C
un
dxudx
u
n

n
n





 
1
).1(
11




Ce
a
dxe
baxbax
1
;
C
u
a
dua
u
u


ln

15
x
x
y


1

 
 
 
12
.2
)32.()1(
2
12
1





nx
x
n
y
n
n
n

n

 
)()(
!
)(
0
0
0
xRxx
k
xf
n
k
k
n
k




Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
9

 Cxdxx sin.cos
;

 Cnx
n

dxnx sin
1
).(cos


 Cxdxx cos.sin
;

 Cnx
n
dxnx cos
1
.sin
 
 Ctgxxtgdx
x
)1(
cos
1
2
2

 
 Cgxgxdx
x
cot)cot1(
sin
1
2
2

C
a
x
xa
dx



arcsin
22




C
a
x
a
xa
dx
arctan
1
22


 Cbax
a
dxbax )cos(
1

)sin(

 Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(

 
 Cu
u
du
dx
u
u
ln
'
;

 Cudx
u
u
2
'
;

 C
u
dx
u

u 1'
2







C
xa
xa
a
xa
dx
ln
2
1
22




Caxx
ax
dx
2
2
ln

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
I. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
 Bước 1: Đặt x=v(t)
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
 Bước 4: Tính
()
()
()
( ) ( ) ( )
()
vb
b
a v a
vb
f x dx g t dt G t
va



 Bước 5: Kết luận : I=
()
()
()
vb
Gt
va

2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

Dấu hiệu
Cách chọn
22
ax

sin
22
ost 0 t
x a t t
x a c



    


   



22
xa

 
;

sin 2 2
0; \
ost 2
a
xt
t
a
xt
c





   






  





22
ax

 
tan ;
22
cot 0;
x a t t
x a t t




   





  


a x a x
a x a x




x=a.cos2t
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
10
  

x a b x

x=a+
 
2
sinb a t

b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
*
 
22
2
2
1 1 1 1
0
ax
b
a x+
2a 2
dx dx du
bx c a u k
a
  
  
   
  













  

Với :
b
x+ , ,
2a 2
u k du dx
a


  



.
* áp dụng để giải bài toán tổng quát :
 
 
21
22
k

dx
kZ
ax






.
II. Đổi biến số dạng 2

1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )
 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
 Bước 4: Tính
()
()
()
( ) ( ) ( )
()
ub
b
a u a
ub
f x dx g t dt G t
ua



 Kết luận : I=
()
()
()
ub
Gt
ua

2. Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
A. DẠNG : I=
 
()
0
ax+b
Px
dx a





* Chú ý đến công thức :
ln ax+b
ax+b
mm
dx
a







. Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta
chia tử cho mẫu dẫn đến
( ) 1
( ) ( )
ax+b ax+b ax+b
P x m
dx Q x dx Q x dx m dx
   
   
   
   

B. DẠNG :
2
()
ax
Px
dx
bx c





1. Tam thức :

2
( ) axf x bx c  
có hai nghiệm phân biệt
Công thức cần lưu ý :
'( )
ln ( )
()
ux
dx u x
ux







Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
2. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
có hai nghiệm kép
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
11
Công thức cần chú ý :
 
'( )

ln ( )
()
u x dx
ux
ux







Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
vô nghiệm :
Ta viết : f(x)=
 
2
22
2
( ) ( )
2
;
2
22
b
ux
P x P x

a
a u k
b
k
ax
a
aa


























Khi đó : Đặt u= ktant
C. DẠNG :
32
()
ax
Px
dx
bx cx d


  


1. Đa thức : f(x)=
 
32
ax 0bx cx d a   
có một nghiệm bội ba
Công thức cần chú ý :
1
1 1 1
.
1
mm
dx
x m x










2. Đa thức : f(x)=
 
32
ax 0bx cx d a   
có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
3. Đa thức : f(x)=
 
32
ax 0bx cx d a   
có ba nghiệm


 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ
I. KIẾN THỨC
1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :
-
'( )
()
2 ( )
fx
dx f x C
fx




-
2
2
1
lndx x x b C
xb
   



- Mở rộng :
2
2
'( )
ln ( ) ( )
()
ux
du u x u x b C
u x b
   



1. Tích phân dạng :
 
2
1

0
ax
I dx a
bx c






a. Lý thuyết :
Từ :
2
2
2
2
f(x)=ax
24
2
b
xu
b
a
bx c a x du dx
aa
K
a








       












Khi đó ta có :
- Nếu
 
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k        
(1)
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
12
- Nếu :
2
0
0 ( )

( ) .
2
2
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a




     


  



(2)
- Nếu :
0
.
+/ Với a>0 :
     
1 2 1 2
( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x      
(3)

+/ Với a<0 :
     
1 2 1 2
( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x        
(4)
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b. Cách giải .
*. Trường hợp :
 
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k        

Khi đó đặt :
 
2
2
2
2
01
2
;
2
2
2
ax .
,
.
2
tc
x dx tdt

ba
ba
bx c t ax
bx c t a x
x t t x t t
tc
t a x t a
ba








  

     

     




  




*. Trường hợp :
2
0
0 ( )
( ) .
2
2
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a




     


  




Khi đó :
1
ln : 0
22

1 1 1
1
ln : 0
22
22
bb
xx
aa
a
I dx dx
bb
a
bb
a x x
xx
aa
aa
a








  





  




   






*. Trường hợp :
0, 0a  

- Đặt :
  
 
 
1
2
12
2
ax
x x t
bx c a x x x x
x x t



     





*. Trường hợp :
0, 0a  

- Đặt :
  
 
 
1
2
12
2
ax
x x t
bx c a x x x x
x x t


     





2. Tích phân dạng :

 
2
0
ax
mx n
I dx a
bx c







Phương pháp :
b.1 : Phân tích


 
2
2 2 2
. ax
( ) 1
ax ax ax
Ad bx c
mx n B
fx
bx c bx c bx c



  
     

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
b.4. Tính I =


2
2
1
2 ax
ax
A bx c B dx
bx c




  


(2)
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
13
Trong đó
 
2
1

0
ax
dx a
bx c





đã biết cách tính ở trên
3. Tích phân dạng :
 
 
2
1
0
ax
I dx a
mx n bx c



  


Phương pháp :
b.1. Phân tích :
 
2
2

11
ax
ax
n
mx n bx c
m x bx c
m


  
  


. (1)
b.2 Đặt :
2
2
11
1
1 1 1
ax
n
y t dy dx
x t m x t
n
x
ym
x t bx c a t b t c
y y y



    





  

   

         
   

   


b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :
'
2
'
dy
I
Ly My N





. Tích phân này chúng ta đã biết cách

tính .
4. Tích phân dạng :
 
;;
m
x
I R x y dx R x dx
x













( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và
, , ,
   
là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
b.1 Đặt : t=
m
x
x





(1)
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng
 
xt



b.3. Tính vi phân hai vế : dx=
 
' t dt

và đổi cận
b.4. Cuối cùng ta tính :
 
 
 
'
'
; ; '
m
x
R x dx R t t t dt
x















*) Tính tích phân:
 
2
,0
mx n
I dx a
ax bx c






.
(trong đó
2
()
mx n
fx

ax bx c



liên tục trên đoạn
 
;

)
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx







222
)2(

+)Ta có I=




dx
cbxax
B
dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx








222
)2(





Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
14
. Tích phân
dx

cbxax
baxA



2
)2(


=


cbxaxA 
2
ln

Tích phân
2
dx
ax bx c




tính được.
*) Tính tích phân
()
()
b
a

Px
I dx
Qx


với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn
12
, , ,
n
  
thì đặt

12
12
()

()
n
n
A
AA
Px
Q x x x x
  
   
  
.

+ Khi
 
 
22
( ) , 4 0Q x x x px q p q

       
thì đặt
2
()
.
()
P x A Bx C
Q x x x px q



  

+ Khi
  
2
()Q x x x

  
với    thì đặt
 
2
()
()

A
P x B C
Q x x x
x


  


.
 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
 
;ab
thì:

 
''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
aa
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a



hay
bb
aa

b
udv uv vdu
a


.
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
'
udv uvdx
bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x)
làm u(x) và phần còn lại
'
( ) .dv v x dx

 Bước 2: Tính
'
du udx
và
'
()v dv v x dx

.
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
15
 Bước 3: Tính
'
bb
aa

vdu vudx

và
b
uv
a
.
 Bước 5: Áp dụng công thức trên.
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

()
b
x
a
P x e dx


( )ln
b
a
P x xdx


( )cos
b
a
P x xdx


cos

b
x
a
e xdx


u
P(x)
lnx
P(x)
x
e

dv
x
e dx

P(x)dx
cosxdx
cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và
'
dv vdx
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của
f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
'
dv vdx
là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã
biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
 Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những
hàm số:
, cos , sin
ax
e ax ax
thì ta thường đặt
'
()
()
()
()
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx















 Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta
đặt
 
'
()
()
()
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx















 Nếu tính tích phân
cos
ax
I e bxdx




hoặc
sin
ax
J e bxdx




thì
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
ue

dv bxdx
v bx
b













Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
16
hoặc đặt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b














Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân
ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
1. Tính
cos
dx
I
asinx b x c




Phương pháp:
Đặt
2
2

tan
21
  

x dt
t dx
t

Ta có:
2
2
sin
1
t
x
t


và
2
2
1
cos
1
t
x
t




 
2
2
cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c

     

đã biết cách tính.
2. Tính
22
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d

  


Phương pháp:
   
22
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x


   



   
2
2
cos
tan tan

   

dx
x
a d x b x c d

Đặt
2
cos
dx
t tgx dt
x
  
   
2
dt
I
a d t bt c d

   


đã tính được.
3. Tính
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c




.
Phương pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
17
   
sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x        
+) Vậy
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c





=
=
  





cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincossin
sincos

Tích phân

dx
tính được
Tích phân
Ccxbxadx
cxbxa
xbxa




cossinln

cossin
sincos

Tích phân

 cxbxa
dx
cossin
tính được.
Nguyên hàm dạng
 
sin ,cosR x x dx

, với
 
sin ,cosR x x
là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết
cách tính tích phân.
 Trường hợp chung: Đặt
2
2
tan
21
  

x dt
t dx
t

Ta có
2
22
21
sin ;cos
11
tt
xx
tt




 Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu
 
sin ,cosR x x
là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

   
sin , cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
tantx
hoặc
cottx
, sau đó đưa tích phân
về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu
 
sin ,cosR x x

là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

   
sin ,cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
costx
.
+) Nếu
 
sin ,cosR x x
là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

   
sin , cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
sintx
.
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số
()y f x
liên tục và lẻ trên đoạn
 
;aa
. Khi đó
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
18

( ) 0
a

a
I f x dx



.
2.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
 
;aa
. Khi đó
0
( ) 2 ( )
aa
a
I f x dx f x dx



.
Chứng minh : Ta có
0
0
( ) ( ) ( )
aa
aa
I f x dx f x dx f x dx

  

  
(1)
Ta tính
0
()
a
J f x dx



bằng cách đặt
 
0x t t a dx dt      

00
00
( ) ( ) ( ) ( )
aa
aa
J f x dx f t dt f t dt f x dx

      
   
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
0
( ) 2 ( )
aa
a
I f x dx f x dx





3.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
 

:
. Khi đó










dxxfdx
a
xf
I
x
)(
2
1
1

)(

Chứng minh: Đặt t= -x

dt= - dx
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a
x
+1= a
-t
+1=
1
t
t
a
a


Khi x= -

thì t =

; x =

thì t =-


Vậy
 
 














dttf
a
a
dt
a
tfa
dx
a
xf
I
t
t
t
t
x
)(
1
11

1
)(
1
)(


  
  









Idxxfdt
a
tf
dttf
t
)(
1
)(
)(

Suy ra










dxxfdx
a
xf
I
x
)(
2
1
1
)(

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn
0;
2




.Khi đó
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
19

22
00
(sin ) (cos )f x dx f x dx



.
Chứng minh:
Đặt
2
t x dx dt

    

Khi x = 0 thì
2
t


, khi
2
x


thì t = 0
Do đó
0
2 2 2
0 0 0
2

(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
  


    
   
.
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên
 
0;1
thì
(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx
   






*Nếu f(x) liên tục trên
 
0;1
thì
22
(cos ) (cos )




xf x dx f x dx
   



5. Bảng công thức tích phân suy rộng đầy đủ.
CÁC CÔNG THỨC VỀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1. Tích phân suy rộng loại 1.
 Dạng 1:




A
a
A
a
dxxfdxxf )(lim)(

 Dạng 2:
 



a a
A

A
dxxfdxxf )(lim)(

 Dạng 3:






c
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
(Quay về dạng 1 và dạng 2)
2. Tích phân suy rộng loại 2.
Xét

b
a
dxxf )(
(trong đó a hoặc b hoặc a&b hoặc
 
bac ,
là một điểm kỳ dị của hàm số.
 Dạng 1: cận trên là điểm kỳ dị.







b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0

 Dạng 2: Cận dưới là điểm kỳ dị.
Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
20




b
a
b
a
dxxfdxxf


)(lim)(
0

 Dạng 3: Cả hai cận đều là điểm kỳ dị.







2
1
2
1
)(lim)(
0
0




b
a
b
a
dxxfdxxf

 Dạng 4:
 
bac ,
là điểm kỳ dị.


b
c
c
a

b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
(Quay về dạng 1 và dạng 2)

Tính các tích phân suy rộng sau:
1.



1
510
1xxx
dx

2.


0
sin xdxx

3.



0
dxe
x

4.

 




2
2
1 x
dx

5.



2
2
1
a
xx
dx

6.
 



0
2
3
2

1
arctan
x
xdx

7.



0
3
1 x
dx

8.



0
2
. dxex
x

9.
*)(,.
0
Nndxex
xn






10.

2
1
ln xx
dx

11.

2
0
)ln(sin

dxx

12.*












1
1
2
3
1
.
1
1
ln
x
dxx
x
x

Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D. Website: www.caotu95.blogspot.com
Đề cương ôn tập chi tiết môn Toán cao cấp 1. Trường: ĐH CNTT & TT Thái Nguyên.
21
Đề kiểm tra tổng hợp áp dụng các câu hỏi trên
Trường: ĐH Công nghệ TT & TT Đề thi thử môn Toán cao cấp 1
Nhóm: GUG Ngày thi: 23/12/2013
KIỂM TRA
(Thời gian làm bài: 120’)

ĐỀ 8

Câu 1: (1 điểm) Giải phương trình nghiệm phức sau:
03
4
 ix
.
Câu 2: (1 điểm) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:














232
140
311
A

Câu 3: (1 điểm)
a) Trong không gian T
2
[x] cho hệ vectơ
 
12;1;1
2
 xxxxE
. Chứng minh hệ vectơ E là một cơ sở của
không gian T
2
[x].
b) Tìm tọa độ vectơ t(x) = 3x
2
+ 4x – 1 theo cơ sở E.

Câu 4: (1 điểm) Cho ánh xạ:
)2,,2(),,(
33
zyxzyxzyxzyx 


RR

Tìm cơ sở và số chiều của Kerf , Imf .
Câu 5: (1 điểm) Cho ánh xạ f :
)2,(),,(
23
yxzxzyx 


RR

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở:
      
1,2,1;1,1,1;1,0,1 E
và
    
1,1;2,1 F

Câu 6: (1 điểm) Cho ánh xạ f :
 
zxyxzyxzyxf 32;32;226),,(
33




RR
.
Tìm trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ.
Câu 7: (0,5 điểm) Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau, cho biết đó là gián đoạn loại gì?











2 khi 6
2 khi
4
143
)(
2
x
x
x
x
xf
tại x
0
= 2.

Câu 8: (0,5 điểm) Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tại x = 3:
 










3
3
3
426
xkhim
xkhi
x
x
xf

Câu 9: (1 điểm) Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
 
xxxy
22
cos.
.

Câu 10: ( 0,5 điểm) Tìm khai triển Taylor tại x

0
đến cấp n của hàm số sau:
4,1,
1
3
2



 nx
x
xx
y

Câu 11: (0,5 điểm) Tìm khai triển Maclaurin đến cấp n của hàm số:
5,
23
32
ln 








 n
x
x

y

Câu 12: (1 điểm) Tính tích phân suy rộng sau:
 




2
2
1 x
dx

Hết