Dề thi học sinh gioi 6,7

Trờng THCS Đông Minh
Năm học: 2009-2010
đề thi HS giỏi môn toán lớp 8
Thời gian : 120 phút( Không kể giao đề)
Bài 1: (1.5đ) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
xz 9y
2
+ 3yz.
b) 4x
4
+ 4x
3
x
2
- x.
Bài 2: (2.5đ) Cho biểu thức.
P = (
2793
3
23
2
+++
+
xxx
xx
+
9
3
2

+x
): (
3
1
x
-
2793
6
23
+ xxx
x
)
a) Rút gọn P.
b) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 3: (1.5đ) Giải phơng trình.
a) x
3
3x
2
+ 4 = 0
b)
16
31
)2(
1
1
5.3
1
1

4.2
1
1.
3.1
1
1 =








+
+






+






+

+
xx
Bài 4: (1đ) Giải phơng trình.
Cho 3 số a, b, c là 3 số dơng nhỏ hơn 2.
Chứng minh rằng 3 số a(2 - b); b(2 c); c(2 a) không thể đồng thời lớn hơn
1.
Bài 5: (3.5đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, từ C vẽ
đờng thẳng vuông góc với tia BM tại H, cắt tia BA tại O.
Chứng minh rằng:
a) OA.OB = OC.OH
b) OHA có số đo không đổi.
c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
Biểu điểm và đáp án toán 8
Bài 1: (1.5đ)
Câu a: (0.57đ)
= (x
2
- 9y
2
) (xz - 3yz) 0.25đ
= (x - 3y)(x + 3y) z(x - 3y) 0.25đ
= (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25đ
Câu b: (0.75đ)

= x(4x
3
+ 4x
2
x 1) 0.25đ
=
( ) ( )
[ ]
114
2
++ xxxx
0.25đ
= x(x + 1)(4x
2
- 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25đ
Bài 2: (2.5đ)
Câu a: 1đ
P =






+
+
++
+
9
3

)3)(9(
)3(
22
xxx
xx
:






+


)9)(3(
6
3
1
2
xx
x
x
0.25đ
=
( )
( )
93
69
:

9
3
2
2
2
+
+
+
+
xx
xx
x
x
0.25đ
=
( )
( )
( )
2
2
2
3
93
.
9
3

+
+
+

x
xx
x
x
0.25đ
=
3
3

+
x
x
0.25đ
Câu b: (0.75đ)
P =


+
3
3
x
x
Px - 3P = x + 3 0.25đ
(P 1)x = 3(P + 1)
x =
( )
1
13

+

P
P
Ta có: x > 0


( )
0
1
1
0
1
13
>

+
>

+
=
P
P
P
P
x



<
>

<
<+



>
>+

1
1
01
01
01
01
P
P
P
P
P
P

Vậy không nhận giá trị từ -1 đến 1. 0.25đ
Câu c: 0.75đ ĐKXĐ:
3

x
P =
3
3

+
x
x
=
3
6
1
3
63

+=

+
xx
x
0.25đ
P nhận giá trị nguyên

x - 30

Ư (6) =

{ }
6;3;2;1
Từ đó tìm đợc x
{ }
3;9;0;6;1;5;2;4
0.25đ
Kết hợp với Đ/C
3

x
;
zx
ta đợc.
x
{ }
9;0;6;1;5;2;4
0.25đ
Vậy x
{ }
9;0;6;1;5;2;4
thì P nguyên.
Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ)
Câu a: (0.75đ)
- Đa đợc về dạng tích: (x + 1)(x - 2)
2
= 0 0.50đ



=

=

2
1
x
x
Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1; x = 2 0.25đ
Câu b: (0.75đ) ĐK: x

N
*n
- Đa về dạng
16
31
)2(
)1(

5.3
4
.
4.2
3
.
3.1
2
2
222
=
+
+

xx
x
0.25đ
16
31
2
)1(2
=
+
+

x
x
0.25đ
Từ đó

tìm đợc x = 30 (t/m x

N
*
)
Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 0.25đ
Bài 4: (1đ)
Giả sử a(2 b) > 1; b.(2 c) >1; C(2 a) > 1

abc (2 b)(2 c)(2 a) > 1 (1) 0.25đ
vì 0 < a < 2 nên 2 a > 0.
Do a + (2 a) = 2 không đổi, suy ra a(2 a) lớn nhất.

a = 2 a

a = 1
Tơng tự b(2 b) lớn nhất

b = 1
c(2 c) lớn nhất

c = 1
Vậy a (2 - a). b(2 b). c(2 c)

1.1.1 = 1 (2)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 0.25đ
(1) và (2) mâu thuẩn nhau.
Do đó 3 số a(2 b); b(2 c); c(2 a) không thể
đồng thời lớn hơn 1 0.25đ
Bài 5: (3.5đ)
Câu a: (1đ)
Chứng minh:

B0H

C0A (g.g) 0.5đ

=
A
H
C
B
0
0

0
0
0A.0B = 0C.0H 0.25đ
Câu b: (1.25đ)
B
C
O
H
M
A
K
A
H
C
B
0
0
0
0
=
(suy ra từ

B0H

C0A)
B
H
C
A
0

0
0
0
=
0.25đ
- Chứng minh

0HA

0BC (c.g.c) 0.25đ

OHA = OBC (không đổi)
Câu c: (1.25đ)
Vẽ MK

BC
-

BKM

BHC (g.g)
BH
BK
BC
BM
=


BM.BH = BC.BK (1) 0.5đ

CKM

CAB (g.g) 0.25đ
=
CA
CK
CB
CM
CM.CA = BC.CK (2) 0.25đ
- Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc:
- BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK
= BC . (BK + CK) = BC
2
(không đổi) 0.25đ
Trờng THCS Đông Minh
Năm học: 2009-2010
đề thi HS giỏi môn toán lớp 7
Thời gian : 120 phút ( không kể giao đề)
Bài 1: (2đ)
Thực hiện phép tính (bằng cách hợp lý nếu có thể)
a) - 15,5 . 20,8 + 3,5 . 9,2 15,5 . 9,2 + 3,5 . 20,8
b)
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
{ }
25,025,107,557,55 +++++
c) 25. (
5
1

)
3
+
5
1
- 2.(-
2
1
)
2
-
2
1
d) 5
23
16
27
5
5,0
23
7
27
5
+++
Bài 2: (1,5đ) Tìm x biết:
a)
421 =+ xx
(1)
b)
5

2.92.42.
2
1
=+
xx
Bài 3: (1,5đ) Cho các đa thức.
xxxxf += 25)(
5
g(x) = -3x + x
2
2 + 5x
5
a) Tính g(x) = f(x) - g(x)
b) Đa thức g(x) có nghiệm hay không? Vì sao?
Bài 4: (1đ)
Cho hàm số
)(xf
xác định với mọi giá trị của x khác 0 thỏa mản
a)
1)1( =f
b)
)(.
1
)
1
(
2
xf
x
x

f =
c)
)()()(
2121
xfxfxxf +=+
với mọi x
1


0, x
2


0 và x
1
+ x
2


0
Chứng minh
5
3
5
3
=

f
.
Bài 5: (1đ)
Cho đa thức
)(xf
= a
4
x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
Biết rằng:
)2()2();1()1( == ffff
Chứng tỏ rằng
)()( xfxf =
với mọi x.
Bài 6: (3đ)
Cho tam giác ABC vuông ở A có C = 30
0

, kẻ AH vuông góc với BC (H

BC)
Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB, từ C kẻ CE vuông góc với AD.
chứng minh.
a) Tam giác ABD đều:
b) AH = CE.
c) EH // AC.
Bµi 4: (1®)
211)1()1()11()2( =+=+=+= ffff

312)1()2()12()3( =+=+=+= ffff
413)1()3()13()4( =+=+=+= ffff
T¬ng tù:
5)5( =f
0,5®
Do
5
1
5.
5
1
)
5
1
(
2
==f
nªn
5

2
5
1
5
1
)
5
1
()
5
1
()
5
1
5
1
()
5
2
( =+=+=+= ffff
0.25®
5
3
5
1
5
2
)
5
1

()
5
2
()
5
1
5
2
()
5
3
( =+=+=+= ffff
0,25®

VËy
5
3
)
5
3
( =f
(§PCM)
Bµi 5: (1®)
01234
)1( aaaaaf ++++=
01234
)1( aaaaaf +−+−=−
Do
)1()1( −= ff
nªn a

4
+ a
3
+ a
2
+ a
1
+ a
0
= a
4
+ a
3
+ a
2
+ a
1
+ a
0
⇒
a
3
+ a
1
= - a
3
- a
1
⇒
a

3
+ a
1
= 0 (1) 0,25®
T¬ng tù:
01234
24816)2( aaaaaf ++++=
01234
24816)2( aaaaaf +−+−=−
V×
)2()2( −= ff
nªn 4a
3
+ a
1
= 0 (2) 0,25®
Tõ (1) vµ (2)
⇒
a
1
= a
3
= 0 0.25®
VËy
0
2
2
4
4
)( axaxaxf ++=

0
2
2
4
40
2
2
4
4
)()()( axaxaaxaxaxf ++=++−=−
víi
x∀
0.25®
)()( xfxf −=
víi
x∀
Bµi 6: (3®)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A
cã C = 30
0
, kÎ AH vu«ng gãc víi BC
(H
∈
BC). Trªn ®o¹n HC lÊy ®iÓm D
sao cho HD = HB. Tõ C kÎ CE vu«ng gãc
víi AD. Chøng minh:
a) Tam gi¸c ABD ®Òu
b) AH = CE.
c) EH // AC
A

C
B
D
H
E
đáp án toán 7
Bài 1: (2đ) Mỗi câu làm đúng 05đ
a) = -15,5(20,8 + 9,2) + 3,5.(9,2 + 20,8) 0.25đ
= - 15,5 . 30 + 3,5 . 30
= 30 . (-15,5 + 3,5)
= 30.(-12) = 360 0.25đ
b) = (-55,7 + 55,7) + (10,25 0,25) 0.25đ
= 10 0.25đ
c)
2
1
4
1
.2
5
1
125
1
.25 +

=
0.25đ
2
1
2

1
5
1
5
1
+

=
= 1 0.25đ
d)
5,0
23
16
23
7
27
5
27
5
5 +






++

+=
0.25đ
= 5 + 1 + 0,5 = 6,5 0.25đ
Bài 2: (1.5đ)
Câu a: (1đ)
a)+ Nếu x 1

0 => x

1
Khi đó (1) có dạng x 1 + 2x = 4
2
5
= x
(thỏa mãn x

1) 0.5đ
+ Nếu x 1 < 0 => x < 1
Khi đó (1) có dạng (x 1) + 2x = 4
=> x = 3 (không thỏa mãn x < 1) 0.5đ
Vậy
2
5
=x
b) (0.5đ)
6
22

2
9
:2.92
2.92.
2
9
6
5
5
=⇒
=
=
=
x
x
x
x
0.25®
Bµi 3: (1,5®) Mçi c©u ®óng 0.75®
a) TÝnh ®îc g(x) = x
2
– 2x = 2 0.75®
b) g(x) = x
2
– x – x + 1 + 1 0.5®
= (x – 1)
2
+ 1 > 0
=> ®a thøc g(x) kh«ng cã nghiÖm 0.25®
a) (1đ)

Chứng minh

AHB =

AHD (c.g.c)
=> AB = AD (1)
-

ABC vuông tại A (GT) => B + ACB = 90
0
(2) 0.5đ
Từ (1) và (2) =>

ABD đều
b) (1đ)
-

ABD đều => BAD = 60
0
0.25đ
- ABD + DAC = BAC = 90
0
Suy ra DAC = 30
0
Chứng minh

AHC =

CEA (cạnh huyền góc nhọn)
=> AH = CE 0.5đ

c)
-

AHC =

CEA => HC = AE (3) 0.25đ
-

ADC cân ở A (do DAC = ACD = 30
0
) => AD = DC (4)
ACD =
2
180
1
0
D+
0.25đ
- D

HC ; DE kết hợp với (3) và (4) =>

DEH cân ở D
=> H
1
=
2
180
2
0

D+
0.25đ
D
1
= D
2
(đối đỉnh)
Do đó H
1
= C
1
, 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // HE 0.25đ
Trờng THCS Đông Minh
Năm học: 2009-2010
đề thi HS giỏi môn toán lớp 6
Thời gian : 120 phút( không kể giao đề)
Bài 2: (1đ) Tính nhanh.
a)
7
3
.
9
5
7
1
.
9
5
7
2

.
9
5
9
5
.
7
1
+++
.
b)
121
9
.
4
3
.11.4
c) 41 . 36 + 59 . 90 + 41 . 84 + 59 . 30.
d) 4 . 51 . 7 + 2 . 86 . 7 + 12 . 2 . 7
Bài 2: (2đ) Tìm x biết.
a)
9
11
.
11
27
3

=+x
b)

4347.7
1
=
+
x
)( Nx
c)
[ ]
{ }
012:32:)142(
2
=+x
d)
0)72)(3( = xx
Bài 3: (2đ)
a) Tìm các số nguyên x; y biết (x - 1)(y + 1) = 5
b) Chứng minh rằng: tổng sau là hợp số.
abc abc + 22.
Bài 4: (1đ)
Sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần
.5;4;3;2
18273645
Bài 5: (1đ)
Tìm các giá trị a nguyên thỏa mản đẳng thức.
.0652
23
=+ aaa
Bài 6: (2đ)
Cho 2 góc kề nhau xOy; xOz sao cho xOy = 100
0

, xOz = 130
0
a) Tia Ox có nằm giữa 2 tia Oy, Oz không?
b) Tính yOz.
Đáp án toán lớp 6
Bài 1: (2đ)
a)






+++=
7
3
7
1
7
2
7
1
.
9
5
0.25đ

9
5
1.

9
5
==
0.25đ
b)
)
121
9
.11).(
4
3
.4(=
0.25đ

11
27
11
9
.3 ==
. 0.25đ
C)
( ) ( )
( )
12000
100.120
5941.120
120.59120.41
3090.598436.41
=
=

+=
+=
+++=
0.25đ
d)
6.2843.2851.28 ++=
0.25đ

( )
2800100.28
64351.28
==
++=
0.25đ
Bài 2: (2đ)
Mỗi câu hàm đúng 0,5đ
a)
33 =+x
0.25đ
=> không có giá trị của x 0.25đ
b)
32
77 =
+x
0.25đ

1
32
=
=+

x
x
0.25đ
Vậy x = 1
c) Thực hiện đa đẳng thức về dạng:
20142
=+
x
0.25đ

3
62
=
=
x
x
0.25đ
Vậy x = 3
d)
( )( )
0723 = xx



==
==
5,3072
303
xx
xx

Vậy x = 3; x = 3,5
Bài 3: (2đ)
Câu a: (1đ)
Ta có: (x 1)(y + 1) = 5 . 1 = 1 . 5 = (-1).(-5) = (-5).(-1) 0.25đ
Suy ra:
+) x 1 = 5 và y + 1 = 1 => x = 6 và y = 0
+) x 1 = và y + 1 = 5 => x = 2 và y = 4
+) x 1 = - 1 và y + 1 = - 5 => x = 0 và y = - 6
+) x 1 = - 5 và y + 1 = - 1 => z = - 4 và y = - 2
Vậy x = 6; y = 0
x = 2; y = 4
x = 0; y = - 6
x = - 4; y = - 2
Câu b: (1đ)

( )
2.91.11
.2291.11.
.221001.22
+=
+=
+=+
abc
abc
abcabcabc
0.25đ
nên abc abc + 22 là hợp số 0.25đ
Bài 5: (1đ)
Giả sử cố một số a
0

thỏa mản đẳng thức đã cho
nghĩa là:

0652
0
2
0
3
0
=+ aaa
0.25đ
Do
0
00
0
2
0
0
3
0
0
5
2
a
aa
aa
aa

0
6 a
0.25đ
=> a
0
phải là một trong các ớc của 6. Mà Ư(6) =
{ }
6;3;2;1
.
Thử chọn tìm đợc giá trị của a cần tìm là.
2; -1 ; -3 0.25đ
Vậy a
{ }
3;1;2
Bài 6: (2đ)
- Vẽ hình đúng 0.25đ
a) 0.75đ
- Giả sử tia Ox nằm giữa hai
tia Oy, Oz thì yOz = yOx + xOz
= 100
0
+ 130
0
= 230
0
> 180
0

(vô lý)

=> tia Ox không nằm giữa 2 tia Oy, Oz
b) 1đ
- Gọi Ox là tia đối của tia Ox
- Thì tia Ox nằm giữa 2 tia Oy; Oz
- Tính xOy = 80
0
; xOz = 60
0
(Dựa vào 2 góc kề bù)
- Tính đợc yOz = xOy + xOz = 80
0
+ 60
0
= 140
0

100
0
103
0
x
z
y
x
* N¨m 2005 : Tæng sè §¶ng viªn 258 ®/c, miÔn sinh ho¹t 50 ®/c
Trong ®ã :
45 ®/c HTXS NV b»ng 18,98%
175 ®/c HT tèt NV b»ng 73,9%
16 ®/c HTNV 3 b»ng 6,7%
1 ®/c kh«ng HT NV b»ng 0,42%

7 chi bé ®¹t TSVM b»ng 58,33%
5 chi bé ®¹t chi bé kh¸ b»ng 41,67%
§¶ng bé ®¹t §¶ng bé TSVM
* N¨m 2006 : Tæng sè §¶ng viªn 259 ®/c, miÔn sinh ho¹t 53 ®/c
Trong ®ã:
38 ®/c HTXS NV b»ng 16,4%
182 ®/c HT tèt NV b»ng 78,4%
12 ®/c HTNV 3 b»ng 5,2%
Kh«ng cã §¶ng viªn kh«ng HTNV
7 chi bé ®¹t TSVM b»ng 58,33%
5 chi bé ®¹t chi bé kh¸ b»ng 41,67%
§¶ng bé ®¹t §¶ng bé TSVM
* N¨m 2007 : Tæng sè §¶ng viªn 263 ®/c, miÔn sinh ho¹t 50 ®/c
Trong ®ã:
38 ®/c HTXS NV b»ng 15,7%
181 ®/c HT tèt NV b»ng 74,5%
24 ®/c HTNV b»ng 9,8%
Kh«ng cã §¶ng viªn kh«ng HTNV
10 chi bé ®¹t TSVM(trong ®ã cã 2 chi bé ®¹t chi bé TSVM tiªu
biÓu=83,3%)
2 chi bé ®¹t chi bé kh¸ =16,7%
§¶ng bé ®¹t §¶ng bé TSVM
* N¨m 2008 : Tæng sè §¶ng viªn 267 ®/c, miÔn sinh ho¹t 50 ®/c
Trong ®ã :
31 ®/c HTXS NV b»ng 14,36%
175 ®/c HT tèt NV b»ng 81,02%
8 ®/c HT NV b»ng 3,7%
2 ®/c kh«ng HT NV b»ng 0,92%
9 chi bé ®¹t TSVM(trong ®ã cã 2 chi bé ®¹t chi bé TSVM tiªu biÓu =
75%)

2 chi bé hoµn thµnh nhiÖm vô = 25%
§¶ng bé hoµn thµnh tèt nhiÖm vô
* N¨m 2009 : Tæng sè §¶ng viªn 273 ®/c, miÔn sinh ho¹t 51 ®/c
Trong ®ã:
28 ®/c HT XS NV b»ng 13,6%
148 ®/c HT tèt NV b»ng 71,85%
29 ®/c HTNV b»ng 14,07%
1 ®/c kh«ng HTNV b»ng 0,48%
10 chi bé ®¹t TSVM(trong ®ã cã 2 chi bé ®¹t TSVM tiªu biÓu =
83,3%)
2 chi bé hoµn thµnh tèt nhiÖm vô =16,7%
§¶ng bé ®¹t §¶ng bé TSVM