Đề thi học sinh giỏi

Một số đề thi học sinh giỏi lớp 8
Đề 1:
Câu 1: a) Tìm x, y thoả mãn 2x
2
+ 2xy + y
2
+ 9 = 6x | y+3 |
b) Giải phơng trình x
2
-
x
50
+ 2x = 25
Câu 2: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho m+ n = m.n
Câu 3: Tính tổng: S =
3.1
1
+
5.3
1
+
7.5
1
+ +
2009.2007
1
Câu 4: Các số thực x, y thoả mãn đẳng thức 5x
2
+ 20 y
2
= 25xy. Tính P

4
, với P=
yx
yx
2
2

+
Câu 5: Cho 3 điểm A, M, B thẳng hàng theo thứ tự ấy, độ dài AB = 2. Vẽ về một
phía của AB hai hình vuông AMCD và MBEF.
a) Lấy điểm H thuộc cạnh CD của hình vuông AMCD, tia phân giác của góc
AMH cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CH = MH
b) Đặt AM = x. Tính tổng diện tích hai hình vuông AMCD và MBEF theo x.
Tìm vị trí điểm M để tổng diện tích đó nhỏ nhất.
c) Gọi P, Q là tâm của hai hình vuông AMCD và MBEF, gọi I là trung điểm của
PQ. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển nh thế
nào?
Đề 2:
Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
2x + 3 = 0
Câu 2: Tìm đa thức f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c nếu biết:

a) f(-1) = 0 , f(0) = 1 , f(1) = 4
b) f(x) chia hết cho (x 2)
2
và f(1) = 4
Câu 3: Tính tổng : S =
2.1
1
+
3.2
1
+
4.3
1
+ +
2008.2007
1
Câu 4: Tìm các số nguyên m, n thoả mãn m =
1
1
2
+
++
n
nn
Câu 5: Cho hình vuông ABCD.
a) Lấy điểm E thuộc cạnh AD và điểm F thuộc cạnh DC sao cho AE=DF.
Chứng minh rằng BE = AF và BE

AF
b) Gọi G là trung điểm AD, H là trung điểm DC, I là giao điêm của BG và AH.

Chứng minh rằng BC = IC
c) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm K, L, M, N sao cho
AK = BL = CM = DN. Tứ giác KLMN là hình gì? Vì sao?
Đề 3:
Câu 1: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a lớn hơn 1, số 4a
4
+ 1 không thể là
số nguyên tố.
b) Rút gọn biểu thức:

))(( caba
bc

+
))(( abcb
ca

+
))(( bcac
ab

Câu 2: Cho trớc số m thoả mãn m
2

1. Giải phơng trình ẩn x sau:

1
1

m
x
+
1
)1(2
4
2


m
xm
=
4
1
12
m
x



m
x
+

1
1

Câu 3: Xét các số a, b, c thoả mãn các điều kiện:
abc = 1 , a + b + c =
a

1
+
b
1
+
c
1
Tính giá trị biểu thức : M = ( a
29
1)(b
3
1)( c
2008
1)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cố định. Một điểm M di động trên cạnh BC (M khác
B và C). Tia AM cắt tia DC tại N. Tia DM cắt tia AB tại I. Các đờng thẳng BN và CI cắt
nhau tại K.
a) Chứng minh rằng biểu thức :
CM
1

CN
1
có giá trị không đổi
b) Tính góc BKC
Đề 4:
Câu 1:
a) Với x

0 , hãy rút gọn biểu thức P(x) =

3
3
3
6
6
6
11
2
11
x
x
x
x
x
x
x
x
++






+

+






+
b) Đặt A = n
3
+ 3n
2
+ 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị
nguyên dơng của n
Câu 2: Cho 4 số x, y, z, t thoả mãn điều kiện xyzt = 1. Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z, t :

xyzxyx
+++
1
1
+
yztyzy
+++
1
1
+
ztxztz

+++
1
1
+
txytxt
+++
1
1

Câu 3: Xác định các hệ số a, b, c để đa thức x
3
+ ax
2
+ bx + c đợc phân tích thành
( x + a )( x + b )( x + c ).
Câu 4: Cho tam giác đều ABC có AB = a. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Một góc
xOy = 60
0
quay quanh đỉnh có các cạnh Ox, Oy lần lợt cắt các cạnh AB và AC của tam
giác ở M và N.
a) Chứng minh 4BM.CN = a
2
b) Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O tới đờng thẳng MN luôn không đổi khi
góc xOy quay quanh O nhng hai tia Ox và Oy vẫn cắt các cạnh AB và AC của
tam giác.