de thi hoc sinh gioi

Sở giáo dục & đào tạo nam định
Trờng THPT Xuân Trờng B
*********
Đề thi Học sinh giỏi cấp trờng
Môn: toán lớp 10
Năm học 2005-2006
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1: (2 điểm)
Tuỳ theo a tìm tập xác định của hàm số
y =
a22axx
44xx
2
2
+
+

Bài 2: (2 điểm)
Cho a,b,c là các số thực thoả mãn (a + b + c)(a + c) < 0 chứng minh rằng:
(b c)
2
> 4a(a + b + c)
Bài 3: (3,5 điểm)
Tìm a sao cho hai hệ phơng trình sau tơng đơng



=+
=+
2
2aaayx

a22yx
và



=++++
=+
06a1211)x2a(ay2x
034xyx
222
22
Bài 4: (4 điểm)
Cho f(x) =
2
224
2
m1
1x
2mx
12xx
4x
+
+
+
++
(m là tham số)
a) Tìm tập giá trị của hàm số t =
1x
2x
2

+
.
b) Tìm m để phơng trình f(x) = 0 có nghiệm.
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A và thoả mãn AM = BA + CA chứng minh rằng
tgBMC
4
3
.
Bài 6: (5,5 điểm)
Cho ABC. O là điểm bất kỳ trong tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lợt là hình
chiếu vuông góc của O lên BC, CA, AB. Với S là diện tích tam giác ABC,
BC = a, AC = b, AB = c.
a) Chứng minh rằng cotgA = - cotg(B + C)
b) cotgA =
4S
acb
222
+
c) cotgAMB + cotgBNC + cotgCPA = 0