on tap toan 11 hoc ky 2

Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010 - 2011
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u
n
| ≤ v
n
, ∀n và lim v
n
= 0 thì limu
n
= 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:
lim 0
1
n
=
,
lim 0
1
n
=
,
3
lim 0

1
n
=
,
lim 0
n
q =
với |q| < 1
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limu
n
= +∞ thì
lim 0
1
n
u
=
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
= +∞
thì
( )

0
lim 0
1
x x
f x
→
=
- Chú ý khi gặp các dạng vô định:
0
; ; ;0.
0
∞
∞ −∞ ∞
∞
ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử
và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và
mẫu với một lượng liên hợp;…
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (u
n
) lùi vô hạn (với
1<q
), ta có :

1
1 1 1
1
n
u
S u u q u q

q
+
= + + + =
−
L L
4/ Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x
0
:
limu
n
limv
n
= L lim(u
n
v
n)
+∞
L >0
+∞
+∞
L < 0
−∞
−∞
L >0
−∞
−∞
L < 0
+∞
limun=L limvn

Dấu của
v
n
lim
n
n
u
v
L >0
0
+
+∞
L > 0 -
−∞
L < 0 +
−∞
L < 0 -
+∞
)(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
)().(lim
0
xgxf
xx→

+ ∞ L > 0 + ∞
- ∞ - ∞
+ ∞ L < 0 - ∞
- ∞ + ∞
)(lim
0
xf
xx→
)(lim
0
xg
xx→
Dấu của
g(x)
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx→
L > 0
0
+ + ∞
- - ∞
L < 0
+ - ∞
- + ∞
1
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu

+) Tính f(x
0
)
+) Tìm
( )
0
lim
x x
f x
→
(nếu có)
- Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
không tồn tại
⇒
f(x) gián đoạn tại x
0
.
- Nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x

→
= ≠
⇒
f(x) gián đoạn tại x
0
- Nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x
→
= =
⇒
f(x) liên tục tại x
0.
5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
'
2
'
2
( )' ' '
( . )' '. '.

( . )' . '
'. '.
1 '
u v u v
u v u v v u
k u k u
u u v v u
v v
v
v v
± = ±
= +
=
−
 
=
 ÷
 
 
= −
 ÷
 

( )
( )
( )
1
'
2
' 0 ; ' 1

' .
1 1
1
'
2
n n
c x
x n x
x x
x
x
−
= =
=
 
= −
 ÷
 
=

( )
( )
1
'
2
' . . '
1 '
'
'
2

n n
u n u u
u
u u
u
u
u
−
=
 
= −
 ÷
 
=

+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu
[ ( )]y f u x
=
thì
' ' '
.
x u x
y f u
=
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
( )
( )
( )
2
2

sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
(cot )'
sin
x x
x x
x
x
x
x
=
= −
=
= −
( )
( )
( )
2
2
sin ' '.cos
cos ' '.sin
'
tan '
cos
'
(cot )'

sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u
=
= −
=
= −
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
có hoành độ x
0
có dạng:
y = f’(x
0
) (x – x
0
) + f(x
0
)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm:
0 0
( ) '( ).df x f x x= ∆

- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
0 0 0
( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆
- Vi phân của hàm số:
( ) '( )df x f x dx=
hay
'dy y dx=
4/ Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f
(n)
= [f
(n-1)
]’.
2
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
( )
2
1
)
2 1
n
n
a u
n
−
=

+
sin 2
)
1
n
n
b u
n
=
+
2
cos3
)
n
n n
c u
n n
+
=
+
cos
)
1
n
n
d u
n n
=
+
( )

1
1
)
3
n
n
n
e u
+
−
=
2
)
3 1
n
n
n
f u =
+
( )
1 1
1
1
)
3 5
n
n
n n
g u
+ +

−
= +
) 1
n
h u n n= + −
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
3
3 2
2 3 1
)lim
n n
a
n n
− +
+
3
2
3 2
)lim
2 1
n n
b
n
+ −
+

3
3 2
)lim
2 1

n
c
n n
− +
+ −
5
3 2
1 2 3
)lim
( 2) (5 1)
n n
d
n n
+ −
− −

2
4 1
)lim
1 2
n n
e
n
+ +
−
3 2.5
)lim
3.5 4
n n
n n

f
−
−

3 4 1
)lim
2.4 2
n n
n n
g
− +
+
2 2
4 1 9 2
)lim
2
n n
h
n
+ − +
−

)lim
n
i u
với
( )
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 1

n
u
n n
= + + + +
+
ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
2
)lim(3 1)a n n+ −
4 2
)lim( 2 3)b n n n− + − +
( )
2
)lim 3 sin 2c n n n+
2
)lim 3 1d n n+ −
( )
)lim 2.3 5.4
n n
e −
2
)lim 3 1 2f n n+ −
2
)lim 1g n n+ −
(
)
− +
2
)limh n n n
(

)
2
)lim 3 6 1 7i n n n− + −
( )
)lim 1k n n n− −
(
)
2
)lim 3l n n n− −
(
)
3 3 2
)limm n n n+ −
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞ d) +∞ e) - ∞ f) - ∞ g) 0 h) +∞ i) -∞ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
n−
 
− − −
 ÷
 
b)
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
3 9 27 3

n−
 
 ÷
 
ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
∞
∞
):
a)
3
3 2
5 1
lim
2 3 1
x
x x
x x
→+∞
− + −
+ +
b)
3
3 2
lim
2 1
x
x
x
→−∞

− +
+
c)
3 2
2
5 1
lim
3
x
x x
x x
→−∞
− +
+

d)
5 3
2 3
2 4
lim
1 3 2
x
x x x
x x
→+∞
+ −
− −
2
3 2
5 1

) lim
2 3 1
x
x
e
x x
→+∞
−
+ +
f)
2 2
2 4 1
lim
2 5
x
x x x
x
→−∞
+ − +
−

ĐS: a) -1/2 b) -∞ c) - ∞ d) -∞ e) 0 f) -1/5
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a)
3 2
lim ( 2 3 1)
x
x x x
→−∞
− + − +

b)
4 3
lim ( 5 3)
x
x x x
→+∞
− + + −
c)
2
lim 4 2
x
x x
→+∞
+ +
d)
2
lim 3 2
x
x x
→−∞
− +
e)
(
)
2
lim 3 2
x
x x x
→+∞
+ −

f)
(
)
2
lim 2
x
x x x
→−∞
+ +
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
3
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
a)
3
1
lim
3
x
x
x
−
→
+
−
b)
( )
2
4
1

lim
4
x
x
x
→
−
−
c)
3
2 1
lim
3
x
x
x
+
→
−
−
d)
2
2 1
lim
2
x
x
x
+
→−

− +
+
e)
2
0
2
lim
x
x x
x x
−
→
+
−
f)
1
3 1
lim
1
x
x
x
−
→−
−
+
ĐS: a) - ∞ b) - ∞ c) +
∞
d) +
∞

e) 1 f) +
∞
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
0
0
):
a/
2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
−
b/
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− +
−

c)
2
3
3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
d)
3
2
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
e)
2
2
1
2 3

lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
f)
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
g)
2
3
9
lim
1 2
x
x
x
→
−

+ −
h)
4
2 1 3
lim
2
x
x
x
→
+ −
−
i)
1
2 1
lim
5 2
x
x
x
→−
+ −
+ −
k)
2
2
3 2
lim
2
x

x x
x
−
→
− +
−

ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
a)
0
1 1
lim 1
1
x
x x
−
→
 
−
 ÷
+
 
b)
( )
2
1
2 3
lim 1

1
x
x
x
x
+
→
+
−
−
c)
2
3
2 1
lim 9.
3
x
x
x
x
+
→
+
−
−
d/
( )
3
2
2

lim 8
2
x
x
x
x
−
→
−
−
ĐS: a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)
(
)
2
lim 1
x
x x
→+∞
+ −
b)
(
)
2 2
lim 2 1
x
x x x
→+∞
+ − +

c)
(
)
2
lim 4 2
x
x x x
→−∞
− +
d)
(
)
2 2
lim 1
x
x x x
→−∞
− − −

ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
)

a)
0
sin 3
lim
x
x
x
→
b)
2
0
sin sin 2
lim
3
x
x x
x
→
c)
2
0
1 cos
lim
sin
x
x
x x
→
−
d)

0
sin .sin 2 sin
lim
n
x
x x nx
x
→
ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2
4
-2
( )
2
4 -2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=
+



− =

tại x
0
= -2 b)
2
4 3
khi x<3
( )
3
5 khi 3
x x
f x
x
x

− +

=
−


≥

tại x
0
= 3
c)
2
2 3 5

1
( )
1
7 1
x x
khi x
f x
x
khi x

+ −
>

=
−


≤

tại x
0
= 1 d)
2 1
3
( )
3
3 3
x
khi x
f x

x
khi x

− +
≠

=

−

=

tại x
0
= 3
e/
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠


=
−


=

tại x
0
=
2
f)
2
2
( )
1 1
3 4 2
x
khi x
f x
x
x khi x
−

>

=
− −



− ≤

tại x
0
= 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2
3 2
2
( )
2
1 2
x x
khi x
f x
x
khi x

− +
≠

=
−


=

b)

( )
2
1
2
2
( )
3 2
x
khi x
x
f x
khi x
−

≠

−
=


=

c)
( )
2
2
x 2
2
5 x 2
x x

khi
f x
x
x khi

− −
>

=
−


− ≤

d)
( )
2
2
0
0 1
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
<


= ≤ <



− − + ≥


4
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x
0
.
a)
( )
2
2
1
1
1
x x
khi x
f x
x
a khi x

− −
≠ −

=
+



= −

với x
0
= -1 b)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥

với x
0
= 1
c)
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x

x
a khi x

+ −
≠

=

−

− =

với x
0
= 2 d)
2
3 1 1
( )
2 1 1
x khi x
f x
a khi x

− <
=

+ ≥

với x
0

= 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a)
4
5 2 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm.
b)
5
3 7 0x x− − =
có ít nhất một nghiệm.
c)
3 2
2 3 5 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm
d)
3
2 10 7 0x x− − =
có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g)
3 2
3 1 0x x+ − =
có 3 nghiệm phân biệt.
h)
( )
( )
3
2 2

1 1 3 0m x x x− + + − − =
luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i)
( )
( )
3
2 4
1 4 3 0m x x x− − + − =
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
3
y x=
b)
2
3 1y x= +
c)
1y x= +
d)
1
1
y
x
=
−
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1)
= − + −
3 2

5
3 2
x x
y x
2)
3
2
2
5
+−=
x
xy
3)
= − + −
2 3 4
2 4 5 6
7
y
x x x x
4)
)13(5
2
−= xxy
5) y = (x
3
– 3x )(x
4
+ x
2
– 1) 6)

32
)5( += xy
7)
)35)(1(
22
xxy −+=
8)
)23)(12( +−= xxxy
9)
32
)3()2)(1( +++= xxxy

10)
( )
 
= + −
 ÷
 
2
3 1y x x
x
11)
3
2y x=
12) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5

13)
4 2
3y x x= +
14)
( )
( ) ( )
2
2 1 2 3 7y x x x= + − +
15)
2
2 5
2
x
y
x
−
=
+
16)
2
1
2 3 5
y
x x
=
+ −
17)
3
2

2
1
x x
y
x x
−
=
+ +
18)
− + +
=
−
2
2
7 5
3
x x
y
x x

19)
76
2
++= xxy
20)
21 ++−= xxy
21)
1)1(
2
+++= xxxy

22)
12
32
2
+
+−
=
x
xx
y
23)
1 x
y
1 x
+
=
−
24)
( )
3
2
2 3 1y x x= + −
5
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
25)
( )
3
2 3
2y x x x x= + + −
26) y =

x
(x
2
-
x
+1) 27)
3
2
2 3
2
x
y x x
x
 
= + −
 ÷
 ÷
−
 

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x
3
) 3) y = x.cotx 4)
2
)cot1( xy +=
5)
xxy
2
sin.cos=

6)
3
1
cos cos
3
y x x= −
7)
2
sin
4
x
y =
8)
xx
xx
y
cossin
cossin
−
+
=
9)
3
y cot (2x )
4
π
= +
10)
2
sin (cos3 )y x=

11)
3
2
y cot 1 x= +
12)
xxy 3sin.sin3
2
=
13)
2
y 2 tan x= +
14)
3
cosx 4
y cot x
3sin x 3
= − +
15)
sin(2sin )y x=
16)
4
sin 3y xp= -
17)
22
)2sin1(
1
x
y
+
=

18)
xsinx
y
1 tanx
=
+
19)
sinx x
y
x sinx
= +
20)
y 1 2tanx= +

Bài 4: Cho hai hàm số :
4 4
( ) sin cos f x x x= +
và
1
( ) cos4
4
g x x=
Chứng minh rằng:
'( ) '( ) ( )f x g x x= ∀ ∈ℜ
.
Bài 5: Cho
23
23
+−= xxy
. Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3

ĐS: a)
0
2
x
x
<


>

b)
1 2 1 2x− < < +
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) =
xxcosxsin3
+−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x
4
– 2x
3
– 1
Bài 7: Cho hàm số
f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)= + + −
Bài 8: a) Cho hàm số:
2
22
2
++
=
xx

y
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2
b) Cho hàm số y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng: 2(y’)
2
=(y -1)y’’
c) Cho hàm số
= −
2
y 2x x
. Chứng minh rằng:
+ =
3
y y" 1 0
Bài 9: Chứng minh rằng
'( ) 0 f x x> ∀ ∈ℜ
, biết:
a/
9 6 3 2
2
( ) 2 3 6 1
3
f x x x x x x= − + − + −
b/
( ) 2 sinf x x x= +

Bài 10: Cho hàm số
2
2
x x
y
x
+
=
−
(C)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
= -1.
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
(C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
= 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số :
3 2
5 2y x x= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.

6
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
1
7
x – 4.
Bài 13: Cho đường cong (C):
2
2
x
y
x
+
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng
1
3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là
4−
Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:
a)
12
3
+−= xxy
b)
2
sin

4
x
y =
c)
76
2
++= xxy
d)
xxy
2
sin.cos=
e)
2
)cot1( xy +=
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1)
1
2
x
y
x
+
=
−
2)
2
2 1
2
x
y

x x
+
=
+ −
3)
2
1
x
y
x
=
−
4)
2
1y x x= +

5)
2
siny x x=
6)
2
(1 )cosy x x= −
7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1)
( )
3
6
''
2
y

x
=
−
2)
( )
3 2
3
2
4 10 30 14
''
2
x x x
y
x x
− + +
=
+ −
3)
( )
( )
2
3
2
2 3
''
1
x x
y
x
+

=
−
4)
( )
3
2 2
2 3
''
1 1
x x
y
x x
+
=
+ +
5)
( )
2
'' 2 sin 4 cosy x x x x= − +
6)
2
'' 4 sin ( 3)cosy x x x x= + −
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
1
1
y
x

=
+
b) y = sinx
ĐS: a)
( )
( )
( )
1
!
1
1
n
n
n
n
y
x
+
= −
+
b)
( )
sin
2
n
y x n
π
 
= +
 ÷

 
7
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng
0
90
.
• Phương pháp 2:
. 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
(
, u v
r r
lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh
( )a b
α
⊥ ⊃
hoặc
( )b a
β
⊥ ⊃
• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc (
'a b a b⊥ ⇔ ⊥
với b’ là hình chiếu của đt b lên
mp chứa đt a).
 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).

• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 90
0
.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp:

( , )d M a MH=
(với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d
(M, (P))
= AH
• Tính khoảng giữa đt
∆
và mp (P) song song với nó: d
(
∆
, (P))
= d
(M, (P))
(M là điểm thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
8
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:

- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB).
b) SD ⊥ DC.
c) SC ⊥ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ AD.
b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD =
2a
.
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm ∆BCD.
b) AC ⊥ BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng
đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC =
3a

, SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA
⊥
(ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên SB, SD.
9
·
0
BAD 60=
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh SC ⊥ (AHK).
c) Chứng minh HK ⊥ (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
1. CMR: BC

⊥
(OAI).
2. CMR: (OAI)
⊥
(OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS:
a / 3
5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS:
cos 6 / 3
α =
6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS:
tan 2ϕ =
7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy. ĐS:
a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA (ABCD)⊥
và
SA a 2=
.
1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC)
⊥
mp(SBD) .
3. Tính góc
α
giữa SC và mp (ABCD), góc
β
giữa SC và mp (SAB). ĐS:
0 0

45 , 30
α = β =
4. Tính tang của góc
ϕ
giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS:
tan 2ϕ =
5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
ĐS:
a 6 / 3
6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy. ĐS:
a / 2
7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI. ĐS:
SI a=
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
SA SB SD a 3 / 2
= = =
và . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
1. CMR: BD
(SAC)⊥
và
SH (ABCD)⊥
.
2. CMR: AD
SB⊥
.
3. CMR: (SAC)
⊥
(SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC. ĐS:

SH a 15 / 6=
và SC =
a 7 / 2
5. Tính sin của góc
α
giữa SD và (SAC), côsin của góc
β
giữa SC và (SBD).
ĐS:
sin 3 / 3α =
và
cos 3/ 14β =
.
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS:
a 10 /12
7. Tính góc giữa
(SAD)
và (ABCD). ĐS:
tan 5ϕ =
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy. ĐS:
a 3 / 3
10
·
0
ADC 45=
Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu
9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI. ĐS:
3 15a / 20
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và .

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a
2
.
1. CMR: BC
⊥
mp(SAB).
2. CMR: CD
SC⊥
.
3. Tính góc
α
giữa SC và (ABCD), góc
β
giữa SC và (SAB), góc
γ
giữa SD và (SAC).
ĐS:
0 0
45 , 30 , tan 2 / 2
α = β = γ =
4. Tính tang của góc
ϕ
giữa mp(SBC) và mp(ABCD). ĐS:
tan 2ϕ =
5. Tính khoảng cách giữa SA và BD. ĐS:
2a / 5
6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). ĐS:
2a / 7

7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.

Từ đó tính MS và NS. ĐS:
MS a
=
,
NS a 6 / 2
=
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là
trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD
(ACC'A')⊥
và A’C
(BDC')⊥
.
2. CMR:
A'C AB'
⊥
.
3. CMR: (BDC’)
⊥
(ACC’A’) và (MNC’)
⊥
(ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’). ĐS:
a / 3

5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’). ĐS:
3a / 17
6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’). ĐS:
tan 2 2 / 3α =
7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD). ĐS:

tan 2β =
8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’). ĐS:
cos 7 / 51ϕ =
9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’. ĐS:
a 3 / 3
11