Ôn tập Toán 11 học kỳ II

Tổ Toán .Trờng THPT Đông Thụy Anh-Thái Bình.
đề cơng học kỳ II - Khối 11
A - Chứng minh quy nạp:
1, 1
2
+ 2
2
+ 3
3
+ ........+ n
2
=
6
1+21+ ))(( nnn
2, 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ .........+ n
3
=
2
2
1+ )(nn
B - Cấp số nhân - cấp số cộng.
Bài 1: Tìm x để: 1 + sinx, sin
2
x , 1 + sin3x
Theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Bài 2: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lợt vào số thứ
nhất, số thứ hai, số thứ 3 tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó
Bài 3: Cho 3 số dơng có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt 1 đơn vị ở số
hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ 3 ta đợc một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
Bài 4: Tính: A = 3 + 33 + 333 + .....+
2004 ố3
33.....3
s
6 7 8
B = 5 + 55 + 555 + ......+
ố5
55....5
n s
678
Bài 5: Tính: M = 0,5 + (0,5)
2
+ .....+ (0,5)
n
+ .....
N = 1 +
10
1
+
2
10
1
+ ....+
n
10
1

+ .....
Bài 6: Cho ABC. Các góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội q = 2.
a, Tìm các góc của ABC
b, Chứng minh: bc = c
2
- a
2

c, a
2
+ b
2
+ c
2
= 7R
2
Bài 7: Cho ABC có tan
2
A
, tan
2
B
, tan
2
C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh
cosA, cosB, cosC theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng.
Bài 8: Cho ABC có cot
2
A

, cot
2
B
, cot
2
C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Chứng minh: Ba cạnh a, b, c theo thứ tự cũng tạo thành cấp số cộng.
Bài 9: Chứng minh: U
1
= 2 +
3
U
2
= 1, U
3
= 2 -
3
. Tạo thành cấp số nhân. Tính S
2005
Bài 10: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x
4
= y
3
.Tìm x, y.
Bài 11: Cho 0 < a <
4

. Chứng minh : 1 tan a + tan
2

a - tan
3
a + ....
)sin(
cos
a
a
+
=
4
2
2

Biên soạn và sửa bản in : Vũ Bá Đức
1
Tổ Toán .Trờng THPT Đông Thụy Anh-Thái Bình.
đề cơng học kỳ II - Khối 11
Biết các số hạng ở vế trái thạo thành cấp số nhân
c - Giới hạn:
Bài 1: Giới hạn dãy số: Tìm:
a, lim (
21
1
.
+
43
1
+
32
1

..
+ .....+
)( 1+
1
nn
)
b,
lim
(
1+3+
++3+2+1
3
2222
nn
n.......
)
c, Cho (U
n
) xác định bởi U
1
= 2 (n 1)
U
n + 1
=
2
1+
n
U
Chứng minh dãy số có giới hạn. Tìm giới hạn đó
Bài 2: Giới hạn hàm số.

Tìm giới hạn:
a,
1x
lim


1
245
2
23

+
x
xxx
b,
2
2
4 1 3
x
x x
x
lim

+
+
c,
23
2
1
5 7

1
x
x x
x
lim

+

d,
2
( 3
x
x x x
lim

+ +
)
e,
2
( 5 )
lim
x
x x x
+
+
) g)
h) i)
k) l)
m) n)
Bài 3:Tính giới hạn của hàm số.

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2 2
2
4
2
x x
2
2
3
x x
x 1 7x 2
3x 5x 1
a) lim b) lim
x 2
2x 1
3x 1 5x 3
c) lim d) lim x 4x x
2x 1 x 1
+
+
+
+

+
+ +

+
Bài 4:
a, Tìm a để f(x) liên tục trên R
Biên soạn và sửa bản in : Vũ Bá Đức
2
Tổ Toán .Trờng THPT Đông Thụy Anh-Thái Bình.
đề cơng học kỳ II - Khối 11
f(x) =
2
65
2

+
x
xx
nếu x 2
a nếu x = 2
b, Cho f(x) =
8
23
3
2

+
x
xx
nếu x > 2

a nếu x = 2
bx + 1 nếu x < 2
Biện luận về tính liên tục của hàm số trên R
d, Tìm m để hàm số liên tục tại x = 3
f(x) = m
2
- 2m khi x = 3
3
)25(2
2


x
x
khi x 3
Bài 5 Chứng minh rằng phơng trình:
a) 3x
3
+ 2x - 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b) 4x
4
+ 2x
2
- x - 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).
Bài 6: a, Chứng minh phơng trình: x
7
+ 5x
5
+ x
3

- 1 = 0 có nghiệm x (0,1)
b, Chứng minh: x.sinx = 0 có nghiệm trên (3,4)
D - Hình học:
Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AD = DC =
2
1
AB, mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy.
a)Gọi I là trung điểm AB. CM: CI // (SAD).
b)CMR: (SAC)

(SBC).
c)Điểm M thuộc đoạn AB, mp (P) qua M // (SAD). Tìm thiết diện của mp (P) và hình
chóp.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD.
a)CM: SO

(ABCD).
b)Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB, BC. CM: IK // (SAC), (SIK)

(SBD).
c)Gọi mp (P) chứa IK và // với SO. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp. CM: (P)

BD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành, AB = 2a, AD = a,
DSAB vuông cân tại A. M là một điểm trên AD với AM = x (0 < x < a), (P) là mp qua
M, // (SAB).
a) mp (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
Bài 4.Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lợt là trung điểm AC, BC.

Trên BD lấy K sao cho BK = 2KD.
a)Tìm giao điểm E của CD và (IJK). CM: DE = DC.
b)Tìm giao điểm F của AD và (IJK). CM: FA = 2FD.
c)CMR: FK // (ABC).
Bài 5.Cho hình lăng trụ ABC.ABC. Gọi I, K, G lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC,
ABC, ACC. CMR: a)mp(IKG) // mp(BBCC).
b)Xác định thiết diện của của lăng trụ cắt bởi mp(IKG).
Biên soạn và sửa bản in : Vũ Bá Đức
3
Tổ Toán .Trờng THPT Đông Thụy Anh-Thái Bình.
đề cơng học kỳ II - Khối 11
c)mp(AKG) // mp(AIB).
Bài 6: Cho hình chóp S
ABCD
đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.
AB = BC = a, AD = 2a, SA = a.Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với
mặt đáy. Gọi E là trung điểm của AB.
a, Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.Tính khoảng cách
giữa AB và SD.
b, Gọi M' là trung điểm cuả SB, mặt phẳng (ADM') cắt hình chóp theo thiết diện là
hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
c, Tính góc giữa SC và (ABCD), tính góc nhị diện cạnh CD.
Bài 7: Cho 3 tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng, với góc phẳng ở đỉnh xoy = 60
o
, yoz = 90
o
,
zox = 120
o
.Trên ox, oy, oz lần lợt lấy A, B, C sao cho OA = OB = OC = a

a, Chứng minh ABC vuông tại B
b, Tính đờng cao của tứ diện kẻ từ O
c, Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC
Bài 8: Cho hai nửa đờng thẳng chéo nhau Ax, By hợp với nhau một góc 60
o
, AB = a là đoạn
vuông góc chung của Ax và By. Trên Ax, By lần lợt lấy C, D sao cho AC = 2a, BD = a.
Gọi () là mặt phẳng chứa By song song với Ax, E là hình chiếu vuông góc của c/()
a, Chứng minh CD By
b, Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E cách đều một điểm cố định. Tính khoảng cách
từ 5 điểm trên đến điểm cố định đó.
c, Tính độ dài đoạn vuông góc chung của CE và AD.
Bài 9: Cho tứ diện SABC có góc ABC = 1 vuông, AB = 2a, BC = a
3
.
SA (ABC) ; SA = 2a, M là trung điểm của AB
a, Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC)
b, Tính đờng cao AK của AMC
c, Tính tg biết là góc giữa (SMC) và (ABC)
d, Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SMC)
B i 10: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD; cnh bờn v cnh ỏy bng a.
Gi O l tõm ỏy v I l trung im ca CD. Tớnh:
a) Khong cỏch t S n CD
b) Khong cỏch t O n (SCD)
c) Khong cỏch gia AB n SI
d) Khong cỏch gia AB n (SCD)
Biên soạn và sửa bản in : Vũ Bá Đức
4
Tỉ To¸n .Trêng THPT §«ng Thơy Anh-Th¸i B×nh.
®Ị c¬ng häc kú II - Khèi 11

Bµi 11:Cho gãc tam diƯn vu«ng Oxyz. Trªn Ox, Oy, Oz lÊy lÇn lỵt c¸c ®iĨm A, B, C cã
OA = a, OB = b, OC = c (a,b,c>0) .
1. CMR tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän.
2. Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC. H·y tÝnh OH theo a, b, c.
3. CMR b×nh ph¬ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng tỉng b×nh ph¬ng diƯn tÝch c¸c
mỈt cßn l¹i cđa tø diƯn OABC.
Bµi 12:Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, c¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y.
§é dµi c¸c c¹nh AB=a, AD=b, SA=2a. Gäi M lµ trung ®iĨm cđa SA.
A) MỈt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×?
b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn Êy.
E.Tỉ hỵp –X¸c St.
Bµi 1.Tõ c¸c sè 1,2,3,4,5,6,7 . Hái :
a) Cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau.
b) Cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè ch½n cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau
c) Cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau vµ kh«ng lín h¬n sè 456.
d) Cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã ph¶i cã mỈt 2 ch÷ sè 1 vµ 2.
Bµi 2. Cho 2 ®êng th¼ng d
1
, d
2
song song nhau.Trªn d
1
lÊy 9 ®iĨm ph©n biƯt,
trªn d
2
lÊy 12 ®iĨm ph©n biƯt .
Hái cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 ®iĨm trong 21 ®iĨm trªn ?
Bµi 3. Cho 4 ®êng th¼ng song song nhau vµ 5 ®êng th¨ng kh¸c còng song song nhau ®ång thêi
vu«ng gãc víi 4 ®êng th¼ng trªn..Hái cã bao nhiªu h×nh ch÷ nhËt ®ỵc sinh ra tõ c¸c ®êng
th¼ng trªn ?

Bµi 4.Cho ®a gi¸c låi cã n c¹nh.Hái ®a gi¸c ®ã cã bao nhiªu ®êng chÐo ?
Bµi 5.Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5,6,7.Hái cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè cã 10 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 6
xt hiƯn ®óng 3 lÇn cßn c¸c ch÷ sè kh¸c xt hiƯn ®óng 1 lÇn.?
Bµi 6.Tõ 10 sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Hái cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau ,
sao cho c¸c sè t¹o thµnh ®Ịu ph¶i cã mỈt sè 0 vµ sè 1?
Bµi 7 Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau?
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn?
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7?
Bµi 8 Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau?
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?
Bµi 9 . Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Bµi 10 . Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau?
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ?
c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Bµi 11. Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi
có bao nhiêu số :a) Được tạo thành
b) Bắt đầu bởi chữ số 1?
Biªn so¹n vµ sưa b¶n in : Vò B¸ §øc
5