Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang

I. Lí do chọn đề tài...................................................................................................02
II. Mục đích nghiên cứu...........................................................................................03
III. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................................03
IV. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................03
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Thực trạng ............................................................................................................04
II. Biện pháp.............................................................................................................04
III. Nội dung.............................................................................................................05
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và một số lưu ý...................05
2. Một số yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình...............................06
3. Phân loại các bài tốn giải bài tốn bằng cách lập phương trình.........................09
4. Một số bài tốn cụ thể về giải bài tốn bằng cách lập phương trình....................09
4.1. Dạng toán chuyển động………........................................................………….09
4.2. Dạng toán liên quan tới số học.........................................................………….12
4.3. Dạng toán về năng suất lao động:( “sớm- muộn”, “trước-sau”)......………….13
4.4. Dạng toán về tỉ lệ chia phần:( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”)..............………….15
4.5. Dạng tốn liên quan đến hình học....................................................………….16
4.6. Dạng tốn về cơng việc, vòi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”).......…….17
4.7. Dạng tốn có nội dung vật lý, hố học............................................…………..18
4.8. Dạng tốn có chứa tham số..............................................................………….19
IV. Kết quả đạt được................................................................................................20
V. Khả năng ứng dụng triển khai SKKN.................................................................21
VI. Một số kinh nghiệm được rút ra.........................................................................21
PHẦN III: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................23

1


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lí do khách quan
Trong thời đại hiện nay với nền kinh tế tri thức con người muốn tồn tại và
phát triển thì đều phải học, học nữa, học mãi. Vì thế năng lực học tập của con
người phải được nâng lên mạnh mẽ nhờ vào trước hết người học biết “ Học cách
học ” và người dạy biết “ Dạy cách học ”.
Mục tiêu của ngành giáo dục hiện nay là đào tạo học sinh thành những con
người phát triển tồn diện, sáng tạo, có khả năng vận dụng linh hoạt hợp lí các vấn
đề cho bản thân và xã hội. Q trình dạy học khơng phải là một q trình tiếp nhận
một cách thụ động những tri thức khoa học, mà chủ yếu là quá trình học sinh tự
nhận thức, tự khám phá, tìm tịi các tri thức khoa học một cách chủ động, tích cực,
là q trình học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề.
2. Lí do chủ quan
Toán học là một trong những nguồn kiến thức để hình thành kiến thức và kĩ
năng cho học sinh. Thơng qua giải bài tập tốn, học sinh được rèn luyện, củng cố
và tìm tịi phát hiện ra kiến thức, kĩ năng mới. Bài tập tốn là cơng cụ hữu hiệu để
kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh, làm bộc lộ những khó khăn, sai lầm trong
việc học tập tốn học, qua đó giáo viên có những biện pháp giúp đỡ học sinh vượt
qua khó khăn và khắc phục những sai lầm.
Trong q trình giảng dạy mơn tốn, tơi nhận thấy học sinh thường lúng túng
và cịn nhiều vướng mắc khi làm bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Nhiều học sinh chưa nắm chắc phương pháp giải bài tập hoặc cách trình bày cịn
thiếu lơgic và chưa chặt chẽ.
Đặc trưng dạng tốn này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen
của nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thơng thường, ngơn ngữ tốn
học, vật lý, hố học… Các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy

luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để dẫn đến lập phương trình .
Mặt khác loại tốn này các bài tốn đều có nội dung gắn liền với thực tế.
Chính vì thế việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó
khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện
của ẩn, hoặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn. Hoặc học sinh
không khai thác hết các mối liên hệ ràng buộc của thực tế. Kĩ năng phân tích, tổng
2


hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập cịn yếu. Với những lý do đó mà học
sinh rất sợ và ngại làm loại toán này. Tuy nhiên cũng có thể do trong q trình
giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần
của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được
cách giải cho mỗi dạng. Do đó giải bài tốn bằng cách lập phương trình chỉ đạt kết
quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành những mối quan
hệ tốn học. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập cho học
sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để giải bài tập .
Xuất phát từ những lí do trên và qua thực tế giảng dạy, tôi soạn thảo đề tài
tổng kết kinh nghiệm “Phương pháp giải bài tốn bằng cách lập phương trình”.
Với chút ít kinh nghiệm của bản thân và những kinh nghiệm học hỏi được từ đồng
nghiệp… tơi hy vọng sẽ góp được một phần nhỏ trong việc nâng cao chất lượng
giảng dạy bộ mơn.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Qua đề tài này tơi muốn giúp các em học sinh củng cố vững chắc kiến thức lí
thuyết và tự hồn thiện các kĩ năng phân tích đề, rèn luyện cho các em kĩ năng nhạy
bén khi giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Và từ đó sẽ tạo cho các em tự tin,
hứng thú say mê tìm hiểu về dạng tốn này.
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Khách thể: học sinh lớp 8, lớp 9
- Đối tượng nghiên cứu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập tốn khơng vượt qua chương trình THCS
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách
giáo khoa, sách tham khảo…từ đó đưa ra một số bài tập tiêu biểu SGK và cách giải
quyết cơ bản cho học sinh thực hiện.
- Phương pháp điều tra: + Điều tra cách giải của học sinh lớp 8, 9 qua bài kiểm tra
+ Thống kê kết quả của học sinh qua bài kiểm tra.
- Phương pháp thực nghiệm: Áp dụng, hướng dẫn cho học sinh lớp 8, 9 giải bài tập
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút ra các ưu điểm, nhược điểm của học sinh
trong phương pháp giải bài tập tốn, từ đó đề các biện pháp hữu hiệu để khắc phục.
3


PHẦN II: NỘI DUNG
I. THỰC TRẠNG
Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài này, tôi khảo sát ở 3 lớp 9A, 9B, 9C tại
trường tôi trực tiếp giảng dạy với đề bài:
Bài tập 1: (5 điểm)
Một ca nô chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận
tốc của ca nơ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài tập 2: (5 điểm)
Nếu mở cả hai vịi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước.
Nếu mở riêng từng vịi thì vịi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ.
Hỏi nếu mở riêng từng vịi thì mỗi vịi chảy bao lâu thì đầy bể?
Tơi thu được kết quả ở 3 lớp như sau:
Lớp

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu và kém

9A

3,3%

10,3 %

55,9 %

30,5%

9B

6,3 %

14,3 %

45,4 %

34 %

9C

6,6 %

18%

60,3 %

15,1 %

Kết quả thấp là do học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưa nắm
vững phương pháp giải đối với dạng bài tập này, cách trình bày cịn thiếu lơgic,
chưa chặt chẽ.
Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết, các em muốn học nhưng chưa biết
cách học, đang còn học một cách thụ động, các em chưa biết tư duy để tìm ra
phương pháp giải cho mỗi dạng bài tập loại này. Lí do là các em tiếp xúc với loại
toán này nhiều khái niệm các em còn chưa hiểu rõ đầy đủ ý nghĩa của nó, hoặc
khơng nhớ mối quan hệ giữa các đại lượng trong đó, hoặc thời gian để các em rèn
luyện làm bài tập còn hạn chế. Hơn nữa do điều kiện của địa phương với đặc thù là
vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn
hạn chế nhiều về tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em.
II. BIỆN PHÁP
Để giải được bài tập giải bài tốn bằng cách lập phương trình, học sinh phải
nắm được phương pháp giải của dạng bài tập này. Muốn làm được điều này giáo
viên phải hướng dẫn học sinh nắm vững các bước giải, tìm ra các phương pháp giải
thật dễ hiểu giúp học sinh tiếp thu một cách nhẹ nhàng.
4


III. NỘI DUNG
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và một số lưu ý:
1.1. Một trong những phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là
dựa vào quy tắc chung. Nội dung của quy tắc gồm các bước:
 Bước 1: Lập phương trình .
- Chọn ẩn số, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diện các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Bước 2: Giải phương trình .
 Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,
nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.
1.2. Để có thể giải đúng, nhanh bài tốn giải bài tốn bằng cách lập phương
trình cần chú ý :
1.2.1. Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bài tốn để hiểu rõ: cái phải tìm các số liệu đã
cho, mơ tả bằng hình vẽ nếu cần .
1.2.2. Thường chọn trực tiếp cái phải tìm làm ẩn, chú ý điều kiện của ẩn sao cho
phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế .
1.2.3. Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết
ngay được .
1.2.4. Khi đã chọn số chưa biết của một đại lượng trong một tình huống là ẩn
khi lập phương trình phải tìm mối liên quan giữa các số liệu của một đại lượng
khác hoặc trong một tình huống khác. Mối liên hệ này được thể hiện
bởi sự so sánh ( bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp mấy lần ...)
1.2.5. Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương
trình đã học để tìm nghiệm của phương trình .
1.2.6. Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình với điều kiện của
bài toán và với thực tế để trả lời .
1.2.7. Phân tích, biện luận cách giải, thay đổi các số liệu của bài toán để tạo
thành những bài toán khác nhằm giúp học sinh khá, giỏi phát huy tốt tư duy toán
học .
5


2. Một số yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Mặc dù có quy tắc trên song trong q trình hướng dẫn giải bài tốn này cần
cho học sinh vận dụng theo những yêu cầu sau:

2.1. Lời giải khơng phạm sai lầm và khơng có sai sót nhỏ:
Để học sinh không mắc sai lầm này người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề
toán và trong q trình giải khơng có sai sót về kiến thức, kỹ năng tính. Giáo viên
phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiện
của ẩn xem có thích hợp khơng?
Ví dụ 1: Mẫu của một phân số gấp 4 lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử và mẫu lên 2
đơn vị thì được phân số

1
. Tính phân số đã cho.
2

(Bài 34-Tr 25-SGK Toán 8-Tập 2)
Giải
Gọi tử số của phân số đã cho là x (x>0;x ∈ N)
Thì mẫu số của phân số là 4x.
Theo bài ra nếu tăng cả tử và mẫu lên 2 đơn vị thì được phân số
x+2 1
= .
4x + 2 2

phương trình:

1
ta có
2

Giải phương trình trên ta được kết quả : x = 1 (TMĐK)
Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.
Vậy phân số đó là

1
.
4

2.2. Lời giải tốn phải có căn cứ chính xác.
Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật
được ý phải tìm. Nhờ mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài tốn thiết lập
phương trình (hệ phương trình), từ đó tìm được giá trị của ẩn số. Muốn vậy, người
giáo viên phải làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoả
mãn điều kiện hay khơng? Từ đó có thể xây dựng được cách giải?
Ví dụ 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng

7
chiều rộng và có diện
4

tích bằng 1792 m2. Tính chu vi của mảnh vườn ấy?
(Đề thi tốt nghiệp THCS TP. Hồ Chí Minh, năm 2003-2004)
Bài tốn hỏi chu vi hình chữ nhật. Học sinh thường là bài tốn hỏi gì thì gọi là ẩn.
Nếu ở bài tốn này gọi chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là ẩn thì bài tốn khó có lời
giải. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn:
Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết cạnh của hình chữ nhật.
6


Giải
Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x (m). ĐK: x > 0
Thì chiều dài hình chữ nhật là

7
.x (m).
4

Vì diện tích hình chữ nhật là 1792m2. Ta có phương trình sau:
7
7
x.x = 1792 ⇔ x2 =1792: =1024
4
4

x1 = 32; x2 = -32 < 0 (loại).
Vậy chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là 32m.
Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là

7
.32 = 56m.
4

Vậy chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 176m.
2.3. Lời giải phải đầy đủ và mang tính tồn diện.
Giáo viên phải hướng dẫn học sinh khơng được bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn
luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa.
Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
4

3dm, cạnh đáy giảm 2dm,thì diện tích tăng thêm 12dm2.Tính chiều cao và cạnh đáy

(Đề thi THPT 2000-2001, ngày 02-08-2000, tỉnh Vĩnh Phúc)
Giáo viên lưu ý cho học sinh công thức:

S=

1
cạnh đáy x chiều cao.
2

Giải
Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm) (x > 0)
Thì chiều cao là

3
x (dm)
4

1
3
.x. x (dm)
2
4
1
3
Diện tích lúc sau là: (x-2)( x+3)
2
4
1
3
1 3

Theo bài ra ta có phương trình:
(x - 2)( x + 3) - x. x = 12
2
4
2 4

Nên diện tích lúc đầu là :

Giải phương trình trên ta được: x = 20 (TMĐK)
Vậy cạnh đáy có độ dài là 20dm. Chiều cao có độ dài là

3
.20 = 15dm.
4

2.4. Lời giải bài toán phải đơn giản.
Lời giải ngồi việc phải đảm bảo ba u cầu nói trên cần phải chọn cách làm đơn
giản mà đa số học sinh đều hiểu và có thể tự làm lại được.

7


Ví dụ 4: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A,
người đó tăng vân tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian
đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp đi từ A đến B.
(Đề số 1- Tr 51-Sách Ôn thi vào lớp 10 mơn Tốn, NXBGD 2010 )
Giải
Gọi vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là x (km/h) (x >0)
Thì vận tốc của xe đạp đi từ B đến A là x + 4 (km/h)
24

( h)
x
24
( h)
Thời gian của xe đạp đi từ B đến A là:
x+4

Thời gian của xe đạp đi từ A đến B là:

Theo bài ra thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút = ½ giờ nên ta có pt:
24
24
1
−
=
x x+4 2

Giải phương trình ta được: x1 = 12; x2 = -15 < 0 (loại).
Vậy vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là: 12(km/h)
2.5. Lời giải phải trình bày khoa học.
Khoa học ở đây là mối quan hệ giữa các bước giải của bài toán phải logic, chặt chẽ
với nhau, các bước sau tiếp nối các bước trước và được suy ra từ bước trước ,nó đã
được kiểm nghiệm và chứng minh là đúng hoặc những điều đó được biết từ trước.
Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2
đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
(Toán 9)
Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức:
AH2 = BH.CH
Giải
Gọi độ cạnh BH là x (x > 0)

Độ dài cạnh CH là: x 5,6 (m)
Ta có pt: x(x + 5,6) = 9,62 ⇔ x = 7,2 (TMĐK)
Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m).
2.6. Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại.
Giáo viên hướng dẫn các bước giải phải không được chồng chéo lên nhau, hoặc
phủ định lẫn nhau. Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác, cần rèn cho học
sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hiểu hết các nghiệm
của bài tốn, nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình.
Ví dụ 6: Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 100km, cả đi và về mất 10 giờ 25
phút. Tính vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng. Biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
(Bài 278-Tr 33-Sách 500 bài toán chọn lọc 9, NXB ĐHSP)
8


Giải
Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x (km/h) (x>0)
Vận tốc tàu thuỷ khi xi dịng là x + 4 (km/h)
Vận tốc của tàu thuỷ khi ngược dịng là x - 4 (km/h)
Theo bài ra ta có phương trình:
80
80
25
⇒ 5x2 – 96x – 80 = 0
+
=
x+4 x−4 3
−8
x1=
(KTMĐK)
10

x2 = 20 (TMĐK)
Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/h
3. Phân loại các bài toán giải bài tốn bằng cách lập phương trình:
1/ Loại bài tốn về chuyển động.
2/ Loại bài tốn có liên quan đến số học.
3/ Loại bài toán về năng xuất lao động. (“Sớm- muộn”; “trước -sau”)
4/ Loại bài toán về tỉ lệ chia phần. (“Thêm -bớt”; “ Tăng -giảm”)
5/ Loại bài tốn có liên quan đến hình học.
6/ Loại tốn về cơng việc, vịi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”)
7/ Loại bài tốn có nội dung Lí, Hố.
8/ Loại bài tốn có có chứa tham số.
4. Một số bài tốn cụ thể về giải bài toán bằng cách lập phương trình:
4.1. Dạng tốn chuyển động:
Bài 1: Một xe tải chở hàng từ Tân Kỳ đi thành phố Vinh. Sau đó 1,5 giờ một xe
khách xuất phát từ thành phố Vinh đi Tân Kỳ với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải là
7km/h. Khi xe khách đi được 4 giờ thì nó cịn cách xe tải là 25 km. Tính vận tốc
mỗi xe, biết rằng Tân Kỳ và thành phố Vinh cách nhau 120 km.
*) Hướng dẫn cách giải:
Nếu gọi vận tốc xe tải là x km/h (x > 0).
Hãy biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn:
Vận tốc xe khách?
Quãng đường xe khách đi trong 4 giờ?
Xe khách đi được 4 giờ thì xe tải đã đi được mấy giờ?
Quãng đường đi của xe tải lúc đó?
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng và điền các số liệu vào bảng:
9


Xe tải

Xe khách

Vận tốc (km/h)
x
x+7

Thời gian (h)
5,5
4

Quãng đường (km)
5,5.x
4.(x + 7)

Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong bảng để lập phương trình.
*) Sơ lược cách giải:
Gọi vận tốc xe tải là: x (km/h), x > 0
Vận tốc xe khách là: x + 7 km/h
Vì xe tải khởi hành trước xe khách là 1,5 giờ nên khi xe khách đi được 4 giờ thì xe
tải đã đi được 1,5 + 4 = 5,5 giờ.
Khi đó: quãng đường đi được của xe tải là: 5,5.x km
quãng đường đi được của xe khách là: 4( x + 7) km
Theo đề bài thì khoảng cách giữa Tân Kỳ và TP Vinh là 120 km và hai xe còn cách
nhau 25 km nên ta có phương trình:
5,5x + 4( x + 7) + 25 = 120
Giải phương trình ta được: x = 28 ( thoả mãn điều kiện )
Vậy vận tốc của xe tải là 28 km/h; vận tốc của xe khách là : 35 km/h.
Chú ý: Ta chọn ẩn là vận tốc của xe khách cũng cách giải tương tự .
Bài tốn 2: Qng đường AB dài 120km. Hai ơ tơ cùng khởi hành một lúc đi từ A
đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10km/h nên đến trước ơ tơ thứ hai

2
ơ tơ. Tính vận tốc mỗi xe ô tô.
5

(Đề thi tốt nghiệp THCS 2002-2003, tỉnh Bắc Giang)
*) Hướng dẫn cách giải:
Nếu gọi vận tốc xe thứ nhất là x km/h (x > 12).
Thì vận tốc xe thứ hai là bao nhiêu?
10


Hãy biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn:
Thời gian xe thứ nhất, xe thứ hai đi hết quãng đường AB?
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng và điền các số liệu vào bảng:
Xe thứ nhất

Vận tốc (km/h)
x

Xe thứ hai

Thời gian (h)

x – 12

270
x
270
x − 12

Quãng đường (km)
270
270

Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong bảng để lập phương trình.
*)Sơ lược cách giải:
Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h) (x > 12)
Vận tốc xe thứ hai là x - 12 (km/h)
Theo bài ra ta có phương trình:

270
270
−
= 0,7
x − 12
x

x1 = -62,3 < 0 (loại); x2 = 74, 3 (nhận)
Vậy vận tốc xe thứ nhất là 74,3 km/h; vận tốc xe thứ nhất là 62,3 km/h
Trong bài toán này, học sinh cần ghi nhớ cơng thức: S = v.t, học sinh cũng có thể
gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h)
* Chú ý:
- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ
giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian (S = v.t). Do đó, khi giải nên
chọn một trong ba đại lượng làm ẩn và điều kiện ln dương. Xây dựng chương
trình dựa vào bài toán cho.
- Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý:
+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ
nghịch với nhau
+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phương

trình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm
bằng thời gian thực đi trên đường. Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự
định thì cách lập phương trình làm ngược lại phần trên.
+ Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A
thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động.
11


+ Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển
động gặp nhau thì có thể lập phương trình: S 1 + S 2 = S.
4.2. Dạng tốn liên quan tới số học
Bài tốn 1: Tìm số có 2 chữ số. Biết rằng nếu thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng
chục và hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số ban đầu 10. Và tổng chữ số hàng
chục và hàng đơn vị là 7.
*) Hướng dẫn giải :
Bài tốn tìm số có hai chữ số thực chất là bài tốn tìm hai số (chữ số hàng chục và
chữ số hàng đơn vị )
Biểu diễn số có hai chữ số dưới dạng: ab = 10a + b
Biết chữ số hàng chục tính chữ số hàng đơn vị
*) Sơ lược cách giải:
Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x ∈ N*, 0 < x ≤ 7)
Thì chữ số hàng đơn vị là 7 - x
Số đã cho có dạng: x(7 - x) = 10x + 7 - x = 9x + 7
Số mới có dạng: x0(7 - x) = 100x + 7 - x = 99x + 7
Ta có phương trình: (99x + 7) - (9x + 7) = 180 ⇔ x = 2 (TMĐK)
Vậy số đã cho là 25.
Bài toán 2: Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số
hàng đơn vị. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới
lớn hơn số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu.
*) Hướng dẫn giải.

Biểu diễn số có ba chữ số dưới dạng: abc = 100a + 10b + c
Nếu gọi chữ số hàng chục là x thì điều kiện của x là gì? Chữ số hàng đơn vị?
Số ban đầu? Số sau khi viết xen chữ số 1 vào giữa?
Mối liên hệ giữa số đầu và số sau?
*) Sơ lược cách giải:
Gọi chữ số hàng chục là: x ( x € Z, 0 < x < 5)
Chữ số hàng đơn vị là: 2x
Số đã cho là: x(2x) = 10x + 2x = 12x
Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì số mới là:
x1(2x) = 100x + 10 + 2x = 102x + 10
12


Ta có phương trình: 102x + 10 – 12x = 370 ⇔ 90x = 360 ⇔ x = 4 ( thoả mãn)
Trả lời: Số ban đầu là: 48
* Chú ý:
- Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu được mối liên hệ giữa
các đại lượng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm...
Biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó:

ab = 10a + b.
abc = 100a + 10b + c.

....................
- Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như
vậy. Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp.
4.3. Dạng toán về năng suất lao động:( “sớm- muộn”, “trước-sau”)
Bài toán 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy, tháng hai tổ
một vượt mức 12%, tổ hai vượt mức 15%, nên cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết
máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

(Bài 200-Tr 24-Sách 500 bài toán chọn lọc 9)
*) Hướng dẫn giải:
Biết năng suất chung của hai tổ trong tháng đầu, do vậy nếu biết được năng suất
của tổ 1 hoặc tổ 2 thì ta sẽ tính được năng suất trong tháng của tổ còn lại
Biết được năng suất tháng đầu của tổ 1 sẽ tính được số chi tiết máy tổ 1 sản xuất
được trong tháng sau.
Tính số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng sau.
Dựa vào mối liên hệ giữa tổng số chi tiết máy của hai tổ sẩn xuất ở hai tháng để lập
phương trình.
*) Sơ lược cách giải:
Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu (0Thì tổ 2 sản xuất được 720 - x (chi tiết)
Tháng sau tổ 1 sản xuất được: x +12%.x=
Tổ 2 sản xuất được:

112
x (chi tiết)
100

115(720 − x)
(chi tiết)
100

13


Ta có phương trình:

115(720 − x)
112x

+
= 819 ⇒ x = 300 (TMĐK)
100
100

Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 420 chi tiết máy.
Bài toán 2: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày
đội đã cày được 52 ha vì vậy khơng những đội đã cày xong trước thời hạn 2 ngày
mà đội còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế
hoạch đã định.
*) Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn học sinh chọn ẩn rồi lập bảng cho học sinh dễ hiểu
Diện tích

Năng xuất

Dự định

x

40

Thực tế

x+4

52

Thời gian
x

40
x+4
52

*) Sơ lược cách giải:
Gọi diện tích ruộng mà đội dự định cày theo kế hoạch là x(ha),x >0
Thời gian dự định cày là :

x
ngày
40

Diện tích thực tế mà đội đã cày là : x+4 (ha)
Năng xuất thực tế là: 52 (ha/ngày)
Do đó thời gian thực tế đã cày là:

x+4
(ngày)
52

Vì thực tế làm xong trước 2 ngày và cày thêm được 4 ha nữa nên ta có phương
trình:

x x+4
−
= 2 ⇔ x = 360 (thỗ mãn)
40
52

Vậy diện tích ruộng mà đội dự định cày là: 360 ha

* Chú ý:
14


- Loại tốn này tương đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ
bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phương trình và
giải phương trình như các loại toán khác.
- Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán.

4.4. Dạng toán về tỉ lệ chia phần:( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”)
Bài tốn 1: Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc, kho thứ nhất hơn kho thứ hai
100 tấn. Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở
kho thứ nhất bằng

12
số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.
13

(Tốn 8)
* Hướng dẫn giải:
Q trình
Trước khi chuyển
Sau khi chuyển
*) Sơ lược cách giải:

Kho I
x + 100 (tấn)
x +100 - 60 (tấn )

Kho II

x (tấn ), x > 0
x + 60 ( tấn )

Gọi số thóc ở kho thứ hai lúc đầu là x (tấn ), x > 0.
Thì số thóc ở kho thứ nhất lúc đầu là x + 100 (tấn ).
Số thóc ở kho thứ nhất sau khi chuyển là x +100 -60 ( tấn ).
Số thóc ở kho thứ hai sau khi chuyển là x + 60 ( tấn ).
Theo bài ra ta có phương :

x + 100 - 60 =

12
.( x + 60)
13

Giải phương trình tìm được: x = 200 thoả mãn điều kiện.
Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 tấn thóc
Kho thóc thứ nhất lúc đầu có 200 + 100 = 300 tấn thóc.
Bài tốn 2: Một đội xe ơ tô cần chuyên trở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có hai xe
phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải trở thêm 16 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao
nhiêu xe?
15


*) Sơ lược cách giải:
Gọi số xe lúc đầu của đội là : x (x ∈ N)
120
(tấn)
x

Theo dự kiến mỗi xe phải trở :

Thực tế có hai xe làm việc khác nên mỗi xe phải trở :
Do đó ta có phương trình:

120
(tấn)
x−2

120 120
−
= 16 ⇔ x 2 − 2 x − 15 = 0
x−2
x
⇒ x = 5 hoặc x = -3(loại)

Vậy đội có 5 xe.
4.5. Dạng tốn liên quan đến hình học.
Bài tốn 1: Chu vi của một hình chữ nhật là 240 cm, diện tích hình chữ nhật là
3500cm2. Hỏi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là bao nhiêu xăngtimet?
(Bài 273-Tr 32-Sách 500 bài toán chọn lọc 9)
*) Hướng dẫn giải:
Cần cho học sinh hiểu chu vi và diện tích của hình chữ nhật được tính như thế nào.
Nếu gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (cm) (x<60); Thì chiều dài hình chữ nhật là
bao nhiêu?
*) Sơ lược cách giải:
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (cm) (x<60)
Thì chiều dài hình chữ nhật là

240 − 2 x

= 120 − x (cm)
2

Theo bài ra, diện tích hình chữ nhật là 3500cm2 nên ta có phương trình:
x. (120-x) = 3500 ⇔ x 2 − 120 x + 3500 = 0
Giải phương trình ra ta có: x1 = 70 (KTMĐK); x2 = 50 (TMĐK)
Vậy chiều rộng hình chữ nhật là: 50 (cm), chiều dài là: 70 (cm)
*) Đối với dạng toán này cần gợi ý cho học sinh nhớ những kiến thức của hình học
như: độ dài, diện tích, chu vi ...
Bài tốn 2: Một tam giác có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng
thêm 3(dm) và cạnh đáy giảm đi 2(dm) thì diện tích của nó tăng thêm 13 (dm 2 ).
Tính chiều cao và cạnh đáy
16


*) Hướng dẫn giải:
Cần cho học sinh hiểu rằng bất kì tam giác nào cũng có cơng thức tính diện tích là:

S=

1
aha
2

1
2

[Diện tích = (cạnh đáy . chiều cao)]

Hướng dẫn học sinh chọn ẩn và lập bảng, điền các số liệu vào bảng:

Cạnh đáy

Chiều cao

Diện tích

Lúc đầu

2x

x

1
.2 x.x = x 2
2

Lúc sau

2x-2

x+3

1
(2 x − 2)( x + 3)
2

Từ đó tìm mối liên hệ giữa diện tích sau khi tăng- giảm với diện tích lúc đầu để lập
phương trình.
*) Sơ lược cách giải:
Gọi độ dài của chiều cao là: x (dm), x > 0

Thì độ dài cạnh đáy là: 2x (dm)
Chiều cao khi tăng thêm 3 là: x+3 (dm)
Cạnh đáy khi giảm 2 là: 2x-2 (dm)
Diện tích của tam giác lúc đầu là:

1
.2 x.x = x 2 (dm2)
2

1
Diện tích của tam giác sau khi tăng chiều cao và giảm cạnh đáy là: (2 x − 2)( x + 3)
2
Theo bài ra ta có phương trình:
( x − 1)( x + 3) − x 2 = 13 ⇔ x 2 − x + 3 x − 3 − x 2 = 13 ⇔ 2 x − 3 = 13 ⇔ 2 x = 16
⇒ x=8 (thoả mãn)

Vậy chiều cao là 8 (dm); cạnh đáy là 16 (dm)
*) Khai thác bài toán: Hướng dẫn học sinh cách chọn ẩn là chiều dài cạnh đáy ta
cũng có cách giải tương tự
4.6. Dạng tốn về cơng việc, vịi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”)

17


Bài tốn : Nếu mở cả hai vịi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể
đầy nước. Nếu mở riêng từng vịi thì vịi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai
là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vịi thì mỗi vịi chảy bao lâu thì đầy bể?
*) Hướng dẫn giải:
Dạng tốn này cần chú ý về mỗi ngày (mỗi giờ) vòi nước thứ nhất , thứ hai chảy
được bao nhiêu phần bể? Từ đó thực hiện bài tốn.

*) Sơ lược cách giải:
Gọi thời gian vòi I chảy riêng đầy bể là x (h) (x>35/12)
thời gian vòi II chảy riêng đầy bể là x + 2 (h)
1
(phần bể)
x
1
Vòi II chảy được
(phần bể)
x+2
12
Hai vịi chảy được:
(phần bể)
35
1
12
1
Ta có phương trình: +
=
⇔ 6x 2
x
x+2
35

Trong 1giờ: Vịi I chảy được

Giải phương trình ta được: x1 = 5 (TMĐK);

− 23x − 35 = 0
x2 = -7/6 (KTMĐK)

Vậy thời gian vòi I chảy riêng đầy bể là 5 (h);
thời gian vòi II chảy riêng đầy bể là 7 (h)
* Chú ý:
Ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua đơn vị
quy ước. Từ đó lập phương trình và giải phương trình.
4.7. Dạng tốn có nội dung vật lý, hoá học .
Bài toán: Người ta đổ thêm 200g nước vào dung dịch chứa 40 g muối thì nồng độ
của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao
nhiêu nước?
(Bài 51-Tr 59-SGK Tốn 9-Tập 2)
*) Hướng dẫn giải:
Giáo viên làm cần cho học sinh hiểu rõ nồng độ dung dịch là như thế nào, cơng
thức tính ra sao để học sinh biết được mối quan hệ giữa các đại lượng?
*) Sơ lược cách giải:
Gọi trọng lượng nước trong dung dịch nước khi đổ thêm là x (g); x>0

18


Nồng độ muối của dung dịch khi đó là:

40
x + 40

Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là:
x + 40 + 200 (g)
Nồng độ của dung dịch lúc bấy giờ là:

40

x + 240

Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình:

40
40
10
−
=
x + 40 x + 240 100

Giải phương trình ta được: x1 = 160 (TMĐK); x2 = -440 (KTMĐK)
Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có 160 g nước.
* Chú ý:
Với dạng này học sinh phải nắm được các cơng thức của Vật lý, Hố học, từ đó lập
phương trình, hệ phương trình.
4.8. Dạng tốn có chứa tham số.
Bài toán 1: Thả một vật rơi tự do, từ một tháp xuống đất. Người ta ghi đợc quãng
đường rơi S (m) theo thời gian t (s) như sau:
t(s)
1
2
3
4
5
S (m )
5
20
45
80

125
Chứng tỏ quãng đường vật rơi tỉ lệ với bình phơng thời gian tương ứng. Tính hệ số
tỉ lệ đó?

(SGK Toán lớp 8)

*) Sơ lược cách giải:
Dựa vào bảng trên ta có:

5
20
= 5; 2 = 5 ;
1
2

45
=5;
32

80
125
= 5;
=5
2
4
52

S 5 20 45 80 125
= =
=

=
=
=5
Vậy: t 2 12 22 32 42 52

Bài tốn 2: Một hình trịn có diện tích S = 3,14 R2.(R là bán kính)
a. Khi R tăng 2 lần thì S tăng mấy lần.
Khi R giảm 3 lần thì S giảm mấy lần.
b.Khi S tăng 4 lần thì R tăng mấy lần.
Khi S giảm 16 lần thì R giảm mấy lần.
(SGK Toán lớp 9)
*) Sơ lược cách giải:
19


Khi R1 = a thì S1 = 3,14 a2.
a. Nếu R tăng 2 lần: R2 = 2R1 = 2a.
S2 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14a2 S2 = 4S1. Vậy S tăng lên 4 lần.
b. Nếu S tăng lên 4 lần tức là S4 = 4S1.
 3,14R42 = 4.3,14R1.  R4 = R1.  R tăng 2 lần.
IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
* Tôi đã áp dụng đề tài này vào dạy 2 lớp 9A và 9B, còn lớp 9C để đối chứng.
Sau khi áp dụng tôi khảo sát cả 3 lớp trên với đề bài:
Bài tập 1 (5 điểm):
Một xuồng máy xuôi dịng sơng 30 km và nược dịng 28 km hết một thời gian bằng
thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi
trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3 km/h.
Bài tập 2 (5 điểm):
Hai đội cơng nhân cùng làm một qng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ
nhất làm một mình hết nửa cơng việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt

phần việc cịn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình trong bao lâu thì
xong việc?
*Sau khi chấm bài và thống kê kết quả, tơi thấy 2 lớp áp dụng đề tài này có số học
sinh giỏi và khá tăng lên cao hơn nhiều so với lớp khơng áp dụng, cịn số học sinh
yếu và kém giảm xuống, cụ thể:
Giỏi

Lớp

Khá

Trung bình

Yếu và kém

Tỉ lệ

Tăng

Tỉ lệ

Tăng

Tỉ lệ

Giảm

Tỉ lệ

Giảm

9A

6,3 %

3%

15,2 %

4,9%

64,2 %

8,3%

14,3 %

16,2%

9B

18,6 %

12,3%

33,4%

19,1%

40%

5,4%

8%

26%

9C

19 %

12,5%

31,7%

13,7%

45,3%

15%

4%

11,1%

Qua khảo sát, tôi nhận thấy ở những lớp áp dụng đề tài này, hiệu quả học tập
của học sinh cao hơn nhiều so với lớp không áp dụng. Ở những lớp đó, học sinh đã
biết cách trình bày bài một cách lôgic và chặt chẽ hơn. Không những thế mà học
sinh còn nắm được phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Khi gặp một bài tập thì
20

học sinh nhận ra được bài tập này thuộc dạng nào? Cách giải được tiến hành theo
từng bước như thế nào? Nhiều em cịn xây dựng cho mình được phương pháp giải
riêng và cịn tìm được phương pháp giải cho những dạng bài tập khác. Và vì thế mà
hiệu quả học tập của học sinh đã được nâng cao rõ rệt.
V. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRIỂN KHAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
- Đối với đề tài này, sau khi học xong thì học sinh sẽ có khả năng giải
được các dạng bài tập giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Và các em cũng có
thể tìm cho mình cách giải riêng cho các dạng tốn trên. Khơng những thế mà các
em cịn có thể tìm được phương pháp giải cho các dạng bài tập khác của toán học,
là cơ sở vững chắc để sau này các em nắm được kiến thức ở các lớp cao hơn.
- Sáng kiến kinh nghiệm với đề tài này có thể áp dụng đối với học sinh đại
trà, đặc biệt là khi các em mới làm quen với cách giải bài toán bằng cách lập
phương trình. Tuy nhiên, tùy từng đối tượng học sinh mà giáo viên lựa chọn
phương pháp hướng dẫn sao cho phù hợp, để các em dễ dàng nắm được cách giải,
có như thế mới tạo được tính cực hoạt động và hứng thú cho học sinh.
- Với đề tài này, giáo viên có thể áp dụng khi hướng dẫn cho học sinh làm
bài tập, nhất là vào các giờ luyện tập, ôn tập hoặc những giờ học bồi dưỡng thêm.
VI. MỘT SỐ KINH NGHIỆM ĐƯỢC RÚT RA
- Cần bổ sung và hệ thống lại cho HS các kiến thức cũ liên quan đến các
kiến thức mới.
- Phân dạng các dạng bài tập để học sinh dễ nắm được phương pháp giải
- Cần rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt khi vận dụng các kiến thức vào
giải bài tập.
- Thường xuyên kiểm tra uốn nắn, điều chỉnh cho học sinh.
- Tạo điều kiện cho các em tích cực hoạt động tìm hiểu các kiến thức mới.
- Thường xuyên tham khảo các tài liệu mới, cập nhật thông tin kịp thời để có
kế hoạch giảng dạy phù hợp, hiệu quả.

21


PHẦN III: KẾT LUẬN
Sau khi áp dụng phương pháp trên để giảng dạy, tôi đã nhận được sự ủng hộ
nhiệt tình của học sinh và đồng nghiệp. Nhiều học sinh đã tự tìm hiểu tự nghiên
cứu kiến thức do đó, đã phát huy được tính tích cực của học sinh trong quá trình
dạy học, học sinh nắm kiến thức nhanh hơn, nhớ lâu hơn. Các em cảm thấy thích
thú, thoải mái khi tìm phương pháp giải. Vì vậy, việc hướng dẫn giải bài tập và
hình thành phương pháp giải bài tập giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Tuy nhiên nghiên cứu những vấn đề liên quan đến toán học luôn được coi là
một chủ đề lớn của nhân loại nói chung và của khoa học giáo dục nói riêng. Việc
tìm hiểu phương pháp dạy học tốn tạo ra những cách thức dạy mới, áp dụng vào
phương pháp giáo dục sao cho được hiệu quả không chỉ cần thiết cho hoạt động
dạy học mà cho cả hoạt động nghiên cứu khoa học. Đối với đề tài này chưa thực sự
nêu bật được phương pháp cụ thể, hồn chỉnh song nó góp phần bổ sung vào
phương pháp dạy học loại tốn này những định hướng cần thiết trong việc hình
thành kỹ năng giải bài tập.
Mục đích nghiên cứu đề tài này chỉ có thể gợi mở một cách thức mới góp phần
vào q trình dạy học, do đó phải được nghiên cứu sâu hơn.
Trên đây là những ý kiến nhỏ của tơi trong việc hình thành kỹ năng giải bài
tập giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Tơi rất mong được sự động viên, cổ
vũ và khích lệ, ý kiến đóng góp quý báu của đồng nghiệp để đề tài này đưa vào
giảng dạy thực sự có hiệu quả.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Nhà trường, các bạn đồng nghiệp
đã giúp đỡ tơi hồn thành đề tài này.
Tân kỳ, ngày 31 tháng 3 năm 2011

22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT

Tên tài liệu

Tên tác giả

1

Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8, 9

Bùi Văn Tuyên

2

Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS Vụ giáo dục trung học
chu kì III (2004-2007)

3

Sách giáo khoa tốn lớp 8, 9

Nhà xuất bản giáo dục

4

Sách bài tập toán 8, 9

Nhà xuất bản giáo dục

5

Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8, 9

Vũ Dương Thụy

6

ÔN thi vào lớp 10 – Mơn tốn

Nhà xuất bản giáo dục

7

500 bài toán chọn lọc 9

Nguyễn Ngọc Đạm

23