Hàm mũ và Logarit

Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

1
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
 y=a
x
; TXĐ D=R
 Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
 0 +
x
 0 +
y
+
1

y
+
1

 Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14

-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3
x

f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9

-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y


II. Hàm số lgarit
 y=log
a
x, ĐK:





10
0
a
x
; D=(0;+)
 Bảng biến thiên

a>1 0<a<1
x
0 0 +
x
0 0 +
y
+
1

y
+
1


 Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3)
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x

f(x)=ln(x)/ln(1/3)
f(x)=(1/3)^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x


III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a

a


;(
n
a
1
=a
m
; a
0
=1; a
1
=
a
1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;

m
n
n
b
a
b
a







;
n
m
n
m
aa 
.
2. Công thức logarit: log
a
b=ca
c
=b (0<a1; b>0)
Với 0<a1, 0<b1; x, x
1
, x
2

>0;

R ta có:
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
log
a
x

2
;
xa
x
a

log
; log
a
x

=

log
a
x;
Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

2
xx
a
a
log
1
log




;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a

log
b
x
=x
log
b
a
.
IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũlogarit
1. Phƣơng trình mũlogarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0<a1: a
f(x)
=a
g(x)
(1)  f(x)=g(x).
+ 0<a1: a
f(x)
=b 
 





bxf
b
a
log

0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3
), (7
43
),… Nếu trong một phương trình có chứa {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
}
ta có thể chia hai vế cho b
2x
(hoặc a
2x
) rồi đặt t=(a/b)
x
(hoặc t=(b/a)
x
.
Phương pháp logarit hóa: a
f(x)

=b
g(x)
 f(x).log
c
a=g(x).log
c
b,với a,b>0; 0<c1.
b. Phương trình logarit:
Đưa về cùng cơ số:
+log
a
f(x)=g(x)
 
 





xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)
   
 
   









xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phƣơng trình mũlogarit
a. Bất phương trình mũ:
 a
f(x)
>a
g(x)

     
 





01

0
xgxfa
a
;  a
f(x)
a
g(x)

     
 





01
0
xgxfa
a
.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
 f(x)>g(x);
a
f(x)
a
g(x)

 f(x)g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
 f(x)g(x);
a
f(x)
a
g(x)
 f(x)g(x).
b. Bất phương trình logarit:
log
a
f(x)>log
a
g(x)
   
     
 








01
0,0

10
xgxfa
xgxf
a
; log
a
f(x)log
a
g(x)
   
     
 








01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: log
a

f(x)>log
a
g(x) 
   
 





0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) 
   
 





0xf
xgxf
.

*
* *








Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

3

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNHBẤT PHƢƠNG TRÌNHHỆ
PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
 
 
2 2 2
22
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x  
       
.

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành
tích:
 
 
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x
  
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
 
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x  
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
 
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x

   

.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:

9 2( 2)3 2 5 0
xx
xx    
. Đặt t = 3
x
(*), khi đó ta có:
 
2
2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x         
. Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
     
2
33
log 1 5 log 1 2 6 0x x x x      
. Đặt t = log
3
(x+1), ta có:
 
2
5 2 6 0 2, 3t x t x t t x        
 x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có
 
()f u f v u v  

.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều
nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
 
bac ;
:
 
   
ab
aFbF
cF


'
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
     
; : ' 0 ' 0c a b F c F x    
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x 
.
Hướng dẫn:
22

log log
2.3 3 2.3 3
xx
xx    
, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
6 2 5 3
x x x x
  
. Phương trình tương đương
6 5 3 2
x x x x
  
, giả sử phương
trình có nghiêm

. Khi đó:

2356 
.
Xét hàm số
   


tttf  1
, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại
 
2;5c

sao cho:
   
1
'1
0 1 0 0, 1f c c c


  



       


, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
12
2 2 ( 1)
x x x
x

   
. Viết lại phương trình dưới dạng
2
12
2 1 2
x x x
x x x


    
, xét hàm số
 
ttf
t
 2
là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được
viết dưới dạng:
 
 
22
1 1 1f x f x x x x x x        
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 2 3 2
xx
x  
. Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh
không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số
   
22
3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0
x x x x
f x x f x        
Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra
phương trình không có quá hai nghiệm.
Chuyên đề: Phương trình


Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

4
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x












có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
 
2
2007
1
x
x
f x e
x
  

.
Nếu x < 1 thì
 
02007
1


exf
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x
0
= 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho
0 ba
. Chứng minh rằng
11
22

22
ba
ab
ab
   
  
   
   
(ĐH Khối D2007)
HD: BĐT
11
ln 2 ln 2
11
22
ln 2 ln 2
22
ab
ab
ab
ab
ba
ab
   

   
   
   
     
   
   

. Xét hàm số
 
1
ln 2
2
x
x
fx
x






với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với
0 ba
ta có
 
bfaf )(
(Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất
phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình
73
log log ( 2)xx
. Đặt t =
7

log 7
t
xx
Khi đó phương trình trở thành:
3
71
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
33
t
t
t t t
t


       




.
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình
 
4
22
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3x x x x    
.
Đặt t = x

2
– 2x – 3 ta có
 
65
log 1 logtt
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
 
6
log
26
log 3 log
x
xx
. Đặt
6
logtx
, phương trình tương đương
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t

    


.
3. Dạng 3:
 

log
b
xc
ax


( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình
 
7
log 3
4
x
x


. Đặt
 
7
log 3 7 3
t
t x x    
, phương trình tương
đương
41
4 7 3 3. 1
77
tt
tt
   

    
   
   
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
 
42
5log
3


x
x
. Đặt t = x+4 phương trình tương đương
 
t
t

1log
3
2

Ví dụ 3: Giải phương trình
 
 
 
33
log 1 log 1
4 1 2 0
xx

xx

   
.
4. Dạng 4:
 
log
ax b
s
s c dx e x


   
, với
,d ac e bc

   

Phƣơng pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e  
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được:
ax b ay b
s acx s acy

  
. Xét
 

at b
f t s act


.
Ví dụ: Giải phương trình
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x

  
. Đặt
 
7
1 log 6 5yx  
. Khi đó chuyển thành hệ
 
 
1
1
11
1
7
7 6 1 1
7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5
7 6 5

x
x
xy
y
y
y
xy
yx
x






  


    

  





. Xét hàm số
 
1
76

t
f t t


suy ra x=y, Khi
đó:
1
7 6 5 0
x
x

  
. Xét hàm số
 
567
1


xxg
x
Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2
nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

5

Ví dụ: Giải phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x  

   

HD: Viết phương trình dưới dạng
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
x x x x   

   
, đặt
11
2 1, 2 1. , 0
xx
u v u v

    
.
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v










Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
   
2 3 2 3 4 0
xx
    

b.
   
2 3 2 3 4
xx
   

c.
   
7 4 3 3 2 3 2 0
xx
    

d.
   

3
3 5 16 3 5 2
xx
x
   

e.
   
2 1 2 1 2 2 0
xx
    
(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1.
f. 3.8
x
+4.12
x
18
x
2.27
x
=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g.
22
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
   
(ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
k.
22

2
2 2 3
x x x x  

(ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2.
i.
3.16 2.8 5.32
x x x


j.
1 1 1
2.4 6 9
x x x


Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a.
3 2 3
4 128
51
xy
xy










b.
2
( ) 1
5 125
41
xy
xy










c.
2 2 12
5
xy
xy









d.
 
 
22
22
22
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy


  





(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2)
e.
 
23
93
1 2 1
3log 9 log 3
xy
xy


   





(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
f.
 
14
4
22
1
log log 1
25
yx
y
xy

  





(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
g.
32
1
2 5 4

42
22
x
xx
x
yy
y










(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a .
 
2 .2 .2 0
xx
m m m

   
. b .
.3 .3 8
xx
mm



.
Bài 4: Cho phương trình
22
33
log log 1 2 1 0x x m    
(m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3


.
ĐS: a.
3
3x


, b. 0  m  2