Phương trình lượng giác cơ bản

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN



=+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2
=⇔=±+π

π
⎧
≠+π
⎪
=⇔
⎨
⎪
=+ π
⎩
uk
tgu tgv
2
uvk'

( )
k, k ' Z∈

uk
cot gu cot gv
uvk'
≠π
⎧
=⇔
⎨
=+ π
⎩


Đặc biệt :
si

n u 0 u k
=⇔=π
π
= ⇔=+πco

s u 0 u k
2
(
sin u 1 u k2 k Z
2
π
=⇔= + π ∈
)

cos u 1 u k2
= ⇔= π

()

kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cos u 1 u k2
= −⇔ =π+ π

Chú ý :
sin u 0 cos u 1
≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1
≠⇔ ≠±


Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[ ]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm
( )
cos 3x 4 cos 2x 3 cos x 4 0 *−+−=

Ta có (*) :

⇔

()( )
32
4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0
− −−+−=

⇔

32
4cos x 8cos x 0
− =

⇔

( )
2
4cos x cosx 2 0− =

⇔

( )
==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤

⇔

()
xkk
2
π

=+π∈Z

Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤

⇔

k14
22
ππ
−≤π≤ −

⇔

1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà
k
nên
Z∈
{ }

k
. Do đó :
0,1,2,3∈
357
x ,,,
2222
π πππ
⎧ ⎫
∈
⎨ ⎬
⎩⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình :
()( ) ( )
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=−


Ta có (*)
⇔

()( ) ( )
−+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1−

⇔

()( )
2cos x 1 2sin x cos x sin x 0
− +−
⎡⎤

⎣⎦
=
)

⇔

()(
2cosx 1 sinx cosx 0− +=

⇔

1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔

cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−
⎜⎟
⎝⎠

⇔

()
ππ

=± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k
34
Z


Bài 30 : Giải phương trình
+ ++=
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0(*)

Ta có (*)
⇔
()( )
cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++=

⇔

5x 3x 5x x
2cos .cos 2cos .cos 0
22 22
+=

⇔

5x 3x x
2cos cos cos 0
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔

5x x
4 cos cos x cos 0
22
=

⇔

5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
= ∨=∨ =

⇔

ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22

⇔

()
ππ π
=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,

55 2
kZ


Bài 31: Giải phương trình
( )
22 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+

Ta có (*)
⇔

()()()()
1111
1 cos 2x 1 cos 6x 1 cos4x 1 cos 8x
2222
−+−=+++

⇔

()
cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+
⇔

2cos 4x cos 2x 2 cos6x cos 2x
−=
⇔

( )
2cos2x cos 6x cos4x 0+=

⇔

4 cos 2x cos5x cos x 0
=

⇔

cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0
= ∨=∨=

⇔

ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈
2x k 5x k x k , k
22 2

⇔

ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+πk
kk
xx x
42 105 2

∈
,k

Bài 32 : Cho phương trình

()
π
⎛⎞
−= −−
⎜⎟
⎝⎠
22
x7
sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *
42 2

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa:
− <x1 3

Ta có : (*)
⇔

()
17
sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x
22
⎡π⎤
⎛⎞
2
− −=−−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
−

⇔

−+ =−−
11 3
sin x cos 4x cos 4x 2 sin x
22 2

⇔

1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2
+++=

⇔

⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22

⇔

()
1
cos 4x 2 sin x 0

2
⎛⎞
+ +=
⎜⎟
⎝⎠

⇔

()
cos 4x 2 loại
1
sin x sin
26
=−⎡
⎢
π
⎛
⎢
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
⎞

⇔

π
⎡
= −+ π

⎢
⎢
π
⎢
= +π
⎢
⎣
xk
6
7
x2
6
2
h

Ta có :
− <x1 3

⇔

⇔

3x13
−< − <
2x4− <<

Vậy :
2k2
6
π

−<− + π<4

⇔

22k 4
66
ππ
−< π<+

⇔

11 21
k
12 12
−<<+
ππ

Do
k
nên k = 0. Vậy
Z∈
x
6
π
= −

π
−< + π<
7
2h2

6
4


⇔

π π
−− < π< − ⇔− − < < −
π π
77172
2h24 h
6612
7
12

⇒
h = 0
⇒
π
=
7
x
6
.Tóm lại
−ππ
==
7
xhayx
66

Cách khác :
−π
=− ⇔ = − + π ∈

k
1
sin x x ( 1) k , k
26

Vậy :
−π − −
−<− +π< ⇔ <− + <
π π
kk
21
2(1) k 4 (1) k
66
4

⇔
k=0 và k = 1. Tương ứng với
−ππ
==
7
xhayx
66


Bài 33 : Giải phương trình
( )

33 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)
⇔

()( )
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =

⇔

33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x
−+− =
⇔

()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=
⇔

3
3
sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

⇔

3
3
sin 4x sin 4x
4
=

⇔

3
3sin 4x 4 sin 4x 0
− =

⇔
sin12x = 0
⇔

⇔

12x k
=π
()
k
xk
12
Z
π
=∈

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)
Giải phương trình :

( )
22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)
⇔

()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+

⇔

cos 6x cos 8x cos10x cos12x
+= +
⇔

2cos7xcosx 2cos11xcosx
=
⇔

( )
2cos x cos7x cos11x 0−=

⇔

cos x 0 cos7x cos11x
=∨ =

⇔

π
=+π∨ =± + πxk7x11xk
2
2

⇔

πππ
=+π∨=− ∨= ∈

kk
xkx x,k
229

Bài 35 : Giải phương trình
()()
sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++

⇔

2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos 2x
+= +
⇔

()( )
+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1

⇔

()( )
2cos x 1 sin 2x cos 2x 0+ −=

⇔

12
cos x cos sin 2x cos 2x
23
π
=− = ∨ =

⇔

2
xk2tg2x1
34
tg
π π
=± + π∨ = =

⇔

()
π ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
Z

Bài 36: Giải phương trình
( )
++ =+
23
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x. cos x cos x 8 cos x.cos 3x *

Ta có : (*)
⇔

( )
( )
3
cos10x 1 cos 8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x++ = + −

⇔

()
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x++=+
⇔

2cos9x cos x 1 cos x 2 cos x.cos 9x
+= +
⇔

cos x 1
=
⇔

( )
xk2kZ=π∈


Bài 37 : Giải phương trình
( )
33 2
4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− =

Ta có : (*)
⇔

()( )
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0
2
− −−=

⇔

() ( )
⎡⎤
−− − − =
⎣⎦
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
2
=
=

⇔

()
()
2
4sin x 3 sinx cosx 0−−
⇔

()( )
2 1 cos 2x 3 sin x cos x 0
−− −
⎡⎤
⎣⎦
⇔

12
cos 2x cos
23
sin x cos x
π
⎡
=− =
⎢
⎢
=
⎣

⇔

2

2x k2
3
tgx 1
π
⎡
=± + π
⎢
⎢
=
⎣

⇔

xk
3
xk
4
π
⎡
= ±+π
⎢
⎢
π
⎢
= +π
⎢
⎣

( )
kZ∈

Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005)
Giải phương trình :
( )
sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+++ + =

Ta có : (*)
⇔

2
sin x cos x 2sin x cos x 2 cos x 0
++ + =
⇔

( )
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + =

⇔

()(
sin x cos x 1 2cos x 0++
)
=
⇔

sin x cos x
12
cos 2x cos
23

=−
⎡
⎢
π
⎢
=− =
⎣

⇔

tgx 1
2
xk
3
=−
⎡
⎢
π
⎢
=± + π
⎣
2

⇔

xk
4
2
xk2
3

π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢
=± + π
⎢
⎣
()
kZ∈


Bài 39 : Giải phương trình
()( ) ( )
2
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+=

Ta có : (*)
⇔

()( )
( )
2
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0
++−+−−=

⇔

()( )( )( )
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0+ +−++ − =

⇔

() ( )
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0+ +−+−
⎡⎤
⎣⎦
=
=

⇔

()()
3cos4x 1 2sinx 1 0−+
⇔

1
cos 4x 1 sin x sin
26
π
⎛⎞
=∨ =− = −
⎜⎟
⎝⎠

⇔

ππ

=π∨=−+π∨= +
7
4x k2 x k2 x k2
66
π

⇔

()
ππ π
= ∨=−+π∨= +π ∈
k7
xxk2xk2,k
26 6
Z


Bài 40: Giải phương trình
()
( )
+= +
66 88
sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*)
⇔
6868
sin x 2sin x cos x 2 cos x 0
−+−=

⇔

()( )
6262
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0
−− −=

⇔

−=
66
sin x cos 2x cos x.cos 2x 0
⇔

()
66
cos 2x sin x cos x 0
−=
⇔

66
cos 2x 0 sin x cos x
=∨ =
⇔

6
cos 2x 0 tg x 1
= ∨=

⇔

()
2x 2k 1 tgx 1
2
π
=+∨=±

⇔

()
x2k1 x k
44
ππ
=+∨=±+π

⇔

k
x
42
ππ
=+
,k
∈



Bài 41 : Giải phương trình
()
1

cosx.cos2x.cos4x.cos8x *
16
=

Ta thấy
xk
= π
không là nghiệm của (*) vì lúc đó
cos x 1, cos 2x cos 4x cos 8x 1
=± = = =

(*) thành :
1
1
16
±=
vô nghiệm
Nhân 2 vế của (*) cho
16sin x 0
≠
ta được
(*)
⇔
và
()
16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx=
sin x 0
≠
⇔
và

()
8sin 2x cos2x cos 4x.cos 8x sin x=
sin x 0
≠

⇔
và
si
()
4sin4xcos4x cos8x sinx=
n x 0
≠

⇔
và
2sin8xcos8x sinx
=
sin x 0
≠

⇔

sin16x sin x
=
và
sin x 0
≠

⇔
()

πππ
=∨=+ ∈
k2 k
xx ,k
15 17 17
Z

Do : không là nghiệm nên
=π
xh
≠
k 15m
và
()
+≠ ∈2k 1 17n n, m Z

Bài 42: Giải phương trình
()
3
8cos x cos 3x *
3
π
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
tx xt
33

ππ
=+⇔=−