Một số PP giải phương trình vô tỷ

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
1


CHUYÊN ĐỀ 4
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
(phương trình chứa ẩn số dưới dấu căn bậc hai)



I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1. Phương pháp luỹ thừa hai vế:

Dạng tổng quát:

2
2
0; ( ) 0
( )
( )
c f x
f x c
f x c
 


 






hoặc
2
2
( ) 0; ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x f x
f x g x
f x g x
 


 





hoặc
2
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
h x g x h x
f x g x h x
f x g x f x g x h x

  


  

  




2
2
2 2
( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0
4 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]
h x h x f x g x
f x g x h x f x g x

   



  




Ví dụ 1: Giải phương trình:
a.
2

x

= 2 - x b.
3 2 5
x x
   

Giải: a.
2
x

= 2 - x
2
2
2
2 0
2
2 4 4
2 (2 )
x
x
x x x
x x
 




 
 

   
  





2
2 2
5 6 0 ( 2)( 3) 0
x x
x x x x
 
 
 
 
    
 


2
2
3
x
x
x














Vì x

2 nên x = 3 (loại ). Vậy phương trình
2
x

= 2 - x có một nghiệm x = 2
b.
3 2 5
x x
   

ĐK:
3 0 3
2 0 2
x x
x x
   
 

 

  
 

2
x
 
(1)
Với
2
x

:
3 2 5
x x
   
2 2
( 3 2) 5
x x
    

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
2



3 2 2 ( 3)( 2) 25
x x x x
       

2 ( 3)( 2) 24 2
x x x
    
( 3)( 2) 12
x x x
    
(*)
ĐK: 12 - x

0
12
x
 

(*)
2
2
( 3)( 2) (12 )
x x x
    

x
2
+ x - 6 = 144 - 24x + x
2




25x = 150

x = 6 (2)
Đối chiếu với điều kiện (1) và (2) x = 6 thỏa mãn. Vậy phương trình
3 2 5
x x
   

có một nghiệm x = 6

2. Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu :
Dạng tổng quát:
( ) ( ) ( )
f x g x h x
 
Cách giải:
Bước 1: Biến đổi f(x) = [A(x)]
2


0 và g(x) = [B(x)]
2


0
Bước 2: Biến đổi
( ) ( ) ( )
f x g x h x
 
   

2 2
( ) ( ) ( )
( ) 0
A x B x h x
h x

  







( ) ( ) ( )
( ) 0
A x B x h x
h x
  





Bước 3: Bỏ dấu trị tuyệt đối và giải ta tìm được x

Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2
2 1 4 4 3
x x x x

     

Giải: Vì x
2
- 2x + 1 = (x - 1)
2


0 và x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)
2


0 nên:

2 2
2 1 4 4 3
x x x x
     

1 2 3
x x
    
(*)
Nếu x > 1 thì (*)

x - 1 + x + 2 = 3



2x = 2

x = 1 ( không thỏa điều kiện x > 1)
Nếu
2 1
x
  
thì (*)

1 - x + x + 2 = 3

0x = 0
Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi
2 1
x
  

Nếu x < -2 phương trình (*)

1 - x - x - 2 = 3


-2x = 4


x = -2 ( không thỏa điều kiện x < -2)
Vậy phương trình
2 2
2 1 4 4 3
x x x x

     
có nghiệm
2 1
x
  


3. Phương pháp đặt ẩn phụ ( phương pháp hữu tỷ hóa):
Dạng tổng quát:
( ) ( ) ( )
f x g x h x
 
Cách giải:

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
3


Bước 1: Đặt điều kiện

( ) 0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
h x










Bước 2: Đặt ẩn phụ t =
( )
f x
( t

0) và biến đổi
( )
g x
theo ẩn t
Bước 3: Thay ẩn t vào phương trình
( ) ( ) ( )
f x g x h x
  và giải phương trình
theo ẩn t .
Bước 4: Thay gía trị của ẩn t vào bước 2 ta tìm được x.

Ví dụ: Giải phương trình:

1 1 3
1 1 2
x x
x x
 

 
 

Giải: Điều kiện:
1
0
1
1
1 1
0
1
x
x
x
x x
x











  








Đặt t =
1
1
x
x


( t > 0)
1 1 1 1 1
1
1 1 1
1
1
x x
x t
x x x
x
x
 
    

  



1 1 3
1 1 2
x x
x x
 
 
 

1 3
2
t
t
   
2t
2
- 2= 3t

2t
2
- 3t -2 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta được: t
1
= 2 và t
2
= -0,5 ( loại ).
Thay t = 2 ta được:
1
1
x
x



= 2
1
4
1
x
x

  

x + 1 = 4x - 4


x =
5
3
( thỏa điều kiện x > 1)
Vậy phương trình
1 1 3
1 1 2
x x
x x
 
 
 
có một nghiệm x =
5
3

Chú ý: + Ngoài các phương pháp giải nêu trên, khi giải phương trình vô tỷ ta có thể vận
dụng tính chất của bất đẳng thức để giải hoặc nhân với lượng liên hợp để đưa về dạng
phương trình đơn giản hơn.
+ Trong quá trình biến đổi ta cần lưu ý điều kiện nghiệm của phương trình trung
gian. Nếu phương trình trung gian có nghiệm nhưng nghiệm đó không thỏa điều kiện
nghiệm của phương trình ban đầu thì phương trình ban đầu vô nghiệm
+ Phương trình dạng
2n+1
( ) ( )
f x g x
 . Ta biến đổi thành phương trình:
f(x) = g(x)
2n+1


Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
4


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. Giải các phương trình:
a.
1 1
x x
  
b.
1 2 1

x x
   

c.
14 4 1
x x x
    
d.
1 5 1 3 2
x x x
    

e.
1 10 2 5
x x x x
      

2. Giải các phương trình sau:
a.
2 1 2 1 2
x x x x
     
b.
4 4 2 4 6
x x x x
      

c. 3 +
2 1 2 2 1
x x x x

    
d.
3 4 1 8 6 1 5
x x x x
       

3. Giải phương trình:
a.3x
2 8 0
x x x
  
b. 3x
2
+ 2x = 2
2
x x

+ 1 - x
c.
(5 2 ) (5 2 6) 10
x x
x
   
d. x
2
+ 2x =
2
2 4 8
x x
 

+ 20