khảo sát hàm số trong các đề thi đại học

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ


A. ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp chung:
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phá dấu GTTĐ
+ Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ.
+ Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức)
Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ

2. Các kiến thức sử dụng:
• Đ/n GTTĐ:
A 0
A A < 0
A
A
≥

=


neáu
neáu

• Một số tính chất của đồ thị:
1. Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox.

2. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy.
3. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.

3. Bài toán tổng quát:
Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
(
)
( )
( )
( )
1
2
3
: ( )
:
: ( )
C y f x
C y f x
C y f x

=


=


=



• Dạng 1: Từ đồ thị
(
)
: ( )
C y f x
=
suy ra đồ thị
(
)
(
)
1
:
C y f x
=
B1: Ta có
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
1
f f 0 (1)
:
-f f < 0 (2)
x x
C y f x
x x


≥

= =



neáu
neáu

B2: T
ừ

đồ
th
ị
(C) có th
ể
suy ra
đồ
th
ị
(C
1
) nh
ư
sau:
- Gi
ữ
nguyên ph
ầ

n
đồ
th
ị
(C) n
ằ
m phía trên Ox (do 1)
- L
ấ
y
đố
i x
ứ
ng qua Ox ph
ầ
n
đồ
th
ị
(C) n
ằ
m phía d
ướ
i tr
ụ
c Ox (do 2)
- B
ỏ
ph
ầ

n
đồ
th
ị
(C) n
ằ
m phía d
ướ
i tr
ụ
c Ox.
Minh hoạ


• Dạng 2: Từ đồ thị
(
)
: ( )
C y f x
=
suy ra đồ thị
(
)
(
)
2
:
C y f x
=
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 2
B1: Ta có
( )
( )
(
)
( )
2
f x 0 (1)
:
f x < 0 (2)
x
C y f x
x

≥

= =

−


neáu
neáu

B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
2
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1)

- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có).

Minh hoạ




• Dạng 3: Từ đồ thị
(
)
: ( )
C y f x
=
suy ra đồ thị
(
)
(
)
3
:
C y f x
=

B1: Ta có
( ) ( )
(
)
2
f 0

:
( ) (1)
( ) (2)
x
C y f x
f x
f x

≥

= =




−



B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C
3
) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1)
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2)
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có).

Minh hoạ

3. Ví dụ:
VD1: Cho hàm số
3
3
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
a)
3
3
y x x
= − + b)
3
3
y x x
= − + c)
3
3
y x x
= − +

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 3
VD2:
Cho hàm s
ố

1
1
x
y
x
+
=
−
(1)
3.

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
(1)
4.

T
ừ

đồ
th
ị
(C), hãy suy ra
đồ
th
ị
các hàm s
ố
sau:
a)
1
1
x
y
x
+
=
−
b)
1
1
x
y
x
+
=

−
c)
1
1
x
y
x
+
=
−
d)
1
1
x
y
x
+
=
−
e)
1
1
x
y
x
+
=
−

4. Bài tập:

Bài tập 1:
Cho hàm s
ố

3 2
2 9 12 3
y x x x
= − + −
có
đồ
th
ị
(C)
a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)
b)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
2 9 12 1
x x x m
− + + =
có 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
c)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
2 9 12 3
x x x m
− + + =
có nhi
ề
u h
ơ

n 2 nghi
ệ
m
Đ
áp s
ố
: b)
5 6
m
< <
c)
4 5
m
≤ ≤


Bài tập 2
(Kh
ối B - 2009) Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
= − có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình
2 2
2
x x m
− =
có

đ
úng 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
:
0 1
m
< <

5. Bài tập tự luyện
Bài tập 1
(Kh
ố
i A - 2006) Cho hàm s
ố

3 2
2 9 12 4
y x x x
= − + −
có
đồ
th
ị
(C)

a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)
b)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
3 2
2 9 12 4
x x x m
− + − =
có 6 nghi
ệ
m phân bi
ệ

t
Đ
áp s
ố
:
4 5
m
< <


Bài tập 2:
Cho hàm s
ố

4 2
8 10
y x x
= − + −
có
đồ
th
ị
(C)
c)

Kh
ả
o sát s
ự
bi

ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C)
d)

Tìm m
để
ph
ươ
ng trình
4 2
8 10
x x m
− + − =
có 8 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
:
0 6
m

< <


















Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 4
B. CỰC TRỊ

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị
1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a

≠
0)
y’ = f’(x) = 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số có cực trị
⇔
Hàm số có CĐ và CT
⇔
f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.

2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
y’ = f’(x) = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
Hàm số có đúng cực trị
0
0
0
. 0
a
b

a
a b

≠



=


⇔

≠



>



; Hàm s
ố
có
đ
úng 3 c
ự
c tr
ị
0
. 0

a
a b
≠

⇔

<


Bài 1:
Tìm
m
để
hàm s
ố

(
)
3 2
2 3 5
y m x x mx
= + + + −
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể

u
Đ
áp s
ố
:
2
3 1
m
m
≠ −


− < <


Bài 2 (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm
m
để hàm số
(
)
3 2
3 1 1
y mx mx m x
= + − − −
không có cực trị.
Đáp số:
1
0
6
m

≤ ≤

Bài 3
(
Đ
H c
ả
nh sát-2000) Tìm
m
để
hàm s
ố

4 2
1 3
4 2
y x mx
= − +
ch
ỉ
có c
ự
c ti
ể
u mà không có c
ự
c
đạ
i
Đ

áp s
ố
:
0
m
≤

Bài 4
(
Đ
H ki
ế
n trúc-1999) Tìm
m
để
hàm s
ố

(
)
(
)
4 2
1 1 2
y mx m x m
= − − + −
có
đ
úng m
ộ

t c
ự
c tr
ị
.
Đ
áp s
ố
:
1
0
4
m
≤ ≤

Bài 5
(
Đ
H kh
ố
i A DB1 - 2001) Tìm
m
để
hàm s
ố

( )
3
3
y x m x

= − −

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
0
x
=

Đ
áp s
ố
:
1
m
= −

Bài 6
(
Đ

H kh
ố
i B - 2002) Tìm
m

để
hàm s
ố

(
)
4 2 2
9 10
y mx m x
= − − +
có ba c
ự
c tr
ị

Đ
áp s
ố
:
3
m
<
ho
ặ
c

0 3
m
< <

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT
c
ủ
a hàm b
ậ
c ba
3 2
( ) ax
y f x bx cx d
= = + + +

* Chia f(x) cho f’(x) ta
đượ
c:
( ) ( ). '( ) Ax
f x Q x f x B
= + +

* Khi
đ
ó, gi
ả
s
ử

(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
x y x y
là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
thì:
(
)
( )
1 1 1
2 2 2
Ax
Ax
y f x B
y f x B

= = +


= = +




2. Tìm nhanh cực trị hàm đa thức f(x) bậc ba, bậc bốn
* Chia f(x) cho f’(x) ta được:
( ) ( ). '( ) Ax
f x Q x f x B
= + +

* G/s x
0
là hoành
độ

đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi
đ
ó tung
độ

đ
i
ể
m c

ự
c tr
ị
là
(
)
0 0 0
Ax
y f x B
= = +

Bài 7:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
3 6 8
y x x x
= − − +

Đ
áp s
ố
:
6 6
y x
= − +

Bài 8 (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(
)
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
= − + + − + −

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 5
Đ
áp s
ố
:
2
2
y x m m
= − +

Bài 9:
Tìm m
để
hàm s
ố

(
)
(
)
3 2
2 3 1 6 2 1
y x m x m x
= + − + − −
có
đườ
ng th
ẳ

ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
song
song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
4 1
y x
= − +

Bài 10:
Tìm m
để
hàm s
ố

(
)

(
)
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x
= + − + −
có các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
4
y x
= −

Bài 11:
Tìm m
để
hàm s
ố

3 2 2
3
y x x m x m
= − + +
có các
đ
i
ể
m c
ự
c c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
1 5
2 2

y x
= −

Đ
áp s
ố
:
0
m
=


Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó

Bài 12: Tìm
m
để hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2 3
2 3 2 6 5 1 4 1
y x m x m x m
= − + + + − +
có hai
đ
i

ể
m c
ự
c tr
ị
nh
ỏ
h
ơ
n 2.
Đ
áp s
ố
:
1
0
3
m
− < <

Bài 13 (ĐH khối B DB2 - 2006)
Tìm
m

để
hàm s
ố

(
)

(
)
3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
= + − + − + +
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hoành
độ
c
ủ
a
đ
i
ể

m c
ự
c ti
ể
u nh
ỏ
h
ơ
n 1.
Đ
áp s
ố
:
5 7
1;
4 5
m m
< − < <

Bài 14

(CĐ - 2009)
Tìm m
để
hàm s
ố

(
)
(

)
3 2
2 1 2 2
y x m x m x
= − − + − +
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i
các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

có hoành
độ
d
ươ
ng.
Đ
áp s
ố
:
1
1, 0
3
m m
− < < ≠

Bài 15

(HV quan hệ quốc tế 1996)
Tìm
m

để
hàm s
ố

4 2 4
2 2
y x mx m m
= − + +
có các

đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
l
ậ
p
thành m
ộ
t tam giác
đề
u.
Đ
áp s
ố
:
3
3
m =

Bài 16
Tìm
m

để

đồ

th
ị
hàm s
ố

4 2
2 1
y x mx m
= − + −
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác
đề
u.
Đ
áp s
ố
:
3
3

m =

Bài 17 (ĐH khối A BD1 - 2004)
Tìm
m

để
hàm s
ố

4 2 2
2 1
y x m x
= − +
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là ba
đỉ
nh c
ủ
a
m
ộ
t tam giác vuông cân.

Bài 18
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố

(
)
(
)
3 2
3 1 3 2 1
y x m x m m x
= − + + + +
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Xác
đị
nh
m
để
hàm s

ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
d
ươ
ng .
Đ
áp s
ố
:
0
m
>


Bài 19

(Kh
ố
i B - 2007) Tìm m
để
hàm s
ố

(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
= − + + − − −
có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u và
các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
cách
đề
u g
ố
c t
ọ
a
độ
O
Đ
áp s
ố
:
1
2
m
= ±

Bài 20:
Tìm m
để
hàm s

ố

4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
= + − + − +
có các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o thành 1 tam
giác vuông cân.
Đ
áp s
ố
: m = 1
Bài 21:
Tìm m
để
hàm s

ố

(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
= + − + − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i x
1
, x
2
th
ỏ
a mãn
( )
1 2
1 2

1 1 1
2
x x
x x
+ = +
Đ
áp s
ố
:
1; 5
m m
= =

Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2010

GV: Hồng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục n – n Bái Trang 6
C- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG GIAO
1. Phương pháp chung:

• Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
(
)
(
)
(
)
1
f x g x=

• Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của

(C1) và (C2).
• Chú ý: * (1) vơ nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) khơng có điểm chung
* (1) Có n nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Nghiệm x
0
của (1) chính là hồnh độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
). Khi đó tung độ điểm
chung
(
)
0 0
y f x
=
hoặc
(

)
0 0
y g x
=


2. Xét phương trình
(
)
3 2
ax 0
f x bx cx d
= + + + =
(1)
a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm
• (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( )



<


( ) có cực đại, cực tiểu
1
y . 0
CĐ CT
f x
y

• (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( )



=


( ) có cực đại, cực tiểu
2
y . 0
CĐ CT
f x
y

• (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi
( )







>



( ) không có cực đại, cực tiểu
3

( ) có cực đại, cực tiểu
y . 0
CĐ CT
f x
f x
y

b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
lập thành CSC khi đó
2
3
b
x
a
= −
thế vào (1)  giá trị của
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSC hay khơng.

* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm
1 2 3
, ,
x x x

lập thành CSN khi đó
3
2
d
x
a
= −
thế vào (1)  giá trị của
tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSN hay khơng.
Chú ý: Nếu a = 1
(
)
(
)
3 3
3
2 2
0 0
x d f x c b d d
⇒ = − ⇒ = ⇒ = ≠

3. Xét phương trình
(
)
4 2
ax 0
= + + =
f x bx c

(2)
Đặt
2
t x
=
đ/k
0
t
≥
ta được phương
2
( ) 0
g t at bt c
= + + =
(*)
a) Đ/k để (2) vơ nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm
* (2) vơ nghiệm khi và chỉ khi (*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm
1 2
0
t t
≤ <

* (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1
2
0
0
t
t


=


<



Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 7
* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1 2
0
t t
< <

* (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1
2
0
0
t
t

=


>



* (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm
1 2
0
t t
< <


b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng
(2) có 3 nghiệm lập thành CSC
⇔
(*) có 2 nghiệm
2 1
1 2
1 2
2 1
1 2
0
9
0
. 0
9
0
t t
t t
t t
t t
t t

∆ >


=

< <
 
⇔
 
>
=

 

+ >


4. Xét phương trình
( )
ax
3
+
= +
+
b
mx n
cx d

- Đưa phương trình về dạng:
2
( ) 0
d

f x Ax Bx C x
c
 
= + + = ≠ −
 
 
(**)
(3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phận biệt
0
0
d
d
f
c
c

∆ >

≠ − ⇔
 

− ≠
 

 


Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm
nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn

5. Bài tập:

a) Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt

Bài 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2
1
y x mx m
= − + −
cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt.
Đáp số:
1 2
m
< ≠

Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003)
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
(
)
2
1
y x x mx m
= − + +
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Đ
áp s
ố
:
1
4;0
2
m m
> < ≠ −

Bài 4:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
3 2
3 3 1 1 3
y x x m x m
= − + − + + c
ắ
t tr
ụ
c hoành
a)

t
ạ
i 1
đ
i

ể
m
b)

t
ạ
i 2
đ
i
ể
m
c)

t
ạ
i 3
đ
i
ể
m
Đ
áp s
ố
:
) 1 b)m=1 c)m>1
a m
<

Bài 5:
Tìm

m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
3 2 2
1 2
y x m x mx m
= + + + +
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có
hoành

độ
âm
Đ
áp s
ố
:
1
0
4
m
< <

Bài 6:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
(
)
3 2 2 2
2 2 1 1

y x mx m x m m
= − + − + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t có hoành
độ
d
ươ
ng
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 8
Đ
áp s
ố
:
2
1
3

m
< <

Bài 7:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
(
)
2
1 2 1
y x x mx m
= − − − −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có
hoành
độ
l
ớ
n h
ơ
n -1

Đ
áp s
ố
:
Bài 8:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
18 2
y x x mx m
= − + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t th
ỏ
a mãn
1 2 3
0
x x x
< < <

Đ
áp s
ố
:
0
m

<


b) Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt

Bài 9
(C
Đ
-2008) Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

1
x
y
x
=
−
c
ắ
t
đườ
ng th

ẳ
ng
:
d y x m
= − +
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
:
0
4
m
m

<

>


Bài 10:

Cho hàm s
ố

3 2
2 8
4
3 3
y x x x
= − − +
. Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
8
3
y mx
= +
c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ

i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
Đ
áp s
ố
:
35
4
8
m
− < ≠ −

Bài 11
(DB2
Đ
H Kh
ố
i D -2003) Cho hàm s
ố

3 2
2 3 1
y x x
= − −
có

đồ
th
ị
(C), g
ọ
i
k
d
là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i
qua
đ
i
ể
m
(
)
0; 1
M
−
và có h
ệ
s
ố
góc k. Tìm k

để

đườ
ng th
ẳ
ng
k
d
c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Đ
áp s
ố
:
9
0
8
k
− < ≠

Bài 12
(
Đ
H Kh
ố
i D -2006) Cho hàm s
ố

3 2
3 2
y x x
= − +
có
đồ
th
ị
(C), g
ọ
i
d
là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể

m
(
)
3;20
A
và có h
ệ
s
ố
góc m. Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
d
c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.

Đ

áp s
ố
:
Bài 13
(
Đ
H Kh
ố
i D -2009) Tìm
m

để

đườ
ng th
ẳ
ng
1
y
= −
c
ắ
t
đồ
th
ị

(
)
m

C
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
4 2
3 2 3
y x m x m
= − + +
t
ạ
i 4
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
nh
ỏ
h
ơ
n 2.
Đ
áp s
ố

:
1
1, 0
3
m m
− < < ≠

Bài 14:
Tìm
để

đườ
ng th
ẳ
ng
: 2
d y x m
= +
c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 1
4
x

y
x
+
=
−
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B .
Tìm m
để

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB ng
ắ
n nh
ấ
t.

Đ
áp s

ố
:

Bài 15:
Cho hàm s
ố
1
1
x
y
x
+
=
−
có
đồ
th
ị
(C).
a)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng

: 2 0
d x y m
− + =
luôn c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B trên
hai nhánh c
ủ
a (C).
b)

Tìm m
để

độ
dài AB ng
ắ
n nh
ấ
t
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 9
c) Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại các điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Bài 16:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
3 2 2
3 2 4 9
y x mx m m x m m
= − + − + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i

ể
m l
ậ
p
thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng
Đ
áp s
ố
:
1
m
=

Bài 17:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
(
)
3 2
3 1 5 4 8
y x m x m x
= − + + + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m l
ậ
p thành
c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng
Đ

áp s
ố
:
2
m
=

Bài 18:
Tìm
m

để

đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
4 2
2 1 2 1
y x m x m
= − + + +
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t

ạ
i 4
đ
i
ể
m l
ậ
p thành c
ấ
p s
ố

c
ộ
ng
Đ
áp s
ố
:
4
4;
9
m m
= = −


Bài 19:
(
Đ
H Kh

ố
i D -2008) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
1;2
I
v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc
(

)
3
k k
> −

đề
u c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
3 4
y x x
= − +
t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t I, A, B
đồ
ng th

ờ
i I là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 10
D- TIẾP TUYÊN


1. Viết pt tiếp tuyến của (C) tại
(
)
000
; yxM

(y
0

= f(x
0
))


2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: f’(x) = 0 (*)
- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm
⇒
tung độ tiếp điểm
⇒
bài toán trở về dạng 1
3. Chú ý :
a) Đ/k để hai đường cong
(
)
y f x
=
và
(
)
y g x
=
tiếp xúc nhau là hệ
(
)
(
)
( ) ( )
' '

f x g x
f x g x

=


=


có nghiệm
b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1
c) Hệ số góc của tiếp tuyến
0
'( ), tan
k f x k
ϕ
= =
(
ϕ
là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành)


Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 1: Tìm m a,b để đồ thị hàm số
ax
1
b
y
x

+
=
−
c
ắ
t Oy t
ạ
i
(
)
0; 1
A
−

đồ
ng th
ờ
i ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A có h
ệ
s
ố
góc
b
ằ

ng 3.
Đ
áp s
ố
:
4, 1
a b
= − =

Bài 2:
Cho hàm s
ố

(
)
3 2
3 1
y f x x x mx
= = + + +
có
đồ
th
ị
(C
m
).
a)

Tìm m
để

(C
m
) c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
1
y
=
t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
0;1 , ,
C D E
.
b)

Tìm m
để

các ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C
m
) t
ạ
i D và E vuông góc v
ớ
i nhau.
Đ
áp s
ố
:
9 9 65
)0 )
4 8
a m b m
±
≠ < =
Bài 3
(
Đ
H hu
ế
kh
ố

i D-1998) cho hàm s
ố

4 2
2 2 1
y x mx m
= − + − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm m
để
các ti
ế
p tuy
ế
n
v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
(
)
(

)
1;0 , 1;0
A B −
vuông góc v
ớ
i nhau.
Đ
áp s
ố
:
5 3
;
4 4
m m
= =

Bài 4
(
Đ
H kh
ố
i B-2004) Cho hàm s
ố

3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +

có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n d c
ủ
a
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n và ch
ứ
ng minh r
ằ
ng d là ti
ế
p tuy

ế
n c
ủ
a (C) có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
áp s
ố
:
8
3
y x
= − +

Bài 5
(HV Quân Y 1997) Cho hàm s
ố

3
1 ( 1)
y x m x
= + − +
có

đồ
th
ị
(C
m
).
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C
m
) tai các giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C
m
) v
ớ

i Oy.
b)

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n nói trên ch
ắ
n hai tr
ụ
c to
ạ

độ
tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Đ
áp s
ố
:
) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3
a y mx m m= − + − ± = − ±
Bài 6:
Cho hàm s

ố

2 1
1
x
y
x
−
=
−
có
đồ
th
ị
(C). Cho M b
ấ
t kì trên (C) có
M
x m
=
. Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M
c

ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A, B. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n. Ch
ứ
ng minh M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và
di
ệ

n tích tam giác IAB không
đổ
i.
Đ
áp s
ố
:
y = f’(x
0
). (x - x
0
) + y
0

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010

GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 11
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Bài 7
(DB1
Đ
H kh
ố
i B-2002) Cho hàm s
ố

( )
3 2
1 1 4
2

3 2 3
y f x x x x
= = + − −
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng tình
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ

i
đươ
ng th
ẳ
ng
: 4 2
d y x
= +

Đ
áp s
ố
:
Bài 8
(
Đ
H kh
ố
i D-2005) G
ọ
i (C
m
) là
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2

1 1
3 3 3
m
y x x
= − +
. G
ọ
i M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c (C
m
) có
hoành
độ
x = -1. Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C
m
) t
ạ

i
đ
i
ể
m M song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
5 0
x y
− =
.
Đ
áp s
ố
:
6
m
=

Bài 9:
Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế

n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố

(
)
2
3 1
m x m m
y
x m
+ − +
=
+

(
)
0
m
≠
t
ạ
i giao

đ
i
ể
m giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) v
ớ
i tr
ụ
c Ox song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng : 10
d y x
+ =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế

n.
Đ
áp s
ố
:
1 3
;
5 5
m y x
= − = −

Bài 10:
Cho hàm s
ố

3 2
1
x
y
x
−
=
−
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph

ươ
ng tình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c hoành m
ộ
t
góc 45
0
.
Đ
áp s
ố
:
2; 6
y x y x
= − + = − +

Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường
Bài 11
(DB1

Đ
H kh
ố
i D-2008) G
ọ
i (C
m
) là
đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
3 2
2 1 1
y x m x m
= − − + − −
. Tìm m
để

đồ
th
ị

(C
m
) ti

ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
y mx m
= − −

Đ
áp s
ố
:
1
0;
2
m m
= =

Bài 12: Cho hµm sè
3
3
y x x m
= − +
. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox

Đ

áp s
ố
:
2
m
= ±

Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó
Bài 13
(DB2 DDH kh
ố
i B-2003) Cho hàm s
ố

2 1
1
x
y
x
−
=
−
có
đồ
th
ị
(C). G
ọ
i I là giao
đ

i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng
ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C), Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i IM.

Đ
áp s
ố
:
Bài 14
(
Đ
H kh
ố
i D-2007) Cho hàm s
ố

2
1
x
y
x
=
+
có
đồ
th
ị
(C). Tìm to
ạ

độ

đ

i
ể
m M thu
ộ
c (C), bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t hai tr
ụ
c Ox, Oy t
ạ
i A, B và tam giác OAB có di
ệ
n tích b
ằ
ng
1
4
.
Đ

áp s
ố
:
( )
1
; 2 ; 1;1
2
M M
 
− −
 
 

Bài 15
(DB2
Đ
H kh
ố
i D-2007) Cho hàm s
ố

1
x
y
x
=
−
có
đồ
th

ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình d c
ủ
a (C) sao cho d
và hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) c
ắ
t nhau t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác cân.

Đ
áp s
ố
:
Bài 16
(DB2 DDH kh
ố
i B-2003) Cho hàm s

ố

2
2 3
x
y
x
+
=
+
có
đồ
th
ị
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), bi
ế

t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr
ụ
c Ox, Oy l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B và tam giác OAB cân t
ạ
i
g
ố
c to
ạ

độ
O.
Đ
áp s
ố
:
2
y x
= − −