Đê HSG Toan 9 + Đ/an

Phòng GD - ĐT Kiến Xơng
Trờng THCS Hồng Tiến
===***===
Đề khảo sát chất lợng học sinh giỏi toán 9
Năm học : 2010 2011
( thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1( 5 điểm):Gii cỏc phng trỡnh sau
a)
2
x 1 x 1+ =

b)
112
3
=+
xx
Cõu 2 (5 điểm)
a)Tìm m sao cho phơng trình

2x m 2x 1 2m 4 0 + =
có 2 nghiệm phân biệt
b)Tỡm tt c cỏc s dng x,y,z tho món:





=++
++
3
941

12
zyx
zyx
Câu 3( 3 điểm) Cho 3 s dơng x,y,z thoả mãn điều kiện xy+ yz + zx = 1. Tính tổng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 y 1 z 1 x 1 z 1 x 1 y
S x. y z
1 x 1 y 1 z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Câu 4(6 điểm)
Từ điểm K nằm ngoài (0) vẽ 2 tiếp tuyến KA, KC với (O) ( A,C là 2 tiếp điểm) và
cát tuyến KBD (B nằm giữa K và D). Gọi M là giáo điểm của AC và KO.
a.c/m: KA
2
= KM.KO
b.c/m tứgiác BMOD nội tiếp
c) Chứng minh MA là tia phân giác của
ã
BMD
.
d.Gọi F là giao điểm của BM với (O) c/m: DF //AC
Bi 5 (1,0 im)
Cho s thc m, n, p tha món :
2
2 2

3m
n np p 1
2
+ + =
.
Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : B = m + n + p.
§¸p ¸n + BiÓu ®iÓm
C©u 1 :
a)
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
x 1 0
x 1;x 1
x 1 0
x 1
x 1 x 1
x x 1 x x 1 0
x 1 x 1
− ≥
≥ ≤ −



+ ≥

≥ −
+ = − ⇔ ⇔
 
 
+ − − =
+ = −




1
−=⇔
x
hoặc
2
51+
=x
b) ĐK:
1
≥
x
;Đặt



−=
−=
1
2
3

xv
xu
Khi đó ta có:












=
−=



=
=



=
=




⇔
=+
=+
3
2
0
1
1
0
1
1
23
v
u
v
u
v
u
vu
vu
Trở lại cách đặt ta được:
1/
⇔



=
=
1
0

v
u
2
11
02
3
=⇔



=−
=−
x
x
x
2/
⇔



=
=
0
1
v
u
1
01
12
3

=⇔



=−
=−
x
x
x
3/
⇔



=
−=
3
2
v
u
10
31
22
3
=⇔



=−
−=−

x
x
x
C©u 2 :
a)HD: §K :
1
x
2
≥
§Æt
( )
2
t 2x 1 t 0 t mt 2m 3 0(*)= − ≥ => − + − =
§Ó pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× pt(*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt t
1
; t
2
tho¶ m·n
1 2
t t 0> ≥
2
m 6
m 2
m 8m 12 0
m 6
3
P 2m 3 0 m
3
2
m 2

S m 0
2
m 0

>



<



∆ = − + >
>





⇔ = − ≥ ⇔ ≥ ⇔
 

≤ <
 
= >


>





b) Từ giả thiết ta suy ra
6
4
941
≤
++
+++
zyx
zyx
(1)
Mặt khác ta có:
1
4
.
1
2
4
1
=≥+
x
x
x
x
;
2
4
4
≥+

y
y
;
3
4
9
≥+
z
z
Do đó ta có
6
4
941
≥
++
+++
zyx
zyx
(2)
Do vy (1) xy ra thỡ ta phi cú:
6
4
941
=
++
+++
zyx
zyx
hay

=
=
=










=
=
=
6
4
2
4
9
4
4
4
1
z

y
x
z
z
y
y
x
x
Câu 3 HD: Ta có 1+ x
2
= xy+ yz + zx + x
2
= x(x+y) + z(x+y) = (x + y)(x + z)
Tơng tự 1 + y
2
= (y + x)(y + z)
1 + z
2
= (z + x)(z + y)
=> S =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x y 2 xy yz xz 2+ + + + + = + + =
Câu 4 :
b. Ta c/m:
ã
ã
BMK KDO=
+.c/m: KA
2

= KB.KD
Mà KA
2
= KM.KO (cmt)
=>
KB KO
KM KD
=
mà
ã
BKM
chung
=>
BKM ~ OKD(c.g.c)V V
=>
ã
ã
BMK KDO=
=> tứ giác BMOD nội tiếp
c) tứ giác BMOD nội tiếp
=>
à
à
1 4
D M=
( 2góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau:
ằ
ằ
BO DO=
)

Mà
à
à
1 1
D M=
(cmt) =>
à à
1 4
M M=
Mà
à à à à
( )
à à
0
1 2 3 4 2 3
M M M M 90 M M+ = + = => =
=> MA là tia phân giác của
ã
BMD
.
d.Cách 1: tứ giác BMOD nội tiếp =>
ã
ã
BMD BOD(1)=
(2gnt cùng chắn
ằ
BD
)
Vì MA là tia phân giác của
ã

BMD
=>
à
ã
2
1
M BMD
2
=
(2)

$
ã
1
F BOD
2
=
(gnt và góc ở tâm cùng chắn cung BD) (3)
Từ 1,2,3 =>
$
à
2
F M=
mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//AC
Cách 2: Kẻ OH

KD =>
ã
ã
BFD DOH=

(1)
Do
ã
ã
BMK KDO=
=>
ã
ã
BMA HOD=
(2) (vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
Từ (1) và (2) =>
ã
ã
BMA BFD=
mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//AC
Bi 5 (1,0 im)
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + =
(1)
( m + n + p )
2
+ (m p)
2
+ (n p)
2

= 2
1
4
3
2
1
M
B
O
A
K
C
D
F
⇔ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2 - ( m + n + p )
2
⇔ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2 – B
2
vế trái không âm ⇒ 2 – B
2
≥ 0 ⇒ B
2

≤ 2 ⇔
2 2B− ≤ ≤

dấu bằng ⇔ m = n = p thay vào (1) ta có m = n = p =
2
3
±
⇒ Max B =
2
khi m = n = p =
2
3
Min B =
2−
khi m = n = p =
2
3
−