Tiết 57:Hệ thức Viet và ứng dụng (Mạc Kim Loan)

Giáo viên: M¹c ThÞ Kim Loan
Trường THCS Trần Quốc Toản

Kiểm tra bài cũ
1. Viết công thức nghiệm tổng quát của ph ơng
trình bậc hai một ẩn.
2. Từ công thức nghiệm của PT bậc hai, khi PT
có nghiệm, hãy tính x
1
+ x
2
và x
1
.x
2


1. Hệ thức Vi-et
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a 0)

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Hãy tính : x
1
+x
2
, x
1
. x
2
thì
Nếu ph ơng trình bậc hai :
ax
2
+ bx +c = 0 (a0) có nghiệm thì đều
có thể viết các nghiệm đó d ới dạng:

a
b
x,
a
b
x
22
21

=
+
=
Tit 57 :H THC VI-ẫT V NG DNG
?1
x
1
+ x
2
=
2
b
a
+
2
b
a

+
=
b

a

x
1
. x
2
=
.
2 2
b b
a a
+
=
2 2
2
( ) ( )
4
b
a

=
2
2
4
b
a

2 2
2
4

4
b b ac
a
+
=
=
2
4
4
ac
a
=
c
a

1. Hệ thức vi ét
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0)

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
Đối với mỗi ph ơng trình sau, g i x
1

và x
2
là hai nghiệm (nếu có). Không
giải ph ơng trình hãy điền vào
những chỗ trống ( )
a. x
2
7 x + 12 = 0
b. 8x
2
x +1 = 0
=

x
1
+ x
2
=

x
1
. x
2
=
=

x
1
+ x
2
=

x
1
. x
2
=
Ví dụ:
1
7
12
-31
thì

Ví dụ:
x
2
7 x + 12 = 0
=

x
1
+ x
2
=

x
1
. x
2
=
1 > 0
7
12
PT có 2 nghiệm x
1
, x
2

Ph ơng trình vô nghiệm
Từ giá trị tổng và tích 2
nghiệm trên, em hãy nhẩm
nghiệm của ph ơng trình?
Vậy theo em, định lý

Vi-et có ứng dụng gì?

áp dụng
1. Hệ thức vi ét







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a, Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b, Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c, Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Cho ph ơng trình 3x
2
+7x+4=0.
a, Chỉ rõ các hệ số a,b,c rồi tính a-b+c.
b, Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c, Tìm nghiệm x
2
Hoạt Động nhóm ( Thi gian 2 phỳt)
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trinh có môt nghiệm x
1
=1, còn

nghiệm kia là
c
x
2
=
a
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph
ơng trình có một nghiệm x
1
= -1, còn
nghiệm kia là
c
x
2
= -
a
?2
?3

áp dụng
1. Hệ thức vi - ét

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai
nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì
a
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph
ơng trình có một nghiệm x
1
= -1, còn
nghiệm kia là

c
x
2
= -
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trinh có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là
c
x
2
=
a
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG

?4: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
a, - 5x
2
+ 3x + 2 =0;
b, 2004x
2
+ 2005x + 1 = 0
Lời giải
b, 2004x
2
+ 2005x + 1 = 0

có a = 2004 , b = 2005 , c = 1
a, -5x
2
+ 3x + 2 = 0 có a = -5, b = 3, c = 2
x
2
=
2
-5
=
-2
5
Vậy x
1
=1,
x
2
= -
1
2004
Vậy x
1
= -1,
=>a b + c = 2004 2005 + 1 = 0
=> a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0.

áp dụng
1. Hệ thức vi- ét
* Định lí Vi-ét (SGK T51)
* Tổng quát 2 (SGK)

* Tổng quát 1 (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của
chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng
P thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình
x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và
tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S -
x. Theo giả thiết ta có ph ơng trình
x(S x) = P hay x
2
- Sx + P=0.
Nếu = S
2
- 4P 0,
thì ph ơng trình (1) có nghiệm . Các nghiệm
này chính là hai số cần tìm
áp dụng
Ví dụ1. Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình
x

2_
27x +180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729-720 = 9
12
2
327
15
2
327
21
=

==
+
= x,x
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng
trình x
2
-5x+6 = 0.
Giải.
Vì 2+3=5; 2.3=6 nên x
1
=2, x
2
= 3 là hai
nghiệm của ph ơng trình đã cho.
áp dụng

?5. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng
1, tích của chúng bằng 5
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình
x
2
- x+5 = 0
=(-1)
2
4.1.5 = - 19 <0 nên PT vô nghiệm
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5

Luyện tập
2. 2x
2
+ 3 x + 5 = 0 có
nghiệm là x
1
= - 1, x
2
=
- 5
2
3 . x
2
- 3 x - 4 = 0 có nghiệm là
x
1
= - 1, x
2

= 4
4. 2 x
2
- 3 x + 1 = 0 có nghiệm
là x
1
= 1, x
2
=
- 1
2
TRò CHƠI
1 2
43
V
I E
T
A.
2
x
2
- (
2
+1) x+ 1 = 0
có nghiệm x
1
= 1,
x
2
=

2
2
1.
Đ
S
Đ
S
Có 4 miếng ghép,
mỗi miếng ghép
chứa nội dung một
câu hỏi (Lựa chọn
đúng, sai). Bạn
chọn 1 miếng ghép,
trả lời câu hỏi t ơng
ứng. Trả lời đúng,
miếng ghép sẽ đ ợc
lật mở. Lật mở đủ 4
miếng ghép sẽ cho
ta đáp án của ô chữ.

Vi - Ðt ( 1540 – 1603)
Cã thÓ b¹n
ch a biÕt
-
Phrăng – xoa Vi-ét (sinh 1540- 1603)
tại Pháp.
-
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí
hiệu các ẩn, các hệ số của phương
trình và dùng chúng để biến đổi và giải

phương trình nhờ cách đó mà nó thúc
đầy Đại số phát triển mạnh.
- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ
giữa các nghiệm và các hệ số của
phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật
mã.
- Ông là một luật sư, một chính trị gia
nổi tiếng.

1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
-b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* áp dụng:
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng trình
x
2

S x + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là :S
2
4 P > 0
Luyện tập
Không giải ph ơng trình, tính
tổng và tích các nghiệm của ph
ơng trình sau:
x
2
+ 2 x 5 = 0
Tính x
1

2
+ x
2
2

Tính x
1

3
+ x
2

3

Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của
ph ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
+ Tổng quát 1: Nếu a+ b + c = 0 thì x
1
= 1,
x
2
=
c
a
+ Tổng quát 2: Nếu a - b + c = 0 thì x
1
= -1
x
2
=
- c
a
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG

Điều kịên để một PT bậc hai một ẩn
+Có 2 nghiệm cùng dấu:

0,P>0
+ Có 2 nghiệm d ơng là:
0 , P> 0, S > 0
+ Có 2 nghiệm âm là :

0 , P> 0, S < 0
+ Có 2 nghiệm trái dấu là:
P < 0

Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
Hệ thức Vi-ét có
những ứng dụng gì?
ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
1. Nhẩm nghiệm của PT bậc hai
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích
3. Tính giá trị các biểu thức liên quan đến nghiệm của PT
bậc hai
4. Xét dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai

H ớng dẫn về nhà
-Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích
-Nắm vững cách nhẩm nghiệm : a+b+c = 0
a-b+c = 0
hoặc tr ờng hợp tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số
nguyên có giá trị tuyệt đối quá không quá lớn
-Bài tập về nhà : 25, 26, 27, 28 (SGK), bài 35,36 (SBT)

Gi
Gi
áo viên t
áo viên t
hực hiện
hực hiện
Mạc Thị Kim Loan
Mạc Thị Kim Loan