ĐỀ THI HSG TOÁN 7 CÓ ĐÁP ÁN

Đề 1
Bài 1. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng 7
6
+ 7
5
7
4
chia hết cho 55
b) Tính A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5
49
+ 5
5 0
Bài 2. (4 điểm)
a) Tìm các số a, b, c biết rằng :
2 3 4
a b c
= =
và a + 2b 3c = -20
b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều
bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Bài 3. (4 điểm)
a) Cho hai đa thức f(x) = x
5
3x
2
+ 7x

4
9x
3
+ x
2
-
1
4
x
g(x) = 5x
4
x
5
+ x
2
2x
3
+ 3x
2
-
1
4
Tính f(x) + g(x) và f(x) g(x).
b) Tính giá trị của đa thức sau:
A = x
2
+ x
4
+ x
6

+ x
8
+ + x
100
tại x = -1.
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
0
, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a)So sánh các độ dài DA và DE.
b) Tính số đo góc BED.
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD. Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi
I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
a) IK// DE, IK = DE.
b) AG =
2
3
AD.
1
đáp án - Đề 1
Bài 1.
a) 7
4
( 7
2
+ 7 1) = 7
4
. 55

M
55 (đpcm)
b) Tính A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5
49
+ 5
5 0
(1)
5.A = 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5
49
+ 5
5 0
+ 5
51
(2)
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có : 4A = 5
51
1 => A =
51
1
4
5

Bài 2.
a)
2 3 4
a b c
= =
ú
2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
a b c a b c
+
= = = = =
+
=> a = 10, b = 15, c =20.
b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z

N
*
)
Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z
Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z
=>
20000 50000 100000 16
2
100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8
x y z x y z x y z
+ +
= = = = = = =
+ +

Suy ra x = 10, y = 4, z = 2.
Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2.
Bài 3. 4đ
a) f(x) + g(x) = 12x
4
11x
3
+2x
2
-
1
4
x -
1
4

f(x) - g(x) = 2x
5
+2x
4
7x
3
6x
2
-
1
4
x +
1
4

b) A = x
2
+ x
4
+ x
6
+ x
8
+ + x
100
tại x = - 1
A = (-1)
2
+ (-1)
4
+ (-1)
6
+ + (-1)
100
= 1 + 1 + 1 + + 1 = 50 (có 50 số hạng)
Bài 4. Vẽ hình (0,5đ) phần a) 1,5đ - phần b) 2đ
a)

ABD =

EBD (c.g.c) => DA = DE
b) Vì

ABD =

EBD nên góc A bằng góc BED
Do góc A bằng 90
0
nên góc BED bằng 90
0


e
d
c
a
b
Bài 5: 4đ
a) Tam giác ABC và tam giác ABG có:
DE//AB, DE =
1
2
AB, IK//AB, IK=
1
2
AB
Do đó DE // IK và DE = IK
b)

GDE =

GIK (g. c. g) vì có: DE = IK (câu a)
Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK)
Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK)

GD = GI. Ta có GD = GI = IA nên AG =
2
3
AD
G
k
i
e
d
c
b
a
- Vẽ hình: 0,5đ
- Phần a) đúng: 2đ
- Phần b) đúng: 1,5đ
2
§Ò 2:
Bài 1: (3 điểm): Tính
1 1 2 2 3
18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4
6 2 5 3 4
   
− + −
 ÷
 
   

Bài 2: (4 điểm): Cho

a c
c b
=
chứng minh rằng:
a)
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
b)
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
Bài 3:(4 điểm) Tìm
x
biết:
a)
1
4 2
5
x
+ − = −
b)

15 3 6 1
12 7 5 2
x x
− + = −

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận
tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn
cạnh là 59 giây
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
0
A 20
=
, vẽ tam giác đều DBC (D nằm
trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tìm
,x y
∈
¥
biết:
2 2
25 8( 2009)y x− = −

3
Đáp án
Bài 1:
1 1 2 2 3

18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4
6 2 5 3 4
   
− + −
 ÷
 
   
=
109 6 15 17 38 8 19
( : . ) : 19 .
6 100 2 5 100 3 4
   
− + −
 ÷
 
   

=
109 3 2 17 19 38
. . : 19
6 50 15 5 50 3
 
   
− + −
 ÷  ÷
 
   
 
=
109 2 323 19

:
6 250 250 3
 
 
− +
 ÷
 
 
 
=
109 13 3
.
6 10 19
 
−
 ÷
 
=
506 3 253
.
30 19 95
=
Bài 2:
a) Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b

=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +
=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
b) Theo câu a) ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b c b
b c b a c a
+ +
= ⇒ =
+ +
Từ
2 2 2 2
2 2 2 2

1 1
b c b b c b
a c a a c a
+ +
= ⇒ − = −
+ +

hay
2 2 2 2
2 2
b c a c b a
a c a
+ − − −
=
+
vậy
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+

Bài 3:
a)
1
4 2
5
x + − = −

=>
1
2 4
5
x + = − +
=>
1 1
2 2
5 5
x x+ = ⇒ + =
hoặc
1
2
5
x + = −

Với
1 1
2 2
5 5
x x
+ = ⇒ = −
hay
9
5
x
=
Với
1 1
2 2

5 5
x x
+ = − ⇒ = − −
hay
11
5
x
= −

b)
15 3 6 1
12 7 5 2
x x− + = −
=>
6 5 3 1
5 4 7 2
x x
+ = +
=>
6 5 13
( )
5 4 14
x
+ =
=>
49 13
20 14
x
=
=>

130
343
x
=

Bài 4:
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
Ta có:
5. 4. 3.x y z
= =
và
59x x y z
+ + + =
hay:
59
60
1 1 1 1 1 1 1 59
5 4 3 5 5 4 3 60
x y z x x y z
+ + +
= = = = =
+ + +

Do đó:
1
60. 12
5
x
= =

;
1
60. 15
4
x
= =
;
1
60. 20
3
x
= =
Vậy cạnh hình vuông
là: 5.12 = 60 (m)
Bài 5: a) Chứng minh
∆
ADB =
∆
ADC (c.c.c)
suy ra
·
·
DAB DAC=
.Do đó
·
0 0
20 :2 10DAB = =
b)
∆
ABC cân tại A, mà

µ
0
20A
=
(gt) nên
·
0 0 0
(180 20 ) : 2 80ABC
= − =
∆
ABC đều nên
·
0
60DBC =
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·
0 0 0
80 60 20ABD = − =
. Tia BM là
phân giác của góc ABD nên
·
0
10ABM
=
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ;
·
·
·
·

0 0
20 ; 10BAM ABD ABM DAB
= = = =
Vậy:
∆
ABM =
∆
BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 6:
2 2
25 y 8(x 2009)
− = −
Ta có 8(x-2009)
2
= 25- y
2
=>8(x-2009)
2
+ y
2
=25 (*)
Vì y
2

≥
0 nên (x-2009)
2

25
8

≤
, suy ra (x-2009)
2
= 0 hoặc (x-2009)
2
=1
Với (x -2009)
2
=1 thay vào (*) ta có y
2
= 17 (loại)
Với (x- 2009)
2
= 0 thay vào (*) ta có y
2
=25 suy ra y = 5 Từ đó tìm được (x=2009; y=5)
4
20
0
M
A
B
C
D
Đề s 3
Câu 1 a) Tính tổng: A =
11
4
7
4

9
4
11
1
7
1
9
1


+
625
4
125
4
16,0
5
4
625
3
125
3
25
3
6,0


B =
343
4

7
2
7
4
2
64
)77(
1
49
1
49
1
1
2
2







+
+

b) Tìm các số a
1
, a
2
, a

3
, a
9
biết

1
9

7
3
8
2
9
1
93
21

==

=

=

aa
aa
và a
1
+ a
2
+ a

3
+ + a
9
= 90
Câu 2
1) Tìm x biết: 2
x
+ 2
x+1
+ 2
x+2
+ 2
x+3
= 120
2) Tìm x, y biết a)
x
y
x
yy
4
71
5
51
12
31 +
=
+
=
+
b) x + y = x : y = 3(x y)

3) Chỉ ra các cặp (x;y,z) thoả mãn a)
92
22
++ yxx
= 0
b)
2
)2( x
+
2
)2( +y
+
zyx ++
= 0
Câu 3
a. Cho hàm số y = f(x) = x + 1 với x -1
-x 1 với x < -1
* Viết biểu thức xác định f
* Tìm x khi f(x) = 2
b. Cho hàm số y =
x
5
2
* Vẽ đồ thị hàm số
* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính toán).
Câu 4
Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi
đi đợc 1/2 quãng đờng AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại. Do
đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đờng AB.
Câu 5 Cho

ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C.
Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE). Chứng minh rằng:
a) BH = AK
b)

MBH =

MAK
c)

MHK là tam giác vuông cân
5
Đáp án
Câu 1 a) A = 1 B =
4
1
b) áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính đợc a
1
= a
2
= = a
9
= 10
Câu 2 1) - Đặt 2
x
làm TSC rút gọn
- Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x
2) a)- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4)
- Từ tỉ số (4) và tỉ số (2) 12 + 4x = 2.5x x = 2 Từ đó tính đợc y = -

15
1
b) Từ x + y = 3(x-y) = x : y

2y(2y x) = 0 mà y

0 nên 2y x = 0

x = 2y
Từ đó

x =
3
4
; y =
3
2
3) a) - Vì
02
2
+ xx
và
09
2
y


x
2
+ 2x = 0 và y

2
9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y)
b) Vì

2
)2(x
0 với

x ;
2
)2( +y

0 với

y ;
zyx ++


0 với

x, y, z
Đẳng thức xảy ra

=++
=+
=
0
0)2(
0)2(
2
2
xyx
y
x










=
=
=
0
2
2
z
y
x

Câu 3
a. - Biểu thức xác định f(x) =
1+x
- Khi f(x) = 2

1+x
= 2 từ đó tìm x
b. - Vẽ đồ thị hàm số y =
x
5
2

x 0 5 O (0;0)
y 0 2 A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ

OA là đồ thị hàm số y =
x
5
2
- M

đồ thị y =
x
5
2


-2 =

x
5
2


x = -5
Câu 4 i 18 phút =
)(
10
3
60
18
h=
- Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đờng trớc là v
1
; t
1
, vận tốc và thời gian đã đi nửa
quãng đờng sau là v
2
; t
2
.
- Cùng một quãng đờng vận tốc và thời gian là 2 đại lợng TLN do đó:
V
1
t
1
= v
2

t
2


3
100
21
12
2
1
1
2
=


==
tt
vv
t
v
t
v
2
3
1
= t
(giờ)

thời gian dự định đi
cả quãng đờng AB là 3 giờ

- Quãng đờng AB dài 40 . 3 = 120 (km)
Câu 5 a) HAB = KCA (CH GN)

BH = AK
-b)

MHB =

MKA (c.g.c)


MHK cân vì MH = MK (1)
c) Có

MHA =

MKC (c.c.c)

góc AMH = góc CMK từ đó

góc HMK = 90
0
(2)
Từ (1) và (2)


MHK vuông cân tại M
6
M
K

H
B
A
C
E
Đề s 4
Câu 1
a. Tính tổng M = 5
)
23
4
5(
47
3
4
47
3
27
23
4
+
b. Tính tổng A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
2010
c. Cho các số a
1
, a
2
, a

3
.a
n
mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1
Biết rằng a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ + a
n
a
1
= 0. Hỏi n có thể bằng 2002 đợc hay không?

Câu 2
1) So sánh a. 2
300
và 3
200
b.
8
và
5
+ 1
2) Tìm x, y, z biết :
a.

x
yyy
6
61
24
41
18
21 +
=
+
=
+
b. 3x = 2y; 7y = 5z và x y + z = 32
Câu 3
1) Cho hai đa thức P(x) = x
2
+ 2mx + m
2
và Q(x) = x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
2) Cho hình vẽ, đờng thẳng OA là đồ thị hàm
số y = f(x) = ax (a

0)
a. Tính tỉ số
4
2

o
o
x
y
b. Giả sử x
0
= 5 tính diện tích
OBC

Câu 4
Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc
ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trớc 45 phút. Tính độ dài quãng đ-
ờng AB.
Câu 5 Cho

ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của
tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC.
Chứng minh rằng:
a. Ba điểm E, A, D thẳng hàng
b. A là trung điểm của ED
y0
2
1
X0
C
B
A
x

o
1 2 3 4 5
y
7
đáp án đề 4
Câu 1 a. - Biến đổi M dới dạng một tổng
- Đặt
a=
23
1
;
b=
47
1
- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào đợc A = 119
b. Nhân hai vế của tổng với A với 2 . Lấy 2A A rút gọn đợc A =
2
12
2010

c. Xét giá trị của mỗi tích a
1
a
2
, a
2
a
3
, a
n

a
1

số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng
2
n
. vì 2002
M
2

n = 2002
Câu 2 1) a. Ta có 2
1003300
)2(=
=> 3
1002200
)3(=

3
200
> 2
300
b.
8
và
15 +
Ta có 2 <
5

2 + 6 <
5
+ 6 =
5
+ 5 + 1

8 < (
2
)15 +

58 <
+ 1
2 ) a. Tìm x biết
x
yyy
6
61
24
41
18
21
)3()2()1(
+
=
+
=
+
- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4)
- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2)

6x = 2 . 24 = 48

x = 8
b. - Đa về dạng
f
e
d
c
b
a
==
. - áp dụng tính chất dãy TSBN

tính x, y, z
Câu 3
1) - Thay giá trị của x vào 2 đa thức
- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính đợc m = -
4
1
2a) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x
0
;y
0
)

đồ thị hàm số y = f(x) = ax

y
0
= ax

0
0
0
x
y

= a. Mà A(2;1)

a =
0
0
2
1
x
y
=
=>
4
2
4
2
0
0
0
0


==
x
y

x
y
b. -

OBC vuông tại C

S
OBC
=
BCOC.
2
1
=
0
.
2
1
yOC
Với x
0
= 5
2
5
5
2
1
=
OBC
S
= 6,25 (đvdt)

Câu 4 - Đổi 45 phút =
hh
4
3
60
45
=
- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v
1
và v
2
(km/h) tơng ứng với thời gian là t
1
và t
2
(h). Ta có v
1
.t
1
= v
2
.t
2
- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN

1
2
2
1
t

t
v
v
=
; t
2
t
1
=
4
3
- Tính đợc t
2
=
4
3
. 4 = 3 (h) t
1
=
)(
4
9
3
4
3
h=

S = v
2
. t

2
= 3 . 30 = 90km
Câu 5
a)

MAD =

MCB (c.g.c)

góc D = góc B

AD // BC (1)
-

NAE =

NBC (c.g.c)

góc E = góc C

AE // BC (2)
Từ (1) và (2)

E, A, D thẳng hàng
-b)Từ chứng minh trên

A là trung điểm của ED
A
B
N

M
8
C
E
D
Đề s 5
Bi 1:
1) Thc hin phộp tớnh:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3

=
+
+
B =
1
4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4: 0,88
3
2 5
17,81:1,37 23 :1
3 6

ữ




2) Tìm các số a, b sao cho
2007ab
là bình phơng của số tự nhiên.
Bi 2: Tỡm x ,y bit:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x
+ = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
=
c.
( )
2007 2008
2 27 3 10 0x y

+ + =
Bi 3:
a) S A c chia thnh 3 s t l theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba
s ú bng 24309. Tỡm s A.
b) Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b
2
= ac; c
2
= bd; b
3
+ c
3
+ d
3
0
Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
c) Tìm x,y để C = -18-
2 6 3 9x y
+

đạt giá trị lớn nhất.
Bi 4:
Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao
cho ME = MA. Chng minh rng:
a) AC = EB v AC // BE
b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . Chng minh
ba im I , M , K thng hng
c) T E k
EH BC


( )
H BC

. Bit
ã
HBE
= 50
o
;
ã
MEB
=25
o
.
Tớnh
ã
HEM
v
ã

BME
Bi 5: (4 im)
Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20
=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc
ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
c) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
d) AM = BC
9
Đáp án
Bài 1:
a)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5

9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− − − −
= − = −
+ +
+
+
− −
= −
+
+
−
= −
−
= − =

b) Sè bÞ chia = 4/11
Sè chia = 1/11
KÕt qu¶ = 4
Bài 2:
a)
( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x

x x
x
x
−=
−=−
=+=
−
=−+=
−
− + =− + ⇔− + = +
⇔− + =


⇔− = ⇔








⇔
b)

( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0

7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )
( )
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x x
x x

x x
+
 
 ÷
 
+
− =
− − =
−=⇒=
− =⇒=
 
⇔ − − − =
 


⇔




⇔



c)
V× |2x-27|
2007
≥ 0 ∀x vµ (3y+10)
2008
≥ 0 ∀y

⇒ |2x-27|
2007
= 0 vµ (3y+10)
2008
= 0
x = 27/2 vµ y = -10/3
10
Bài 3:
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c
= =
= k
⇒
2 3
; ;
5 4 6

k
a k b k c
= = =
Do đó (2)
⇔
2
4 9 1
( ) 24309
25 16 36
k
+ + =
⇒
k = 180 và k =
180
−
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =
180
−
, ta được: a =
72
−
; b =
135
−
; c =
30
−
.
Khi đó ta có só A =

72
−
+(
135
−
) + (
30
−
) =
237
−
.
b) Tõ gi¶ thiÕt suy ra b
2
= ac; c
2
= bd; ⇒
a b c
b c d
= =
Ta cã
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
a b c a b c
b c d b c d
+ +
= = =
+ +
(1) L¹i cã
3

3
. . . .
a a a a a b c a
b b b b b c d d
= = =
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
c)Ta cã C = -18 - (
2 6 3 9x y
− + +
) ≤ -18 V×
2 6x
−
≥0;
3 9y
+
≥0
Max C = -18 ⇔
2 6 0
3 9 0
x
y
− =



+ =

x = 3 vµ y = -3
Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét
AMC
∆
và
EMB
∆
có :AM = EM (gt )
·
AMC
=
·
EMB
(đối đỉnh )BM = MC (gt )
Nên :
AMC
∆
=
EMB
∆
(c.g.c ) 0,5 điểm
⇒
AC = EB
Vì
AMC

∆
=
EMB
∆

·
MAC
⇒
=
·
MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy
ra AC // BE . b/ (1 điểm )
Xét
AMI
∆
và
EMK
∆
có :
AM = EM (gt );
·
MAI
=
·
MEK
; AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK
∆ = ∆

( c.g.c ) Suy ra
·
AMI
=
·
EMK

Mà
·
AMI
+
·
IME
= 180
o
( tính chất hai góc kề bù )
⇒

·
EMK
+
·
IME
= 180
o
⇒
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ Trong tam giác vuông BHE (
µ
H

= 90
o
) có
·
HBE
= 50
o
11
K
H
E
M
B
A
C
I
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o
·

HEM
⇒
=
·
HEB
-
·
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o

·
BME
là góc ngoài tại đỉnh M của
HEM
∆
Nên
·
BME
=
·
HEM
+
·
MHE
= 15

o
+ 90
o
= 105
o
( định lý góc ngoài của tam giác )
Bài 5: a) Chứng minh
∆
ADB =
∆
ADC (c.c.c)
suy ra
·
·
DAB DAC=
Do đó
·
0 0
20 : 2 10DAB = =
b)
∆
ABC cân tại A, mà
µ
0
20A
=
(gt) nên
·
0 0 0
(180 20 ) : 2 80ABC

= − =
∆
ABC đều nên
·
0
60DBC =
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·
0 0 0
80 60 20ABD = − =
.
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên
·
0
10ABM =
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ;
·
·
·
·
0 0
20 ; 10BAM ABD ABM DAB
= = = =
Vậy:
∆
ABM =
∆
BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 1 Câu 2
V× 00≤
ab
≤99 vµ a,b ∈ N
⇒ 200700 ≤
2007ab
≤ 200799
⇒ 447
2
<
2007ab
< 449
2
⇒
2007ab
= 448
2
⇒ a = 0; b= 4
12
20
0
M
A
B
C
D
s 6
Câu 1
Tính: a) A = 1 +

3 4 5 100
3 4 5 100

2 2 2 2
+ + + +
b) B =
2007210
7
1

7
1
7
1
7
1






++






+

+







c) C = 1+
)20 321(
20
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1
++++++++++++++
d) Biết rằng :1
2

+2
2
+3
3
+ +10
2
= 385. Tính tổng : S= 2
2
+ 4
2
+ +20
2
Câu 2
Tìm x ,y,z biết: a)
327
2+x
+
326
3+x
+
325
4+x
+
324
5+x
+
5
349+x
=0
b) 3x -

2 1x +
= 2
c) 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50.
Câu3: a) Cho
3)1(2
1
2
+
=
n
B
. Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
12011 + xx
c) Tìm n

Z sao cho : 2n - 3
M
n + 1
Câu 4 :
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh
AC tại D.
a. Chứng minh AC=3 AD
b. Chứng minh ID =1/4BD
Câu 5
Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các
tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 90
0

), vẽ DI và
EK cùng vuông góc với đờng thẳng BC. Chứng minh rằng:
a. BI=CK; EK = HC;
b. BC = DI + EK.
13
ỏp ỏn
Câu 1 a) A = 2 -
99 100 100
1 100 102
2
2 2 2
=

b)
2007432
7
1

7
1
7
1
7
1
7
1
1 +++=B
;
200632
7

1

7
1
7
1
7
1
177 ++=B
;
2007
7
1
78 =B

c) C = 1+






++






+

+






2
21.20
20
1

2
5.4
4
1
2
4.3
3
1
2
3.2
2
1

=
= 1+
( )
=++++=+++ 21 432
2
1
2
21

2
4
2
3







1
2
22.21
2
1
= 115.
d) Ta có S=(2.1)
2
+(2.2)
2

+ + (2.10)
2
(0,5đ) =2
2
.1
2
+2
2
.2
2
+ +2
2
.10
2
=2
2
(1
2
+2
2
+ +10
2
) =2
2
.385=1540
Câu2:a) (1)
04
5
349
1

324
5
1
325
4
1
326
3
1
327
2
=
+
++
+
++
+
++
+
++
+

xxxxx
.
0)
5
1
324
1
325

1
326
1
327
1
)(329( =+++++ x

3290329
==+
xx
b) Nếu x


1
2

thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thảo mãn )
Nếu x <
1
2

thì : 3x + 2x + 1 = 2 => x = 1/5 ( loại ) .Vậy: x = 3
c) =>
1 2 3
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y - z = 50 => x = 11, y = 17, z = 23.
Câu 3: a) B t
( )

312
2
+ nGTLN
NN
Vì
( ) ( )
331201
22
+ nn
đạt NN khi bằng 3 . Dấu bằng xảy ra khi
101
==
nn
Vậy B t GTLN
3
1
= B
và
1
=
n

b)Ta có: A =
12011 + xx
=
20101201112011 =++ xxxx
Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 2010 khi x-2011 và 1-x cùng dấu,
Tức là : 1 x 2011
c)
2 3 1 5 1n n n + +M M

n + 1 -1 1 -5 5
n -2 0 -6 4
{ }
6; 2;0;4n =
Câu 4 a )
Gọi E là trung điểm CD .
Trong tam giác BCD có ME là đờng trung bình => ME//BD
Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt)
Mà ID//ME(gt)
14
A
B M
C
D
E
Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)
Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2)
So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD
b.Trong tam giác MAE ,ID là đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (
Trong tam giác BCD; ME là Đờng trung bình => ME=1/2BD (2)
So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD
Câu 5:
a) Vẽ AH BC; ( H BC) của ABC
+ hai tam giác vuông AHB và BID có:
BD= AB (gt)
Góc A
1
= góc B
1
( cùng phụ với góc B

2
)
AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn)
AH BI (1) và DI= BH
+ Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc A
2
= góc C
1
( cùng phụ với góc C
2
)
AC=CE(gt)
AHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn) AH= CK (2)
từ (1) và (2) BI= CK và EK = HC.
b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên)
tơng tự: EK = HC
Từ đó BC= BH +HC= DI + EK.
15
16