Đè thi HSG Toán 6,7,8

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 6
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
==================
Bài 1: ( 2,25 điểm)
Tính hợp lý: (Không dùng máy tính)
=A
3:
20
9
6
15
11
1
20
17
2 +−
101
7
19
7
13
7
7
101
19
3
19
20
+++

++
=B
110
1
90
1
72
1
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
6
1
++++++++=C
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Cho
20432
2 2222 +++++=D
a. Chứng minh D chia hết cho 5.
b. Tìm chữ số tận cùng của D.
Bài 3: ( 1,75 điểm)
Tìm các số tự nhiên k để 3k + 4 chia hết cho k - 1.
Bài 4: ( 2,0 điểm)

Có hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước, nếu cả 2 vòi cùng
chảy thì sau 48 phút sẽ đầy bể, nếu chỉ mở một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2
giờ sẽ đầy bể. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy ít hơn vòi thứ hai 50 lít nước.
Tính thể tích khi bể chứa đầy nước?
Bài 5: ( 2,0 điểm)
Cho 3 tia chung gốc O: Oa, Ob, Oc sao cho góc aOb bằng 140
0
; và tia Oc
nằm giữa hai tia Oa và Ob. Vẽ Ox là tia phân giác của góc aOc; Oy là phân giác
của góc cOb; Om là phân giác của góc aOb.
a. Tính số đo góc xOy.
b. Chứng minh: Góc aOx = góc mOy.
( Chú ý: HS phải vẽ hình chính xác để làm bài. Hình vẽ 0,25 điểm)

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 7
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
==================
Bài 1: ( 2,0 điểm)
Thực hiện tính:
a. (-1).(-1)
2
.(-1)
3
(-1)
2010
b. (1000 - 1
3
).(1000 - 2

3
).(1000 - 3
3
) (1000 - 2010
3
)
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a.
10109
49319
122.6
9.4.1527.2
+
+
=A
b.
24224
32 yyyxxB +++=
với
1
22
=+ yx

Bài 3: ( 2,0 điểm)
a. Cho
yzx =
2
( x
≠

y và x
≠
z). Chứng minh rằng:
xz
xz
yx
yx
−
+
=
−
+
b. Cho
432
zyx
==
và
1712
22
=+− yzyx
. Tính x, y, z
Bài 4: ( 2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AN, BP, CQ là ba trung tuyến, G là trọng tâm.
Trên tia AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE. Chứng minh:
a. BE= 2QG
b.
BCACABCQBPAN ++>++(
3
4
Bài 5: ( 2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có số đo góc ABC bằng 2 lần số đo góc ACB và bằng
2
α
, đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt
AC tại D.
a. Chứng minh: DH=DC=DA
b. Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB. Chứng minh: B’C=B’A.
c. Chứng minh: CH=AE.

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 8
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
==================
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a. Chứng minh: (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) = (ac - bd)
2
+ (bc + ad)
2
b. Cho:
2
111

=++
zyx
và x + y + z = xyz (x, y, z là các số khác o)
Chứng minh rằng:
2
111
222
=++
zyx
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Giải các phương trình:
a.
0
5
2025
2005
5
2004
6
2003
7
=
+
+
+
+
+
+
+ xxxx
b. x

4
- 2x
2
= 400x + 9999
Bài 3: ( 2,0 điểm)
a. Chứng minh: x
2
- x + 1 > 0 (với mọi x)
b. Chứng minh:
3
1
1
1
2
2
≥
+−
++
xx
xx
c. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức:
1
1
2
2
+−
++
=
xx
xx

A
Bài 4: ( 3,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD); Gọi O là giao điểm hai
đường chéo AC, BD. Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt
CD tại A’; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B’.
Gọi diện tích các tam giác OAB; OCD; ACD; ABC lần lượt là S
1
; S
2
; S
3
; S
4.
Chứng

minh:
a. EF//AB
b.
BD
BE
CD
AB
=
và
CDEFAB .
2
=
c.
1
3

2
4
1
=+
S
S
S
S

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 8
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a. (0,75 điểm)
VT = a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2
d

2
= a
2
c
2
+ b
2
d
2
- 2abcd + a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ 2abcd
= (ac - bd)
2
+ ( bc + ad)
2
=VP
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
b. (1,25 điểm) Với x, y, z khác 0:
Bình phương 2 vế:
2
111
=++
zyx

ta có:
4
222111
222
=+++++
yzxzxy
zyx
4
222111
222
=+++++⇔
xyz
x
xyz
y
xyz
z
zyx
4
)(2111
222
=
++
+++⇔
xyz
zyx
zyx
4
2111
222

=+++⇔
xyz
xyz
zyx
(Vì x+y+z=xyz)
2
111
42
111
222222
=++⇔=+++⇔
zyxzyx
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
Bài 2: ( 2,5 điểm)
a.(1,25 điểm)

0
5
2025
2005
5
2004
6
2003
7
=
+
+
+
+

+
+
+ xxxx
03
5
2025
1
2005
5
1
2004
6
1
2003
7
=−
+
++
+
++
+
++
+
⇔
xxxx
0
5
15
5
2025

2005
2005
2005
5
2004
2004
2004
6
2003
2003
2003
7
=−
+
++
+
++
+
++
+
⇔
xxxx
0
5
2010
2005
2010
2004
2010
2003

2010
=
+
+
+
+
+
+
+
⇔
xxxx
0)
5
1
2005
1
2004
1
2003
1
)(2010( =++++⇔ x
201002010 −=⇔=+⇔ xx
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
b.(1,25 điểm)
x
4
- 2x
2
= 400x + 9999
⇔

10000400412
224
++=++ xxxx
(thêm 4x
2
+1 vào 2 vế )
⇔
( )
( )
2
2
2
10021 +=+ xx
⇔
( )( )
01002110021
22
=+++−−+ xxxx
⇔



−=++
=+−
)2(10012
)1(10012
2
2
xx
xx

(1)
⇔
10012
2
=+− xx
ta được



=
−=
11
9
x
x
; PT(2)
10012
2
−=++ xx
vô nghiệm
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x=11; x=-9
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
Bài 3: ( 2,0 điểm)
a.+ x
2
– x + 1 = x
2
–x + 1/4 + 3/4 = (x-1/2)
2
+ 3/4 > 0

+ (x-1/2)
2

≥
0; 3/4 > 0 nên (x-1/2)
2
+ 3/4 > 0
b.
+ Từ kết quả (a) nhân 2 vế của BĐT với số dương 3( x
2
– x + 1) được :
3x
2
+ 3x + 3 > x
2
–x + 1
+ Biến đổi :
⇔
2x
2
+ 4x + 2 > 0
⇔
2(x+1)
2
> 0
+ 2(x+1)
2
> 0 luôn đúng. Suy ra:
3
1

1
1
2
2
≥
+−
++
xx
xx
.
c.
+
1
)1(31)1(3
1
1
2
222
2
2
+−
+−−++++−
=
+−
++
xx
xxxxxx
xx
xx
+

3
1
)1(2
3
1
242
3
2
2
2
2
≤
+−
−
−=
+−
+−
−=
xx
x
xx
xx
+ A=
1
1
2
2
+−
++
xx

xx
đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 1.
( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
Bài 4: ( 3,5 điểm)
a.(1,0 điểm)

OC
OA
OB
OE
BCAE =⇒//
OD
OB
OA
OF
ADBF =⇒//
OD
OB
OC
OA
CDAB =⇒//
ABEF
OA
OF
OB
OE
//⇒=⇒
(Ta-let đảo)
b.(1,75 điểm)

'
'//
DA
AB
ED
EB
DAAB =⇒
CD
B’ A’
O
E F
A B
'DAAB
AB
EBED
EB
+
=
+
⇒

CAAB '
=
được
DC
AB
BD
EB
=

BD
BE
DB
EF
DBEF =⇒
'
'//
DCEFAB
AB
EF
DC
AB
DB
EF
DC
AB
.
'
2
=⇒
=⇒
=⇒
( Do
'DBAB =
)
c.(0,75 điểm)

AC
OA
S

S
ABC
OAB
=


AC
OC
S
S
ADC
OCD
=
(Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỷ số hai đường cao )
Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh
( Mỗi bước cho 0,25 điểm)
=========================
Ghi chú:
HS giải bằng cách khác nhưng hợp lý giám khảo vẫn ghi điểm tối đa cho từng câu.



*********
UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 6
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: ( 2,25 điểm)
a. A=
15

4
3
15
11
1
15
15
4
15
11
15
20
3
2
15
11
1
20
17
23:
20
9
6
15
11
1
20
17
2 =−=−=+−=+−
(0,75 điểm)

b. B
101
7
19
7
13
7
7
101
19
13
19
19
19
19
101
7
19
7
13
7
7
101
19
13
19
119
+++
+++
=

+++
+++
=

7
19
101
1
19
1
13
1
17
101
1
19
1
13
1
119
=






+++







+++
=
( 0,75 điểm)
c.
110
1
90
1
72
1
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
6
1
++++++++=C

11.10
1

10.9
1
9.8
1
8.7
1
7.6
1
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
++++++++=
11
1
10
1
10
1
9
1

4
1
3
1

3
1
2
1
−+−++−+−=
22
9
22
2
22
11
11
1
2
1
=−=−=
( 0,75 điểm)
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho D = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ +2
20
a. Chứng tỏ rằng D chia hết cho 5: (1 điểm)
D = 2(1 + 2+ 2
2
+ 2

3
)+ 2
5
(1 + 2+ 2
2
+ 2
3
)+2
9
(1 + 2+ 2
2
+ 2
3
)+
+2
13
(1 + 2+ 2
2
+ 2
3
) +2
17
(1 + 2+ 2
2
+ 2
3
)
=(1 + 2+ 2
2
+ 2

3
)(2 + 2
5
+2
9
+2
13
+2
17
)
= 15(2 + 2
5
+2
9
+2
13
+2
17
)
= 5.3. (2 + 2
5
+2
9
+2
13
+2
17
)
Kết luận D chia hết cho 5.
(Mỗi bước ghi 0,25 điểm)

b. Tìm chữ số tận cùng của D: (1 điểm)
- D chia hết cho 2 do D là tổng của các số chia hết cho 2.
- D chia hết cho 5 nên Dcó chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- D chia hết cho 2 nên D có chữ số tận cùng là chữ số chẵn.
- D vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên có chữ số tận cùng là 0.
(Mỗi bước ghi 0,25 điểm)
Bài 3: (1,75 điểm)
- 3k + 4 chia hết cho k - 1 hay 3k -3 + 7 chia hết cho k -1 0,5 đ
- Do 3k - 3 = 3(k - 1) chia hết cho k - 1 nên 7 chia hết cho k -1 0,5 đ
- k-1 là ước của 7 nên k-1 = 7 hoặc k -1 = 1 0,5 đ
- Suy ra được k = 8 hoặc k = 2. 0,25 đ
Bài 4 (2,0 điểm)
Trong 1 phút:
- Hai vòi chảy được:
48
1
bể 0,25 đ
- Vòi thứ nhất chảy được:
120
1
bể 0,25 đ
- Vòi thứ hai chảy được:
80
1
120
1
48
1
=−
bể 0,5 đ

- Vòi thứ hai chảy hơn vòi thứ nhất:
240
1
120
1
80
1
=−
bể 0,5 đ
- Thể tích bể: 50:
240
1
= 12000 lít 0,5 đ
Bài 5:(2,0 điểm)
a.Tính sđ góc xOy: (0,5 điểm)
-
∠
xOy =
∠
xOc +
∠
cOy=
2
1
(
∠
aOc +
∠
cOb) =
2

1
∠
aOb=
2
1
.140
0
=70
0
b.Chứng minh
∠
aOx =
∠
mOy: (1,0 điểm)
- Om là phân giác
∠
aOb:
∠
aOm =
2
1
∠
aOb (1)
- Ox là phân giác
∠
aOc:
∠
xOc =
2
1

∠
aOc
- Oy là phân giác
∠
cOb:
∠
cOy =
2
1
∠
cOb
- Do:
∠
xOy =
∠
xOc+
∠
cOy =
2
1
(
∠
aOc +
∠
cOb) =
2
1
∠
aOb (2)
Từ (1) & (2) suy ra:

-
∠
aOm =
∠
xOy
-
∠
aOx+
∠
xOm =
∠
aOm
-
∠
mOy+
∠
xOm =
∠
xOy
Cho ta:
∠
aOx =
∠
mOy
a x
c
m
O
y
b

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 7
HƯỚNG DẪN CHẤM :
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a. (-1).(-1)
2
.(-1)
3
(-1)
2010
= (-1)
1+2+ +2010
= (-1)
2010(2010+1):2
Do 2010(2010+1):2 là một số lẻ
Nên: (-1)
2010(2010+1):2
= -1 ( 1,0 điểm)
b. Trong tích: (1000 - 1
3
).(1000 - 2
3
).(1000 - 3
3
) (1000 - 2010
3
)
có thừa số: 1000 - 10
3

= 0
Nên: (1000 - 1
3
).(1000 - 2
3
).(1000 - 3
3
) (1000 - 2010
3
)=0 ( 1,0 điểm)
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
a.
10109
49319
122.6
9.4.1527.2
+
+
=A
=
20101099
818919
2.32.3.2
3.2.5.33.2
+
+
=
2
1

7.2
7
)61(3.2
)52.(3.2
919
918
==
+
+
(1,0 điểm)
b.
24224
32 yyyxxB +++=
với
1
22
=+ yx

=
2222222
)()(2 yyxyyxx ++++
=
222
2 yyx ++
=
22
22 yx +
=
2)(2
22

=+ yx
(1,0 điểm)

Bài 3: ( 2,0 điểm)
a. - Từ
yzx =
2
được :
x
z
y
x
=
- Từ
x
z
y
x
=
được
xy
zx
y
x
+
+
=
và
xy
zx

y
x
−
−
=
- Suy ra
xy
zx
xy
zx
−
−
=
+
+


xz
xz
yx
yx
zx
zx
xy
yx
−
+
=
−
+

⇒
−
+
=
−
+
⇒
(1,0 điểm)
b. - Từ
32
yx
=
được
94
22
yx
=
- Từ
4
.
39
2
zyy
=
được
24
2
129
2
yzyzy

==
- Kết hợp được :
9
19
171
2494
2
24
2
94
2222
==
+−
+−
==
−
−
=
yzyxyzyx
- x
2
= 4.9=36 được x = 6 và x = -6
* x = 6 được y = 9 và z= 12
* x = - 6 được y = -9 và z= -12 (1,0 điểm)
Bài 4: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,5 đ; phục vụ cho mỗi câu 0,25 đ)
a. Chứng minh BE=2QG: ( 0,75đ)
- Chứng minh: tg BNE= tgCNG
- Suy ra: BE=GC
- Do: GC=2QG (trọng tâm tam giác) nên: BE=2QG (Mỗi ý 0,25đ)
b. ( 0,75đ)

- Ta có: AG+BG>AB; BG+GC>BC; AG+GC>AC ( bất đẳng thức tg)
- Cộng theo vế có: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC
- Hay: 2.
3
2
(AN+BP+CQ)>AB+BC+AC
Vậy:
3
4
(AN+BP+CQ)>AB+BC+AC (Mỗi ý 0,25đ)
A

Q P
G

B N C
E
Bài 5: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,25 đ)
A
B
C
H
E
D
B’
a.
- Tam giác BEH cân nên E = H
- ABH là góc ngoài nên E=H=
α
=ABH

2
1
- BHE = DHC (Đối đỉnh) nên DHC =α
- Suy ra ∆DHC cân tại D nên DH=DC
- ∆HAD có : AHD = 90
0
-α
- HAD = 90
0
- α (∆AHC vuông tại H)
- Suy ra ∆HAD cân tại D nên DH = DA.
- Suy ra DH = DC = DA. (0,75 đ)
b.
- ∆ ABB’ cân tại A do có trung tuyến là đường cao
- Suy ra AB’B = 2α
- Suy ra B’AC = BB’A - B’CA = α
- ∆ AB’C cân tại B’ nên B’C = B’A (0,5 đ)
c.
- Do AB’ = AB nên B’C = AB
- HB’= HB = BE nên AB + BE = B’C + B’H hay CH = AE (0,5 đ)