SKKN:Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002
(Hội toán học Việt Nam)
2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
(Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002)
3) 500 bài toán bất đẳng thức
(TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996)
4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng
(TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001)
5) Phơng pháp giảng dạy Toán
( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục)
Những Vấn đề chung
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán Chứng
minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài
không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì
không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã
nghiên cứu và mạnh dạn trình bày Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng
thức có điều kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều
kiện và qua thử nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình
giảng dạy học sinh .
II) mục đích nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán và có phơng án , phơng pháp truyền đạt đến
học sinh.Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học
sinh làm bài trong 30 phút nh sau:
Bài1: (6đ) a) Ch a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0

Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a
4
+ b
4
>
8
1

Kết quả cụ thể :
Điểm dới 5
5 6
7
810 510
SL % SL % SL % SL % SL %
10 50 7 35 2 10 1 5 10 50
Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm đợc bài 2. Qua kết quả có thể thấy
học sinh không có biện pháp giải dạng toán
Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện Nên đạt hiệu quả thấp , lời giải th-
ờng dài dòng , phức tạp . Cũng với các bài toán trên nếu dùng phơng pháp đổi biến
thì hiệu quả sẽ nhanh chóng hơn trong việc chứng minh .
2
Chính vì vậy mà tôi đã nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh biết
cách Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện một cách hiệu quả và nhanh
chóng hơn.
III) đối t ợng nghiên cứu
- Học sinh khối lớp 8,9
- SGK và một số tài liệu khác
IV) nhiệm vụ của đề tài .
- Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên

đề trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội
tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông .
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng
thức có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này .Song tuỳ theo từng bài cụ thể .
( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều
vấn đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
V)ph ơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu
- Dạy thực nghiệm
VI)tiến trình nghiên cứu
- Thời gian nghiên cứu từ năm học 2006-2007 đến 2007-2008
- Thời gian thực hiện năm học 2008-2009
3
Nội dung đề tài
A ) cơ sở lý luận của đề tài:
I)Cơ sở ph ơng pháp
Phơng pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các
điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức đợc học trong sách giáo
khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học sinh có thể đa ra lời giải chứng minh ngắn
gọn đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu
thức đại số
II)Các công thức cơ bản
1)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2

( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b
2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b
2
) = a
3
+ b
3

( a - b ) (a
2
+ ab +b
2
) = a
3
- b

3
(a b)
4
=a4a
3
+ 6a
3
b
3


4ab
3
+b
4
2) Các bất đẳng thức :
(a b)
2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải

Do a + b = 6 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
3
3
với m tuỳ ý
4
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)
4
+ (3 - m)
4
=

432234432234
34363433436343 mm.m.m.mm.m.m
.
+++++++=

=
1622108162

42
++ mm
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a
4
+ b
4
32
Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
2
2
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m

2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh
trên với








=
+=
m
c
b
m
c
a
2
2
Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x
2
+ y

2
+ z
2
+xy +yz +zx 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt





=
+=
+=
baz
by
ax
1
1
1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )

2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
2


6
4
3
2
6
2
2
+






++
bb
a
Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM .
Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:
5

=
+=
+=
nm
k
z
n
k
y
m
k
x
3
3
3
Hoặc

+=
+=
+=
c
k
z
b
k
y
a
k
x
3
3
3
với a +b +c = 0
Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên .
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd
2
1
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
zyd;zyc;zxb;zxa =+=+=++=
4
1
4

1
4
1
4
1
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
(a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =













++






+

+++













++= zyzxzyzxyxyx
4
1
4
1
2
4
1
4
1
2
2

1
2
1
( )
2
1
4
2
1
2
2
= zyx
Vớii mọi x , y . z .
Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :












=
+=

+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx
k
b
zx
k
a
4
4
4
4
Hoặc

+=
+=
+=
+=
q
k
d
p
k
c
n
k
b
m
k
a
4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5:Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
6

a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt




=
+=
xbd
xac
Với x tuỳ ý
Ta có
( ) ( ) ( )( )
=++++=++ xbxaxbxacddc
22
22
abab
xx
ba 33
4
3
2
2
2

++






+=
a,b,x
Dấu = xảy ra khi x = a - b +
2
x
= 0 hay a = b = c = d
Với c
2
+ d
2
+cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
td;yb
zc;xa

+=+=
+=+=
2
1
2
1
2
1
2
1

Với : x + y + z + t = 0
Ta có:
=+++
2222
dcba
2222
4
2
4
2
4
2
4
2

++






++






++






+= tzyx
ttzzyyxx +++++++++++
2222
4
1
4
1
4

1
4
1
( )
( )
tzyxtzyx ++++++++






+++=
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
01
2222
++++= tzyx
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
2
1
Nhận xét 4:
Nếu cho điều kiện là

7
ka aaaa
n
=+++++
4321
CMR:
n
k
a aaaa
n
2
22
4
2
3
2
2
2
1
+++++
Ta nên đặt
,x
n
k
a
11
+=
,x
n
k

a
22
+=
,x
n
k
a
33
+=

,x
n
k
a
nn
+=
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất
đẳng thức.
Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 .Chứng minh rằng:
a) x
3
+ y
3
9
b) 2x
4
+ y
4
18
Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0

Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x =
1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
x
3
+ y
3
= (1 -t )
3
+ ( t + 2)
3
= 9 +9 t +9t
2
9 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x
4
+ y
4
=2 (1 - t)
4
+ ( 2 + t)
4
=18 +24t + 36 t
2
+ 3t
4
18 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên
đặt y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0)

Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:



+=
=
mly
mlkx
Hay



=
=
mnky
mnx
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x
2
+ 2y
2
+ 8y > 62
Giải
Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt
8



+=+

=
kyx
tx
5
2
Với t ,k > 0
Suy ra



++=
=
kty
tx
3
2
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
5x
2
+2y
2
+8y = 5 (2 - t )
2
+ 2(3 + k + t )
2
+8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )
2
+5t
2

+20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM .
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a
2
+10 b
3
> 945

Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt



+=+
+=
kba
tb
8
3
Với k,t > 0




+=
+=
tb
tka
3
5

Thay vào vế trái của BĐT ta có:
27a
2
+ 10b
3
=
( ) ( )
=+++=
32
310527 ttk
( )
945109027027945
32
2
++++= ttktk
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:




+
vx
uyx
Ta nên đặt



=
+=+

mvx
nuyx
Với m,n > 0 từ đó



=
++=
mvx
nuvmy
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:




+
lb
kba
Thì ta đặt
9



+=
+=+
nlb
mkba
với n,m > 0

+=
+=
nlb
nlmka
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c 3 .Chứng minh rằng a
4
+b
4
+c
4
a
3
+ b
3
+ c
3
Giải:
Do a + b + c 3 nên ta đặt :






+=
+=
+=

zc
yb
xa
1
1
1
Thoả mãn x + y + z 0
Xét hiệu :
=++
333444
cbacba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++++++++=
333444
111111 zyxzyx
( )
0
4
333
2
3
2
3
2
3
222
2
2
22

2

++
+






++






++






++++
+
zyxz
z
y
y

x
xzyx
Vậy:
333444
cbacba ++++
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý
học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
Bài11: cho : a
3
+ b
3
< 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng.
Giả sử
2+ ba
ta đặt



+=
+=
yb
xa
1
1
với
0+ yx

Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
3322
33
33
33211 yxyxyxyxba ++++++=+++=+
=
( )
( )
( )
( )
2332
2222
+++++++ yxyxyxyxyx
Vì
0+ yx
Suy ra
2
33
+ ba
Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
10
Bài 12 Cho a
4
+ b
4
< a
3
+ b

3
Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử
2+ ba
.Đặt



+=
+=
yb
xa
1
1
với
0+ yx
Xét hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
3344
3344
1111 yxyxbaba +++++=+

( )
( ) ( )
3322
33 yxyxyx +++++=
( )
( )
( )

( )
033
2222
++++++= yxyxyxyxyx
y;x
hay
+ 0
3344
baba
với a + b 2 Thì: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Trái với giả thiết . Vậy
a + b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3

+
+
+
+
+ ba
c

ca
b
cb
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2
zyx
cba
++
=++


2
2
2
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++
=
Cho nên

( )
2
3
3222
2
1
3
2
1
111
2
1
222
=++

++






++








+=








++++++=
+
+
+
+

++
=
=
+
+
+
+
+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z

x
y
z
zyx
y
zyx
x
zyx
ba
c
ac
b
cb
a
11
(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dơng và u+v=1. chứng minh rằng
2
2511
22







++

+
v
v
u
u
Giải
Đặt a = u +
u
1
và
v
vb
1
+=
Ta có a > 0, b > 0
Và
2
2

+ ba
<
2
22
ba +
(1)
Vì
( )
44
222
22
2
222222
2
babababababa
=
++
=
+







+
< 0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
4

25
2
41
2
1
1
2
11
2
11
11
2
1
2
2
2
22
22
22
=






+

+
=










+++
=

+++















++






+=
+
uv
vu
vu

v
v
u
u
v
v
u
u
ba
vì uv
2
1
2
2
=






+ vu
do đó
4
1

uv
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
2

1
bài toán:15
Cho a.b
0
Chứng minh rằng:
043
2
2
2
2
+






++
a
b
b
a
a
b
b
a

Giải : Đặt x =
a
b

b
a
+
ta có :
2
2
2
2
2
2
++=
a
b
b
a
x

2
2
2
2
2
2
=+ x
a
b
b
a
Bất đẳng thức trở thành:

0432
2
+ xx
023
2
+ xx
( )( )
021 xx
12
Nếu ab< 0

Thì ta có
02
22
++ baba
abba 2
22
+
Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
22

+
ab
ba
Vậy x
2

Trong cả hai trờng hợp thì
( )( )

021 xx
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
c) thực nghiệm khoa học và Kết quả thực
nghiệm
1)Kết quả chung
Sau khi học sinh đợc thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có
điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn
phụ mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải đợc các
dạng toán nh :
-Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số.
-Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện .
-Sáng tao ra bất đảng thức mới.
Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng nh giáo viên có ph-
ơng pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó
và từ trớc tới nay cha có cách giải tổng quát
2)Kết quả cụ thể:
Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lợt nh sau
Đề 1
a)cho a + b + c = 1 .Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2

3
1

b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx
Đề 2

b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

4
9
b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a
3
+ b
3
+ ab
Đề 3
Cho x + y = 3 và x 1.chứng minh rằng:
13
a)2x
2
+ y
2
6
b) xy 2
c) x
3
+ y
3
- 6x

2
- 3y
2
+ 9 0
Kết quả thực hiện nh sau :
Điểm Dới5
56
7
810 510
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1 10 50 6 30 3 15 1 5 10 50
2 4 20 10 50 4 20 2 10 16 80
3 0 0 8 40 5 25 7 35 20 100
Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự nh sau:
Đề 1:
a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x
2
+ y
2

10

1
b)Cho x + y = 3 và y
2
Chứng minh rằng2x
2
+ y
2
3x
Đề 2:
a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng
bdac
< 1
b)Cho a + b + c + d 2 Chứng minh rằng
1+++ dcba
Đề 3
a) Cho a
2
+ b
2
2 chứng minh rằng a + b 2
b) Cho a + b 2 Chứng minh rằng
3344
baba ++
Kết quả cụ thể nh sau
Điểm
Dới 5 5 - 6 đ 7đ 8-10 5-10
Đề SL
%
SL
%

SL
%
SL
%
SL
%
1 9 45 7 35 3 20 0 0 11 55
2 5 25 10 50 4 20 1 5 15 75
3 0 0 5 25 7 35 8 40 20 100
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp
huyện của tr
huyện của tr
ờng sau khi các em đ
ờng sau khi các em đ
ợc làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến
ợc làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến


Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện
Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện
Sau khi thu đ
Sau khi thu đ
ợc kết quả có thể nhận thấy ph
ợc kết quả có thể nhận thấy ph
ơng pháp giải toán ử trên không khó đố
ơng pháp giải toán ử trên không khó đố
với học sinh khá giỏi ,mà điều cần l

với học sinh khá giỏi ,mà điều cần l
u ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì
u ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì
lời giải mới ngắn gọn
lời giải mới ngắn gọn
14
KếT LUậN chung
A)ý nghĩa ,tác dụng của đề tài:
Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn
giản là giúp cho giải toán Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thêm một
cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả
Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng nh các thầy cô giáo và học sinh thấy đợc
mọi vấn đề đều có hớng giải quyết , nếu nh ta biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp .
B)Đề xuất và kiến nghị ứng dụng .
Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên đây cần
:
- Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản .
- Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất
cho bài toán .
- Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó , các bài
giải phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm theo .
- Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị .
- Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi
trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá những u nhợc điểm của
đề tài , và hớng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi hy vọng đề tài sẽ đóng góp một
phần trong công tác nghiên cứu khoa học và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trờng .
Mục lục
Phần I: Những vấn đề chung
- Lí do chọn đề tài
15

- Mục đích nghiên cứu
- Đối tợng nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu
- Tiến trình nghiên cứu
Phần II: Những nội dung chính của đề tài
- Cơ sở lí luận của đề tài
- Các ví dụ minh họa (Thực trạng của vấn đề nghiên cứu)
- Thực nghiệm khoa học và kết quả thực nghiệm
- Phân tích tâm lí các kết quả thu đợc
Phần III: Kết luận chung
- Kết luận, đề xuất và kiến nghị ứng dụng
- Tài liệu tham khảo
- Mục lục
16