25 đề thi THPT quốc gia 2015 môn toán cực hay (có đáp án và lời giải chi tiết) của thầy Đặng Thành Nam

Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%
Mơn:%Tốn;%ĐỀ%SỐ%01/50%
Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%khơng%kể%thời%gian%giao%đề%
%
Liên%hệ%đăng%ký%khố%học%–%Hotline:%0976%266%202%%
2x −1
(1) .%
Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y =
x −1
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%%
1
2 tan x(1− cos x ) =
−1 .%
1.
cos x
2.

4 + ln(x +1) + x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0 .%%%

Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x 2 −3x +1; y = −4x + 3 .%Tính%
thể%tích%khối%trịn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hồnh.%%
Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z 2 %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z 2 − 2iz − 21+ i = 0 .%Tính%
2
A = z12 − z 2 .%%%

Câu%5(1,0%điểm)%Một%trị%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%trịn%được%chia%
đều%thành%10%ơ%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%

liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ơ%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%của%hai%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%
chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
Câu% 6(1,5% điểm)% Cho% hình% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% có% đáy% ABC% là% tam% giác% vng% cân% tại% A,%
BC = 2a .%Hình%chiếu%vng%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường% thẳng% A’C% và% mặt% đáy% bằng% 600.% Tính% thể% tích% khối% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% và% khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
Câu%7(3,5%điểm)%%
1. Trong% không% gian% với% hệ% toạ% độ% Oxyz% cho% điểm% A(1;0;Ç1)% và% mặt% phẳng%
(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0 .% Viết% phương% trình% đường% thẳng% d% đi% qua% A% vng% góc% với% (P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%là%
điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vng%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + 5 = 0 .%%%
⎧4x − xy 2 − x 3 = (x 2 + y 2 − 4)( x + y −1)
⎪
Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪
(x, y ∈ !) .%
⎨
⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎪
⎩
Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 .%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 .%
%
kkkHẾTkkk%
ĐÁP%ÁN%–%THANG%ĐIỂM%–%BÌNH%LUẬN%ĐỀ%01/50%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%1/9%

Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Thang%điểm%tương%ứng:%%
%
Câu%1:%1.1(2,0%điểm);%1.2%và%1.3%mỗi%ý%1,0%điểm%
Câu%2:%2.1%và%2.2%mỗi%ý%2,0%điểm%
Câu%7:%7.1(2,0%điểm);%7.2(1,5%điểm)%

2x −1
(1) .%
x −1
Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
Học%sinh%tự%làm.%
Đường%thẳng%AB%có%pt%là% y = 2 ;%trung%điểm%của%AB%là%điểm%I(3;2).%

Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y =
1.
2.
3.
1.
2.

Giả%sử%tiếp%điểm% M (m;

2m −1
1
2m −1
),m ≠1 .Tiếp%tuyến%có%dạng:% y = −
.%

(x − m) +
2
m −1
m −1
(m −1)

Để%d%cách%đều%A,B%có%2%trường%hợp:%
1
+%Nếu%d//AB%khi%đó% kd = kAB ⇔ −
= 0 (vô%nghiệm).%
(m −1) 2
1
2m −1
(3− m) +
⇔ m − 2 = 0 ⇔ m = 2 .%
2
m −1
(m −1)
Suy%ra%tiếp%tuyến%cần%tìm%là% y = −x + 5 .%%%%

+%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó% 2 = −

3. Giả%sử% M (m;

2m −1
2m −1
),m ≠1 .%Khi%đó% d(M ;Ox ) =
;d(M ;Oy) = m .%
m −1
m −1

Ta%cần%tìm%GTNN%của%biểu%thức% P =

2m −1
+ m .%
m −1

1
1
+%Nếu% m > ⇒ P > m > .%
2
2
2m −1
+%Nếu% m < 0 ⇒ P >
>1 .%
m −1
1
2m −1
m 2 + m −1 (2m −1)(m +1) 1 1
+m =
=
+ ≥ .%
+%Nếu% 0 ≤ m ≤ ⇒ P =
2
m −1
m −1
2(m −1)
2 2
⎛1 ⎞
1

⎟
So%sánh%có%giá%trị%nhỏ%nhất%bằng%½.%Dấu%bằng%xảy%ra%khi% m = ⇒ M ⎜ ;0⎟ .%%%%%
⎜
⎟
⎜2 ⎟
2
⎝
⎠

Vậy%điểm%cần%tìm%là% M (1/ 2;0) .%
Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%%
1
2 tan x(1− cos x ) =
−1 .%
1.
cos x
2.

4 + ln(x +1) + x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0 .%%%

1. Điều%kiện:% cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ k2π .%
2

Phương%trình%tương%đương%với:

2 sin x(1− cos x ) 1− cos x
.%

=
cos x
cos x

Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%2/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
⎡
⎢ x = k2π
⎢
⎡ cos x =1
⎢
⎢
π
⎢
⎢
%
⇔ (1− cos x )( 2 sin x −1) = 0 ⇔ ⎢
1 ⇔ ⎢ x = + k2π .%%
4
⎢
⎢sin x =
⎢
2
⎣
3π
⎢x =
+ k2π
⎢⎣

4
π
3π
+ k2π,k ∈ ! .%%%
Vậy%nghiệm%của%phương%trình%là% x = k2π; x = + k2π; x =
4
4
⎧ x >−1
⎪
2. Điều%kiện:% ⎪
⇔ x >−1+ e −4 .%
⎨
⎪ln(x +1) + 4 > 0
⎪
⎩

Phương%trình%tương%đương%với:% 4 + ln(x +1) + x(x −1) 2 − 2 = 0 .%
+%Nếu% x > 0 khi%đó%VT > 4 + ln(x +1) − 2 > 0 ,%pt%vơ%nghiệm.%
+%Nếu% x < 0 %khi%đó%VT ≤ 4 + ln(x +1) − 2 < 0 ,%pt%vô%nghiệm.%%%%
Nhận%thấy% x = 0 %thoả%mãn.%Vậy%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% x = 0 .%
Chú%ý.%Có%thể%giải%bằng%pp%hàm%số.%%
Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x 2 −3x +1; y = −4x + 3 .%Tính%
thể%tích%khối%trịn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hồnh.%%
⎡ x = −2
Phương%trình%hồnh%độ%giao%điểm:% x 2 −3x +1 = −4x + 3 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ ⎢
.%
⎢ x =1
⎣
Vì%vậy%%
1

1

V = π ∫ (x −3x +1) −(−4x + 3) dx = π ∫ (x −1)(x + 2)(x 2 −7x + 4) dx
2

2

2

−2

−2

7− 33
2

=π

∫

.%%%

−(x −1)(x + 2)(x 2 −7x + 4)dx +

−2

⎛ 7856 847 33 ⎞
⎟
⎜

⎟
(x −1)(x + 2)(x 2 −7x + 4)dx = ⎜
⎜ 15 − 10 ⎟ π
∫
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
7− 33
1

2

Chú%ý.%Thể%tích%khối%trịn%xoay%sinh%ra%khi%quay%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%đồ%thị%của%hai%hàm%số%
y = f (x ); y = g(x ) và%các%đường%thẳng% x = a; x = b(a < b) được%tính%theo%cơng%thức%
b

%

V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx .%
a

b

Nhiều%học%sinh%mắc%sai%lầm%khi%sử%dụng%công%thức%tự%chế%V = π ∫ ( f (x ) − g(x )) 2 dx .%Các%em%
a

cần%chú%ý.%%%%%
Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z 2 %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z 2 − 2iz − 21+ i = 0 .%Tính%

2
A = z12 − z 2 .%%%

Ta%có% Δ' = i 2 −(1+ i)(−21+ i) = 21+ 20i = (5 + 2i) 2 .%
Suy%ra% z = −3+ 2i; z = 4 −i .%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%3/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Vì%vậy% A = (−3+ 2i) 2 −(4 −i) 2 = (5−12i) −(15−8i) = 10 + 4i = 2 29 .%%%%
Chú%ý.%Một%số%học%sinh%tính%tốn%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%tốn%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.%
Câu%5(1,0%điểm)%Một%trị%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%trịn%được%chia%
đều%thành%10%ơ%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ơ%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%
hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
+%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trị%chơi%là% 10.10 =100 .%%
+%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%
Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số%
(3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số%
(%2,5,8).%Vậy%có%các%khả%năng%sau:%
+%Cả%2%lần%kim%quay%đều%chỉ%số%loại%I%có%3.3=9%cách.%
+%Có%1%lần%quay%chỉ%số%loại%II%và%1%lần%quay%chỉ%số%loại%III%có%2!.4.3=24%cách.%
Vậy%số%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3%là%
9+24=33%cách.%
Vậy%xác%suất%cần%tính%là% P = 33/100 = 0,33 .%%%
Chú%ý.%Có%thể%giải%bằng%cách%liệt%kê%số%phần%tử.%Xem%thêm%bình%luận%cuối%đề.%%
Câu%6(1,5%điểm)%Cho%hình%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%có%đáy%ABC%là%tam%giác%vng%cân%tại%A,%
BC = 2a .%Hình%chiếu%vng%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%600.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%

cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có%
A' H ⊥ (ABC ) .%
Tam%giác%ABC%vng%cân%tại%A,%suy%ra% AB = AC = a 2 .%
Tam%giác%AHC%vng%có:%
% HC = AC 2 + AH 2 = 2a 2 +

a 2 a 10
=
.%%
2
2

!
Có%HC%là%hình%chiếu%của%A’C%trên%(ABC)%nên% A'CH = 600 .%

Suy%ra% A' H = HC.tan 600 =

a 30
.%
2

%
a 30 1
a 3 30
Vì%vậy%VABC .A' B 'C = A' H .S ABC =
(đvtt).%%%%
. .(a 2) 2 =
2 2
2

Kẻ%HK%vng%góc%với%AA’%tại%K%có% AC ⊥ (ABB ' A') ⇒ AC ⊥ HK .%
Suy%ra% HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d(H ;(ACC ' A')) .%
Ta%có%

1
1
1
2
2
a 30
=
+
= 2+
⇒ HK =
.%
2
2
2
2
8
HK
AH
A' H
a
15a

Vì%vậy% d(B;(ACC ' A')) =

BA
a 30

.d(H ;(ACC ' A')) = 2HK =
.%%%%%
HA
4

Câu%7(3,5%điểm)%%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%4/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
1. Trong%khơng%gian%với%hệ%toạ%độ%Oxyz%cho%điểm%A(1;0;Ç1)%và%mặt%phẳng%
(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0 .%Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vng%góc%với%(P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%hệ%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%
là%điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vng%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + 5 = 0 .%%%%%%
!
1. Đường%thẳng%d%vng%góc%với%(P)%nên%d%nhân%vtpt% n = (2;2;−1) %của%(P)%làm%véc%tơ%chỉ%
⎧ x =1+ 2t
⎪
⎪
⎪
(t ∈ !) .%
phương.%%Vì%vậy% d : ⎪ y = 2t
⎨
⎪
⎪ z = −1−t
⎪
⎪
⎩

Thay%x,y,z%từ%phương%trình%của%d%vào%pt%của%(P)%ta%được:%
%
2(1+ 2t ) + 2.2t −(−1−t ) −12 = 0 ⇔ 9t −9 = 0 ⇔ t =1 .%
Suy%ra%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P)%là%điểm%H(3;2;Ç2).%
2.%Gọi% C (t;−2t −5) .%Gọi%I%là%tâm%hình%chữ%nhật%ABCD,%suy%ra%I%là%
trung%điểm%của%AC%và%BD.%
⎛ t − 4 −2t + 3 ⎞
⎟ .%Tam%giác%BDN%vng%tại%N%có%I%là%trung%
⎟
Do%đó% I ⎜
;
⎜
⎟
⎜ 2
2 ⎟
⎝
⎠

BD
= IB = IA .%
2
2
2
2
2
⎛ 83 t − 4 ⎞ ⎛ 1 −2t + 3 ⎞ ⎛
⎟ + ⎜− −
⎟ = ⎜−4 − t − 4 ⎞ + ⎛8− −2t + 3 ⎞ ⇔ t =1 .%
⎟ ⎜
⎟

⎜ −
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
Ta%có%pt:% ⎜
⎜ 13
⎟ ⎝
⎟ ⎝
⎟ ⎝
⎟
2 ⎟ ⎜ 13
2 ⎟ ⎜
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝
⎠
⎠
⎠
⎠
%

điểm%BD%nên% IN =

⎛ 3 1⎞
⎟
Suy%ra% I ⎜− ; ⎟;C (1;−7) .%
⎜
⎜ 2 2⎟
⎟

⎝
⎠
!!!"
!!!
"
Gọi%B(a;b)%ta%có% CM = 2BC = 2(1−a;−7−b) ⇒ M (3− 2a;−21− 2b) .%
!!! ⎛ 83−13a 1+13b ⎞ !!!! ⎛ 44 + 26a 272 + 26b ⎞
"
"
⎟,MN = ⎜
⎟ .%
⎟
⎟
Ta%có% BN = ⎜
;−
;
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜ 13
⎜ 13
13 ⎟
13
⎝
⎠
⎝
⎠

Do%BN%vng%góc%với%MN%nên:%
!!! !!!!
"
"
BN .MN = 0 ⇔ (83−13a)(44 + 26a) −(1+13b)(272 + 26b) = 0 (1) .%
2

2

125 ⎛
3⎞ ⎛
1 ⎞ 125
⎟ ⎜
⎟
Mặt%khác:% IB = IC =
⇔ ⎜a + ⎟ + ⎜b − ⎟ =
(2) .%%%%%%%%
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟
2
2⎟ ⎝
2⎟
2
⎝
⎠
⎠
2

2

Từ%(1)%và%(2)%ta%có:%

⎡a = −4,b = −7
⎧a 2 + b 2 + 3a −b = 60
⎧2a −3b =13
⎢
⎪
⎪
⎪
⎪
%
.%
⇔⎨ 2
⇔⎢
⎨
2
2
2
⎪13(a + b ) −61a +137b −130 = 0 ⎪a + b + 3a −b = 60 ⎢a = 83 ,b = − 1
⎪
⎪
⎩
⎩
⎢⎣
13
13
Đối%chiếu%B%khác%N%suy%ra%B(Ç4;Ç7).%%%%
⎧

⎪4x − xy 2 − x 3 = (x 2 + y 2 − 4)( x + y −1)
Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪
.%
⎨
⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎪
⎩
Điều%kiện:% x ≥ 0; y ≥1 .%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%5/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Phương%trình%thứ%nhất%của%hệ%tương%đương%với:%

⎡ x + x + y −1 = 0
.%
( x + y −1 + x )(x 2 + y 2 − 4) = 0 ⇔ ⎢⎢
⎢⎣ x 2 + y 2 = 4
⎧x = 0
⎪
+%Với% x + x + y −1 = 0 ⇔ ⎪
(thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).%
⎨
⎪ y =1
⎪
⎩
⎧
⎪x 2 + y 2 = 4
+%Với% x 2 + y 2 = 4 %ta%có%hệ%phương%trình% ⎪
(1) .%

⎨
⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎪
⎩
%
Viết%lại%pt%thứ%hai%của%hệ%dưới%dạng:%

%

( y 2 −1)x 3 −( y 3 −1)x 2 + y 3 − y 2 − 4 = 0
⇔ ( y 2 −1)x 2 −( y 3 −1)(4 − y 2 ) + y 3 − y 2 − 4 = 0
⇔ ( y 2 −1)x 3 + y 2 ( y − 2)( y +1) 2 = 0
⇔ ( y 2 −1)(4 − y 2 )x + y 2 ( y − 2)( y +1) 2 = 0
.%
⇔ ( y +1)( y − 2) ⎡⎢ y 2 ( y +1) −( y −1)( y + 2)x ⎤⎥ = 0
⎣
⎦
⎡ y = −1(l )
⎢
⇔ ⎢⎢ y = 2(t / m) ⇒ x = 0
⎢ y 2 ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x
⎢⎣

%

Ta%xét%phương%trình:% y 2 ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⇔ y 2 ( y +1) = ( y −1)( y + 2) 4 − y 2 .%
Mặt%khác: 1≤ y ≤ 2 %suy%ra%:%%
y 2 = y 2 + y − 2 + (2− y) ≥ y 2 + y − 2;

%

y +1 = y 2 + 2y +1 = (4 − y 2 ) + (2y 2 + 2y −3) > 4 − y 2

.%

Suy%ra%VT >VP .Tức%phương%trình%trên%vơ%nghiệm.%%%
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) .%%
Chú%ý.%Ta%có%thể%giải%(1)%bằng%2%cách%khác%sau:%
Cách%2:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ 0 .%
Khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:%
VT = ( y −1) ⎡⎢(xy + x + y)(x 2 − xy − x + y)⎤⎥
⎣
⎦
%

≤

4( y −1) 2 .(5−( y −1) 2 ) 4
( y −1)(x 2 + 2y) 2 ( y −1)(4 − y 2 + 2y) 2
.%
=
=
4
4
8
5

≤

⎛ 4( y −1) 2 + 4(5−( y −1) 2 ) ⎞

⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
5
⎝
⎠
8

=4

⎧4( y −1) 2 = 5−( y −1) 2
⎪
⎪
⎪
Đẳng%thức%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪ x 2 − xy − x + y = xy + x + y ⇔ x = 0; y = 2 .%%
⎨
⎪ 2
⎪x + y 2 = 4
⎪
⎪
⎩
( y −1)(4 − y 2 + 2y) 2
≤ 4 bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc%
Chú%ý.%Bước%cuối%có%thể%chứng%minh%
4

hàm%số.%%%

Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%6/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
⎡ x ≥ y ≥1
Cách%3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ 0 ⇔ ⎢
.%
⎢ x ≤1≤ y
⎣
TH1:%Nếu% x ≥ y ≥1 %khi%đó%sử%dụng%AM%–GM%ta%có:%
2

2
⎛ x − y + y −1⎞
⎟ = (x −1) .%
⎟
(x − y)( y −1) ≤ ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
2
4
⎝
⎠

(x −1)3
(xy + x + y) .%

4
Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:%
1
(x − y) 2 + ( y −1) 2 ≥ (x −1) 2
2
3
⇒ (x −1) 2 ≤ (x −1) 2 + (x − y) 2 + ( y −1) 2 =10− 2(x + y + xy) .%
2
4
⇒ (x −1) 2 ≤ (5− xy − x − y)
3
2
2
Đặt% t = x + y + xy ≤ x + y +1 = 5 ⇒ t ∈ ⎡⎢⎣3;5⎤⎥⎦ .%
Suy%ra% P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤

(x −1)6
43 (5−t )3 2 4t 2 (5−t )3
(xy + x + y) 2 ≤. 3
t =
.%
16
16
27
3
4t 2 (5−t )3
Xét%hàm%số% f (t ) =
%trên%đoạn%[3;5]%ta%có:%
27
20t(t − 2)(t −5) 2

32
f '(t ) = −
< 0 ⇒ f (t ) ≤ f (3) = <16 .%
27
3
Suy%ra% P < 4 %(mẫu%thuẫn%với%phương%trình%thứ%hai%của%hệ)%vậy%trường%hợp%này%vơ%nghiệm.%
TH2:%Nếu% y ≥1≥ x %khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:%
Khi%đó% P 2 ≤

2

⎛ y−x⎞
⎟ .%
⎟
( y −1)(1− x ) ≤ ⎜
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠

%
Lập%luận%tương%tự%trên%ta%có:%

( y − x )6
4t 2 (5−t )3
(xy + x + y) ≤
,t = xy + x + y ∈ ⎡⎢⎣1;3⎤⎥⎦ .%
16
27

4t 2 (5−t )3
; f max = f (2) =16 .%
Xét%hàm%trên%đoạn%[1;3]%ta%có% f (t ) =
27
⎧t = xy + x + y = 2
⎪
⎪
⎧x = 0
⎪
⎪
2
⇔⎪
Tức%là% P ≤16 ⇒ P ≤ 4 .%Dấu%bằng%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪ y −1 =1− x
.%%%%%%%%
⎨
⎨
⎪ 2
⎪y = 2
⎪x + y 2 = 4
⎪
⎩
⎪
⎪
⎩
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) .%%%%
%

P2 ≤

Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 .%

Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 .%
Ta%có%%

Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%7/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%

P = (a −b)(b − c)(c −a)(a 3 + b 3 + c 3 + ab(a + b) + bc(c + a) + ca(c + a) −9abc)
⎡1
⎤
2
= (a −b)(b − c)(c −a) ⎢ (a + b + c)3 + (a 3 + b 3 + c 3 ) −11abc ⎥
.%
⎢3
⎥
3
⎣
⎦
⎡2
1⎤
= (a −b)(b − c)(c −a) ⎢ (a 3 + b 3 + c 3 ) −11abc + ⎥
⎢3
3 ⎥⎦
⎣

Trước%tiên%chuyển%về%biểu%thức%đối%xứng%3%biến%để%dễ%xử%lý.%
Lấy%trị%tuyệt%đối%ta%được:%
2
1

P = (a −b)(b − c)(c −a) . (a 3 + b 3 + c 3 ) + −11abc
3
3
2
1
≤ (a −b)(b − c)(c −a) . (a 3 + b 3 + c 3 ) +
3
3

.%

Bởi%vì%%
3

⎛a + b + c ⎞
⎟ = 1 ;
⎟
0 ≤ abc ≤ ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
3
27
⎝
⎠

.%
2 3
1

2
1
1
(a + b 3 + c 3 ) + −11abc ≥ .3abc + −11abc = −9abc ≥ 0
3
3
3
3
3
Ta%đi%tìm%giá%trị%lớn%nhất%của% P %khi%đó%a,b,c%vai%trị%như%nhau%kết%hợp%với%giả%thiết%nên%ta%có%
thể%giả%sử% a ≥ b ≥ c .%
(a −b)(b − c)(a − c) ⎡ 3
2(a + b 3 + c 3 ) +1⎤⎥ .%
Khi%đó% P ≤
⎣⎢
⎦
3
+%Ta%có%các%đánh%giá%cơ%bản:%
(a −b)(b − c)(a − c) ≤ ab(a −b) ≤ b(1−b)(1− 2b);

2(a 3 + b 3 + c 3 ) = 2b 3 + 2(a 3 + c 3 ) ≤ 2b 3 + 2(a + c)3 = 2b 3 + 2(1−b)3

%

Suy%ra%%

b(1−b)(1− 2b)(2b 3 + 2(1−b)3 +1) b(1−b)(1− 2b)(2b 2 − 2b +1)
=
.%
3

3
⎡ 1⎤
Chú%ý.%Điều%kiện% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 ⇒ b ∈ ⎢0; ⎥ .%
⎢ 8⎥
⎣
⎦
2
b(1−b)(1− 2b)(2b − 2b +1)
Xét%hàm%số% f (b) =
trên%đoạn%[0;1/8]%ta%có%
3
f '(b) = 20b 4 − 40b 3 + 30b 2 −10b +1;
⎡ 1 ⎤ .%
%
f ''(b) = 80b 3 −120b 2 + 60b −10 = 40b 2 (2b −3) +10(6b −1) < 0,∀b ∈ ⎢0; ⎥
⎢ 8⎥
⎣ ⎦
⎛ 1 ⎞ 149
Suy%ra% f '(b) ≥ f ⎜ ⎟ =
> 0 .%Vì%vậy%f(b)%đồng%biến%trên%đoạn%[0;1/8]%.%%
⎜ ⎟
⎜ 8 ⎟ 1024
⎝ ⎟
⎠
P ≤

⎛ 1 ⎞ 525
1
7
525

525
Suy%ra% P ≤ f ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎟ 8192 ⇔ − 8192 ≤ P ≤ 8192 .%Dấu%bằng%đạt%tại% b = 8 ;c = 0;a = 8 .%
⎜8⎟
⎝ ⎠

Vậy%giá%trị%nhỏ%nhất%của%P%bằng%Ç525/8192.%%
Chú%ý.%Câu%hỏi%đặt%ra%là%tại%sao%phân%tích%được%P%như%trên.%Nhận%thấy%khi% a = b = c ⇒ P = 0 .%
Do%đó%P%có%các%nhân%tử% (a −b)(b − c)(c −a) .%Nói%thêm%có%thể%khơng%cần%điều%kiện%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%8/9%


Khố%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Mơn%Tốn%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%

a ≥ 7.max {b,c } .%Việc%chặn%thêm%điều%kiện%này%chỉ%nhằm%mục%đính%bài%tốn%có%kết%quả%đẹp.%
Dạng%tốn%này%bạn%đọc%tham%khảo%cuốn%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$tốn$Min8Max”%
cùng%tác%giả.%Để%rèn%luyện%bạn%đọc%thử%sức%với%bài%tốn%mức%độ%vừa%phải%%sau%
Bài%tốn.%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%khơng%âm%thoả%mãn% a + b + c =1 .%Tìm%giá%trị%lớn%nhất%và%nhỏ%
nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)3 + b(c −a)3 + c(a −b)3 .%%
Đánh%giá%chung%về%đề%thi%và%bài%làm%của%học%sinh%cho%đề%số%01/50:%%
Lưu$ý:%Phần%đánh%giá%này%dựa%vào%phản%hồi%của%học%sinh%khi%làm%bài.%
Đề%thi%ở%mức%tương%đối%khó%với%đa%số%thí%sinh%và%nếu%khơng%có%cách%trình%bày%tốt%sẽ%
khơng%có%đủ%thời%gian%để%làm%các%câu%khó.%Các%câu%từ%câu%1%đến%7.1%đề%cho%mức%độ%vừa%phải%
riêng%có%câu%1.3%;%câu%2.2%và%câu%5%địi%hỏi%tư%duy.%Với%câu%2.2%cần%so%sánh%nghiệm%với%0%(có%thể%
xét%hàm%số%tuy%nhiên%dài).%Câu%5%địi%hỏi%các%em%phải%tư%duy%phân%chia%tập%hợp%10%số%thành%3%
loại%%với%số%dư%khi%chia%cho%3.%Chú%ý%nếu%u%cầu%thay%đổi%chia%cho%m%thì%ta%phân%chia%tập%hợp%
thành%các%loại%với%số%dư%khi%chia%cho%m%(có%thể%giải%bằng%pp%liệt%kê%số%kết%quả%Ç%tuy%nhiên%khi%
tăng%số%lần%quay%lên%3,4,…%lần%thì%sẽ%dài%thì%theo%lời%giải%trên%ta%có%cách%giải%tối%ưu)%.%Đây%là%
một%bài%tốn%cũng%tương%tự%như%khi%tung%đồng%thời%các%con%xúc%sắc%vậy.%Tuy%nhiên%thầy%thấy%

một%số%bạn%trình%bày%cách%dài%do%vậy%chiếm%phần%lớn%thời%gian%để%giải%quyết%các%câu%này%mà%
chưa%có%thời%gian%tập%trung%suy%nghĩ%các%bài%khó%từ%(7.2%đến%9).%Câu%7.2%nút%thắt%quan%trọng%
của%bài%tốn%là%phát%hiện%IN=IA.%Câu%số%8%về%hệ%phương%trình%sẽ%khá%lạ%với%nhiều%bạn.%Hầu%
hết%tìm%được%x^2+y^2=4%từ%phương%trình%đầu%tuy%nhiên%khơng%xử%lý%được%vế%cịn%lại(chiếm%
80%%số%điểm%của%câu%hỏi)%–%Bằng%kỹ%năng%biến%đổi%kết%hợp%đánh%giá%cơ%bản%ta%có%kết%quả%bài%
tốn.%Chú%ý%thêm%câu%8%là%điều%kiện%x>=0%và%y>=1%là%cần%thiết%để%hồn%thiện%lời%giải%cho%hệ%
(1).%Riêng%câu%số%3%một%số%bạn%mắc%sai%lầm%ở%cơng%thức%tính%thể%tích%khối%trịn%xoay%về%điểm%
này%các%em%cần%lưu%ý.%Câu%9%thầy%xuất%phát%từ%một%ý%tưởng%cũ%+%bài%tốn%mới%tuy%nhiên%địi%
hỏi%khéo%léo%trong%q%trình%tiếp%cận%và%hiểu%đề%đến%trình%bày%lời%giải.%%
Cấu%trúc%đề%cho%đề%số%01/50%
Nhận%biết,%thơng%hiểu:%Câu%1.1;1.2;2.1;3;4(chiếm%8%điểm/20%điểm%=40%)%
Vận%dụng:%1.3;%2.2;%5;%6;%7.1%(7,5%điểm/20%điểm%=37,5%)%
Vận%dụng%cao:%7.2;8;9%(4,5%điểm/20%điểm%=22,5%)%
Thầy%dự%đốn%mức%độ%nhận%biết,%thơng%hiểu%năm%nay%chiếm%50S60%.%Tuy%nhiên%vì%là%đề%luyện%nên%
thầy%sẽ%giữ%ở%mức%độ%cao%hơn%một%chút%khoảng%40S50%.%
Mức%điểm%trong%khoảng%14k16%điểm%sẽ%đạt%u%cầu.%
%
Qua%đây%có%một%kinh%nghiệm%là%các%loại%tốn%quen%thuộc%các%em%cố%gắng%hồn%thiện%
lời%giải%theo%hướng%tối%ưu%để%tiết%kiệm%thời%gian%làm%bài.%Để%làm%được%điều%này%địi%hỏi%các%
em%cần%rèn%luyện%ngay%từ%bây%giờ%bằng%cách%giải%chi%tiết%+%suy%nghĩ%mở%rộng%các%hướng%có%
thể%tiếp%cận%bài%tốn%+%theo%dõi%khố%học%sát%sao%để%giải%đề%ngay%khi%đề%được%phát%hành%với%
việc%căn%thời%gian%làm%bài%đúng%180%phút.%Sau%đó%so%sánh%đáp%án%chi%tiết%kèm%Video%thầy%
phát%hành%sau%đó!%%%%
Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$
Thân$ái!$
Đơng$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$
Đặng$Thành$Nam$

Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%9/9%

Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Khoá  giải  đề  THPT  Quốc  Gia  –  Thầy:  Đặng  Thành  Nam  
Mơn:  Tốn;  ĐỀ  SỐ  02/50  
Ngày  thi  :  25/01/2015  
Thời  gian  làm  bài:  180  phút,  không  kể  thời  gian  giao  đề  
Liên  hệ  đăng  ký  khoá  học  –  Hotline:  0976  266  202    
Câu  1  (2,0  điểm).  Cho  hàm  số   y = 2x 3 −3x 2 +1 (1) .  
1. Khảo   sát   sự   biến   thiên   và   vẽ   đồ   thị   hàm   số   (1).   Gọi   A,B   là   2   điểm   cực   trị   của   (1).   Chứng  
minh  rằng  tam  giác  AOB  vuông  cân  (với  O  là  gốc  toạ  độ).  
2. Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  tiếp  xúc  với  (1)  tại  điểm  có  hồnh  độ   x1 > 0  và  cắt  (1)  tại  
điểm  có  hồnh  độ   x 2 thoả  mãn   2x1 x 2 = −1 .  
Câu  2  (1,0  điểm).  Giải  các  phương  trình    
1
1. log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2 .  
2
2. 2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0 .  
π
2

Câu  3  (1,0  điểm).  Tính  tích  phân   I = ∫
0

sin 3x
dx .  
1+ cos x

Câu  4  (1,0  điểm).    
1. Cho  số  phức  z  thoả  mãn   (1+ i).z + i.z −1−3i = 0 .  Viết   z 3  dưới  dạng  lượng  giác.  

1
2. Tìm  giá  trị  lớn  nhất  và  nhỏ  nhất  của  hàm  số   y = − x 2 + ln(x +1) trên  [0;2].  
4
Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC  và  tam  giác  
SBC  vng.  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC.          
Câu  6(1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  mặt  phẳng   (P ) : x + y − z +1 = 0 và  
đường   thẳng   d :

x − 2 y −1 z −1
=
=
.   Tìm   toạ   độ   giao   điểm   I   của   d   và   (P).   Viết   phương   trình  
1
−1
−3

7 3
.d(H ;(P )) .          
9
Câu  7  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  phân  
giác   trong   góc   A   là   y −3 = 0 .   Gọi   M (1;4), N (3;1) lần   lượt   là   các   điểm   thuộc   các   đường   thẳng  
⎛11 8 ⎞
⎟
AB,AC.  Tìm  toạ  độ  các  điểm  B,C  biết  trọng  tâm  tam  giác  ABC  là  điểm   G ⎜ ; ⎟ .          
⎜
⎜ 3 3⎟
⎟
⎝
⎠

đường  thẳng  d’  vng  góc  với  (P)  và  cắt  d  tại  H  sao  cho   IH =

⎧ x (3− y) + y − 2x =1
⎪
⎪
Câu  8  (1,0  điểm).  Giải  hệ  phương  trình   ⎨
.  
⎪ x 2 −( x − 2y)x = 5− 2y + 3
⎪
⎪
⎩
Câu   9   (1,0   điểm).   Cho   a,b,c   là   các   số   thực   thoả   mãn   a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ;a + b + c = 3 .   Tìm   giá   trị   nhỏ  

nhất  của  biểu  thức   P =

2
a3 + b 3 + c 3
−
.  
11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 5
-­‐‑-­‐‑-­‐‑HẾT-­‐‑-­‐‑-­‐‑  
 

Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

Page  1  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    

Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN
Thang  điểm  tương  ứng:    
Câu  1:  1.1(1,5  điểm);  1.2  (0,5  điểm)  
Câu  2:  2.1  và  2.2  mỗi  ý  0,5  điểm  
Câu  4:  4.1;  4.2  mỗi  ý  (0,5  điểm)  
Câu  1  (2,0  điểm).  Cho  hàm  số   y = 2x 3 −3x 2 +1 (1) .  
1. Khảo   sát   sự   biến   thiên   và   vẽ   đồ   thị   hàm   số   (1).   Gọi   A,B   là   2   điểm   cực   trị   của   (1).   Chứng  
minh  rằng  tam  giác  AOB  vuông  cân  (với  O  là  gốc  toạ  độ).  
2. Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  tiếp  xúc  với  (1)  tại  điểm  có  hồnh  độ   x1 > 0  và  cắt  (1)  tại  
điểm  có  hồnh  độ   x 2 thoả  mãn   x1 x 2 = −1/ 2 .  
1. Bước  khảo  sát  vẽ  đồ  thị  học  sinh  tự  làm.  
+  Hai  điểm  cực  trị  của  hàm  số  là   A(0;1), B(1;0) ⇒ A ∈ Oy, B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB =1 .  
Vậy  tam  giác  AOB  vuông  cân  tại  O  (đpcm).  
2. Phương  trình  đường  thẳng  d  là  tiếp  tuyến  của  (1)  tại  điểm   x1 .  
Suy  ra   d : y = 6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 .  
Phương  trình  hồnh  độ  giao  điểm  của  d  và  (1):  
6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 = 2x 3 −3x 2 +1
⇔ 2(x 3 − x13 ) −3(x 2 − x12 ) −6(x12 − x1 )(x − x1 )= 0
⇔ (x − x1 )(2x 2 + (2x1 −3)x − 4x12 + 3x1 ) = 0
.  
⎡x = x
1
⎢
⇔ (x − x1 ) 2 (2x + 4x1 −3) = 0 ⇔ ⎢
⎢ x = 3− 4x1
⎢
2
⎣

3− 4x1
1
; x1 ≠ x 2 ⇔ x1 ≠ .  
Ta  phải  có   x 2 =
2
2
Theo  giả  thiết  ta  có:  
⎡ x =1(t / m)
⎢ 1
3− 4x1
1
2
 
.  
x1 .
= − ⇔ 4x1 −3x1 −1 = 0 ⇔ ⎢
⎢ x = − 1 (l )
2
2
⎢ 1
4
⎣
Suy  ra  tiếp  điểm  M(1;0)  và  có  đường  thẳng  d  cần  tìm  là  tiếp  tuyến  của  (1)  tại  M  suy  ra  d: y = 0 .        

 

Câu  2  (1,0  điểm).  Giải  các  phương  trình    
1
1. log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2 .  
2

2. 2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0 .  
⎧ x 2 −1> 0
⎪
⎪
⎡1< x ≠ 2
⎪
1. Điều  kiện:   ⎪ x +1 ≠ 0 ⇔ ⎢
.  
⎨
⎢ x <−1
⎪
⎪x − 2 ≠ 0
⎣
⎪
⎪
⎩
Phương  trình  tương  đương  với:  

Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

Page  2  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
1
log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2
2
2

x −1
x −1
⇔ log 2
= log 2 x − 2 ⇔ log 2
= log 2 x − 2 .  
2
x +1
(x +1)
⎡⎪ x > 2
⎧
⎢⎪
⎢⎪ x −1
⎡x = − 3
⎢⎨
⎪
⎢
= x −2
⎢⎪ x +1
⎢
x −1
⎪
⎩
⎢⎪
⇔
= x −2 ⇔ ⎢
⇔ ⎢x = 3
⎢
x +1
⎪
⎢⎧ x < 2

⎪
⎢ x =1+ 2
⎢⎪
⎢⎨ x −1 = −x + 2 ⎢⎣
⎢⎪
⎪
⎪
⎢⎣⎩ x +1
⎪
Vậy  phương  trình  có  nghiệm  là   x = − 3; x = 3; x =1+ 2 .    
2. Điều  kiện:   sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ! .  
Phương  trình  tương  đương  với:  
cos x
2(1+ sin x ) + 3.
= 0 ⇔ 2sin x(1+ sin x ) = − 3 cos x
sin x
⇒ 4sin 2 x(1+ sin x ) 2 = 3cos2 x = 3(1−sin 2 x )
 

⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin 2 x + 3sin x + 3) = 0
⎡
⎢ x = − π + k2π
⎢
2
⎡sin x = −1 ⎢
⎢
⎢
π
⇔⎢
1 ⇔ ⎢⎢ x = + k2π

⎢sin x =
6
⎢⎣
⎢
2
5π
⎢
+ k2π
⎢x =
6
⎢⎣

.  

π
5π
+ k2π .    
Thử  lại  chỉ  nhận  nghiệm   x = − + k2π; x =
2
6
π
5π
+ k2π,k ∈ ! .    
Vậy  phương  trình  có  nghiệm  là   x = − + k2π; x =
2
6
Chú  ý.  Có  thể  đưa  về  pt  với  tan(x/2)  như  sau:  
2

⎛

x
x⎛ x
x⎞
x
x⎞
⎟
⎟
4sin cos ⎜sin + cos ⎟ + 3 ⎜cos2 −sin 2 ⎟ = 0
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
2
2⎜ 2
2⎟
2
2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
2

 

⎞
⎛
x⎛
x

x
x
x ⎞
⎟
⎟
⇔ 4 tan ⎜tan +1⎟ + 3 ⎜1+ tan 2 − tan 2 (1+ tan 2 )⎟ = 0
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
2⎜
2
2
2
2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

.    

x
x
π
5π
= −1;tan = 2 + 3 ⇔ x = − + k2π; x =
+ k2π,k ∈ !

2
2
2
6
Nhận  xét.  Phương  trình  lượng  giác  hình  thức  khá  đơn  giản  nhưng  địi  hỏi  kỹ  năng  xử  lý  nhất  
định.  Trong  trường  hợp  phương  trình  chỉ  có  sinx,  cosx  mà  khơng  phân  tích  được  thành  nhân  
tử  có  thể  bình  phương  hai  vế  để  đưa  về  phương  trình  đa  thức  một  ẩn  (của  sinx  hoặc  của  cosx).  
⇔ tan

π
2

Câu  3  (1,0  điểm).  Tính  tích  phân   I = ∫
0

Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

sin 3x
dx .  
1+ cos x

Page  3  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
π
2

Ta  có  :   I = ∫
0

π
2

3

2

3sin x − 4sin x
sin x(3− 4sin x )
sin x(4 cos2 x −1)
dx = ∫
dx = ∫
dx .  
1+ cos x
1+ cos x
1+ cos x
0
0

Đặt  !t = cos x ⇒ dt = − sin xdx  và  khi  đó  
1

 

π
2

I=∫

!
Câu  4  (1,0  điểm).    

0

(

4t 2 − 1
t+1

1

dt = ∫
0

4(t 2 − 1) + 3
t+1

)

1
⎛
3 ⎞
dt = ∫ ⎜ 4(t − 1) +
⎟ dt
t + 1⎠
0⎝

1
= 2t − 4t + 3ln t + 1 = −2 + 3ln 2
0
2

.      

1. Cho  số  phức  z  thoả  mãn   (1+ i).z + i.z −1−3i = 0 .  Viết   z 3  dưới  dạng  lượng  giác.  

1
2. Tìm  giá  trị  lớn  nhất  và  nhỏ  nhất  của  hàm  số   y = − x 2 + ln(x +1) trên  [0;2].  
4
1.  Giả  sử   z = x + y.i(x, y ∈ !) theo  giả  thiết  ta  có:  
(1+ i)(x + yi) + i.(x − yi) −1−3i = 0
⎧ x −1 = 0
⎧ x =1
⎪
⎪
 
.  
⇔ x −1+ (2x + y −3)i = 0 ⇔ ⎪
⇔⎪
⇒ z =1+ i
⎨
⎨
⎪2x + y −3 = 0 ⎪ y =1
⎪
⎪
⎩
⎩

⎛ 1
⎞
⎛
1 ⎟
3π
3π ⎞
⎟
Vì  vậy   z 3 = (1+ i)3 = −2 + 2i = 2 2 ⎜−
+
i ⎟ = 2 2 ⎜cos + i sin ⎟ .    
⎜
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
4
4⎟
⎝
⎠
⎝
2
2 ⎠
⎡ x =1∈ ⎡0;2⎤
x
1
⎢⎣ ⎥⎦
⎢

; y ' = 0 ⇔ 2− x(x +1) = 0 ⇔ ⎢
2.  Ta  có:   y ' = − +
.  
2 x +1
⎢ x = −2 ∉ ⎡⎢0;2⎤⎥
⎣ ⎦
⎣
1
Tính  được:   y(0) = 0; y(1) = ln 2− ; y(2) = ln 3−1 .  
4
1
Vì  vậy   ymax = y(1) = ln 2− ; ymin = y(0) = 0 .  
4
Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC  và  tam  giác  
SBC  vng.  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC.          
Ta  có   AB 2 + AC 2 = BC 2 = 4a 2 nên  tam  giác  ABC  vuông  tại  
A.  
Mặt  khác  do   SA = SB = SC nên  S  nằm  trên  đường  thẳng  
đi  qua  tâm  đường  trịn  ngoại  tiếp  tam  giác  ABC  và  vng  
góc  với  mặt  đáy  (ABC).  
Gọi  H  là  trung  điểm  cạnh  BC,  thì  H  là  tâm  đường  trịn  
ngoại  tiếp  tam  giác  ABC.  Suy  ra   SH ⊥ (ABC ) .  
Tam  giác  SBC  vuông  nên   SH =

BC
= a .  
2

1
1 1

a3 3
 Vì  vậy  V
= SH .S ABC = .a. a.a. 3 =
(đvtt).        
S .ABC
3
3 2
6

Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

Page  4  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Kẻ  Ax  song  song  với  BC  và  kẻ  HK  vng  góc  với  Ax  tại  K;  kẻ  HT  vng  góc  với  SK  tại  T  dễ  có  
AB.AC a.a 3 a 3
=
=
.  
BC
2a
2
Chú  ý.   BC / /Ax ⇒ d(BC;SA) = d(BC;(SAK )) = d(H ;(SAK )) = HT .  

HT ⊥ (SAK )  .  Kẻ  AI  vng  góc  với  BC  tại  I.  Ta  có   HK = AI =

Tam  giác  vng  SHK  có  

1
1
1
4
1
a 21
=
+
= 2 + 2 ⇒ HT =
.  
2
2
2
7
HT
HK
SH
3a
a

a 21
.        
7
Câu   6   (1,0   điểm).   Trong   không   gian   với   trục   toạ   độ   Oxyz   cho   mặt   phẳng  
x − 2 y −1 z −1
=
=
.   Tìm   toạ   độ   giao   điểm   I   của   d   và  
(P ) : x + y − z +1 = 0 và   đường   thẳng   d :

1
−1
−3
(P).   Viết   phương   trình   đường   thẳng   d’   vng   góc   với   (P)   và   cắt   d   tại   H   sao   cho  
Vì  vậy   d(BC;SA) =

7 3
.d(H ;(P )) .          
9
Toạ  độ  điểm  I  là  nghiệm  của  hệ:  
⎧ x + y − z +1 = 0
⎧ x =1
⎪
⎪
⎧
⎪ x + y − z +1 = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪−(x − 2) −( y −1) = 0 ⇔ ⎪ y = 2 .  
⎪
⎨ x − 2 y −1 z −1 ⇔ ⎨
⎨
⎪
⎪
=
=
⎪

⎪−3(x − 2) −(z −1) = 0 ⎪ z = 4
⎪
⎪
⎪
⎪
−1
−3
⎩ 1
⎪
⎪
⎩
⎩
IH =

Vậy  I(1;2;4).  

⎧x = 2 + t
⎪
⎪
⎪
Chuyển  d  về  dạng  tham  số   d : ⎪ y =1−t ⇒ H (2 + t;1−t;1−3t ) .  
⎨
⎪
⎪ z =1−3t
⎪
⎪
⎩
Ta  có    
d(H ;(P )) =

(2 + t ) + (1−t ) −(1−3t ) +1
12 +12 + (−1) 2

=

3t + 3
3

;

.  

IH = (t +1) 2 + (t +1) 2 + (3t + 3) 2 = 11t 2 + 22t +11
Theo  giả  thiết  ta  có:  

3t + 3 7 3
.
= 11t 2 + 22t +11 ⇔ 49(t +1) 2 = 9(11t 2 + 22t +11) ⇔ t = −1 ⇒ H (1;2;4) .    
9
3
!
Đường  thẳng  cần  tìm  đi  qua  H  và  nhận  véc  tơ  pháp  tuyến   n = (1;1;−1)  của  (P)  làm  vtcp.  
 

x −1 y − 2 y − 4
=
=
.    
1
1

−1
Câu  7  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  phân  
giác   trong   góc   A   là   y −3 = 0 .   Gọi   M (1;4), N (3;1) lần   lượt   là   các   điểm   thuộc   các   đường   thẳng  
⎛11 8 ⎞
⎟
AB,AC.  Tìm  toạ  độ  các  điểm  B,C  biết  trọng  tâm  tam  giác  ABC  là  điểm   G ⎜ ; ⎟ .          
⎜
⎜ 3 3⎟
⎟
⎝
⎠
Vậy  đường  thẳng  cần  tìm   d ' :

Gọi  M’,N’  lần  lượt  là  các  điểm  đối  xứng  của  M,N  qua  phân  giác  trong  góc  A.  Ta  có  M’  thuộc  
AC,  N’  thuộc  AB.  
Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

Page  5  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Dễ  tìm  được   M '(1;2), N '(3;5) .    
Đường  thẳng  AB  đi  qua  M,N’  có  phương  trình  là   x − 2y + 7 = 0 .  
Đường  thẳng  AC  đi  qua  điểm  N,M’  có  phương  trình  là   x + 2y −5 = 0 .  
⎧
⎧
⎪ x − 2y + 7 = 0 ⎪ x = −1
Toạ  độ  điểm  A  là  nghiệm  của  hệ  phương  trình   ⎪

⇔⎪
⇒ A(−1;3) .  
⎨
⎨
⎪ x + 2y −5 = 0 ⎪ y = 3
⎪
⎪
⎩
⎩
Gọi   B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c) ∈ AC .  
Do  G  là  trọng  tâm  tam  giác  ABC  nên:  
⎧−1+ (2b −7) + (−2c + 5) =11 ⎧b + c = 5 ⎧b = 6
⎧ B(5;6)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
.  
⇔⎪
⇔⎪
⇒⎪
⎨
⎨
⎨
⎨
⎪3+ b + c = 8
⎪b − c = 7 ⎪c = −1 ⎪C (7;−1)
⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎩
⎩
⎩

Vậy  toạ  độ  điểm  cần  tìm  là   B(5;6),C (7;−1) .    
Nhận   xét:   Đề   bài   thầy   chỉ   yêu   cầu   các   em   cần   vận   dụng   tính   chất   đối   xứng   của   điểm   qua  
đường  phân  giác  trong  của  tam  giác.    
⎧ x (3− y) + y − 2x =1
⎪
⎪
Câu  8  (1,0  điểm).  Giải  hệ  phương  trình   ⎨
.  
⎪ x 2 −( x − 2y)x = 5− 2y + 3
⎪
⎪
⎩
5
Điều  kiện:   x ≥ 0; y ≤ .    
2
Nhân  thêm  2  vào  phương  trình  đầu  của  hệ  rồi  cộng  theo  vế  với  phương  trình  thứ  hai  của  hệ  ta  
được:    
x 2 −( x − 2y)x − 4x + 6 x −5− 2 x y + 2y − 5− 2y = 0
⇔ (x + 2y −5)(x − x +1) + x − 5− 2y = 0
⎛
⎞
⎟
1

⎜
⎟= 0
⎜ x − x +1+
⇔ (x + 2y −5)⎜
 
.  
⎟
⎟
⎜
⎜
x + 5− 2y ⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎟
1
⎜
⇔ x = 5− 2y ⎜do x − x +1+
>0 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
x + 5− 2y
⎝
⎠
Thay  vào  phương  trình  thứ  hai  của  hệ  ta  được:    

5− x
2.
1− x − 4x + 6 x = 2
2
⎧
 
.  
⎪
⎡ x =1
⎪x ≥ 3
⇔ (x +1) x = 5x −3 ⇔ ⎪
⇔ ⎢⎢
⎨
5
⎪
⎪ x(x +1) 2 = (5x −3) 2
⎣⎢ x =11+ 4 7
⎪
⎪
⎩

(

)

(

)

Vậy  hệ  phương  trình  có  2  nghiệm  là   (x; y) = (1;2); 11+ 4 7;−3− 2 7 .    

⎡ x =1
Cách  2:  Phương  trình  đầu  của  hệ  ta  có: ( x −1)(2 x + y −1) = 0 ⇔ ⎢⎢
.    
⎢⎣ y =1− 2 x
+)  Với   x = 1 ⇒ y = 2 .    
!
+)  Với  !y = 1 − 2 x  thay  vào  phương  trình  thứ  hai  của  hệ  và  đặt  t=căn(x)  ta  được:  

Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

Page  6  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

t 4 −5t 3 + 2t 2 −3 = 4t + 3
⇔ (t 4 −5t 3 + 2t 2 −t −3) + (t − 4t + 3) = 0
⇔ (t − 4t −3)(t −t +1) +
2

2

t 2 − 4t −3

.
=0
t + 4t + 3
⎛

⎞
1
⎟
⎟ = 0 ⇔ t = 2 + 7(t > 0)
⎜
⇔ (t 2 − 4t −3)⎜t 2 −t +1+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
t + 4t + 3 ⎟
Bài  tập  tương  tự  
⎧2y(x − x +1) − 4x + 6 x = 6
⎪
⎪
Giải  hệ  phương  trình   ⎨
.  Đ/s:  (x;y)=(1;2).  
⎪ x 2 − x x = 5− 2y −1
⎪
⎪
⎩
Câu   9   (1,0   điểm).   Cho   a,b,c   là   các   số   thực   thoả   mãn   a,b,c ∈ ⎡⎢⎣0;2⎤⎥⎦ ;a + b + c = 3 .   Tìm   giá   trị   nhỏ  
nhất  của  biểu  thức   P =

2
a3 + b 3 + c 3
−
.  

11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 5

Vì  ba  biến  đối  xứng  nên  khơng  mất  tính  tổng  quát  giả  sử   a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ .  
Khi  đó      

a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c)3 = a 3 + (3−a)3 = 9(a − 2)(a −1) + 9 ≤ 9 ;  

và   11−a 2 −b 2 − c 2 =11−(a + b + c) 2 + 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) .  

1
9
−
.  
ab + bc + ca +1 ab + bc + ca + 5
1
9
−
Đặt   t = ab + bc + ca .  Ta  có   P ≥ f (t ) =
.  
t +1 t + 5
Suy  ra   P ≥

9
1
8t 2 + 8t −16
Ta  có   f '(t ) =
−
=
> 0 .  
(t + 5) 2 (t +1) 2 (t +1) 2 (t + 5) 2

9−a 2 −b 2 − c 2 9−a 2 −(b + c) 2
≥
= 3a −a 2 = (a − 2)(1−a) + 2 ≥ 0 .  
Bởi  vì   t = ab + bc + ca =
2
2
20
Vì  vậy  f(t)  đồng  biến  trên  [2;3]  suy  ra   f (t ) ≥ f (2) = − .  
21
Đẳng  thức  xảy  ra  khi   a = 2;b =1;c = 0 hoặc  các  hoán  vị.  
Vậy  giá  trị  nhỏ  nhất  của  P  bằng  -­‐‑20/21.  
Chú  ý.  Nút  thắt  của  bài  toán  là  đánh  giá   a 3 + b 3 + c 3 ≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2 .  Nhiều  học  sinh  mắc  sai  
lầm  khi  chỉ  ra  f(t)  đạt  min  tại  t=1.  Bởi  vì  khi  đó  dấu  bằng  không  xảy  ra.  
4 + abc
≥ 2 .      
Ta  có  thể  chỉ  ra   (2 − a)(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca =
2
!
Ngoài  ra  bằng  cách  tương  tự  chứng  minh  được  các  bất  đẳng  thức  khác:  
ab + bc + ca ≥ 2;a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 ;   a 4 + b 4 + c 4 ≤17 .  
Bài  tập  tương  tự  
Cho  a,b,c  là  các  số  thực  thoả  mãn   a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ,a + b + c = 3 .    
1) Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức   P =
Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

2
ab + bc + ca
+ 3

.      
2
2
11−a −b − c
a + b3 + c 3
2

Page  7  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
a2 + b 2 + c 2
2) Tìm  giá  trị  lớn  nhất  của  biểu  thức   P =
.  
ab + bc + ca

2(18−a 4 −b 4 − c 4 )
a3 + b 3 + c 3
−
.      
ab + bc + ca + 7
11−a 2 −b 2 − c 2
4) Cho   a,b,c   là   các   số   thực   thoả   mãn   a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ;a + b + c = 3 .   Tìm   giá   trị   nhỏ   nhất   của   biểu  
3) Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức   P =

thức   P =

2
a3 + b 3 + c 3

−
.  
11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 7

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
Lời  giải:  
Khơng  mất  tính  tổng  qt  giả  sử   a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ .  

Khi  đó      
  a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c)3 = a 3 + (3−a)3 = 9(a − 2)(a −1) + 9 ≤ 9 ;  
và   11−a 2 −b 2 − c 2 =11−(a + b + c) 2 + 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) .  
Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

Page  8  
Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

Khố)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Mơn:)Tốn;)ĐỀ)SỐ)03/50)
Ngày)thi):)29/01/2015)
Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)khơng)kể)thời)gian)giao)đề)
Liên)hệ)đăng)ký)khố)học)–)Hotline:)0976)266)202))
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x 4 − 2x 2 +1 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x 4 − 2x 2 = m có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
Câu)2)(1,0)điểm).)
3

a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1) − log 2 x 2 +1 = + log 2 (x +1) .!
2
⎛
⎞
⎛
π
π⎞
⎟
⎟
b) Giải!phương!trình! sin ⎜2x − ⎟ cos2x = 2 2 cos⎜ x + ⎟ .!!
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
3⎟
4⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
4

Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ x 2 −7x + 6 dx .!
0

Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1−i.z =1 !và! z 2 −3 là!số!thuần!ảo.!!!
n

⎛
nx 2 ⎞
⎟ = a + a x +...+ a x n 2 .!Tìm!số!hạng!
⎟
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển! ⎜ x n −
⎜
⎟
0
1
⎜
n2
⎜
2 ⎟
⎝
⎠

chứa! x 20 trong!khai!triển,!biết! 4an 2−2n+2 + an 2−3n+6 = 0 .!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a, AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vng!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!
và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!khơng!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng! (P ) : x + y + z −7 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vng!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm!
⎛ 13 3 ⎞
⎟
G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7y + 6 = 0 .!Biết! F ⎜− ; ⎟ !và!đỉnh!B!có!tung!độ!

⎜
⎟
⎜ 6 2⎟
⎝
⎠
âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vng!ABCD.!
⎧(x − y + 2xy )( y − x )x 2 =1
⎪
⎪
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình! ⎪
.!
⎨
⎪ 2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎪
⎪
⎩
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P=

(a + b)3
3

2

2

(2(a + b)(a + b )

Hotline:)0976)266)202))

Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

+

(b + c)3
3

2

2

2(b + c)(b + c )

+

(c + a)3
3

2

2

2(c + a)(c + a )

−16.

ab + bc + ca
.!
ab + bc + ca +1

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

1!


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
lllHẾTlll)

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Thang)điểm)tương)ứng)cho)từng)ý)nhỏ:)
Câu)1:)Khảo)sát)1,0)điểm;)Tìm)m)0,5)điểm;)1.2:)0,5)điểm)
Câu)2:)2.1)và)2.2)mỗi)ý)0,5)điểm)
Câu)4:)a)và)b)mỗi)ý)0,5)điểm)
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x 4 − 2x 2 +1 (1) .!

1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x 4 − 2x 2 = m có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
1. Bước!khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!học!sinh!tự!làm.!
+)!Phương!trình!tương!đương!với: m +1 = x 4 − 2x 2 +1 .!
Vậy!số!nghiệm!của!phương!trình!là!số!giao!điểm!của!đường!
thẳng! y = m +1 với!đồ!thị!hàm!số!(1).!
Dựa!vào!đồ!thị!hàm!số!suy!ra!để!phương!trình!có!3!nghiệm!phân!
biệt!khi!và!chỉ!khi! 0 < m +1<1 ⇔ −1< m < 0 .!!!!
!
!
2. Giả!sử!tiếp!điểm! M (m;m 4 − 2m 2 +1) .!
Phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tại!M!là! y = 4(m 3 − m)(x − m) + m 4 − 2m 2 +1 .!
Phương!trình!hồnh!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!

x 4 − 2x 2 +1 = 4(m 3 − m)(x − m) + m 4 − 2m 2 +1
!

⇔ (x − m) 2 (x 2 + 2mx + 3m 2 − 2) = 0
.!
⎡x = m
⇔ ⎢⎢ 2
2
⎣ x + 2mx + 3m − 2 = 0 (2)
Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.!
⎧Δ' = m 2 −(3m 2 − 2) = 0 ⎡ m = −1
⎪
.!
⇔⎪
⇔⎢
⎨
⎢ m =1
⎪−m ≠ m
⎪
⎣
⎩
Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!tốn!là! d : y = 0 .!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).)

3
a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1) − log 2 x 2 +1 = + log 2 (x +1) .!
2
⎛
⎞
⎛

π
π⎞
⎟
⎟
b) Giải!phương!trình! sin ⎜2x − ⎟ cos2x = 2 2 cos⎜ x + ⎟ .!!
⎜
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
3⎟
4⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧ x +1> 0
⎪
1. Điều!kiện:! ⎪ 2
⇔ x > 2 2 −3 .!
⎨
⎪ x + 6x +1> 0
⎪
⎩
Phương!trình!tương!đương!với:!!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

2!


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
x 2 + 6x +1
log 2
= log 2 ⎡⎢ 2 2(x +1)⎤⎥
2
⎣
⎦
x +1
x 2 + 6x +1
⇔
= 2 2(x +1) ⇔ 2 2(x 2 +1)(x +1) = x 2 + 6x +1
2
x +1
.!
⇔ 2 2(x 2 +1)(x +1) = 3(x +1) 2 − 2(x 2 +1)
2

⎛ x +1 ⎞
⎟
⎟ − 2 2. x +1 − 2 = 0
⎜
⇔ 3.⎜
⎟
⎜ 2
⎜ x +1 ⎟

⎟
⎝
⎠
x 2 +1
x +1

Đặt! t =

x 2 +1

> 0 phương!trình!trở!thành:!

⎡t = 2(t / m)
⎢
3t 2 − 2 2t − 2 = 0 ⇔ ⎢⎢
.!
2
(l )
⎢t = −
⎢⎣
3

!

Vậy!

x +1
2

= 2 ⇔ (x +1) 2 = 2(x 2 +1) ⇔ (x −1) 2 = 0 ⇔ x =1 .!

x +1
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x =1 .!
Chú)ý.!Phát!hiện!tính!đẳng!cấp!của!phương!trình!vơ!tỷ.!!!!!
2. !Phương!trình!tương!đương!với:!
⎛
π⎞
⎟
sin ⎜2x − ⎟(cos2 x −sin 2 x ) = 2(cos x −sin x )
⎜
⎟
⎜
3⎟
⎝
⎠

⎛
⎛
π ⎞⎞
⎟⎟
⇔ (cos x −sin x )⎜2−(cos x + sin x )sin ⎜2x − ⎟⎟ = 0
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟⎟
⎜
3 ⎟⎟
⎝
⎠⎠

⎝
.!
⎛
⎛
⎛
π⎞
π ⎞⎞
⎟
⎟⎟
⇔ (cos x −sin x )⎜ 2 −sin ⎜ x + ⎟.sin ⎜2x − ⎟⎟ = 0
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟⎟
⎜
⎜
⎜
4⎟
3 ⎟⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
π
+ kπ,k ∈ !
4
⎛

⎛
⎛
⎛
π⎞
π⎞
π⎞
π⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
Bởi!vì! 2 −sin ⎜ x + ⎟.sin ⎜2x − ⎟ ≥ 2 − sin ⎜ x + ⎟.sin ⎜2x − ⎟ ≥ 2 −1> 0 .!
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
4⎟
3⎟
4⎟
3⎟
⎝
⎠

⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⇔ cos x −sin x = 0 ⇔ tan x =1 ⇔ x =

Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!! x =

π
+ kπ,k ∈ ! .!!
4
4

Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ x 2 −7x + 6 dx .!
0

Ta!có:!!
1

4

I = ∫ (x −7x + 6)dx − ∫ (x 2 −7x + 6)dx
2

!

0

1

⎛ x 3 7x 2
⎞ 1 ⎛ x 3 7x 2
⎞ 4 17 27 49
⎟
⎟
=⎜ −
+ 6x ⎟ −⎜ −
+ 6x ⎟ = + =
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜3
⎟0 ⎜ 3
⎟1
⎜
⎜
2
2
6
2
3
⎝
⎠
⎝
⎠

Hotline:)0976)266)202))

Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

.!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

3!


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
49
Vậy! I =
.!!
3
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1−i.z =1 !và! z 2 −3 là!số!thuần!ảo.!!!
n

⎛
nx 2 ⎞
⎟ = a + a x +...+ a x n 2 .!Tìm!số!hạng!
⎟
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển! ⎜ x n −
⎜
⎟
0
1
⎜
n2
⎟

⎜
2 ⎠
⎝

chứa! x 20 trong!khai!triển,!biết! 4an 2−2n+2 + an 2−3n+6 = 0 .!
a) Giả!sử! z = x + y.i(x, y ∈ !) !theo!giải!thiết!ta!có:!
x + yi −1−(x − yi).i =1 ⇔ (x − y −1) + ( y − x )i =1

.!
⎡x = y
⇔ (x − y −1) 2 + ( y − x ) 2 =1 ⇔ 2(x − y) 2 − 2(x − y) = 0 ⇔ ⎢
⎢ x − y =1
⎣
2
2
2
2
+)!Ta!có! z −3 = (x + yi) −3 = x − y −3+ 2xy.i .!
Vì! z 2 −3 là!số!thuần!ảo!nên! x 2 − y 2 −3 = 0;2xy ≠ 0 .!
⎧ x 2 − y 2 −3 = 0
⎪
⎪
⎧x = 2
⎪
⎪
Vì!vậy!ta!có!hệ! ⎪⎡ x = y
⇔⎪
⇒ z = 2 + i .!
⎨⎢
⎨

⎪
⎪ y =1
⎪⎢
⎪
⎩
⎪⎣ x − y −1 = 0
⎪
⎩
Vậy!số!phức!cần!tìm!là! z = 2 + i .!!!!!!!!
n

⎛
nx 2 ⎞
⎟ = a + a x +...+ a x n 2 (n > 2) .!Tìm!số!hạng!chứa! x 20 trong!khai!
⎟
b)!Cho!khai!triển! ⎜ x n −
⎜
⎟
0
1
⎜
n2
⎟
⎜
2 ⎠
⎝

triển,!biết! 4an 2−2n+2 + an 2−3n+6 = 0 .!
n

n
⎛
nx 2 ⎞
nk
⎟ =
⎟ ∑ (−1) k . k C nk x n(n−k )+2k .!
Ta!có! ⎜ x n −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2 ⎠
2
⎝
k=0

n 2 n 3 (n −1)
n3 3
n 4 (n −1)(n − 2)
Cn =
;an 2−3n+6 = − C n = −
.!
4
8
8
48
Vì!vậy!theo!giả!thiết!ta!có:!
⎡n = 6(t / m)
n 3 (n −1) n 4 (n −1)(n − 2)

!
.!
4.
−
= 0 ⇔ n(n − 2) − 24 = 0 ⇔ ⎢
⎢n = −4(l )
8
48
⎣
Suy!ra! an 2−2n+2 =

2

64 4 20
C 6 x =19200x 20 .!
4
2
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a, AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!góc!với!mặt!
Vậy!số!hạng!cần!tìm!là! (−1) 4 .

đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!
khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

4!

Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Gọi!H!là!giao!điểm!của!AC!và!DM,!suy!ra!H!là!trọng!tâm!
tam!giác!ABD!và! SH ⊥ (ABCD) .!
2
2
2a 5
4a 2 + a 2 =
Ta!có! CH = AC =
.!
3
3
3
SH = CH .tan 600 =

2a 5
2a 15
.!
. 3=
3
3

1
1 2a 15
4a 3 15
Vì!vậy!VS .ABCD = SH .AB.AD = .
.!!!!!
.2a.a =
3

3
3
9

!
Gọi!N!là!trung!điểm!CD,!có!AMCN!là!hình!bình!hành.!
Vì!vậy!CM//AN!suy!ra!CM//(SAN).!
Vì!vậy! d(CM ;SA) = d(CM ;(SAN )) = d(C;(SAN )) = 3d(H ;(SAN )) .!
Kẻ!HK!vng!góc!với!AN!tại!K,!kẻ!HT!vng!góc!với!SK!tại!T!suy!ra! HT ⊥ (SAN ) .!
Tam!giác!CAN!có! AN = AD 2 + DN 2 = a 2 .!
2S
S
1
2a 2
a 2
Vì!vậy! HK = d C; AN = ACN = ABCD =
.!!!!!
=
3
3AN 6AN 6.a 2
6
!
Tam!giác!vng!SHK!có!

(

)

1
1

1
3
18
2a 15
=
+
=
+ 2 ⇒ HT =
.!
2
2
2
2
33
HT
SH
HK
20a
a

!

2a 15
.!!!
11
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!khơng!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng! (P ) : x + y + z −7 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Giả!sử! C (a;b;7−a −b) ∈ (P ) là!một!điểm!thuộc!d.!

Vì!vậy! d(CM ;SA) = 3HT =

Vì! CA = CB ⇔ (a −3) 2 + (b −3) 2 + (6−a −b) 2 = a 2 + (b − 2) 2 + (6−a −b) 2 .!
!
⇔ b = 7−3a ⇒ C (a;7−3a;2a) .!
⎧
⎪x = t
⎪
⎪
Vì!vậy!đường!thẳng!d!có!phương!trình! d : ⎪ y = 7−3t ,t ∈ ! .!
⎨
⎪
⎪ z = 2t
⎪
⎪
⎩
Gọi! M (t;7−3t;2t ) là!điểm!cần!tìm.!
!!!!
"
!!!"
Ta!có! AM = (t −3;4 −3t;2t −1), BM = (t;5−3t;2t −1) .!
!!!! !!!"
"
⎡
⎤
Suy!ra! ⎢ AM , BM ⎥ = (1− 2t;6t −3;10t −15) .!
⎣
⎦
2

⎛ 17 ⎞ 200
⎟
140⎜t − ⎟ +
⎜
⎟
⎜
⎟
7
⎝ 14 ⎠

!!!! !!!"
"
5(28t 2 −68t + 47)
⎡
⎤
AM , BM ⎥ =
=
⎢
2
⎣
⎦
⎛17 47 17 ⎞
17
⎟
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi t = ⇒ M ⎜ ; ; ⎟ .!
⎜
⎟
⎜14 14 7 ⎟
14
⎝

⎠
Khi!đó! S ABC =

1
2

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

2

≥

5 14
.!
7

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

5!


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
⎛17 47 17 ⎞
⎟
Vậy!điểm!cần!tìm!là! M ⎜ ; ; ⎟ .!!
⎜
⎜14 14 7 ⎟
⎟
⎝

⎠
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vng!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm!
⎛ 13 3 ⎞
⎟
G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7y + 6 = 0 .!Biết! F ⎜− ; ⎟ !và!đỉnh!B!có!tung!độ!
⎜
⎟
⎜ 6 2⎟
⎝
⎠
âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vng!ABCD.!
Gọi!a!là!độ!dài!cạnh!hình!vng!ABCD.!
Ta!có!!
!!" !!!
"
!!! !!! !!! 1 !!" !!!
"
"
"
" 1 !!! 3BA + BD
"
GE = BE − BG = (BA + BD ) − BD =
;
2
3 !!"
6
.!
!!!
"

!!! !!! !!!
"
"
" 5 !!" 1 !!! 5BA − 4BD
"
GF = BF − BG = BA − BD =
12
3
12
Suy!ra!
!!! !!!
" "
!!" !!! !!"
"
!!!
"
72GE .GF = (3BA + BD )(5BA − 4BD )
.!!!
!
=15BA2 −7BA.BD − 4BD 2 =15a 2 −7a 2 −8a 2 = 0
Vì!vậy!GF!vng!góc!với!GE.!
Toạ!độ!điểm!G!là!hình!chiếu!của!F!trên!GE!thoả!mãn!hệ!
⎧
⎪
⎧11x −7y + 6 = 0
⎪
⎪x = − 1
⎪
⎪
⎪

⎪
3 ⇒ G ⎛− 1 ; 1 ⎞ .!
⎟
⎪ ⎛
⎜
⎛
⎟
⇔⎪
⎜
⎨ ⎜
⎨
13 ⎞
3⎞
⎜ 3 3⎟
⎟
⎪7⎜ x + ⎟ +11⎜ y − ⎟ = 0 ⎪
⎟
⎟
⎜
1
⎝
⎠
⎟
⎟
⎪ ⎜
⎪y =
⎜
⎟
⎟
6⎠

2⎠
⎪ ⎝
⎪
⎝
⎪
⎩
⎪
3
⎪
⎩
Tam!giác!BFG!có!
GF 2 = BF 2 + BG 2 − 2BF .BG cos450
!
.!
112 + 72
25 2 2a 2
5a a
⇔
=
a +
− 2. . ⇔ a = 2 10
36
144
9
12 3
Gọi!B(a;b)!ta!có!
2
2
⎧⎛
⎪

⎞ ⎛
⎞
⎧ 2
⎪
25 2 125 ⎪⎜a + 13 ⎟ + ⎜b − 3 ⎟ = 125 ⎡
⎪⎜
⎟ ⎜
⎟
⎪ FB =
⎪⎜
a =
⎟
⎟
⎪
⎢a = −3,b = −1
6⎟ ⎜
2⎟
18
⎠ ⎝
⎠
⎪
144
18 ⇔ ⎪⎝
⎪
⎪
!
.!
⇔⎢
⎨
⎨

2
2
⎢a = − 13 ,b = 169
⎪ 2 2a 2 80
⎪⎛
⎪ BG =
⎪⎜
1⎞ ⎛
1⎞
80
⎢⎣
=
⎪
⎪⎜a + ⎟ + ⎜b − ⎟ =
51
51
⎟ ⎜
⎟
⎪
⎪⎜
9
9
⎪
⎩
⎪⎝
⎟
⎟
3⎟ ⎜
3⎟
9

⎠ ⎝
⎠
⎪
⎩
!!!
" 5 !!"
Đối!chiếu!với!điều!kiện!suy!ra! B(−3;−1), BF = BA ⇒ A(−1;5) .!
12
!! 3 !!!
"
"
Gọi!I!là!tâm!hình!vng!có! BI = BG ⇒ I (1;1) .!Do!I!là!trung!điểm!AC!nên! C (3;−3) .!
2
!!! !!!
"
"
Và! AD = BC ⇒ D(5;3) .!!!!!!
Vậy!toạ!độ!bốn!điểm!cần!tìm!là!A(â1;5),!B(â3;â1),!C(3;â3)!và!D(5;3).!!
Chú)ý.!Có!thể!chứng!minh!GE!vng!góc!GF!bằng!pp!trục!trong!trục!hoặc!sử!dụng!định!Lý!
Pitago!(xem!thêm!video!lời!giải).!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

6!


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
⎧(x − y + 2xy )( y − x )x 2 =1

⎪
⎪
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình! ⎪
.!
⎨
⎪ 2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎪
⎪
⎩
Điều!kiện:! y ≥ x ≥ 0;2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) ≥ 0 .!!!
Nhận!thấy! x = 0 khơng!thoả!mãn!hệ!phương!trình.!
Xét!với! x > 0 viết!lại!phương!trình!dưới!dạng:!
2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) − 2x + y − x − x
⇔

2xy − 4x 2 + ( y − 2x )(x + 2xy − 4)

+

y − 2x
y−x + x

=0

2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + 2x
⎡
⎤
⎢
⎥
3x + 2xy − 4

1
⇔ ( y − 2x ) ⎢
+
⎥ = 0 ⇔ y = 2x
⎢ 2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + 2x
y − x + x ⎥⎥
⎣⎢
⎦
Bởi!vì!từ!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!ta!có:!
⎡
⎤
1
1
x − y + 2xy =
⇔ 3x + 2xy = ⎢
+ ( y − x ) + x + x ⎥ + x .!
⎢ ( y − x )x 2
⎥
( y − x )x 2
⎣
⎦
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
1
1
+(y− x)+ x + x ≥ 2
.( y − x ) + 2 x
2
( y − x )x
( y − x )x 2

!

1
≥ 44
.y.x 2 = 4
2
( y − x )x

Suy!ra! 3x + 2xy − 4 ≥ x ≥ 0 .!Vì!vậy!

.!

.!

3x + 2xy − 4

+

2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + 2x

1
y−x + x

> 0 .!!!!

!Với! y = 2x !thay!vào!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!ta!được:!
⎡ x =1, y = 2(t / m)
!
.!
x 4 =1 ⇔ ⎢

⎢ x = −1, y = −2(l/)
⎣
Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x; y) = (1;2) .!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P=

(a + b)3
3

2

2

(2(a + b)(a + b )

Ta!chứng!minh:!

+

(b + c)3
3

2

2(b + c)(b + c )

(a + b)3
3

2

(2(a + b)(a 2 + b 2 )

+

(c + a)3
3

2

2

2(c + a)(c + a )

−16.

ab + bc + ca
.!
ab + bc + ca +1

≥ 4ab .!Thật!vậy!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!

!
(a + b)9 ≥128(a + b)(a 2 + b 2 )a 3b 3 ⇔ (a + b)8 ≥128a 3b 3 (a 2 + b 2 ) .!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
(a + b) 4 = (a 2 + b 2 + 2ab) 2 ≥ 8ab(a 2 + b 2 ) .!
Suy!ra! (a + b)8 ≥ 64a 2b 2 (a 2 + b 2 ) 2 ≥ 64a 2b 2 (a 2 + b 2 ).2ab =128a 3b 3 (a 2 + b 2 ) .!
Bất!đẳng!thức!đúng,!đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! a = b .!
Tương!tự!ta!có:!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

7!


Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
(b + c)3
(c + a)3
≥ 4bc;
≥ 4ca .!
!
3
3
2(b + c)(b 2 + c 2 )
2(c + a)(c 2 + a 2 )

ab + bc + ca
.!!!
ab + bc + ca +1
16t
Đặt! t = ab + bc + ca > 0; P ≥ f (t ) = 4t −
.!
t +1
16
Ta!có! f '(t ) = 4 −
; f '(t ) = 0 ⇔ t =1(t > 0) .!
(t +1) 2

Ta!có!f’(t)!đổi!dầu!từ!âm!sang!dương!khi!đi!qua!t=1!nên!đạt!cực!tiểu!tại!t=1.!
Từ!đó!suy!ra! P ≥ f (t ) ≥ f (1) = −4 .!!!!
⎧
⎪a = b = c
1
Đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! ⎪
.!
⇔a=b=c =
⎨
⎪ab + bc + ca =1
3
⎪
⎩
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!â4.!
Chú)ý.!Do!so!với!ba!phân!thức!đầu!có!phân!thức!cuối!là!khác!nhất!vì!vậy!ý!tưởng!là!đánh!giá!
thơng!q!(ab+bc+ca).!!!
!
!
!!
!
!!
!!
Từ!đó!suy!ra:! P ≥ 4(ab + bc + ca) −16

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

8!