cac dang toan lap pt mat phang 12

Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
1

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1 . Kiến thức cơ bản :
1.Phương trình mặt phẳng  qua M
0
(x
0
;y
0
; z
0
) , nhận
n

=(A;B;C) làm
VTPT là : A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
2.Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng :
Ax + By + Cz + D = 0 ( đk: A
2
+ B
2
+ C

2
> 0 )
3. Mặt phẳng  qua M
0
(x
0
;y
0
; z
0
) có cặp VTCP
a

;
b


=>VTPT:
n

=[
a

,
b

]
4. Mặt phẳng   đường thẳng (d)

d

u

và
n


cùng phương ( chọn
n


=
d
u

)
5.Mặt phẳng   mặt phẳng 

n



n


( mp  nhận
n


làm một VTCP )
6. Mặt phẳng   mặt phẳng 


n


và
n


cùng phương ( chọn
n


=
n


)
Dạng 1: dạng cơ bản
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng () qua M(1;2;3) nhận
n

=(2;1;5)
làm VTPT
Giải : Pt mặt phẳng : 2(x1) 1(y+2) +5(z3) =0 <=> 2xy +5z 19=0
Ví dụ 2:a) Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(2;7;1) ,
B(1;2;1), C(2;3;5)
b) Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C biết A( 1;1;3) ;
B(2;0;4) C(2;5;1)
Giải: a)
AB


= (1;9;2) ;
AC

= (0;10;4)

n

= [
AB

,
AC

]=(56;4;10)
Phương trình mặt phẳng (ABC) qua B nhận
n

làm VTPT là :
56(x – 1) 4(y 2) 10(z –1) = 0 <=> 56x 4y – 10z + 74 = 0
b) + ta có
AB

= (1;1;1) ;
AC

= (1;4;2)

n


= [
AB

,
AC

]=(2;3;5)
Phương trình mặt phẳng (ABC) qua A nhận
n

làm VTPT là :
2(x – 1) + 3(y + 1) 5(z – 3) = 0 <=> 2x + 3y – 5z + 16 = 0
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
2

Ví dụ 3: a) Lập phương trình mặt phẳng () qua P(1;2;5) và song song
với mp : 2y 3x + z 4 = 0
b) Lập phương trình mặt phẳng (
1
) qua M(3;2;4) và song song mp(Oxz)
c) Lập phương trình mặt phẳng (
2
) qua M(3;2;4) và song song với
mặt phẳng (Q) : 3x y +z 1=0
Giải: a) Cách 1:Vì mặt phẳng  song song mặt phẳng  nên có VTPT
n


=

n


=(3;2;1)
Vậy phương trình mặt phẳng () : 3(x1) +2(y+2) +1(z5) = 0
Cách2: Vì mặt phẳng  song song mặt phẳng  nên phương trình
 có dạng : 3x + 2y +z + D = 0 ()
P(1;2;5)  mặt phẳng () => D =2 .
Vậy pt mặt phẳng () là 3x + 2y +z + 2 = 0
b) Vì (
1
) // mp(Oxz) =>
1
n


=
j

=(0;1;0)
+ Phương trình mp (
1
): 0(x3) +1(y2) +0(z4) =0 <=> y2=0
c) Vì (
2
) // (Q) =>
2
n



=
Q
n

=(3;1;1)
Phương trình mp (
2
) qua M(3;2;4) nhận
2
n


làm VTPT
3(x2) 1(y+2) +1(z4) =0 <=> 3xy +z 12=0
Ví dụ 4: a) Viết pt mặt phẳng qua M(1;3;2) và vuông góc Oz
b) Viết pt mặt phẳng () qua Q(5;2;1) và vuông góc với đường
(d)
x 1
2

=
y 1
1


=
z 3
3


c) Lập phương trình mp() qua M(1;2;4) và vuông góc với đường
thẳng (d) :
x 1 y z 1
2 3 1
 
 

.
Giải : a) mp()  trục Oz =>
k

=(0;0;1) là VTPT
0(x1) +0(y3) +1(z+2) = 0 <=> z+2=0
b) Vì ()  (d) =>
n


=
d
u

=(2;1;3)
+ Phương trình mặt phẳng () : 2(x5) 1(y2) +3(z+1) = 0
<=> 2xy +3z 5=0
c) Vì ()  (d) =>
n


=
d

u

=(2;3;1)
+ Phương trình mp () : 2(x1) 3(y+2) +1(z4) = 0 <=> 2x3y +z 12=0
Dạng 2: (đi qua 1 điểm, tìm VTPT)
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
3

Ví dụ 5 :Lập phương trình mặt phẳng  qua A( 2;1;4) và có cặp
VTCP
a

= (3;1;2) ;
b

=(0;5;3) .
Giải: + VTPT của mặt phẳng  là
n

=[
a

,
b

]=(13;9;15)
+ Mặt phẳng  qua a nhận
n


làm VTPT có phương trình :
13(x+2) – 9(y – 1) + 15(z  4) = 0  13x –9y +15z – 25 =0
Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng  qua E (4;1;2) và vuông góc
với hai mặt phẳng () : 2x –3y + 5z –4 =0 ; () : x + 4y –2z + 3 = 0
Giải : Vì mp() vuông góc với 2 mặt phẳng (),() nhận
n


,
n


làm
cặp VTCP => VTPT
n


= [
n


,
n


]= (14;9;11)
 phương trình mp () : 14(x+4)+9(y1)+11(z+2) =0
Ví dụ 7: Lập phương trình mặt phẳng () qua D(2;3;4) và song song
với hai đường thẳng (d
1

) :
x 1
2

=
y 1
1


=
z 3
3

,(d
2
) :
x
1
=
y 1
2

=
z
1

Giải : (d
1
) qua M
1

(1;1;3) và có VTCP
1
u

=(2;1;3)

Đường thẳng (d
2
) có VTCP
2
u

= (1;2;1 )
= >
n


= [
1
u

,
2
u

]=(7;1;5)
Mặt phẳng () qua M
1
nhận
n



àm VTPT: 7(x1)+1(y+1)+5(z–3)=0
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(0;2;3) ; F(4;5;3) và có
VTCP
a

=(3;2;5) .
Giải :
EF

= ( 4;3;6) là VTCP của mp ;
VTPT
n


= [
EF

,
a

]=(27;2;17 )
Mặt phẳng () qua E nhận
n


làm VTPT là :
27(x – 0) 2(y – 2 ) –17(z + 3) = 0
 27x –2y –17z – 47 = 0

Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng  qua P(3;1;1) ;Q( 2;1;4) và
vuông góc mặt phẳng  : 2x – y + 3z – 1 = 0 .
Giải:    
n


= (2 ;1 ;3) là một VTCP của mp ()
Và
PQ

= ( 1;2;5 ) cũng là VTCP của mp ()
VTPT
n


=[
n


,
PQ

]=(1;13;5)
Phương trình mặt phẳng () qua P nhận
n


làm VTPT là :
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ

4

1(x – 3) –13(y –1 ) –5(z + 1) = 0  x –13y –5z +5 = 0
Ví dụ 10:Lập Phương trình mặt phẳng  qua hai điểm M(2;3;4) ;
N(3;1;6) và song song trục z
/
Oz
Giải : Cách 1 : vì () // trục z
/
Oz =>
k

=(0;0;1) làm VTCP
+
MN

= (5;2;2) cũng là VTCP
+
n


= [
k

,
MN

] =(2;5;0)
 phương trình mp () : 2x + 5y –11 = 0
Cách 2 : mp () // trục z

/
Oz nên phương trình có dạng : Ax + By +D = 0
M(2;3;4)() => 2A + 3B + D = 0
N(3;1;6) () => 3A + B + D = 0 .
Chọn A = 2 ; B = 5 ; D = 11
Phương trình mp () : 2x + 5y –11 =0
Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng  qua M(2;1;2) , song song
trục y
/
Oy và vuông góc mp  : 2x + y – 3z – 5 = 0 .
Giải : Cách 1:+ ()  trục y
/
Oy nhận
j

=(0; 1 ; 0 ) làm VTCP
+ () () =>
n


= (2;1;3) làm VTCP
+
n


= [
j

,
n



]= (3;0;2)  phương trình mp () : 3x + 2z –10 = 0
Cách 2 :Mặt phẳng () // trục y
/
Oy  pt có dạng : Ax + Cz + D = 0
M(2;1;2)() => 2A + 2C + D = 0
() () =>
n


.
n


=0 => 2A– 3C = 0 Chọn A = 3 ; C= 2  D = 10
Vậy phương trình mặt phẳng () : 3x +2z 10=0
Ví dụ 12:
a) Lập phương trình mp qua M(4;3;7) và vuông góc với trục z
/
Oz
b) Lập phương trình mp qua P(2;1;5) và vuông góc với trục y
/
Oy
c) Lập phương trình mp qua Q(6;3;2) và vuông góc với trục x
/
Ox
Giải : a) Mp(
1
) vuông góc trục z

/
Oz =>
k

=(0;0;1) là VTPT
phương trình (α
1
) là : 1( z7) =0 <=> z 7=0
b) Mp(
2
) vuông góc trục y
/
Oy =>
j

=(0;1;0) là VTPT
phương trình (α
2
) là : 1( y1) =0 <=> y 1=0
b) Mp(
3
) vuông góc trục x
/
Ox =>
i

=(1;0;0) là VTPT
phương trình (α3) là : 1( x6) =0 <=> x 6=0
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ

5

Ví dụ 13:Viết phương trình mp () chứa đường thẳng (d):
x 1
3

=
y 1
2

=
z 3
1


và đi qua điểm N(2;1;3) .
Giải : ( d) qua M
0
(1;1;3) và có VTCP
u

=(3; 2;1)

0
M N

=(1 ; 0; 6) và
u

là cặp VTCP của mp ()

=>
n


= [
0
M N

,
u

] =(12;17; 2)
Mặt phẳng () qua M
0
nhận
n


làm VTPT có pt :
12(x 3) +17(y – 2)2(z + 1 )= 0  12x + 17 y –2z = 0
Ví dụ 14: Lập phương trình mp () chứa đường thẳng (d
1
) và song song
đường thẳng (d
2
) biết (d
1
)
x 1 3t
y 2 t

z 5 2t
 


 


 

(d
2
)
x 1 5t
y 1 t
z 2t
 


 





Giải : (d
1
) qua M
1
(1;2;5) và có VTCP
1

u

=(3;1;2)

Đường thẳng (d
2
) có VTCP
2
u

= (5;1; 2 )
= >
n


= [
1
u

,
2
u

]=(4;16;2)
Mặt phẳng () qua M
1
nhận
n



làm VTPT: 2x + 8y + z –19 = 0
Ví dụ 15:: Lập phương trình mp () chứa đường thẳng
(d)
2x y z 3 0
5x 2z 11 0
   


  

và vuông góc với mặt phẳng () 4x – 3y + z –1=0
Giải: + (d)
2x y z 3 0
5x 2z 11 0
   


  


Chọn x=1 thay vào hệ giải => M(1;13;8)
Và VTCP
d
u

=
1 1 1 2 2 1
; ;
0 2 2 5 5 0
 

 
 
 
 
=(2;9;5)
Đường thẳng (d) qua M( 1;13;8) có VTCP
d
u

= (2;9;5)
=> mp() có VTPT :
n


=[
d
u

,
( )
n


]=(24;18;42)
+ Phương trình mặt phẳng () qua M nhận
n


làm VTPT :
24(x1)+18(y13) 42(z8) = 0 <=> 4x+3y7z +13=0

Ví dụ 16: Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
–4x +6y –12z + 13 =0 . Viết
phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại M(1; 2 ; 6
2
)
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
6

Giải Thay tọa độ M vào pt mặt cầu => M  mặt cầu
Tâm I(2 ; 3 ; 6) ;
IM

=( 3 ;5 ; 
2
)
Mặt phẳng tiếp diện qua M nhận
IM

làm VTPT :
3( x + 1) + 5(y – 2) 
2
(z – 6 +
2
) = 0

Ví dụ 17: Lập phương trình mp () qua A(3;2;4) và chứa giao tuyến
của hai mặt phẳng : () x –3y + 2z – 3 = 0 () : 3x + 2y – 5z + 4 = 0
Giải: Giao tuyến của hai mặt phẳng () và () là đường thẳng (d)

x 3y 2z 3 0
3x 2y 5z 4 0
   


   


Chọn y= 1 thay vào hệ giải => qua M(
4
11
;1;
2
11
)
Và có VTCP
d
u

=
3 2 2 1 1 3
; ;
2 5 5 3 3 2
 
 
 

 
 
= (11;11;11)

AM

=
37 42
; 3;
11 11
 
  
 
 
=>
n


=[
d
u

,
AM

] = (9;5;4)
Phương trình mặt phẳng () qua A nhận
n



làm VTPT :
9(x3) +5(y2) +4(z4) = 0 <=> 9x +5y +4z +1 =0

Ví dụ 18 : Lập phương trình mp () qua giao tuyến của 2 mặt phẳng
() : 3x – y + z 2 = 0 () : x + 5 y + 6z – 5 = 0
đồng thời vuông góc với mp (P) : z – 3y + 11 = 0
Giải: Giao tuyến của hai mặt phẳng () và () là đường thẳng (d)

3x y z 2 0
x 5y 6z 5 0
   


   


Chọn z= 0 thay vào hệ giải => qua M(
15
16
;
13
16
;0)
Và có VTCP
d
u

=
1 1 1 3 3 1
; ;

5 6 1 1 5
 
 
 

 
= (11;17;16)
Vì ()  mp(P) =>
(P)
n

=(0;3;1) là một VTCP của ()
VTPT của () là :
n


=[
d
u

,
(P)
n

] = (31;11;33)
=> Phương trình mặt phẳng () qua M nhận
n


làm VTPT :

Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
7

31( x
15
16
) +11(y
13
16
) +33z =0 <=>31x + 11y + 33z – 38 = 0
Ví dụ 19 : Lập phương trình mp () qua giao tuyến của 2 mặt phẳng
() : 2x + 4y z + 2 = 0 () : 5x 2y  3z + 4 = 0
và song song với trục x
/
Ox
Giải: giao tuyến của hai mặt phẳng () và() là đường thẳng  :

2x 4y z 2 0
5x 2y 3z 4 0
   


   


Chọn z=0 thay vào hệ giải => M(
5
6
;

1
12
;0)
Và VTCP
u


=
4 1 1 2 2 4
; ;
2 3 5 5 2
 
 
 
   
 
=( 14; 1; 24)
Vì () // trục x
/
Ox => nhận
i

=(1;0;0) làm VTCP
Suy VTPT của () là
n


=[
u



,
i

] =(0;24;1)
 phương trình mp () qua M nhận
n


làm VTPT có phương trình là :
0(x+5/6) 24(y+1/12) 1(z0) =0 <=> 24x+z +2 =0
Dạng 3: ( tìm điểm, đã biết VTPT)
Ví dụ 20: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB biết
A(2;1;4); B(4;3;6) .
Giải : Cách 1: + Gọi I là trung điểm của AB  I(3;2;5)
+ véc tơ
AB

= ( 2;2;2)
Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I và nhận
AB

làm VTPT có
phương trình : 2(x – 3) –2(y + 2) + 2(z – 5) = 0  x – y + z – 10 = 0
Cách 2: Mọi điểm M(x;y;z) thuộc mp trung trực của đoạn AB 
MA = MB  MA
2
= MB
2

 (x 2)
2
+ (y +1)
2
+(z 4)
2
= (x 4)
2
+ (y +3)
2
+(z  6)
2

 4x – 4y + 4z –40 = 0  x – y + z – 10 = 0
Ví dụ 21: Cho A(3;1;2), B(4;2;1), C(1;2;5). Gọi A
1
là giao điểm của
AB và mặt phẳng Oxy . Lập phương trình mặt phẳng qua A
1
và vuông
góc với OC
Giải : AB  mp(Oxy) ={A
1
}
=> A
1
 mp(Oxy) => A
1
(x;y;0)
Cao Đức Đệ

Cao Đức Đệ
8

+ ta có
AB

= (1;1;1) ;
1
AA

= (x3;y1;2)
Và A,B,A
1
thẳng hàng =>
AB

và
1
AA

cùng phương
=>
1
AA

=t.
AB

<=>
x 3 t

y 1 t
2 t
 


 




=> A
1
(5;3;0)
Phương trình mặt phẳng () qua A
1
nhận
OC

=(1;2;5) làm VTPT là :
1(x – 5) + 2(y 3) +5(z – 0) = 0 <=> x + 2y +5z 11 = 0
Ví dụ 22: Cho A(1;1;2) , B(0;1;1) , C(1;0;4) . Gọi M là điểm sao cho
MB

=2
MC

. Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với BC
Giải :
MB


=2
MC

, điểm M chia đoạn BC theo tỉ số k =2

B C
M
B C
M
B C
M
x k.x
x
1 k
y k.y
y
1 k
z k.z
z
1 k



















<=>
M
M
M
0 2.1 2
x
1 2 3
1 2.0 1
y
1 2 3
1 2.4
z 3
1 2


 





 






 



=> M(
2
3
;
1
3
;3)
BC

=(1;1;3)
Phương trình mặt phẳng qua M nhận
BC

làm VTPT :
1(x
2
3
)1(y
1
3
)+3(z3) =0 <=> xy+3z 

28
3
=0
Ví dụ 23: Cho đường thẳng (d) :
x 3 t
y 1 2t
z 4 3t
 


 


 

. Gọi M là một điểm trên
(d) cách gốc tọa độ một khoảng bằng
30
. Viết phương trình mặt
phẳng qua M và vuông góc với (d)
Giải :Vì ()  (d) =>
n


=
d
u

=(1;2;3)
M  (d) => M(3t;1+2t;43t)

OM=
30
<=> (3t)
2
+(1+2t)
2
+(43t)
2
=30 <=> 14t
2
26t +26=30
<=> 14t
2
26t 4=0 <=> t=2  t=1/7
+ Khi t=2 => M
1
(1;5;2)
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
9

Phương trình mặt phẳng () qua M
1
nhận
n


làm VTPT :
1(x1) +2(y5)3(z+2) = 0 <=> x+2y3z 15=0
+ Khi t=

1
7
=> M
2
(
22
7
;
5
7
;
31
7
)
Phương trình mặt phẳng () qua M
2
nhận
n


làm VTPT :
1(x
22
7
) +2(y
5
7
)3(z
31
7

) = 0 <=> x+2y3z +15=0
Ví dụ 24: Cho mặt phẳng  : 2x3y+z 4=0 . Viết phương trình mặt
phẳng () song song với  , sao cho () cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt
tại 3 điểm A,B , C và thể tích tứ diện OABC bằng 6 (đvtt)
Giải : () // () => pt mặt phẳng () : 2x3y +z +D= 0 ( D  4)
+ Mặt phẳng () cắt trục Ox tại A(
D
2
;0;0)
+ Mặt phẳng () cắt trục Oy tại B(0;
D
3
;0)
+ Mặt phẳng () cắt trục Oz tại C(0;0;D)
Khi đó : V
OABC
=
1
6
OA.OB.OC =
1
6
D
2

D
3
.
D
=

1
36
D
3

Vì V
OABC
= 6 <=>
1
36
D
3
=6 <=> D =  6
Vậy có hai mặt phẳng thỏa đk đề bài : 2x3y +z +6 =0
 2x3y +z 6 =0
Ví dụ 25: Lập phương trình mặt phẳng () tiếp xúc mặt cầu (S) có
phương trình (x3)
2
+ (y+2)
2
+ (z –1)
2
= 25 và song song mặt phẳng
(): 4x + 3z –17 = 0
Giải : Mặt phẳng () //()
> phương trình mặt phẳng () : 4x + 3z +D=0
Tâm mặt cầu I(3;2;1) bán kính R = 5
Vì () tiếp xúc mặt cầu (S)  d(I;()) = 5

12 3 D

5
16 9
 








35
10
D
D

Mặt phẳng () là  4x + 3z +10 = 0 ;  4x + 3z –35 = 0
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
10

Ví dụ 26: Lập pt mp () tiếp xúc mặt cầu (S):(x –3)
2
+(y–2)
2
+(z+1)
2
=16
và vuông góc đường thẳng (d)
x 1 y z 2

2 4 6
 
 
 

Giải : + Mặt cầu (S) có tâm I(3;2;1) và bán kính R= 4
+ VTCP
d
u

= (2;4; 6) .
+ Mặt phẳng ()  đường thẳng (d)
phương trình () có dạng : 2x –4y +6z + D = 0
+ Vì () tiếp xúc mặt cầu (S) => d(I;()) = 4
+ giải D = 20 8
14
; D = 20 + 8
14

Có hai mặt phẳng () thỏa điều kiện đề bài :
2x –4y +6z + 20 8
14
= 0  2x –4y +6z +20+8
14
= 0
Ví dụ 27: Lập phương trình mp () tiếp xúc với mặt cầu (S) :
x
2
+y
2

+z
2
+6x 4y +8z 7=0 và song song với hai đường thẳng :
(d
1
)
x 1 y 2 z 2
3 2 2
  
 

; (d
2
)
x 2 y 1 z
1 3 1
 
 


Giải : + Đường thẳng (d
1
) có VTCP
1
u

=( 3;2;2)
+ Đường thẳng (d
2
) có VTCP

2
u

=(1;3;1)
+ Vì mặt phẳng() song song với (d
1
) và (d
2
)
=>
n


=[
1
u

,
2
u

] = (4;5;11)
+ Phương trình mặt phẳng () có dạng : 4x +5y+11z +D =0
+ Mặt cầu (S) có tâmI(3;2;4) bán kính R = 6
+ Mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I; () ) = 6
<=>
2 2 2
4( 3) 5.2 11( 4) D
( 4) 5 11
    

  
= 6 <=>
D 46
 =
54 2

<=>
D 46 54 2
D 46 54 2

 

 



Vậy có hai mặt phẳng () thỏa điều kiện đề bài :
 4x +5y+11z +46+
54 2
=0 4x +5y+11z +46
54 2
=0
Ví dụ 28: Lập phương trình mp () tiếp xúc với mặt cầu (S) :
x
2
+y
2
+z
2
+6x 8y +4z 7=0 và vuông góc với hai mặt phẳng :

(P) : 2x5yz+1=0 ; (Q) : x +2y3z 11=0
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
11

Giải : mặt cầu (S) có tâm I(3;4;2) , bán kính R= 6
P
n

=(2;5;1) ;
Q
n

=(1;2;3)
+ Vì mặt phẳng() vuông góc với (P) và (Q)
=>
n


=[
P
n

,
Q
n

] = (17;5;9)
+ Phương trình mặt phẳng () có dạng : 17x +5y+9z +D =0
+ Mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I; () ) = 6

<=>
2 2 2
17( 3) 5.4 9( 2) D
17 5 9
    
 
= 6 <=>
D 49
 =6
395

<=>
D 49 6 395
D 49 6 395

 

 



Vậy có hai mặt phẳng () thỏa điều kiện đề bài :
 17x +5y+9z +49+ 6
395
=0 17x +5y+9z +49 6
395
=0
Ví dụ 29:Lập phương trình mặt phẳng () cách mặt phẳng mp(P) một
khoảng bằng 3 , biết (P) : 2x y+2z 11=0
Giải : Vì d(();(P)) =3 => () //(P)

=> phương trình () : 2x y+2z +D=0 ( D≠ 11)
+ Chọn một điểm M  (P) => M( 0;11;0)
Ta có d(();(P)) =3 <=> d(M;()) =3 <=>
2 2 2
11 D
2 ( 1) 2

  
=3
<=>
11 D

=9 <=>
D 2
D 20
 


 


Vậy có hai mặt phẳng () : 2x y+2z 2=0 ;  2x y+2z 20=0
Dạng 4: ( mặt phẳng qua các điểm đặc biệt, thỏa đk khoảng cách góc)
Ví dụ 30 Lập phương trình mặt phẳng  qua các hình chiếu của
M(1;4;3) trên các trục toạ độ .
Giải : M chiếu lên trục Ox được M
1
(1;0;0)
M chiếu lên trục Oy được M
2

(0;4;0)
M chiếu lên trục Oz được M
3
(0;0;3)
Phương trình mặt phẳng (M
1
M
2
M
3
) có phương trình là :

x
1

+
y
4
+
z
3
= 1
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
12

Ví dụ 31: Viết phương trình mặt phẳng () qua G(2;4;1) và () cắt ba
trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại 3 điểm A,B , C sao cho G là trọng tâm của
tam giác ABC
Giải : + Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz tai A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c)

+ Khi đó phương trình mp() :
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
+ Do G là trọng tâm tam giác :

G
G
G
a 0 0 3x
0 b 0 3y
0 0 c 3z
  


  


  

=> a= 6; b= 12; c=3
Vậy pt mặt phẳng () là :
x
6


+
y
12
+
z
3
=1
Ví dụ 32: Viết phương trình mặt phẳng () qua M(1;1;3) và cắt ba trục
Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho M là trực tâm của tam
giác ABC.
Giải : + Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz tai A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c)
+ Khi đó phương trình mp() :
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
Vì M  () =>
1 1 3
a b c
 
=1 (1)
Véc tơ :
AM


=(1a;1;3) ,
BC

=(0;b;c) ;

BM

=(1;1b;3) ,
AC

= (a;0;c)
M là trực tâm của tam giác ABC ta có :
AM.BC 0
BM.AC 0







 
 

<=>
b 3c 0
a 3c 0
 



  

<=>
b 3c
a 3c
 




(2)
Thay (2) vào (1) ta có :
1
3c
+
1
3c
+
3
c
=1 <=> c=
11
3
; a= 11 ;b=11
Phương trình mặt phẳng () : xy+3z =11
Ví dụ 33: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;1) , B(0;1;3) và mặt
phẳng (): 3x5y2z +3=0 . Lập phương trình mặt phẳng () song song
với () và cách đều hai điểm A và B .
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ

13

Giải : Vì () //() => phương trình () có dạng : 3x5y2z +D=0 (D≠3)
Mặt phẳng () cách đều hai điểm A, B => d(A; ()) = d(B; ())
<=>
2 2 2
11 D
3 ( 5) ( 2)

   
=
2 2 2
1 D
3 ( 5) ( 2)

   

<=>
D 11

=
D 1

<=>D=6
Vậy phương trình mặt phẳng () : 3x5y2z 6=0
Ví dụ 34: Cho đường thẳng (d) :
x 3 y 1 z 1
1 2 3
  
 


, A(2;1;1),
B(4;3;1). Lập phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng (d) và
cách đều hai điểm A và B .
Giải : Cách 1: + Đường thẳng (d) qua M(3;1;1) , VTCP
d
u

=(1;2;3)
+ Gọi
n


=(a;b;c) là VTPT của () ( đk: a
2
+b
2
+c
2
≠ 0)
+ Phương trình mặt phẳng () qua M : a(x3) +b(y+1)+c(z+1) =0
Vì () chứa (d) =>
n


.
d
u

=0 <=> a2b+3c =0 hay a= 2b3c (1)

+ Mặt phẳng () cách đều hai điểm A, B => d(A; ()) = d(B;())
<=>
2 2 2
a(2 3) b(1 1) c(1 1)
a b c
    
 
=
2 2 2
a( 4 3) b(3 1) c(1 1)
a b c
     
 

<=>
a 2b 2c
   =
7a 4b 2c
   (2)
Thay (1) vào (2) tao có :
5c
=
10b 23c
  <=>
5c 10b 23c
5c 10b 23c
  


 



Chọn c= 5 suy ra
b 9;a 3
b 14;a 13
 


 


Có hai mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài là :
 3x+9y+5c +5=0  13x +14y +5z 20 =0
Cách 2: + Mặt phẳng () cách đều hai điểm A, B
<=>





mặt phẳng ( ) song song với AB
mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm của I
của đoạn AB

Trường hợp 1: mặt phẳng () // AB
Ta có :
AB

=(6;2;0) =>
n



=[
d
u

,
AB

]= (6;18;10)
Phương trình mp() qua M nhận
n


làm VTPT
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
14

6(x3) 18(y+1)10(z+1) =0 <=> 6x18y10z 10 =0
Trường hợp 2: mặt phẳng () qua trung điểm của đoạn AB
Ta có I(1;2;1);
IM

=(4;3;2) . Khi đó
n


=[
d

u

,
IM

]=(13;14;5)
Phương trình mặt phẳng () : 13(x3) +14(y+1) +5(z+1) =0
<=> 13x +14y +5z 20 =0
Ví dụ 35: Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
(d
1
)
x 1
2

=
y 2
3

=
z 1
6


(d
2

)
x 1 3t
y 2t
z 2t
  








Lập phương trình mặt phẳng () song song và cách đều với hai đường
thẳng (d
1
) và (d
2
)
Giải : (d
1
) qua M
1
(1;2;1) có VTCP
1
u

=(2;3;6)
Đường thẳng (d
2

) qua M
2
( 1;0;0 ) có VTCP
2
u

= (3;2;2 )
= >
n


= [
1
u

,
2
u

]= ( 18;22;5 ) .
Gọi N là trung điểm M
1
M
2
=> N(0;1;
2
1
)
Mặt phẳng () qua N nhận
n



làm VTPT có pt là :
18 (x0) 22(y+1) 5(z 1/2) = 0
<=> 18x 22y 5z 
39
2
= 0
Ví dụ 36: Trong không gian Oxyz, cho đ. thẳng d:
x 1
1

=
y 1
2

=
z 13
1

,
mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
2x4y6z67=0 .Viết phương trình mặt
phẳng() chứa d và tiếp xúc với (S) .
Giải :+Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=

2 2 2
1 2 3 67
  
=9
Gọi
n


=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2
+c
2
≠ 0)
Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;1;13)
và
n


.
d
u

=0 <=> a+2b+c=0 <=> a =2bc (1)
Phương trình mặt phẳng (α) : a( x+1) +b(y1) +c( z13) =0
Vì mp(α) tiếp xúc với mặt cầu (S) => d(I;(α) )=R
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
15

<=>
2 2 2
2a b 10c
a b c
 
 
=9 <=>
2 2 2
2( 2b c) b 10c
( 2b c) b c
   
   
=9
<=>
2 2
3b 12c
5b 4bc 2c
 
 
=9 <=>
b 4c
  =3
2 2
5b 4bc 2c
 
<=> b
2
+8bc + c
2

=9( 5b
2
+4bc +2c
2
) <=> 44b
2
+28bc +2c
2
=0
Chọn b =1 : pt : 2c
2
+28c +44 =0 <=>
c 7 3 3 ; a= 5 3 3
c 7 3 3 ; a= 5 3 3

   

   



Vậy có hai mp(α) thỏa đk đề bài là :
(5+
3 3
)(x+1) +(y1) +(7
3 3
)(z13) =0
(5
3 3
)(x+1) +(y1) +(7+

3 3
)(z13) =0
Ví dụ 37 : Lập phương trình mp () qua M(4;3;2) và chắn trên các trục
toạ độ những độ dài khác 0 như nhau
Giải : Mặt phẳng () có dạng
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 và a=b=c , thay
tọa độ M vào pt mp() :
4
a
+
3
b
+
2
c
=1
Xét các trường hợp : a=b=a ; a=b=c ; a=b=c ; a=b=c
Đáp số :
9
x
+
9

y
+
9
z
= 1 ;
3
x
+
3

y
+
3
z
= 1;
5
x
+
5
y
+
5

z
= 1;
1

x
+
1

y
+
1
z
= 1
Ví dụ 38: Cho (S) : x
2
+y
2
+z
2
12x+4y8z 8 =0; A(2;1;1) ,B(3;0;4)
Lập phương trình mặt phẳng () qua A, B và () cắt mặt cầu theo một
đường tròn có bán kính lớn nhất .
Hướng dẫn : Theo yêu cầu đề bài => mp() qua tâm I của mặt cầu .
+ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B, I

Ví dụ 39 : Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình :
(x+1)
2
+(y+2)
2
+(z+3)
2
=14 và M(1;3;2) . Lập phương trình
mặt phẳng () qua M và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính
nhỏ nhất .
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
16

Giải :Giả sử mp(α) cắt mặt cầu (S) theo một
Đường tròn tâm H bán kính HB
Ta có r =
2 2
IB IH


Vì IB = R =
14

R nhỏ nhất <=> IH lớn nhất
Mà IH ≤ IM
Do đó IH lớn nhất <=> IH =IM . Hay IM  mp(α) , với I(1;2;3) ;

IM

=(0;1;1) là VTPT của (α)
Phương trình mp(α) là : 0(x+1) 1(y+3) +1(z+2) =0 <=> y+z 1=0
Ví dụ 40: Lập phương trình mp () qua M(1;3;4) và cách đường
thẳng (d)
x y 2 z 3
2 1 3
 
 

một khoảng bằng
1
3

Giải : Đường thẳng (d) qua N(0;2;3) và có VTCP
d
u

=(2;1;3)
+ Gọi
n


=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2
+c
2
≠ 0)
Phương trình mp() : a( x1) +b(y+3) +c(z4) =0
+ Vì () cách (d) một khoảng
1
3
=> d// () =>
n


.
d
u

=0
<=> 2a b+3c =0 hay b= 2a+3c (1)

+ d( d; ()) = d(N;()) =
2 2 2
a b c
a b c
  
 
=
1
3

<=> 3(a+bc)
2
= a
2
+b
2
+c
2
<=> 3(a+2c)
2
=a
2
+(2a+3c)
2
+ c
2

<=> 3a
2
+12ac +12c

2
= 5a
2
+12ac +10c
2
<=> c
2
=a
2

Chọn a=1, suy ra
c 1; b 5
c 1; b 1
 


   


Vậy có hai mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài :
 x+5y+z +10 =0  xyz =0
Ví dụ 41:Trong không gian Oxyz, cho đ.thẳng d:
 


 





x 1 2t
y 3 t
z t
.
Lập
phương trình mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng cách từ A(1;2;3)
đến mặt phẳng () lớn nhất .
C
1
: Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;3;0)

I






H


B

*
M

Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
17

Và
d
u

=(2;1;1)
Gọi H là hình chiếu của A lên mp(α)
K là hình chiếu của A lên đường thẳng (d)
Ta có K cố đònh => AK không đổi
Khoảng cách : d(A;(α) ) =AH ≤ AK
AH lớn nhất bằng AK khi H  K
+ Tìm tọa độ K :
Vì K  d => K(12t;3t; t ) ;
AK

=(2t ; 1t ; t3)
Ta có : AK  d =>
AK

.
d
u

=0 <=> 4t 1(1t) +t3=0 <=> t= 2/3
Và khi đó :
AK

=(
4
3
;

1
3
;
7
3
)
Mặt phẳng (α) qua M nhận
AK

làm VTPT có pt :

4
3
(x1) +
1
3
(y3) 
7
3
(z0) =0 <=> 4x +y 7z +1 =0
C
2
: Gọi
n


=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2

+c
2
≠ 0)
Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;3;0)
và
n


.
d
u

=0 <=> 2ab+c=0 <=> c =2a+b (1)
Phương trình mp(α) : a(x1) +b(y3) +cz =0
Khoảng cách từ A đến mp(α) : d(A;(α)) =
2 2 2
a(1 1) b(2 3) c.3
a b c
   
 

=
2 2 2
b 3(2a b)
a b (2a b)
  
  
=
2 2
6a 2b

5a 4ab 2b

 
=
2 2
2 2
36a 24ab 4b
5a 4ab 2b
 
 

Đặt T=
2 2
2 2
36a 24ab 4b
5a 4ab 2b
 
 
, ta cần tìm GTLN của T
Nếu b= 0 thì T= 36/5
Nếu b ≠ 0 Đặt a =k.b . Suy ra : T=
2
2
36k 24k 4
5k 4k 2
 
 

<=> T(5k
2

+4k+2)=36k
2
+24k+4<=> (5T36).k
2
+(4T24).k +2T4=0 (*)
Khi 5T  36=0 <=> T = 36/5 : pt(*) có nghiệm
Khi T ≠ 36/5 . Điều kiện pt (*) có nghiệm ’ ≥ 0
<=> (2T12)
2
(5T36)(2T4) ≥ 0 <=> 6T
2
+44T ≥ 0
α

A

H

K

d

M

Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
18

<=> 0 ≤ T ≤
22

3

Suy ra T
max
=
22
3
khi đó k=
4T 24
2(5T 36)
 

=4 hay
a
b
=4. Chọn b= 1; a=4
=> a =2.(4)+1= 7 ;
n


=(4;1;7)
Phương trình mp(α) : 4(x1) +(y3) 7z =0 <=> 4x +y 7z +1 = 0
Ví dụ 42:Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : x+y+z 5=0;
M(2;1;3) và A(1;2;1) .
Lập phương trình mặt phẳng () qua A, ()
vuông góc với  và cách M một khoảng bằng
5
26
.
Giải : Gọi

n


=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2
+c
2
≠ 0)
Vì mp(

) vuông góc với () =>
n


.
n


=0 <=> a+b+c=0 <=> c=ab (1)
+ Khi đó pt mp (
) : a(x1)+b(y2) +(ab)(z+1) =0
+ Theo đề bài : d(M;()) =
5
26

<=>
2 2 2
a(2 1) b( 1 2) ( a b)(3 1)

a b ( a b)
       
   
=
5
26

<=>
2 2
3a 7b
2a 2b 2ab
 
 
=
5
26

<=> 26(9a
2
+42ab +49b
2
)=25(2a
2
+2b
2
+2ab)
<=>184a
2
+1042ab +1224b
2

=0
Chọn a=1 => b= 
1
4
 b=
92
153

Khi a=1 và b=
1
4
thì pt mp(
) là : (x1)
1
4
(y2)
3
4
(z+1) =0
<=> 4xy3z+5= 0
Khi a=1 và b=
92
153
thì pt mp(
) là : (x1)
92
153
(y2)
61
153

(z+1) =0
<=> 153x92y61z30= 0
Ví dụ 43 : Lập phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng
Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
19

(d) :
x 2 3t
y 3 t
z t
 


 


 

và () tạo với mp() : y+z +3=0 một góc 30
0
.
Giải : Đường thẳng (d) qua M(2;3;0) và có VTCP
d
u

=(3;1;1)
+ Gọi
n



=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2
+c
2
≠ 0)
+ Vì () chứa đường thẳng (d) =>
n


.
d
u

=0 <=> 3a bc =0
hay b= 3ac (1)
+ Góc tạo bởi mặt phẳng () và mp() là 
Ta có cos =
2 2 2 2 2
b c
a b c . 1 1

  
= cos30
0
<=>
b c


=
2
.
3
2
.
2 2 2
a b c
 
<=>
3a
=
3
2
2 2 2
a b c
 

<=> 9a
2
.2 = 3( 10a
2
6 ac +2c
2
) <=> 12a
2
18ac +6c
2
=0
Chọn a= 1 , suy ra

b 1; c 2
b 2; c 1
 


 


Có hai mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài :
 x+y+2z 5=0  x+2y +z 8 =0
Ví dụ 44:Lập phương trình mp () chứa đường thẳng (d)
x 1 y 2 z 1
1 2 2
  
 

và tạo với mp(Q) : 2x y+3z 1 =0 một góc nhỏ nhất
Giải : Cách 1:
+ Gọi
n


=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2
+c
2
≠ 0)
Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;2;1)

và
n


.
d
u

=0 <=> a2b+2c=0 <=> a =2b2c (1)
+ Gọi  là góc tạo bởi (α) và (Q) ta có :
Cos =
2 2 2 2 2 2
2a b 3c
a b c . 2 1 3
 
   
=
2 2 2
2(2b 2c) b 3c
(2b 2c) b c . 14
  
  

=
2 2
3b c
5b 5b 8bc. 14

 
=

1
14
2 2
2 2
9b 6bc c
5b 8bc 5c
 
 

Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
20

Góc  nhỏ nhất <=> cos  lớn nhất <=> T=
2 2
2 2
9b 6bc c
5b 8bc 5c
 
 
lớn nhất
Nếu b= 0 thì T= 1/5
Nếu b ≠ 0 Đặt c =k.b . Suy ra : T=
2
2
9 6k k
5 8k 5k
 
 

<=> T(58k+5k
2
) = 96k +k
2
<=> (5T1).k
2
+(68T).k +5T 9=0 (*)
Khi 5T  1=0 <=> T = 1/5 : pt(*) có nghiệm
Khi T ≠ 1/5 . Điều kiện pt (*) có nghiệm ’ ≥ 0
<=> (34T)
2
(5T1)(5T9) ≥ 0 <=> 9T
2
+26T ≥ 0 <=> 0 ≤ T ≤
26
9

Suy ra T
max
=
26
9
khi đó k=
8T 6
2(5T 1)


=
7
11

hay
c
b
=
7
11
. Chọn c= 7; b=11
=> a =2.112.7= 8 ;
n


=(8;11;7)
Vậy pt mặt phẳng (α) qua M nhận
n


làm VTPT :
8(x1)+11(y2) +7(z+1) =0 <=> 8x +11y+7z 23=0
Cách 2: Giả sử (α) cắt mp(Q) theo giao tuyến 
(d) cắt  tại A ; B là hình chiếu của M lên đường thẳng  và H là
hình chiếu của M lên mp(Q) .
và  là góc tạo bởi (α ) và (Q)
ta có tan  =
MH
BH

M cố đònh , mp(Q) cho trước
=> MH không đổi
Góc  nhỏ nhất <=> tan  nhỏ nhất <=> BH lớn nhất <=> BH =AH
Tức là d   . Ta có

u



d
u

;
u



(Q)
n


Với
d
u

=(1;2;2) và
(Q)
n

=(2;1;3) =>
u


=[
d

u

,
(Q)
n

]=(4;1;3)
mp(α) chứa d và  =>
n


=[
u


,
d
u

]=(8;11;7)
Phương trình mp(α) là :8(x1)+11(y2) +7(z+1) =0
<=> 8x +11y +7z 23=0
d

α

M
*

A

(Q)

H

B






Cao Đức Đệ
Cao Đức Đệ
21

Ví dụ 45:Trong không gian Oxyz,cho đ.thẳng d:
x 1
2

=
y 3
1

=
z 1
1


và

đường thẳng :
x 2 y z 3
1 1 1
 
 

.Viết phương trình mặt phẳng()
chứa d và tạo với  một góc 60
0
.
Giải : + Đường thẳng (d) có VTCP
d
u

=(2;1;1) qua M(1;3;1)
+ Đường thẳng  có VTCP
u


=(1;1;1)
Gọi
n


=(a;b;c) là VTPT của mp() ( với a
2
+b
2
+c
2

≠ 0)
Vì mp() chứa đường thẳng (d) => (α) đi qua M(1;1;13)
và
n


.
d
u

=0 <=> 2a+bc=0 <=> c =2a+b (1)
+ Gọi  là góc tạo bởi (α) và  ta có :
sin =
2 2 2 2 2 2
a b c
a b c . 1 ( 1) 1
 
    
=
2 2 2
a b 2a b
a b (2a b) . 3
  
  

=
2 2
3. a
5a 4ab 2b
 

Theo đề bài  =60
0
=> sin  =
3
2
. Suy ra :
2 2
3. a
5a 4ab 2b
 
=
3
2

<=> 2
a
=
2 2
5a 4ab 2b
  <=> 4a
2
=5a
2
+4ab +2b
2

<=> a
2
+4ab +2b

2
=0
Chọn b =1 . PT : a
2
+4a +2 =0 <=>
a 2 2 ; c= 3 2 2
a 2 2 ; c= 2

    

     



Vậy có hai mp(α) thỏa đk đề bài là :
(2
2
)(x+1) +(y+3) +(3
2 2
)(z1) =0
(2+
2
)(x+1) +(y+3) +(3+
2 2
)(z1) =0
