sáng kiến kinh nghiệm phương trình lượng giác

phơng trình lợng
giác


Phần thứ nhất: Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
I, Lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thờng xuyên của ngành
giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học
tập bộ môn Đại số và giải tích.
II, Cơ sở lý luận:
1
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
III, Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích
và nhất là phần phơng trình lợng giác
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng
dạy
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
I, Nhiệm vụ:
Những nội dung chính của phần phơng trình lợng giác:
- Phơng trình lợng giác cơ bản:
+ Phơng trình: sinx = a
+ Phơng trình: cosx = a
+ Phơng trình: tanx = a
+ Phơng trình: cotx = a
- Một só phơng trình lợng giác thờng gặp:
+ Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác.
+ Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác.

+ Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- áp dụng để giải các hệ phơng trình.
II, Yêu cầu:
- Học sinh nắm rõ các công thức biến đổi về lợng giác ở lớp 10 đã học.
+ Công thức cộng.
+ Công thức nhân đôi.
+ Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích.
- Nhớ công thức nghiệm của phơng trình lợng giác cơ bản.
- Biết phân biệt các dạng phơng trình lợng giác.
- Nắm phơng pháp chung để giải các phơng trình.
- Biết kết hợp nghiệm.
4. Đối tợng nghiên cứu:
- Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học.
5. Phơng pháp nghiên cứu:
- Tham khảo các tài liệu.
- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dỡng do sở giáo dục tổ chức, các buổi sinh hoạt
tổ, nhóm chuyên môn.
6. Thời gian nghiên cứu:
- Trong suốt quá trình đợc phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học.
Phần thứ hai: Nội dung
A, Kiến thức có liên quan:
Công thức cộng:
2
cos(a b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a + b) = cosa cosb sina sinb
sin(a b) = sina cosb cosa sinb
sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan(a b) =
tan tan
1 tantan

a b
b

+

tan(a + b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
+


Công thức nhân đôi:
cos2a = cos
2
a sin
2
a = 2cos
2
a 1 = 1 2sin
2
a
sin2a = 2sinacosa
tan2a =
atg1
tga2
2

Công thức hạ bậc:
cos
2
a =
2
2cos1 a+

sin
2
a =
2
2cos1 a

Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb =
2
1
[cos(a b) cos(a + b)]
sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Cosa + cosb = 2cos
2
ba +

cos
2
ba

Cosa cosb = 2sin
2
ba +
sin
2
ba

Sina + sinb = 2sin
2
ba +
cos
2
ba

Sina + sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba

B, Nội dung:
I, Phơng trình lợng giác cơ bản:
Lý thuyết:
Phơng trình: sinx = a x = + k2, k Z
và x = + k2, k Z

Hay: sinx = a x = arcsin + k2, k Z
và x = arcsin + k2, k Z
Đặc biệt:
3
sinx = -1 x =
2

+ k2, k Z
sinx = 1 x =
2

+ k2, k Z
sinx = 0 x = k, k Z
Phơng trình: cosx = a x = + k2, k Z
Hay: cosx = a x = arccos + k2, k Z
Đặc biệt:
cosx = 1 x = k2 , k Z
cosx = 1 x = + k2, k Z
cosx = 0 x =
2

+ k, k Z
Phơng trình: tanx = a x = + k, k Z
Hay tanx = a x = arctan + k, k Z
Phơng trình: cotx = a x = + k, k Z
Hay cotx = a x = arccot + k, k Z
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phơng trình sau:
3
) sin 2

2
a x
=

( )
0
2
) cos 2 25
2
b x
+ =

( )
) 4 2 3+ = c cot x

( )
0
3
) tan 15
3
+ =d x
Kết quả:
6
) ( )
3
x k
a k Z
x k

= +




= +



0 0
0 0
80 180
) ( )
55 180
x k
b k Z
x k

= +


= +


1
) ( )
2 24 4

c x k k Z

= +

0 0
) 15 180 ( )d x k k Z
= +
Chú ý: Khi giải cần lu ý khi nào dùng đơn vị Radian, khi nào dùng đơn vị độ,
không đợc dùng cả hai đơn vị đó trong một câu.
Bài tập2: Gải các phơng trình sau:
( )
0
2
) sin 2 15
2
a x
=
với
0 0
120 120x < <
( )
1
) cos 2 1
2
b x
+ =
với
x

< <

4
( )
) tan 3 2 3+ =c x
với
2 2
x

< <

Kết quả:
0 0 0
) 30 ; 105 ; 75 .a x =
1 1 5 1 1 5
) ; ; ;
2 6 2 6 2 6 2 6
b x

= + +
2 2 4 2 2
) ; ;
3 9 3 9 3 9
c x

= + +
Chú ý: Với dạng bài 2 sau khi giải phơng trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với
yêu cầu của bài toán
Bài tập3: Giải các phơng trình sau:
( ) ( )
) sin 2 1 sin 3a x x
= +

) sin3 cos 2b x x
=
( )
) tan 3 2 2 0+ =c x cot x

) sin 4 cos5 0d x x
+ =
Kết quả:
4 2
) ( )
2 2
3 3 3
10 5
) ( )
2





= +




= +


= +

= +


x k
a k Z
x k
x k
b k Z
x k

( )k Z
Chú ý: Các câu: b, c, d cần biến đổi về cùng hàm số lợng giác ( dùng công thức 2
góc phụ nhau)
Bài tập 4: Giải các phơng trình sau:
) 2sin 2 sin 2 0a x x
+ =

2 2
) sin 2 cos 3 1b x x
+ =

) tan 5 .tan 1=c x x

2 2
2
) sin 5 cos

5 4
x
d x



+ = +



Kết quả:

) ( )
3
2
4
) ( )
5





=




= +

=



=

x k
a k Z
x k
x k
b k Z
x k

) ( )
12 6
2 4
105 21
) ( )
18 4
95 19



= +

= +

= +


c x k k Z
x k
d k Z
x k
Chú ý: Cần chọn phơng pháp phù hợp để giải phơng trình một cách nhanh nhất
5
) 2
2
2
2
)
2
6 9
= + +

= +



= +


c x k
x k
d
x k

Cụ thể câu a: đa về phơng trình tích
Câu d: có thể dùng công thức hạ bậc
II, Một số phơng trình lợng giác thờng gặp:
Lý thuyết:
1, Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác:
Dạng: at + b = 0 (1)
Trong đó a, b là các hằng số (a

0), t là một trong các hàm số lợng giác
Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phơng trình (1) cho a, ta đa phơng trình về
dạng cơ bản.
2, Phơng trình đa về phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác:
Dạng: at
2
+ bt + c = 0
Trong đó a, b, c, là các hằng số (a

0) và t là một trong các hàm số lợng giác.
3, Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx + bcosx = c (1)
Với a, b, c R; (a
2
+ b
2
0)

Cách giải:
( )
2 2 2 2 2 2
1 sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b



=

+



=

+

ta đợc phơng trình:

( )
( )
2 2
2 2
1 cos sin sin cos
sin (*)
c
x x
a b
c
x
a b


+ =
+
+ =
+
Phơng trình trên là phơng trình lợng giác cơ bản.
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phơng trình sau:
) 2 cos 2 0a x =

) 3 tan 2 3 0 =b x

2
) 2cos 3cos 1 0c x x + =

2
) cos sin 1 0d x x+ + =
Kết quả:
) 2 ,( )
4


= + a x k k Z

2
) ( )
2
3



=




= +

x k
c k Z
x k
6
6
) , ( )

4
6





= +




= +


x k
b k Z
x k

) 2 ,( )
2


= + d x k k Z
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:
) 3sin 4cos 5a x x+ =
) 2sin 2cos 2b x x =
2
1
) sin 2 sin

2
c x x+ =
) 5cos 2 12sin 2 13d x x =
Kết quả:
3 4
) 2 sin ; cos
5 5

= + = =
ữ

a x k

, (kZ)
5
2
12
)
13
2
12





= +

= +


x k
b
x k
, (kZ)
1 2
) sin ; cos
2 2
5 5



= + = =
ữ

c x k
,(kZ)
12 5
) sin ; cos
2 13 13

= + = =
ữ

d x k


,(kZ)

Chú ý: tuỳ từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhng có một số bài lại không nên dập
khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể nh câu
b, c).
Bài tập 4: Giải các phơng trình sau:
( )
) 3 sin cos 2sin 2 3 0a x x x+ + + =
) sin cos 4s in cos 1 0b x x x x + + =
( )
) sin 2 12 sin cos 12 0c x x x + =
3 3
) sin cos 1d x x+ =
Kết quả:
7
2
) 2 ,( )
2
1
2 cos
4
2 2







= +

= +




= + =
ữ



x k
a x k k Z
x k

2
) ,( )
3
2
2



=




= +

x k

b k Z
x k
2
) , ( )
2
2




= +



= +

x k
c k Z
x k

2
) ,( )
2
2



=

= +

x k
d k Z
x k
Chú ý: Khi giải phơng trình dùng phơng pháp đặt ẩn phụ
đặt: t = sinx + cosx, với
2t
hay: t = sinx - cosx, với
2t
Bài tập 5: Giải các phơng trình sau:
( )
2 2
) 3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0a x x x x+ + =
2 2
) 4sin 3 3sin 2 2 cos 4b x x x+ =
2 2
1
) sin sin 2 2cos
2
c x x x+ =
( ) ( )
2 2
) 2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1d x x x x
+ + + =
Cách giải: Để giải đợc phơng trình có 2 bớc:
Bớc 1: kiểm tra điều kiện: cosx

0 (hay sinx

0)
Bớc 2: Chia 2 vế cho cosx (hay sinx) để đa về phơng trình bậc hai đối với tanx
( hay cotx)
Kết quả:
a,
3 3 8
arctan
3
,( )
3





= +




= +


x k
k Z
x k
b,
2

1
arcsin 2 , ( )
3
1
arcsin 2
3





= +



= +



= +


x k
x k k Z
x k
c,
arctan( 5) , ( )


=

= +

x k
x k k Z
8
d,
6
,( )
4
π
π
π
π

= − +

∈


= − +


x k
k Z
x k
Bµi tËp 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1) cos 2 5sin 3 0− − =x x
(1)

4 2
2) 2 tan 3tan 1 0− + =x x
(2)
3
3) 2sin cos 2 sin 0− − =x x x
(3)
4) tan .tan 2 tan tan 2= +x x x x
(4)
3 2 2 3
5) 2sin 2cos sin sin cos cos 0+ − − =x x x x x x
(5)
6) sin 2 2 3+ =x cotx
(6)
Gi¶i:
1,
(1)
2
sin 2 ( )
2
6
2sin 5sin 2 0 ,( )
1
7
sin
2
2
6
π
π
π

π

= −
= − +



⇔ + + = ⇔ ⇔ ∈


= −

= +



x VN
x k
x x k Z
x
x k
2,
(2)
tan 1
,( )
1
tan
2
= ±



⇔ ⇔ ∈

= ±


x
k Z
x
4 2
1
arctan ,( )
2
π π
π

= +

⇔


= ± + ∈


x k
x k k Z
3,
(3)
3 2
3

sin 1
2
2
2sin 2sin sin 1 0 ,( )
1
sin
2
2
4
π
π
π
π

= −

= +


⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈


= ±

= +




x

x k
x x x k Z
x
x k
4,
(4)
( )
2 2
2 tan 2 tan
tan . tan tan 1
1 tan 1 tan
x x
x x x
x x
⇔ = + ≠ ±
− −

3 2
tan 2 tan 3tan 0⇔ + − =x x x
tan 0
tan 1( ¹i)
arctan( 3) ,( )
tan 3
x
x k
x lo
x k k Z
x
π
π

=


=


⇔ = ⇔


= − + ∈


= −

9
5,
(5)
3 2
2 tan 2 tan tan 1 + x x x
tan 1
4
,( )
1
1
tan
arctan
2
2

=
= +






=

= +




x
x k
k Z
x
x k
6,
(6)
( )
2
2 tan 1
2 3 tan 0
1 tan tan
+ =

+
x
x
x x
3 2
2
3 tan 4 tan 3tan 2 0
tan 1
,( )
4
3tan tan 2 0 ( )


+ =
=

= +

+ =

x x x
x
x k k Z
x x VN
Chú ý: Với bài tập 6 cần biến đổi về phơng trình chỉ chứa một hàmn số lợng giác
III, Một số phơng trình lợng giác khác:
Cách giải:
+ Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
+ Dùng công thức biến đổi tổng thành tích.
+ Dùng công thức hạ bậc.

+ Đa về phơng trình tích.
+ áp dụng tính chất:
2 2
0
0
0
A
A B
B
=

+ =

=

+ áp dụng tính chất:
( )
( )
A M hay A M
A M
B N hay B N
B N
A B M N

=




=

+ = +

Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phơng trình:
1, cosxcos7x = cos3xcos5x (1)
2, sin2x + sin4x = sin6x (2)
3,
2 2 2 2
sin 4 sin 3 sin 2 sinx x x x
+ = +
(3)
4,
3 3
sin cos cos 2x x x
+ =
(4)
Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi,
công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lợng giác.
10
Gi¶i:
1,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 cos8 cos 6 cos8 cos 2
2 2
cos 6 cos 2
2

4
4
x x x x
x x
x k
k Z x k k Z
x k
π
π
π
⇔ + = +
⇔ =

=

⇔ ∈ ⇔ = ∈


=


2,
( )
( )
( ) ( )
2 2 sin 3 cos 2 sin 3 cos3
sin 3 cos3 cos 0
sin 3 0
cos 3 cos
3

3
2
2
x x x x
x x x
x
x x
x k
x k
x k k Z k Z
x k
x k
π
π
π
π
π
⇔ =
⇔ − =
=

⇔

=


=


=



⇔ = ∈ ⇔ ∈




=

=
 

3,
( )
1 cos8 1 cos 6 1 cos 4 1 cos 2
3
2 2 2 2
− − − −
⇔ + = +
x x x x
cos8 cos6 cos 4 cos 2
2cos 7 cos 2 cos 3 cos
⇔ + = +
⇔ =
x x x x
x x x x
cos 0
cos 7 cos3
=


⇔

=

x
x x
( ) ( )
2
5
5
2
2
π
π
π
π
π
π

= +



=


⇔ = ∈ ⇔ ∈




=




=


x k
x k
x k k Z k Z
x k
x k
4,
( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 sin cos sin sin cos cos
cos sin
⇔ + − +
= −
x x x x x x
x x
( ) ( ) ( ) ( )
sin cos 1 sin cos sin cos cos sin⇔ + − = + −x x x x x x x x
sin cos 0 ( )
sin cos sin cos 1 0 ( )
+ =


⇔

− − + =

x x a
x x x x b
( ) ( )
3
* 2 cos 0
4 4
π π
 
⇔ − = ⇔ = + ∈
 ÷
 
a x x k k Z
11
( )
( )
2
* 2 1 0, sin cos 2 + + = = + b t t t x x t
1 = t
sin cos 1 = x x
1
cos
4
2


=

ữ

x
( )
2
2
2



=




= +

x k
k Z
x k
Vậy phơng trình (4) có nghiệm:
( )
3
, 2 , 2
4 2
x k x k x k k Z


= + = = +
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:

) cos5 cos 4 cos3 cos 2a x x x x=
) sin s in 2 sin 3 cos cos 2 cos3b x x x x x x+ + = + +
) sin 3 sin 5 sin 7 0c x x x+ + =
) tan tan 2 tan 3+ =d x x x
Giải tơng tự nh bài tập 1
Kết quả:
7
) , ( )
2



=




=


x k
a k Z
x k

2
2
3
) ,( )
8 2

= +




= +


x k
b k Z
x k
5
) , ( )
3




=




= +


x k

c k Z
x k
d) Đk:
2
4 2
6 3
x k
x k
x k





+



+



+


Nghiệm:
3
x k

=

Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:
2 2 2 2
) sin sin 2 sin 3 sin 4 2a x x x x+ + + =
4 4
3 cos 6
) sin cos
4
x
b x x

+ =
2
) 2cos 4 sin10 1c x x+ =
Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Kết quả:
12
2
) ,( )
4 2
10 5





= +



= +

= +


x k
a x k k Z
x k

10 5
) ,( )
2




= +




= +


x k
b k Z
x k
4
) ,( )

12 9




= +




= +


x k
c k Z
x k
Bài tâp 4: Giải các phơng trình sau:
( ) ( )
) 1 sin 2 tan 1 tan+ = +a x x x
) tan tan 2 sin 3 cos+ =b x x x x
) tan 2 2 4+ =c x cot x cot x
Kết quả:
a) Đk:
2
x k


+
. Nghiệm:
3

4
x k
x k




= +


=

.
( )k Z
b) Đk:
2
4 2
x k
x k




+



+

. Nghiệm:
3
x k

=
.
( )k Z
c) Đk:
4
x k


Nghiệm:
3
x k


= +
.
( )k Z
Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Bài tập5: Giải các phơng trình sau:
) sin 2 si n 5 cosa x x x=
) 3 2sin sin 3 3cos 2b x x x+ =
) 2sin cos 2 1 2cos 2 sin 0c x x x x + =
Kết quả:
8 3
) ,( )
16 2

= +




=


x k
a k Z
x k

) ,( )

= b x k k Z

3
2
2
) ,( )
6





= +

= +


x k
c k Z
x k
IV, áp dụng giải hệ phơng trình lợng giác:
Cách giải:
13
* Cách 1: Giải từng phơng trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phơng
trình đó.
* Cách 2: Giải một phơng trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm đợc vào
các phơng trình còn lại để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phơng hệ trình sau:
1,
2sin 2 (1)
tan 1 (2)

=


=


x
x

2,
cos 1
sin 2 0
=


=

x
x
3,
3 2
cos cos 2 2
cos cos 2
2
+ =



=


x x
x
x
4,
2 2
cos 6 cos 4 0
sin 2 3cos 3
+ =

=

x x
x x
Giải:
1,
* Cách 1:
- Giải (1) ta đợc:
( )
2 ( )
4
3
2 ( )
4
x k a
k Z
x k b





= +




= +

- Giải (2) ta đợc:
( )
( )
4
x l l Z c


= +
.
Ta thấy (a) bị chứa trong (c) khi l = 2k.
còn
1
( ) 2
4 2
b x k



= + +


không có giá trị nào chung với (c).
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
( )
4
x l l Z

= +
* Cách 2:
- Giải (1) ta đợc:
( )
2 ( )
4
3
2 ( )
4
x k a
k Z
x k b





= +




= +


14
- Thay vào (2) ta thấy (a) luôn thoả mãn (2) còn (b) không thoả mãn (2), (k Z).
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
( )
4

x l l Z


= +
Tơng tự:
2,
2

=x k
,
( )k Z
3,
4

=x k
,
( )k Z
4,
2


= +x k
,
( )k Z
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:
1,
2 2
2cos 3sin 5 2x x= +
(*)
2,

2 2 5
tan 2sin
4


+ = +
ữ

x cot x x
3,
( )
2
2
cos 4 cos 2 4 cos 3 = +x x x
4,
( )
2
2
cos 4 cos 2 4 cos 3 = +x x x
5,
5 8
2sin 3cos 5+ =x x

Giải:
1, Đánh giá hai vế dựa vào tính chất của các hàm số lợng giác, đa về giải hệ phơng
trình.
Vì cos
2
x

1 nên 2cos
2
x

2.
Vì sin
2
x

0 nên 3sin
2
5x + 2

2.
Do đó (*)
2
2
cos 1 (*. )
sin 5 0 (*. )
x a
x b

=



=


Phơng trình (*.a) có nghiệm x = k (k Z)

Thay vào (*.b) ta thấy thoả mãn.
Vậy nghiệm của (*) là: x = k (k Z)
Tơng tự:
2,
2
4


= +x k
, (k Z)
15
3,
2


= +x k
, (k Z)
4,
2


= +x k
, (k Z)
5, Vô nghiệm
Phần thứ ba: Kết luận
Đối với các bài toán có liên quan đến phơng trình lợng giác trong khi giảng dạy
giáo viên cần:
+ Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10.
+ Nêu các công thức nghiệm của phơng trình lợng giác cơ bản.
+ Nêu phơng pháp chung để giải từng loại bài tập.

+ Sau khi giải phơng trình xong cần hớng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của ph-
ơng trình.
C. Kiến nghị:
* Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh
* Cần bổ sung bài tập về hệ phơng trình.
* Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy.
16