tự luyện bất đẳng thức

ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
LÝ THUYẾT:
1.Các bất đẳng thức thông dụng cần nắm:
a.
( )
2 2
a +b 2 ,ab a b≥ ∀ ∈¡
b.
( )
2 2
,
2
a b
ab a b
+
≤ ∀ ∈¡
c.
( )
2
,
2
a b
ab a b
+
 
≤ ∀ ∈
 ÷
 
¡
d.
2a b ab+ ≥

( )
0, 0a b≥ ≥
e.
3
3a b c abc+ + ≥
g.
3
3
a b c
abc
+ +
 
≤
 ÷
 
h.
3 3 3
3
a b c
abc
+ +
≤
i.
3 3 3
a +b 3c abc+ ≥
k.
1 1 4
x y x y
+ ≥

+
, 0x y
>
l.
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
, , 0z y z
>
m.
1 1 1 1
( )
4x y x y
≤ +
+
n.
2
1 4
( , 0)
( )
x y
xy
x y
≥ >
+
p.
3 3 2 2
( , 0)a b a b ab a b+ ≥ + ≥
q.a, b > 0 ,

2≥+
a
b
b
a
r.
( )
( )
2
2 2 2
3 a b c a b c≥+ + + +
o.
3
3 3
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
i.
ab bc ac a b c+ + ≤ + +
2. Bất đẳng thức CAUCHY.
a) Cho
a+b
0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
b) Cho

3
a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc
. Đẳng thức xảy ra khi a= b = c
c) Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
= = =
n
a a a
(Gọi là điểm rơi trong BDDT)
3. Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 1 2
.
n n n n

a x a x a x a a a x x
+ + + ≤ + + + + + +
dấu “=” xảy ra khi
1 2
1 2

a a
x x
= =
Các dạng khác của BUNHIACOPXKI
a.
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
. (mở rộng n số.)
Cho dãy số dương a
1
, a
2
,…a
n
và b
1
, b
2
, b
n
tùy ý CMR:
b.
n
bbb

n
aaa
n
b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2
2
2
1
2
1
c.
2
1 21 2

1 2 1 1 2 2
( )


n n
n n n
a a a aa a
x x x a x a x a x
+ +
+ + + ≥
+ + +
1
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC :
1. DẠNG SỬ DỤNG CAUCHY KẾT HỢP CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1.(ĐH-A-2007). Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1.
Tìm GTNN của biểu thức :P=
( )
2
x y z
y y 2z z
+
+
+
( )
2
y z x
z z 2x x
+
+

+
( )
2
z x y
x yx 2y y
+
+
.
HD:Ta có
( )
2
x y z 2x x+ ≥
;
( )
2
y z x 2y y+ ≥
;
( )
2
z x y 2z z+ ≥
⇒
P
2x x
y y 2z z
≥
+
+
2y y
z z 2x x+
+

2z z
x x 2y y+
Đặt a=
x x 2y y+
; b=
y y 2z z+
;c=
z z 2x x+
⇒
4c a 2b
x x
9
+ −
=
;
4a b 2c
y y
9
+ −
=
;
4b c 2a
z z
9
+ −
=
Vậy P
2
9
≥

(
4c a 2b
b
+ −
+
4a b 2c
c
+ −
+
4b c 2a
a
+ −
)=
( )
2 c b a a b c 2
4 6 4.3 3 6 2
9 b a c b c a 9
 
   
+ + + + + − ≥ + − =
 ÷  ÷
 
   
 
Dấu “=” xảy ra
x y z 1⇔ = = =
. Vậy Min P = 2 .
Chú ý: *Đặt a=
x x 2y y+
, b =

y y 2z z+
mục đích để đơn giản hóa mẫu thức và tách thành các biểu
thức để áp dụng CS sao cho sau khi đánh giá thì Vế phải là hằng số.
*có thể đặt a =
x
, b =
y
, c= ngay từ đầu để khử vơ tỷ
2 .(ĐH-B-2007). Cho x>0,y>0,z>0 thay đổi. Tìm GTNN của:P=
x 1
x
2 yz
 
+
 ÷
 
+
y 1
y
2 xz
 
+
 ÷
 
+
z 1
z
2 xy
 
+

 ÷
 
.
HD:Cách 1:
2
2 2
2 2 2
1 1
( )( )
2 2 2 2
y y
x z x z
P x y z
yz zx xy xyz
= + + + + + = + + +

2 2 2 2 2 2
3
3
2 2 2
1 1 1 1 1 9
( )(1 ) 9 . .3
2 2 2
.
x y z x y z
xyz xyz
x y z
= + + + + ≥ =
Cách 2 P=
2 2 2 2 2 2

x y z x y z
2 2 2 xyz
+ +
+ + +
. Do x
2
+y
2
+z
2
=
2 2
x y
2
+
+
2 2
y z
2
+
+
2 2
z x
2
+
≥
xy+yz+zx nên P
2 2 2
x 1 y 1 z 1
2 x 2 y 2 z

     
≥ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Hướng 1:P
2 2 2
x 1 y 1 z 1
2 x 2 y 2 z
     
≥ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
=
2 2
3
3
1 1 1 1 9
( ) 3 . . 3
2 2 2 2 2 2 2
x x
x x x x
≥ + + + ≥ + + ≥
Vậy min P =
9
khi x = y = z =1
2
Hướng 2: Xét hàm số f(t) =
2
t 1
2 t

+
với t>0. Từ BBT của f(t) suy ra
( )
3
f t , t 0
2
≥ ∀ >
. Suy ra P
9 9
;P x y z 1
2 2
≥ = ⇔ = = =
. Vậy Min P = 9/2 .
3.D05Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
+ + + +
+ +
+ + ≥
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3
xy yz zx
.Khi nào đẳng thức xảy ra?
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 3 số dương ta có:
2
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
1 + x
3
+ y

3
≥ 3
3 3
3
1.x .y
= 3xy ⇔
+ +
≥
3 3
1 x y
3
xy
xy
(1)
Tương tự:
+ +
≥
3 3
1 y z
3
yz
yz
(2);
+ +
≥
3 3
1 z x 3
zx
zx
(3)

Mặt khác
+ + ≥
3
3 3 3 3 3 3
3
xy yz zx xy yz zx
Dấu “=” xảy ra
4.Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
3 3
3
2 2 2
x y z
P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2
y z x
 
= + + + + + + + +
 ÷
 ÷
 
Lời giải : Với x, y > 0 ta chứng minh : 4(x
3
+ y
3
) ≥ (x + y)
3
(∗) Dấu = xảy ra ⇔ x = y
Thật vậy (∗) ⇔ 4(x + y)(x
2
– xy + y

2
) ≥ (x + y)
3
⇔ 4(x
2
– xy + y
2
) ≥ (x + y)
2
do x, y > 0
⇔ 3(x
2
+ y
2
– 2xy) ≥ 0 ⇔ (x – y)
2
≥ 0 (đúng)
Tương tự ta có :4(y
3
+ z
3
) ≥ (y + z)
3
Dấu = xảy ra ⇔ y = z,,4(z
3
+ x
3
) ≥ (z + x)
3
Dấu = xảy ra ⇔ z = x

Do đó
( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
4 x y 4 y z 4 z x 2 x y z 6 xyz+ + + + + ≥ + + ≥
Ta lại có
3
222
xyz
6
x
z
z
y
y
x
2 ≥








++
Dấu = xảy ra ⇔ x = y = z
Suy ra

12
xyz
1
xyz6P
3
3
≥








+≥
Dấu = xảy ra ⇔



==
=
zyx
1xyz
⇔
x = y = z = 1Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1
5 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷

     
x x x
x x x
12 15 2 0
3 4 5
5 4 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
       
+ ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
x x x x
12 15 12 15
2 .
5 4 5 4
⇒
   
+
 ÷  ÷
   
x x
12 15
5 4
≥ 2.3
x
(1)
Tương tự ta có:
   
+
 ÷  ÷

   
x x
12 20
5 3
≥ 2.4
x
(2)
   
+
 ÷  ÷
   
x x
15 20
4 3
≥ 2.5
x
6.Cho hai số dương
y,x
thay đổi thoả mãn điều kiện
4yx ≥+
. Tìm GTNN
2
32
y
y2
x4
4x3
A
+
+

+
=
.
A =
2 3
2 2
3x 4 2 y 3x 1 2
y
4x 4 x
y y
+ +
+ = + + +
⇒ A
2
x 1 1 y y x y
2
4 x 8 8 2
y
 
+
= + + + + +
 ÷
 
3 9
1 2 .
2 2
≥ + + =
Với x = y = 2 thì A =
9
2

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
9
2
Lưu ý: vì sao ta tách
3x
4
=
x
4
+
2
x
;
2( )
2 2 8 8 2
y y y y y
y = + = + +
3
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Vì dự đoán dấu “=” xảy ra khi x = y = 2. và khi x = 2 thì
1
4
x
x
=

7.A05Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có
( )
256
y

9
1
x
y
1x1
2
≥








+






++
.
Ta có: 1 + x = 1 +
+ + ≥
3
4
3
x x x x

4
3 3 3
3
,1 +
y
x
= 1 +
+ + ≥
3
4
3 3
y y y y
4
3x 3x 3x
3 x
1+
9
y
=1 +
+ + ≥
3
4
3
3 3 3 3
4
y y y
y
⇒
 
+ ≥

 ÷
 ÷
 
2
6
4
3
9 3
1 16
y
y
Vậy
( )
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
y 9
1 x 1 1
x
y
≥ 256
3 3 6
4
3 3 3 3

x y 3
. .
3 3 x y
= 256
Lưu ý: Trả lời câu hỏi: Vì sao tách 1 + x = 1 +
+ +
x x x
3 3 3
,1 +
y
x
= 1 +
+ +
y y y
3x 3x 3x
????
8.A05.Cho x, y, z là ba số thoả mãn
0zyx =++
. Cm :
6434343
zyx
≥+++++
Ta có: 3 + 4
x
= 1 + 1 + 1 + 4
x
≥ 4
4
x
4

⇒
+ ≥ =
8
4
x x x
3 4 2 4 2 4
?????
Tương tự:
+ ≥
8
y y
3 4 2 4
;
+ ≥
8
z z
3 4 2 4
Vậy
+ + + + +
x y z
3 4 3 4 3 4
≥ 2
 
+ +
 
 
8 8 8
x y z
4 4 4
≥

3
8
x y z
6 4 .4 .4
≥ 6
+ +
24
x y z
4
= 6
9.B05.Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì
4
1
xyyx ≤−
. Khi nào đẳng thức xảy ra?
Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 ⇒
x
≥ x
2
,
− ≤
1
x y y x
4
⇔
≤ +
1
x y y x
4
(1)Theo BĐT Côsi ta có:

+ ≥ + ≥ =
2 2
1 1 1
y x yx 2 yx . x y
4 4 4
⇒
− ≤
1
x y y x
4
Dấu "=" xảy ra ⇔

≤ ≤ ≤

=



= ⇔
 
=
 


=

2
2
0 y x 1
x 1

x x
1
y
1
4
yx
4
10.B05.Cho a, b, c là các số dương thoả mãn
.
4
3
cba =++
Chứng minh rằng:
.3a3cc3bb3a
333
≤+++++
Khi nào đẳng thức xảy ra?
2 Ta có:
+ + +
+ ≤ = + +
3
a 3b 1 1 1
(a 3b).1.1 (a 3b 2)
3 3
,,
+ + +
+ ≤ = + +
3
b 3c 1 1 1
(b 3c).1.1 (b 3c 2)

3 3
+ + +
+ ≤ = + +
3
c 3a 1 1 1
(c 3a).1.1 (c 3a 2)
3 3
=>:
[ ]
+ + + + + ≤ + + +
3 3 3
1
a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6
3
≤
 
+
 
 
1 3
4. 6
3 4
= 3
Dấu "=" xảy ra ⇔

+ + =



+ = + = +


3
a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
⇔ a = b = c =
1
4
• Cách 2:Đặt x =
+
3
a 3b
⇒ x
3
= a + 3b; y =
+
3
b 3c
⇒ y
3
= b + 3c;
4
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
z =
+
3
c 3a
⇒ z
3
= c + 3a⇒ x

3
+ y
3
+ z
3
= 4(a + b + c) = 4.
3
4
= 3. BĐT cần cm ⇔ x + y + z ≤ 3
Ta có: x
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
x .1.1
= 3x; y
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
y .1.1
= 3y;z
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
z .1 .1
= 3z
⇒ 9 ≥ 3(x + y + z) (vì x
3

+ y
3
+ z
3
= 3)Vậy x + y + z ≤ 3
Dấu "=" xảy ra ⇔

= = =


+ + =


3 3 3
x y z 1
3
a b c
4
⇔
+ = + = +





a 3b b 3c c 3a=1
3
a+b+c=
4
⇔ a = b = c =

1
4
Lưu ý: Cách 1: Vì sao ta phân tích để đánh giá
+ + +
+ ≤
3
a 3b 1 1
(a 3b).1.1
3
.
Cách 2:x
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
x .1.1
= 3x ??????
11.D05.Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn
1xyz =
. Cm:
2
3
x1
z
z1
y
y1
x
222
≥

+
+
+
+
+
Ta có:
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2
x 1 y x 1 y
2 . x
1 y 4 1 y 4
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2
y 1 z y 1 z
2 . y
1 z 4 1 z 4
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2
z 1 x z 1 x
2 . z
1 x 4 1 x 4
Cộng 3 BDT, vế theo vế, ta có:
     
+ + +

+ + + + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
2 2 2
x 1 y y 1 z z 1 x
x y z
1 y 4 1 z 4 1 x 4
⇔
+ +
+ + ≥ − − + + +
+ + +
2 2 2
x y z 3 x y z
x y z
1 y 1 z 1 x 4 4
≥
+ +
−
3(x y z) 3
4 4
≥
− = − =
3 3 9 3 3
.3
4 4 4 4 2
(vì x + y + z ≥ 3
3
xyz

=
3)Vậy:
+ + ≥
+ + +
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
.
Lưu ý: Vì sao lại ghép:
+
2
x
1 y
với
+1 y
4
để có
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2
1 y 1 yx x
2 . x
1 y 4 1 y 4
Cách 2: Sử dụng:
n
bbb
n
aaa
n

b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2
2
2
1
2
1
và sau đó áp dụng CS .
5
ễN TP BT NG THC-(4/2011)_- GV: Hong Hi ng
12.Gi s x, y l hai s dng thay i tho món iu kin x + y =
5
4

. Tỡm GTNN biu thc: S =
+
4 1
x 4y
Cỏch 1: S =
+ + + +
5
1 1 1 1 1 5
x x x x 4y
x.x.x.x.4y

+ + + +
5.5
x x x x 4y
= 5.minS = 5

=



=



+ =


1 1
x 4y
x 4y

5
x y
4

=



=


x 1
1
y
4
Cỏch 2: S =
+

4 1
x 5 4x
= f(x),0 < x <
5
4
,f(x) =
+

2 2
4 4
x (5 4x)
;f(x) = 0

=


< <


2 2
x (5 4x)
5
0 x
4
x = 1
Lp bng xột du f(x), suy ra minS = 5.
Cỏch 3: 2 +
= +
1 2 1
x . y .
2
x 2 y

+ +
4 1
x y .
x 4y
(3)Du = (3) xy ra

=

+ =


2 1
x . x 2 y . y
5
x y
4

=



+ =


x 4y
5
x y
4

=



=

x 1
1
y
4
(3)


+
ữ
ữ


2
5 5 4 1
.
2 4 x 4y

+
4 1
x 4y
5
13.A06.Cho cỏc s thc
z,y,x
tho món iu kin
1333
zyx
=++

. Chng minh rng :
4

333
33
9
33
9
33
9
zyx
yzz
z
xzy
y
zyx
x
++

+
+
+
+
+
+++

14.Cho x, y, z > 0 tha món
1
=++
zxyzxy
. Tỡm GTNN ca biu thc P =
xz
z

zy
y
yx
x
+
+
+
+
+
222
15.Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a
2009
+ b
2009
+ c
2009
= 3. Tìm GTLN của biểu thức P = a
4
+ b
4
+ c
4
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a
2009
ta có
)1(.2009 20091 11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005

aaaaaaaaa =+++++++

Tơng tự ta có
)2(.2009 20091 11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005
bbbbbbbbb =+++++++

)3(.2009 20091 11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005
ccccccccc =+++++++

Cộng theo vế (1), (2), (3)
2009 2009 2009 4 4 4 4 4 4
6015 4( ) 2009( ) 6027 2009( )a b c a b c a b c+ + + + + + +
Từ đó suy ra
3
444
++= cbaP
.Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
16.Cho x, y, z >o tho món
1 1 1
2009
x y z
+ + =

Tỡm GTLN ca biu thc:P =
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
p dng bt ng thc Cụ- Si, ta cú:4ab (a + b)
2

1
4
a b
a b ab
+

+

1 1 1
( , 0)
4
a b
a b

= + >
ữ

Ta cú:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z

+ + + = + +

ữ ữ ữ
+ + +


6
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Tương tự:
1 1 1 1 1
2 8 2 2x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
và
1 1 1 1 1
2 8 2 2x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
Vậy
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
1 1 1 1 2009

4 4x y z
 
≤ + + =
 ÷
 
Vậy MaxP =
2009
4
khi x = y = z =
12
2009
Cách 2: Sử dụng
2
1 21 2
1 2 1 1 2 2
( )


n n
n n n
a a a aa a
x x x a x a x a x
+ +
+ + + ≥
+ + +
như sau:
2
(2 1 1)
2 1 1
2x y x x y z

+ +
+ + ≥
+ +
. Do đó :
1
2x y z+ +
≤
1 1 1 1
8 2 2x y z
 
+ +
 ÷
 
17.A05.Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
+ + =
1 1 1
4
x y z
.CMR:
+ + ≤
+ + + +
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z
18.Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa x + y + z = 1. Tìm GTLN P =
2 2 2
xy yz zx
x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +

19.Cho ba số thực a, b, c dương . Chứng minh :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
a b c
a b a c b c b a c b c a
+ + ≤
+ + + + + +
20.Cho ba số thực a, b, c dương . Chứng minh :
( )
3 3 3
2 2 2
1
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +
Dấu đẳng
thức xãy ra khi nào ?
Ta có :
( )
( )
( )
( )
3
2
3 3 3 3
2 2 2 2

3
2
1 2
2
2 9 3
1 2 1
2
2 9 3 2 2 2 3
1 2
2
2 9 3
a
a a b a
a b
b a b c
b b c b a b c
b c a b b c c a
c
c c a c
c a

+ + ≥

+


+ + ≥ ⇒ + + ≥ + +

+ + + +



+ + ≥

+

Dấu bằng xảy ra khi :
a b c= =
(Kỷ thuật ghép thêm)
21.Cho a,b,c >0 và abc=1. CM:
3 3 3
3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
HD:
3
1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
a a b
a
a b
+ +
+ + ≥
+ +
22.CMR:
4 4 4
2 2 2
2

( ) ( ) ( )
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + +
HD:
4
2
2
2 2 4
( )
a b b c a
a
b c a
+
+ + + ≥
+
23.A03.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin
5
x +
3
cosx
7
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Tìm max: y = sin
5
x +
3
cosx ≤ sin

4
x +
3
cosx (1)
Ta chứng minh: sin
4
x +
3
cosx ≤
3
, ∀x ∈ R (2)
⇔
3
(1 – cosx) – sin
4
x ≥ 0 ⇔
3
(1 – cosx) – (1 – cos
2
x)
2
≥ 0
⇔ (1 – cosx).[
3
– (1 – cosx)(1 + cosx)
2
] ≥ 0 (3)
Theo BĐT Côsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =
1

2
(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
 
= <
 ÷
 
3
1 4 32
3
2 3 27
Vậy BĐT (3) đúng ⇒ (2) đúng ⇒ y ≤
3
, ∀x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 ⇔ x = k2π. Vậy maxy =
3
.
• Tìm min: Ta có y = sin
5
x +
3
cosx ≥ – sin
4
x +
3
cosx.
Tương tự như trên, ta được miny = –
3
, đạt được khi x = π + k2π.
24.Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5

-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng :

+ + +
+ +
+ + +
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y

≥
+ +
5 5 5
4
x y z

Đặt 5
x
= a , 5
y
=b , 5
z
= c . Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng :
2 2 2
4
a b c a b c

a bc b ca c ab
+ +
+ + ≥
+ + +
( *)
( *)
⇔
3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c
a abc b abc c abc
+ +
+ + ≥
+ + +

⇔

3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
Ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c

a
a b a c
+ +
+ + ≥
+ +

( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) Tương tự
3
3
( )( ) 8 8 4
b b c b a
b
b c b a
+ +
+ + ≥
+ +
( 2)

3
3
( )( ) 8 8 4
c c a c b
c
c a c b
+ +
+ + ≥
+ +
( 3) . Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3)
2. SỬ DỤNG CS KẾT HỢP BUNHIACOPXKI
1.B06 Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A =
( ) ( )
− + + + + + −
2 2
2 2
x 1 y x 1 y y 2
Áp dụng:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
Ta có :
( ) ( )
− + + + + ≥ + = +
2 2
2 2 2 2
x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y
8
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Do đó: A ≥ 2
+ + −
2
1 y y 2
= f(y)
• Với y ≤ 2 ⇒ f(y) = 2
+
2
1 y
+ 2 – y ⇒ f′(y) =
+
2
2y

y 1
– 1
f′(y) = 0 ⇔ 2y =
+
2
1 y
⇔
≥



= +


2 2
y 0
4y 1 y
⇔ y =
1
3
Do đó ta có bảng biến thiên như trên
• Với y ≥ 2 ⇒ f(y) ≥ 2
+
2
1 y
≥ 2
5
> 2 +
3
.Vậy A ≥ 2 +

3
với mọi số thực x, y.
Khi x = 0 và y =
1
3
thì A = 2 +
3
Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 +
3
.⇒
+ + ≥
3 3 3
3 3
xy yz zx
2.A03 Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. CM:
+ + + + + ≥
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
Áp dụng
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
cho bộ ba số:
P =
+ + + + +
2 2 2
2 2 2
1 1 1

x y z
x y z
≥
 
+ + + + +
 ÷
 
2
2
1 1 1
(x y z)
x y z
Cách 1: Ta có: P≥
 
+ + + + +
 ÷
 
2
2
1 1 1
(x y z)
x y z
≥
( )
 
+
 ÷
 ÷
 
2

2
3
3
1
3 xyz 3
xyz
=
+
9
9t
t
với t =
2
3
( xyz)
⇒ 0 < t ≤
+ +
 
≤
 ÷
 
2
x y z 1
3 9
Đặt Q(t) = 9t +
9
t
⇒Q′(t) = 9 –
2
9

t
< 0, ∀t∈
 


 
1
0;
9
⇒Q(t) giảm trên
 


 
1
0;
9
⇒ Q(t) ≥ Q
 
 ÷
 
1
9
= 82. Vậy
P ≥
≥Q(t) 82
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
1
3
.

Cách 2: Ta có: (x + y + z)
2
+
 
+ +
 ÷
 
2
1 1 1
x y z
= 81(x + y + z)
2
+
 
+ +
 ÷
 
2
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2
≥ 18(x + y +
z).
 
+ +
 ÷
 
1 1 1
x y z

– 80(x + y + z)
2
≥ 162 – 80 = 82Vậy P ≥
82
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
1
3
.
9
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
3.A02Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ∆ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA,
AB. Chứng minh rằng:
+ +
+ + ≤
2 2 2
a b c
x y z
2R
(a, b, c là các cạnh của ∆ABC, R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
+ + = + +
1 1 1
x y z . ax . by . cz
a b c
≤
 
+ +
 ÷
 
1 1 1

(ax+by+cz)
a b c
≤
 
+ +
 ÷
 
1 1 1
.2S
a b c
=
 
+ +
 ÷
 
1 1 1 abc
a b c 2R
=
+ +ab bc ca
2R
≤
+ +
2 2 2
a b c
2R
Dấu “=” xảy ra ⇔
= =


= =


a b c
x y z
⇔
∆

∆

ABC đ ều
M trùng với trọng tâm G của ABC
4.B06Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
0x
x
7
14
x2
11
xy
2
>






+++=
.
Áp dụng bất đẳng thức :

( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
a b c d ac bd+ + ≥ +
Ta có :
( )
2
2
7 7
9 7 1 3
x x
   
+ + ≥ +
 ÷  ÷
   
⇒
11 1 7
y x 3
2x 2 x
 
≥ + + +
 ÷
 
9 3 3 15
x 6
x 2 2 2
 
= + + ≥ + =
 ÷

 
Khi x = 3 thì y =
15
2
nên giá trị NN của y là
15
2
.
5.Cho
2 2
0
1.
xy
x y
≥


+ =

Tìm GTLN và GTNN của
1 1A x y y x
= + + +
Ta có:
2 2
1 1 ( )( 2) 2 2S x y y x x y x y
= + + + ≤ + + + ≤ +
.
“=”
2
2

x y⇔ = =
.Do
0, 0
0
0, 0
x y
xy
x y
< <

≥ ⇒

≥ ≥

∙
0, 0x y≥ ≥
ta khơng xét.
∙x < 0, y < 0.Gt: x
2
+ y
2
= 1
1 0
1 0
x
y
− ≤ <

⇒


− ≤ <

.
Ta có :
( )
( 1) 1
2
1
1
2
2
1 1
2
1
1
2
2
y
y
y
y
x
x
x
x
+ +
 +

≥ +
≥ +



 
⇔
 
+ +
+
 
≥ +
≥ +





1 1S xy x y S xy x y⇔ ≥ + + ⇔ + ≥ + + +
.
( ) ( )
1 1 1 0S x y
⇔ + ≥ + + ≥
1S
⇔ ≥ −
0 1
" "
1 0
x y
x y
= → = −

= ⇔


= − → =

Vậy: MaxS =
2
2 2
2
x y
+ ⇔ = =

và MinS = -1
0 1
1 0
x y
x y
= → = −

⇔

= − → =

10
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
6.Cho a, b, c > 0. CMR:
2
222
cba
ba
c
ac

b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
(Áp dụng BNS mở rộng là OK)
7.Cho xy+yz+zx = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa
4 4 4
x y z+ +
¸p dơng B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta cã
( )
( )
2
2
2 2 2
xy yz zx x y z+ + ≤ + +

( )
2
2 2 2
1 x y z⇒ ≤ + +
(1)
Ap dơng B§T Bunhiacèpski cho (
2 2 2
, ,x y z

) vµ (1,1,1)
Ta cã
2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 4 4 4
( ) (1 1 1 )( )
( ) 3( )
x y z x y z
x y z x y z
+ + ≤ + + + +
→ + + ≤ + +
Tõ (1) vµ (2)
4 4 4
1 3( )x y z⇒ ≤ + +

4 4 4
1
3
x y z⇒ + + ≤
VËy
4 4 4
x y z+ +
cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ
1
3
khi x=y=z=
3
3
±
8.Cho ba số
0,, >cba

. Thỏa mãn .
abccabcab =++
CMR:
3
222
222222
≥
+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
(*)
Từ giả thuyết ta có
0c,b,a
>
abccabcab =++
1
c
1
b
1
a
1

=++⇔
( )
3
111111111
*
222222222
≥++++++++⇔
aacccbbba
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có .
222222
zyx.111zyx ++++≤++
Do đó ta có .






++≥++
b
1
b
1
a
1
3
1
b
1
b

1
a
1
222
,






++≥++
c
1
c
1
b
1
3
1
c
1
c
1
b
1
222
,







++≥++
a
1
a
1
c
1
3
1
a
1
a
1
c
1
222
Cộng vế theo vế ta được .






++≥
+
+

+
+
+
c
1
b
1
a
1
3
3
1
cb
c2a
bc
b2c
ab
a2b
222222
,
3
cb
c2a
bc
b2c
ab
a2b
222222
≥
+

+
+
+
+
9.Cho c¸c sè thùc d¬ng a,b,c thay ®ỉi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1.
Chứng minh rằng :
2 2 2
2.
a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
HD :Tách thành A + B
10.Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
3.a b c
+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 9 16 9 16 4 16 4 9 .
a b c a b c a b c
M = + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 3 3 3 4 4 4
a b c a b c a b c
M ≥ + + + + + + + +
Theo cơ – si có
3
2
2 2 2 3 2 6

b c a b c+ +
+ + ≥ =
. Tương tự …
Vậy
3 29.M ≥
Dấu bằng xảy ra khi
1.a b c= = =
11
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
11.Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= + + + + +
2 2 2
2 1 3 16 36S x y z

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ KẾT HỢP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ghi nhớ: Đã đổi biến thì phải tìm “miền giá trị” của biến nếu có
1.
2
3
≥
+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a

(dễ)
2.Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta cã bÊt ®¼ng thøc : -
2 2 2 2
2 2 2 2
( )(1 )
1 1
4 4
(1 ) (1 )
x y x y
x y
− −
≤ ≤
+ +
Gi¶i:
§Ỉt : a =
)1)(1(
22
22
yx
yx
++
−
vµ b =
)1)(1(
1
22
22
yx
yx
++

−
=> ab =
2222
2222
)1()1(
)1)((
yx
yxyx
++
−−
Ta cã dƠ thÊy víi mäi a, b th× : -
22
)(
4
1
)(
4
1
baabba +≤≤−
Mµ : (a - b)
2
=
2
2
1
2
1







+
−
x
(a + b)
2
=
2
2
1
2
1






+
−
y
Suy ra : -
4
1

≤
ab
≤

4
1
.
Chú ý: có thể sử dụng phương pháp LƯỢNG GIÁC HĨA
3.Giả sử
yx,
là những số dương thỏa mãn điều kiện :
1yx =+
Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
xy
1
xyP +=
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
4
1
xyxy2yx1 ≤⇔≥+=
đặt
4
1
t0xyt ≤<⇒=
/
2
1 1 1
, 1 0 (0, ]
4
P t p x
t
t
= + = − < ∀ ∈

4
17
)
4
1
(min
4
1
,0
=≥






∈
PP
x

2
1
yx
1yx
4
1
xy
4
17
Pmin ==⇔






=+
=
⇔=
4.B10Cho các số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị NN của biểu thức
M=3(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) +
2 2 2
2 a b c+ +
.
Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a
2
+ b
2
+ c

2
≥ ab + bc + ca⇒ 1 = (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab
+ bc + ca)⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 – 2t và
1
0
3
t≤ ≤
Theo B.C.S ta có : t
2
= (ab + bc + ca)
2
≤ 3(a
2
b
2
+ b

2
c
2
+ c
2
a
2
)⇒ M ≥
2
3 2 1 2 ( )t t t f t+ + − =
12
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
f’(t) =
2
2 3
1 2
t
t
+ −
−
f ’’(t) =
3
2
2
(1 2 )t
−
−
< 0, ∀t ∈
1
0,

3
 
 
 
⇒ f’(t) là hàm giảm
1 11
'( ) '( ) 2 3
3 3
f t f≥ = −
> 0 ⇒ f tăng ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2, ∀t ∈
1
0,
3
 
 
 
⇒ M ≥ 2, ∀ a, b, c khơng âm thỏa a + b + c = 1Khi a = b = 0 và c =
1 thì M = 2. Vậy min M = 2.
5.A2009:Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz,
ta có (x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)
3
.
x(x+y+z) = 3yz
1 3
y z y z
x x x x

⇔ + + =
Đặt
0, 0, 0
y z
u v t u v
x x
= > = > = + >
Ta có

( ) ( )
2
2
2
1 3 3 3 3 4 4 0 2 3 2 0 2
2 4
+
 
+ = ≤ = ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥
 ÷
 
u v t
t uv t t t t t
Chia hai vế cho x
3
bất
đđẳng thức cần chứng minh đưa về
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 3 1 1 5u v u v u v u v+ + + + + + + ≤ +
Đúng do t ≥ 2.

Có thể đặt: a = x+y, b = x+z, và c = y + z thay vào và chứng minh.
6.B09.Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1
3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

+ + ≥

⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥

+ − ≥



2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
+
⇒ + ≥ ≥
dấu “=” xảy ra khi :
1
x y
2
= =
Ta có :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4
+
≤
( )
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
= + + − + + = + − − + +
 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(x y ) 9

3 (x y ) 2(x y ) 1 (x y ) 2(x y ) 1
4 4
 
+
≥ + − − + + = + − + +
 
 
Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2
2
9 1 9 1 1 9
f (t) t 2t 1, t , f '(t) t 2 0 t f (t) f ( )
4 2 2 2 2 16
= − + ≥ = − > ∀ ≥ ⇒ ≥ =
Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
= = =
7.D09).Cho các số thực khơng âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2

+ 3x) + 25xy.
S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy = 16x
2
y
2
+ 12(x
3
+ y
3
) + 34xy= 16x
2
y
2
+ 12[(x + y)
3
– 3xy(x + y)] + 34xy =
16x
2
y
2
+ 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x
2
y
2
– 2xy + 12 ,Đặt t = x.y, vì x, y ≥ 0 và x + y = 1 nên 0 ≤ t ≤ ¼ Khi đó S
= 16t

2
– 2t + 12 , S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 ⇔ t =
1
16
,S(0) = 12; S(¼) =
25
2
; S (
1
16
) =
191
16
. Vì S liên tục [0; ¼ ]
nên :Max S =
25
2
khi x = y =
1
2
,Min S =
191
16
khi
2 3
x
4
2 3
y
4


+
=



−

=


hay
2 3
x
4
2 3
y
4

−
=



+

=


8.Cho các số thực x, y, z>0 thoả mãn

2 2 2
4
3
x y z
+ + =
.Tìm GTLN biểu thức
( )
4
3P x y z
x y z
= + + +
+ +
Đặt
2 2
4 4
2( ) 2( )
3 3
t x y z t xy yz zx xy yz zx t
= + + ⇒ = + + + ⇒ + + = −
13
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng

( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 3 3 4
3( ) 4 2,,,
3 3 3
x y z x y z x y z t t A t
t

+ + ≤ + + ≤ + + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ = + −
Xét hàm số
2
3 4
( )
3
f t t
t
= + −

trên
2 3
;2
3
 
 
 
,
3
2 2
3 2 3 2 3
'( ) 2 0
3
t
f t t t
t t
−
= − = > ∀ ≥
Hàm số f(t) đồng biến trên
2 3

;2
3
 
 
 
do đó
25
( ) (2)
6
f t f≤ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi t=2
9.Cho x, y, z
0≥
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
Ta có:
( )
3
3 3
4
x y
x y

+
+ ≥
(Tự CM)
Đặt x + y + z = a. Khi đó
( ) ( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +

(với t =
z
a
,
0 1t≤ ≤
)Xét hàm số f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
với t
[ ]

0;1∈
. Có
( )
[ ]
2
2
1
'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t
 
= − − = ⇔ = ∈
 
( )
[ ]
0;1
64
inf
81
t
M t
∈
⇒ = ⇒
GTNN của P là
16
81
đạt được khi x = y = 4z > 0
10.Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9 9 9 9 9 9

6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
P
x x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +
Có x, y, z >0, Đặt : a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
(a, b, c >0 ; abc=1)đc :
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
3 3 2 2
2 2 2 2
( )
a b a ab b
a b
a ab b a ab b
+ − +
= +

+ + + +
mà
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
− +
≥
+ +
(Biến đổi tương đương)
2 2
2 2
1
( ) ( )
3
a ab b
a b a b
a ab b
− +
=> + ≥ +
+ +
Tương tự:
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1
( ); ( )
3 3
b c c a

b c c a
b bc c c ca a
+ +
≥ + ≥ +
+ + + +
=>
3
2
( ) 2. 2
3
P a b c abc≥ + + ≥ =
(BĐT Côsi)
=> P
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔
Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1
11.Cho
0, 0, 1x y x y
> > + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
x y
T
x y
= +
− −
14
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Đặt
2 2
cos ; sin 0;

2
x a y a a
π
 
= = ⇒ ∈
 ÷
 
khi đó
( ) ( )
2 2 3 3
sin cos 1 sin .cos
cos sin cos sin
sin cos sina.cos sin .cos
a a a a
a a a a
T
a a a a a
+ −
+
= + = =
Đặt
2
1
sin cos 2 sin sin .cos
4 2
t
t a a a a a
π
−
 

= + = + ⇒ =
 ÷
 
Với
0 1 2
2
a t
π
< < ⇒ < ≤
Khi đó
( )
3
2
3
1
t t
T f t
t
− −
= =
−
;
( )
( )
(
( )
( )
4
2
2

3
' 0 1; 2 2 2
1
t
f t t f t f
t
− −

= < ∀ ∈ ⇒ ≥ =

−
Vậy
(
( )
( )
1; 2
min 2 2
t
f t f

∈

= =
khi
1
2
x y
= =
. Hay
min 2T

=
khi
1
2
x y
= =
.
12.Cho
, ,x y z
thuộc
[ ]
0;2
và
3x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
A x y z= + +
Giả sử:
[ ]
3 3 1 1;2x y z x y z z z z≤ ≤ ⇒ = + + ≤ ⇒ ≥ ⇒ ∈
Lại có:

( )
2
2 2 2 2 2
( ) ,(*) 3 2 6 9x y x y A z z z z+ ≤ + ⇒ ≤ − + = − +
Xét
[ ]
2
3

( ) 2 6 9, 1;2 '( ) 4 6, '( ) 0
2
f z z z z f z z f z z= − + ∈ ⇒ = − = ⇔ =
3 9
(1) 5; (2) 5;
2 2
f f f
 
= = =
 ÷
 
Kết hợp (*) ta có.ậy
max 5A
=
khi
0; 1; 2x y z= = =
13.Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện
( )
2 2
2 1x y xy+ = +
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
4 4
2 1
x y
P
xy
+
=
+

.
Đặt
t xy
=
. Ta có:
( )
( )
2
1
1 2 2 4
5
xy x y xy xy xy+ = + − ≥ − ⇒ ≥ −

Và
( )
( )
2
1
1 2 2 4
3
xy x y xy xy xy+ = − + ≥ ⇒ ≤
. ĐK:
1 1
5 3
t− ≤ ≤
.
Suy ra :
( )
( )
2

2 2 2 2
2
2
7 2 1
2 1 4 2 1
x y x y
t t
P
xy t
+ −
− + +
= =
+ +
.Do đó:
( )
( )
2
2
7
'
2 2 1
t t
P
t
− −
=
+
,
' 0 0( ), 1( )P t th t kth= ⇔ = = −

1 1 2
5 3 15
P P
   
− = =
 ÷  ÷
   
và
( )
1
0
4
P =
. KL: GTLN là
1
4
và GTNN là
2
15
( HSLT trên đoạn
1 1
;
5 3
−
 
 
 
)
14.Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
1a b c

+ + =
. Chứng minh rằng:
7
2
27
ab bc ca abc+ + − ≤
.
Ta có
2 ( ) (1 2 ) (1 ) (1 2 )ab bc ca abc a b c a bc a a a bc+ + − = + + − = − + −
. Đặt t= bc thì ta có
15
ễN TP BT NG THC-(4/2011)_- GV: Hong Hi ng
2 2
( ) (1 )
0
4 4
b c a
t bc
+
= =
.Xột hs f(t) = a(1- a) + (1 2a)t trờn on
2
(1 )
0;
4
a

Cú f(0) = a(1 a)
2
( 1 ) 1 7
4 4 27
a a+
= <
v
2
2
(1 ) 7 1 1 1 7
(2 )
4 27 4 3 3 27
a
f a a



= +
ữ
ữ
ữ


vi mi a
[ ]
0;1
Vy
7
2
27

ab bc ca abc+ +
. ng thc xy ra khi a = b = c = 1/3
15,Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. tìm GTNN của:

cba
c
bca
b
acb
a
A
+
+
+
+
+
=
1694
HD:b + c - a = 2x thì có : x , y , z dơng và a = y + z
a + c - b = 2y b = z + x
a + b - c = 2z c = x + y
16.Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :
4
3
222

++
+
++
+

++ bac
c
acb
b
cba
a
Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:
x; y; z là các số dơng và:
3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c.
17.Cho ba s thc dng x, y, z. Chng minh rng:
x y z
y z z x x y
25 4 9
12+ + >
+ + +
(*)
t
a y z b z x c x y, ,= + = + = +
(vi a > 0, b > 0, c > 0).
Suy ra:
b c a c a b a b c
x y z, ,
2 2 2
+ + +
= = =
.
Ta cú: VT (*) =
b c a c a b a b c
a b c
25( ) 4( ) 9( )

2 2 2
+ + +
+ +

=
b a c a a b
a b a c b c
25 4 25 9 4 9
19
2 2 2 2 2 2

+ + + + +
ữ ữ ữ

10 + 15 + 6 19 = 12.
S DNG PHẫP NH GI MU S
1.Cho ba s thc dng a, b, c . Chng minh rng:
a b c
a b c
a b ab b c bc c a ca
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
( )
5
3 8 14 3 8 14 3 8 14
+ + + +
+ + + + + +

Ta cú:

a b ab a b a b a b a b
2 2
1
3 8 14 ( 4 )(3 2 ) (4 6 ) 2 3
2
+ + = + + + = +
.
Tng t vi cỏc mu s cũn li. T ú:
VT (*)
a b c a b c
a b c
a b b c c a a b b c c a
2 2 2 2
( ) 1
( )
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5
+ +
+ + = + +
+ + + + + + + +
(pcm).
16
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Đẳng thức xảy ra ⇔
a b c= =
.
2.Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn
abc 1=
. Chứng minh rằng:
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca

5 5 5 5 5 5
1+ + ≤
+ + + + + +
. (*)
Trước hết ta chứng minh BĐT:
x y x y x y
5 5 2 2
( )+ ≥ +
(1) với mọi x > 0, y > 0.
Ta có: (1) ⇔
x x y y y x
3 2 2 3 2 2
( ) ( ) 0− + − ≥
⇔
x y x y
3 3 2 2
( )( ) 0− − ≥
⇔
x y x y x xy y
2 2 2
( ) ( )( ) 0− + + + ≥
(luôn đúng với mọi x > 0, y > 0).
Do đó:
ab ab
ab a b abc ab a b c
a b ab a b a b ab
5 5 2 2
1 1
( ) ( )
( )

≤ = =
+ + + +
+ + + +
.
Tương tự:
bc
bc a b c
b c bc
5 5
1
( )
≤
+ +
+ +
;
ca
ca a b c
c a ca
5 5
1
( )
≤
+ +
+ +
.
Suy ra: VT (*) ≤
a b c
ab a b c bc a b c ca a b c abc a b c
1 1 1
1

( ) ( ) ( ) ( )
+ +
+ + = =
+ + + + + + + +
. (đpcm)
Đẳng thức xảy ra ⇔
a b c 1
= = =
.
3.Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn
a b c 2
+ + =
. Chứng minh rằng:
ab bc ca
c ab a bc b ca
1
2 2 2
+ + ≤
+ + +
.
4.Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn:
ab bc ca 1+ + =
. Chứng minh rằng:
a b c
a b c
2 2 2
3
2
1 1 1
+ + ≤

+ + +
.
Ta có:
a a a a a
a b a c
a b a c
a ab bc ca a
2 2
1
2
( )( )
1
 
= = ≤ +
 ÷
+ +
 
+ +
+ + + +
.
Tương tự:
b b b
a b b c
b
2
1
2
1
 
≤ +

 ÷
+ +
 
+
,
c c c
a c b c
c
2
1
2
1
 
≤ +
 ÷
+ +
 
+
.
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra ⇔
a b c
1
3
= = =
.
5.Cho
a,b,c 0 :abc 1.> =
Chứng minh rằng:
1 1 1
1

a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3 3 3 3
a b a b a ab b ab a b
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c
1 1 c
a b 1
a b c
ab a b c
+ = + − + ≥ +
⇒ + + ≥ + + = + + = + +
⇒ ≤ =
+ +
+ +
+ +
6.Cho các số dương
, , : 3.a b c ab bc ca+ + =
Cmr

2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
2
3
3 3 ( ) 1ab bc ca abc abc= + + ≥ ⇒ ≤
.
17
ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hoàng Hải Đăng
Suy ra:
2 2
2
1 1
1 ( ) ( ) ( ) 3 (1).
3
1 ( )
a b c abc a b c a ab bc ca a
a
a b c
+ + ≥ + + = + + = ⇒ ≤
+ +
Tương tự ta có:
2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c

≤ ≤
+ + + +
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + ≤ + + = =
+ + + + + +
W
.
7.Cho a, b, c >0 thoả mãn : a + b + c =
3
4
. Tìm GTNN biểu thức
333
3
1
3
1
3
1
accbba
P
+
+
+

+
+
=

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
zyx
9
z
1
y
1
x
1
9
xyz
3
xyz3
z
1
y
1
x
1
)zyx(
3
3
++
≥++⇒=≥









++++
(*)
áp dụng (*) ta có
333333
a3cc3bb3a
9
a3c
1
c3b
1
b3a
1
P
+++++
≥
+
+
+
+
+
=
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
3
3
3
a 3b 1 1 1
a 3b 1.1 a 3b 2
3 3
b 3c 1 1 1
b 3c 1.1 b 3c 2
3 3
c 3a 1 1 1
c 3a 1.1 c 3a 2
3 3
+ + +
+ ≤ = + +
+ + +
+ ≤ = + +
+ + +
+ ≤ = + +
Suy ra
( )
3 3 3
1
a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6
3
+ + + + + ≤ + + +
 
 
1 3
4. 6 3

3 4
 
≤ + =
 
 
Do đó
3P ≥
Dấu = xảy ra
3
a b c
1
a b c
4
4
a 3b b 3c c 3a 1

+ + =

⇔ ⇔ = = =


+ = + = + =

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi
4/1cba ===
8.Cho x, y, z >0 tháa m·n xyz=1. CM
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ + ≤

+ + + + + +
§Æt x=a
3
y=b
3
z=c
3
th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã
a
3
+ b
3
=(a+b)(a
2
+b
2
-ab)
≥
(a+b)ab, do a+b>0 vµ a
2
+b
2
-ab
≥
ab
⇒
a
3
+ b
3

+1
≥
(a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
⇒
( )
3 3
1 1
a b 1 ab a b c
≤
+ + + +
( )
3 3
1 1
c 1 bc a b cb
≤
+ + + +
,
( )
3 3
1 1
a 1 ca a b cc
≤
+ + + +
Céng theo vÕ ta cã
1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
=
3 3

1
a b 1
+ +
+
3 3
1
c 1b
+ +
+
3 3
1
a 1c
+ +
18
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
≤

( )
1 1 1 1
a b c ab bc ca
 
+ +
 ÷
+ +
 
=
( )
( )
1
1

a b c
c a b+ + =
+ +
CAUCHY NGƯỢC DẤU
1.Cho
0,, >cba
và
3cba =++
Tìm giá trò nhỏ nhất
222
a1
c
c1
b
b1
a
A
+
+
+
+
+
=
Ta có
2
2 2
2
2
1 1
2

1
1 2
a ab
a
a ab
a
b b
b
b b

= −

⇒ ≥ −
+ +

+

+ ≥


Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được
( )
1)cabcab(
2
1
cbaA ++−++≥

Mà
( ) ( )
2

3( ) 3 2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + ⇒ + + ≤
Vậy từ
( )
1
và
( )
2
ta được
2
3
≥A

Đẳng thức xảy ra khi





=
=
=
c1
b1
a1
và






=
=
=
ac
cb
ba
hay
1cba ===

2.Cho
0c,b,a
>
và
3cba =++
Tìm giá trò nhỏ nhất
222
a1
c1
c1
b1
b1
a1
A
+
+
+
+
+
+
+

+
=
Ta có
2
2 2
2
2
( 1)
1
( 1)
( 1)
1
( 1)
1 1
2
1
1 2
b a
a
a
b a
a
a
b b
b
b b

+
+
= + −

+
+

⇒ ≥ + −
+ +

+

+ ≥

Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được
2
cabcab
2
cba
3A
++
−
++
+≥
Mà
( ) ( )
2
3( ) 3 2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + ⇒ + + ≤
Từ đó suy ra
3
≥
A
Đẳng thức xảy ra khi






=
=
=
c1
b1
a1
và





=
=
=
ac
cb
ba
hay
1cba ===

3.Chứng minh rằng
∀
số dương
cba ,,
,

d
ta luôn có.
2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3
+++
≥
+
+
+
+
+
+
+
Giải

Ta có
3 2
3
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
a ab
a
a b
a
a b a b
a b
a b ab

= −

⇒ ≥ −
+ +

+

+ ≥


3 3
2 2 2 2
,
2 2

b c c d
b c
b c c d
≥ − ≥ −
+ +

2
a
d
ad
d
22
3
−≥
+
Cộng vế theo vế ta được đpcm
19
ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC-(4/2011)_- GV: Hồng Hải Đăng
2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3

22
3
22
3
22
3
+++
≥
+
+
+
+
+
+
+
4.Chứng minh rằng
∀
số dương
cba ,,
,ta luôn có.
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c

cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
Ta có
( )
( )
3
3
2 2 2 2
2 2
2 2
3 3
2
ab a b
a
ab a b
a
a a b
a a
a ab b a ab b
ab
a ab b
a b ab


+
+
= −
+

⇒ ≥ − = −

+ + + +
+ +

+ ≥

Chứng minh tương tự ta có.
( ) ( )
3 3
2 2 2 2
,,
3 3 3 3
bc b c ca c a
b b c c c a
b b c c
bc ca
b bc c c ca a
+ +
+ +
≥ − = − ≥ − = −
+ + + +

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh

5.Cho
0,,, >cba
ø Chứng minh
abc
1
abcac
1
abccb
1
abcba
1
333333
≤+
++
+
++
+
++
6.Cho
0,,, >cba
Chứng minh
2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab ++
≤

+
+
+
+
+
ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Mỗi giá trị của biến làm cho dấu đẳng thức xảy ra gọi là điểm rơi của BĐT
1.Cho
0,, >yx
và
1yx
22
=+
.Tìm giá trò nhỏ nhất
33
yxA +=
Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
2
1
yx ==
)áp
dụng Cauchy cho 3 số dương.
3 3 3 3 2 3 3 3 3 2
3 3
1 1 1 1 1 1
3 . . 3 , 3 . . 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x y y y y y+ + ≥ = + + ≥ =

Cộng vế theo vế ta được .

3 3 2 2
1 1 1
2 2 3 ( )
2 2 2
x y x y A+ + ≥ + ≥

2
1
. =AMin
2.Cho
0,, >zyx
và
3zyx
222
=++
Tìm giá trò nhỏ nhất
444
zyxA ++=
Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
1== yx
)
áp dụng Cauchy cho 4 số dương .
4 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 4 2
4 4
4
1 1 4 . 1.1 4 , , 1 1 4 . 1.1 4 , , 1 1 4 . 1.1 4x x x x x y y y y y z z z z z+ + + ≥ = + + + ≥ = + + + ≥ =

cộng vế theo vế ta được .
4 4 4 2 2 2 4 4 4

2( ) 6 4( ) 12, 3x y z x y z x y z+ + + ≥ + + = + + ≥
Tổng qt: Cho
0,, >yx
,
ba
<
và
1yx
aa
=+
Tìm giá trò nhỏ nhất
bb
yxA +=
3.Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n :
2
3
≤++ cba
T×m GTNN cđa:
.
111
cba
cba +++++
20
ễN TP BT NG THC-(4/2011)_- GV: Hong Hi ng
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=== cba
khi đó
c

c
b
b
a
a
4
1
;4
1
;4
1
===
Có A =
)(3)
1
4()
1
4()
1
4( cba
c
c
b
b
a
a +++++++
Ta có :
4
1
.42

1
4 =+
a
a
a
a

V - 3 ( a+b+c )
2
9

Vy A
2
15

4.Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y = 1 . Tìm GTNN của:
)
1
)(
1
(
2
2
2
2
x
y
y
x ++
D oỏn im ri:

2
1
== yx
khi ú
2 2
2 2
1 1
.
16
256
x y
x y
= =
Vit B =
2222
22
256
255
)
256
1
(
yxyx
yx ++
5.Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn :
6+ yx
Tìm GTNN của:D =
yx
yx
86

23 +++
Ta có
y
y
x
xyxD
8
2
6
2
3
)(
2
3
+++++=
6.Chng minh rng vi mi x,y>0 v x+y=1, ta cú:
2 2
1 1
4 7xy
x y xy
+ +
+
im ri l
1
2
Ta cú:
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 (1 1) 1 1
4 4 2 .4 7

2 4 4 4
2 ( )
xy xy xy
xy xy xy xy xy
x y x y x y xy x y
+
+ + = + + + + + + =
+ + + + +
7.Cho a ; b là hai số dơng thoả mãn điều kiện : a + b = 1 .
Tìm GTNN của:
22
11
ba
ab
A
+
+=
,,
22
32
ba
ab
B
+
+=
,
.4
21
22
ab

ab
ba
C ++
+
=
(Cũn na !!!!!! )
21