Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (755.71 KB, 17 trang )
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 26: KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
* Nhắc lại về phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng : ax + b = 0 (a ≠ 0)
có nghiệm duy nhất x =
b
a
−
Ví dụ : Phương trình 2x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất x =
3
1,5
2
−
= −
;
* Khái ni
ệ
m ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) trong đó a,b và c
là các số đã biết,
(a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
Ví dụ
: Các ph
ươ
ng trình 3x - 2y = 2, x + 5y = 0, 0x + 4y = 3, x + 0y = 10 là nh
ữ
ng
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n.
* Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m là c
ặ
p s
ố
(x
0 ;
y
0
) th
ỏ
a mãn ax
0
+ by
0
= c
Ví dụ:
C
ặ
p s
ố
(3 ; 5) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình 2x – y = 1 vì 2.3 – 5 = 1
* Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy m
ỗ
i nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i m
ộ
t
đ
i
ể
m có t
ọ
a
độ
(x
0;
y
0
)
2.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n ax + by = c và a’x + b’y = c’ khi
đ
ó ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n: (I)
ax + by = c
a'x + b'y = c'
Ví dụ 1:
2x + y = 3
3x + y = 1
;
2y = 3
2x +4 y = 1
;
2x + y = 0
3x = 1
là các h
ệ
ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t 2
ẩ
n.
+) N
ế
u hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
có nghi
ệ
m chung (x
0
;y
0
) thì (x
0
;y
0
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(I).
Ví dụ 2:
2 4
1
x y
x y
+ =
− + =
có m
ộ
t c
ặ
p nghi
ệ
m (1;2);
+) N
ế
u hai ph
ươ
ng trình không có nghi
ệ
m chung thì ta nói h
ệ
(I) vô nghi
ệ
m
Ví d
ụ
:
3 2 1
6 4 2
x y
x y
− =
− + = −
H
ệ
vô nghi
ệ
m.
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
+ Cho hệ phương trình
ax
' ' '
by c
a x b y c
+ =
+ =
Hệ vô số nghiệm khi
' ' '
a b c
a b c
= =
.
Nghiệm tổng quát là
ax
x R
c
y
b
∈
−
=
hoặc
c by
x
a
y R
−
=
∈
Hệ vô nghiệm khi
' ' '
a b c
a b c
= ≠
Hệ có nghiệm duy nhất khi
' '
a b
a b
≠
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình
tương ứng hay không:
a) (-4 ; 5)
−=+−
−=−
5392
5357
yx
yx
b) (3 ; 11)
=+−
=−
32
2
yx
yx
Bài 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ và cho biết số nghiệm của mỗi hệ
phương trình sau.
a)
2 3 1
2 5
x y
x y
− =
− + =
b)
3 5
9 3 10
x y
y x
− + =
− =
c)
5 3 7
2 9
x y
y
− =
=
d)
2 3 5
9 6 15
x y
y x
− + =
− =
Bài 3: Cho hệ phương trình:
( 1) 3 4
2 6 1
m x y
x y
− + =
− =
Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất?
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình
tương ứng hay không:
a) (1,5 ; 2), (3 ; 7) và
=+−
=−
455,15
9310
yx
yx
b) (1 ; 8)
=+
=+
514
925
yx
yx
Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 2
4 6
mx y
x y m
− =
+ =
a) Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ của hệ phương trình trên.
b) Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? Vô nghiệm?
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
Tiết 27
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
*) Quy tắc thế:
- Quy tắc: Sgk trang 13
Dạng 1: Hệ phương trình chỉ có một nghiệm.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
I
(
)
( )
3 2 1
2 5 1 2
x y
x y
− =
− + =
Giải
Bước 1: Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y, ta có x = 3y + 2
(
*)
Thế phương trình
(
)
*
vào phương trình (2), ta được :
-2 (3y + 2) + 5y = 1
(
)
'1
Bước 2: Dùng phương trình
(
)
'1
thay thế cho pt
(
)
2
Và dùng phương trình
(
)
*
thay thế cho phương trình
(
)
1
, ta được hệ mới:
( )
=++−
+=
15232
23
yy
yx
Giải hệ phương trình
(
)
I
(
)
I
⇔
( )
=++−
+=
15232
23
yy
yx
⇔
−=
+=
5
23
y
yx
⇔
−=
−=
5
13
y
x
Vậy hệ
(
)
I
có nghiệm duy nhất (x;y) =
(
)
5;13 −−
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
II
=+
=−
42
32
yx
yx
Giải: Ta có:
(
)
II
( )
=−+
−=
⇔
4322
32
xx
xy
=−
+=
⇔
465
32
x
xy
=
−=
⇔
2
32
x
xy
=
=
⇔
1
2
y
x
Vậy hệ
(
)
II
có nghiệm duy nhất (x;y) =
(
)
1;2
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(III)
3
3 4 2
x y
x y
− =
− =
Giải: Ta có:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
( )
( )
3
3 3 10
3 3 4 2
3 9 4 2 7 7
x y
x y x y x
III
y y
y y y y
= +
= + = + =
⇔ ⇔ ⇔
+ − =
+ − = − = − =
Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (x;y) = (10;7)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
IV
3 2 11
4 5 3
x y
x y
− =
− =
Giải:
Nhận xét: Ta phải chia cả hai vế của một trong hai phương trình trên cho hệ số của x
hoặc y.
Ta có:
( )
5 3
3 2 11
3( ) 2 11
7
4 4
5 3
5 3 5
4 4
4 4
x y
y y
x
IV
y
x y
x y
− =
+ − =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
− =
− =
Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (x;y) = (7;5)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
4 5 3
3 5
x y
x y
− =
− =
b)
5 0
5 3 1 5
x y
x x
+ =
+ = −
Bài 2: Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5:3), B
3
; 1
2
−
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
3 5
5 2 23
x y
x y
− =
+ =
b)
3 5 1
2 8
x y
x y
+ =
− = −
Bài 2: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
2 4
5
x by
bx ay
+ = −
− = −
có nghiệm là (1;-2)
TIẾT 28: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
*) Quy tắc thế:
- Quy tắc: Sgk/13
Dạng 2: Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
(
)
I
4 2 6
2 3
x y
x y
− = −
− + =
Giải: Ta có:
( )
(
)
4 2 2 3 6
2 3
0 0
2 3
2 3
x x
y x
I
x
y x
x R
y x
− + = −
= +
⇔ ⇔
=
= +
∈
⇔
= +
Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
(
)
II
4 5 20
0,8 4
x y
x y
+ =
+ =
Giải: Ta có
( )
(
)
4 5 0,8 4 20
4 4 20 20
0,8 4
0,8 4
0 0
0,8 4 0,8 4
x x
x x
II
y x
y x
x x R
y x y x
+ − + =
− + =
⇔ ⇔
= − +
= − +
= ∈
⇔ ⇔
= − + = − +
Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm.
Dạng 3: Hệ phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
( )
4 2
8 2 1
x y
III
x y
+ =
+ =
Giải: Ta có:
( )
( ) ( )
2 4 2 4
2 4
8 2 2 4 1 0 3 *
8 4 8 1
y x y x
y x
III
x x x
x x
= − = −
= −
⇔ ⇔ ⇔
+ − = = −
+ − =
Không có x thoả mãn phương trình
(
)
*
.
Vậy hệ phương trình (III) vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
( )
4 5 20
2 2,5 5
x y
IV
x y
+ =
+ =
Giải:
Nhận xét : Ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hệ số của x hoặc của y .
( )
( )
4
4
4
4
4
4
5
5
5
4
0 5 *
2 2,5 5
2 2,5( 4) 5
5
y x
y x
x y
IV
x
x y
x x
= − +
= − +
+ =
⇔ ⇔ ⇔
= −
+ =
+ − + =
Không có x thoả mãn phương trình
(
)
*
.
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
3 1
5
3
2
x y
x y
− =
− =
b)
6 4 8
3 2 4
x y
x y
+ =
+ =
Bài 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d
1
): 5x -2y = 3, (d
2
): x + y = m cắt
nhau tại một điểm trên trục tung.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2 3 5
3 2 1
x y
x y
+ =
− =
Bài 2: Giải hệ phương trình
( )
2
3 1
1 6 2
x y
a x y a
+ =
+ + =
trong mỗi trường hợp sau:
a) a = -1 b) a = 0 c) a = 1
TIẾT 29: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Quy tắc cộng đại số: (SGK – Tr 16)
*Dạng 1: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
4 7 16
4 3 24
x y
x y
+ =
− = −
Nhận xét: Hệ số của ẩn x bằng nhau, trừ vế với vế hai phương trình ta được:
10 40 (1)
4 7 16 (2)
y
x y
=
+ =
Giải phương trình (1) ta được y = 4. Thay y = 4 vào phương trình
(2) ta được 4x + 7.4 = 16 x = - 3.
Ta trình bày lời giải như sau:
4 7 16
4 3 24
x y
x y
+ =
− = −
10 40 (1)
4 7 16 (2)
y
x y
=
+ =
4 4
4 7 16 3
y y
x y x
= =
⇔
+ = = −
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-3; 4)
*Dạng 2. Hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
3 3
2 7
x y
x y
+ =
− =
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
7
-
Nhận xét: Hệ số của ẩn y đối nhau, cộng vế với vế hai phương trình ta được:
5 10 (1)
2 7 (2)
x
x y
=
− =
Giải phương trình (1) ta được x = 2 thay x = 2 vào phương trình (2) ta được
2.2 –y = 7 y = -3.
Ta trình bày lời giải như sau:
3 3 5 10 2
2 7 2 7 3
x y x x
x y x y y
+ = = =
⇔ ⇔
− = − = = −
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
a,Giải hệ phương trình
(I)
2 5 8 (1)
2 3 0 (2)
x y
x y
+ =
− =
Trừ vế với vế của pt (1) cho pt (2) ta được:
(I)
1
8 8 1
3
2 3 0 2 3.1 0
2
y
y y
x y x
x
=
= =
⇔ ⇔ ⇔
− = − =
=
V ậy (
3
;1)
2
là nghiệm của hệ phương trình
b. Giải hệ phương trình sau:
2 5 2 (1)
2 5 5 (2)
x y
x y
+ =
− − = −
(II)
Cộng vế với vế của pt (1) và pt (2) ta được:
0 0 3
x y
+ = −
phương trình vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 2. Giải hệ phương trình sau
2 11 7
10 11 31
x y
x y
− = −
+ =
12 24 2
10 11 31 1
x x
x y y
= =
⇔ ⇔
+ = =
Vậy nghiệm của hệ là (2;1)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)
2 5 8
2 3 0
x y
x y
+ =
− =
b)
2 3
3 9
x y
x y
+ =
− =
c)
2 5 7
2 3 1
x y
x y
+ =
− = −
Bài 2:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
8
-
a)
6 21 6
6 11 26
x y
x y
− + = −
− =
b)
4 6 22
4 6 5
x y
x y
− =
− + =
c)
7 2 11
5 2 6
x y
x y
+ =
− =
TIẾT 30: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau
hoặc không đối nhau nhưng có một hệ số là bội của hệ số kia của cùng một ẩn
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
4 3 6(1)
2 4(2)
x y
x y
+ =
+ =
Nhận xét: Hệ số của ẩn x ở phương trình (1) là bội của hệ số của ẩn x của phương
trình (2). Ta nhân hai vế của PT (2) với 2, ta được 4x + 2y =8
Ta được hệ
4 3 6
4 2 8
x y
x y
+ =
+ =
(Dạng 1)
Ta trình bày lời giải như sau:
4 3 6 4 3 6 2 2
2 4 4 2 8 2 4 3
x y x y y y
x y x y x y x
+ = + = = − = −
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; -2)
* Dạng 4. Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau
hoặc không đối nhau và không là bội của nhau.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Cách giải: Nhân PT (1) với 4, nhân PT (2) với 3 để hệ số của ẩn x trong hai phương
trình của hệ bằng nhau (Dạng 1).
3 2 11
4 5 3
x y
x y
− =
− =
12 8 44 7 35 5
12 15 9 4 5 3 7
x y y y
x y x y x
− = = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − = =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng:
a.
2 3 2
3 2 3
x y
x y
+ = −
⇔
− = −
2 3 2 6 9 6 13 0 0
3 2 3 6 4 6 3 2 3 1
x y x y y y
x y x y x y x
+ = − + = − = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − − = − = −
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-1 ; 0)
b.
2 7 2 (1)
6 11 26 (2)
x y
x y
− =
⇔
− =
6 21 6 8
6 11 26 2
x y x
x y y
− + = − =
⇔
− = =
Bài 2: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A và B. Biết
A(2; -2) và B(-1; 3).
Giải
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
9
-
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -2) nên toạ độ điểm A thoả mãn y = ax + b:
Ta có 2a + b = -2 (1)
Đồ thị hàm số đi qua điểm B(-1; 3). nên toạ độ điểm B thoả mãn y = ax + b:
Ta c ó –a + b = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
5
2 2
3
3 4
3
a
a b
a b
b
−
=
+ = −
⇔
− + =
=
Vậy với
5
3
a
−
=
;
4
3
b
=
thi đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3).
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)
1,3 4,2 12
0,5 2,5 5,5
x y
x y
+ =
+ =
b)
5 2 3
2 3 5
x y
x y
+ =
− =
Bài 2 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm
của hai đường thẳng (d
1
): 2x + 3y = 7 và (d
2
): 3x + 2y = 13.
TIẾT 31: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
BẰNG CHƯƠNG TRÌNH GÀI SẴN TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Sử dụng máy tính FX 220A - FX 500A
Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số (theo chương trình gài sẵn trên máy
tính bỏ túi), trước hết ta phải viết hệ đó dưới dạng tổng quát:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
Sau đó ấn MODE 2 để chuẩn bị đưa các hệ số của hệ phương trình vào máy. Khi đó
màn hình xuất hiện chữ SIMUL ở góc dưới bên phải, chữ a
1
và dấu ? ở bên phải.
Các hệ số đưa vào máy cũng phải có dạng chính tắc (tổng quát) đã nêu ở trên;
màn hình sẽ lần lượt xuất hiện chữ ký hiệu hệ số tương ứng.
Nếu hệ phương trình cần giải có nghiệm duy nhất thì sau khi đưa đủ các hệ số
vào máy, màn hình hiện giá trị đúng (hoặc gần đúng) của ẩn x. Sau khi ấn DATA, Màn
hình sẽ xuất hiện ẩn y. Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì màn hình xuất
hiện chữ -E Xóa ký hiệu đó bằng cách ấn AC.
Chuyển sang giải hệ phương trình khác bằng cách ấn SHIFT SAC
Thoát khỏi chương trình giải hệ PT bậc nhất hai ẩn bằng cách ấn MODE O
2. Sử dụng máy tính FX 500MS - FX 570MS
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
10
-
Cách sử dụng như với các loại máy tính trên chỉ khác thao tác mở giao diện màn
hình để làm việc, và tắt máy (thoát khỏi chương trình).
* Ấn MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX500MS
* Ấn MODE MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX5700MS
* Tắt máy (thoát khỏi màn hình làm việc với giải hệ phương trình) ấn MODE 2
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. (bài 38- SBT toán 9 tập II)
3 2 23
3 5 26
x y
x y
+ =
− + =
Ấn MODE 2 3 DATA 2 DATA 23 DATA 3 +/- DATA 5 DATA 26
DATA Kết quả : x = 3
DATA Kết quả : y = 7
Bài 2 (bài 13 a trang15/ SGK toán 9 tập II)
3 2 11
4 5 3
x y
x y
− =
− =
Ấn MODE 2 3 DATA 2 +/- DATA 11 DATA 4 DATA 5 +/- DATA 3
DATA Kết quả : x = 7
DATA Kết quả : y = 5
Bài 3 (bài 24 SGK toán 9 tập II trang 19)
2( ) 3( ) 4
( ) 2( ) 5
x y x y
x y x y
+ + − =
+ + − =
Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ II)
(
)
(
)
( ) ( )
2 3 4
2 2 3 3 4 5 4
( )
2 2 5 3 5
2 5
x y x y
x y x y x y
II
x y x y x y
x y x y
+ + − =
+ + − = − =
⇔ ⇔
+ + − = − =
+ + − =
Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT
Ấn MODE 2 5 DATA 1 +/- DATA 4 DATA 3 DATA 1 +/- DATA 5
DATA Kết quả : x = - 0,5
DATA Kết quả : y = - 6,5
Bài 4 (bài 20 SBT toán 9 tập II)
( )
3 4 5
2 3 2 1
x y y x
x y x y
+ = − +
− = − +
Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ III)
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
11
-
( )
3 4 5
2 5
( )
2 3 2 1
2
x y y x
x y
III
x y x y
x y
+ = − +
− =
⇔
− = − +
− + = −
Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT
Ấn MODE 2 2 DATA 1 +/- DATA 5 DATA 1 +/- DATA 1 DATA 2 +/-
DATA Kết quả : x = 3
DATA Kết quả : y = 1
Bài 5: (Bài 40 ý a SGK toán 9 tập II trang 27)
2 5 2
2
1
5
x y
x y
+ =
+ =
Ấn MODE 2 2 DATA 5 DATA 2 DATA 2 ab/c 5 DATA 1 DATA 1
DATA Kết quả : -E-
DATA Kết quả : -E-
(Hệ PT trên vô nghiệm )
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số sau đó sử dụng
máy tính CASIO để kiểm tra kết quả
a)
2 5 8
2 3 0
x y
x y
+ =
− =
b)
1,3 4,2 12
0,5 2,5 5,5
x y
x y
+ =
+ =
Bài 2. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế sau đó sử dụng máy
tính CASIO để kiểm tra kết quả
a)
3
3 4 2
x y
x y
− =
− =
b)
5 0
5 3 1 5
x y
x x
+ =
+ = −
TIẾT 32:
BÀI TẬP TỔNG HỢP
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Vận dụng các quy tắc đã học (quy tắc cộng, quy tắc thế) để giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.
* Lưu ý: Có sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
12
-
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
x 2y 4
a. (I)
2x 5y 1
− = −
+ =
7x 5y 3
b. (II)
4x y 2
− =
− = −
Giải
a. Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất, ta có:
( )
x 2y 4
x 2y 4 x 2.1 4 x 2
(I)
2 2y 4 5y 1
9y 9 y 1 y 1
= −
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− + =
= = =
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (-2; 1)
b. Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai, ta có:
( )
x 1
7x 5(4x 2) 3 13x 13 x 1
(II)
y 4 1 2
y 4x 2 y 4x 2 y 2
= −
− + = − = = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= − +
= + = + = −
Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất (-1; -2)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
2x 7y 8
a. (III)
2x 3y 12
+ =
− = −
( )
3x 2y 4
b. IV
2x 2y 6
+ = −
− + =
Giải
a. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (III), ta được
10y 20 y 2 y 2 x 3
(III)
2x 7y 8 2x 7.2 8 2x 6 y 2
= = = = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = + = = − =
Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (-3; 2)
b. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (IV), ta được
( )
( )
x 2
5x 10 x 2 x 2
IV
3 2 2y 4
3x 2y 4 2y 2 y 1
= −
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− + = −
+ = − = =
Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (-2; 1)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
( )
2x 11y 7
a. V
5x 11y 14
− = −
+ =
( )
4x 7y 16
b. VI
4x 3y 24
+ =
− + =
Giải
a. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (V), ta được
( )
x 1
7x 7 x 1 x 1
V
9
2x 11y 7 2.1 11y 7 11y 9
y
11
=
= = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − − = −
=
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
13
-
Vậy hệ (V) có nghiệm duy nhất
9
1;
11
b. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (VI), ta được
( )
10y 40 y 4 y 4 x 3
VI
4x 7y 16 4x 7.4 16 4x 12 y 4
= = = = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = + = = − =
Vậy hệ (VI) có nghiệm duy nhất (-3; 4)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
( )
(
)
( )
8x 7y 5 1
a. VII
4x 6y 7 2
− =
+ = −
( )
(
)
( )
3x 5y 24 3
b. VIII
4x 2y 6 4
+ =
− =
Giải
a. Hệ số của ẩn x trong phương trình (1) là bội của hệ số cùng ẩn x trong phương trình
(2) nên ta nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta được
( )
( )
1
y 1
8x 7y 5 19y 19
x
VII
4
4x 6 1 7
8x 12y 14 4x 6y 7
y 1
= −
− = − =
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ − = −
+ = − + = −
= −
Vậy hệ (VII) có nghiệm duy nhất
1
; 1
4
− −
b. Nhân hai vế phương trình (3) với 4, nhân hai vế của phương trình (4) với 3, ta được
( )
12x 20y 96 26y 78 y 3 x 3
VIII
12x 6y 18 4x 2y 6 4x 2.3 6 y 3
+ = = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − = − = =
Vậy hệ (VIII) có nghiệm
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau
Bài 1:
x 3y 5
a.
3x 4y 2
+ =
− =
x y 1
b.
3x 4y 5
− =
+ =
Bài 2:
3x 5y 4
a.
3x 6y 8
+ =
− =
5x 2y 8
b.
2 1
x y 3
3 3
− =
− =
Bài 3:
3x 5y 34
a.
4x 5y 13
+ =
− = −
3x 2y 22
b.
3x 5y 13
− + =
+ =
Bài 4:
2x 6y 7
a.
10x 7y 39
− = −
+ =
4x y 5
b.
3x 2y 12
+ = −
− = −
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
14
-
TIẾT 33: BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, thế, và phương pháp đặt ẩn phụ
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 1
3
1 2
3
x y
x y
+ =
− = −
b)
1 2
1
1 1
3 1
4
1 1
x y
x y
+ =
+ −
− = −
+ −
c)
2 1
3
1 1
1 3
1
1 1
x y
x y
+ =
+ +
+ = −
+ +
BÀI GIẢI
a)
1 1
3
1 2
3
x y
x y
+ =
− = −
(I) Đặt
1
1
u
x
v
y
=
=
(1)
(I)
3 2 2 6 3 3 1
2 3 2 3 2 3 2
u v u v u u
u v u v u v v
+ = + = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − − = − =
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1
1
1
1
1
2
2
x
x
y
y
=
=
⇔
=
=
Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )
b)
1 2
1
1 1
3 1
4
1 1
x y
x y
+ =
+ −
− = −
+ −
(II) Đặt
1
1
1
1
u
x
v
y
=
+
=
−
(3)
(II)
2 1 2 1 7 7 1 1
3 4 6 2 8 2 1 2 1 1
u v u v u u u
u v u v u v u v v
+ = + = = − = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − − = − + = + = =
(4)
Thay (4) vào (3) ta được:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
15
-
1
1
1 ( 1) 2
1
1
1 1 2
1
1
x x
x
y y
y
= −
= − + = −
+
⇔ ⇔
= − =
=
−
Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )
c)
2 1
3
1 1
1 3
1
1 1
x y
x y
+ =
+ +
+ = −
+ +
(III) Đặt
1
1
1
1
u
x
v
y
=
+
=
+
(5)
(III)
2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 1 2 6 2 5 5 1 1
u v u v u v u v u
u v u v v v v
+ = + = + = + = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = − + = − − = = − = −
(6)
Thay (6) vào (5) ta được:
1
2
1
1
2
1
1
2
1
x
x
y
y
=
−
=
+
⇔
= −
= −
+
Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 1
8
1 3
6
x y
x y
+ =
+ = −
b)
2 1
3
2
1 3
6
2
x y
x y
+ =
−
+ = −
−
c)
2
3
1 1
3
1
1 1
x y
x y
x y
x y
+ =
+ +
+ = −
+ +
TIẾT 34: KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1:
Giải các hệ phương trình sau:
Câu 1: Giải hệ các phương trình:
a)
4 7 16
4 3 24
x y
x y
+ =
− = −
b)
3 5 2
4 2 6
x y
x y
− =
+ = −
Câu 2: Tìm hai số a và b sao cho 5a - 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm
A(-7 ; 4)
Câu 3 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của
hai đường thẳng (d
1
): 2x + 3y = 7 và (d
2
): 3x + 2y = 13.
ĐỀ SỐ 2:
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
16
-
Câu 1: Giải hệ phương trình sau:
a)
2 1
3 2 1
x y
x y
+ = −
− − =
b)
2 3 10 0
3 2 2 0
x y
x y
+ − =
− − =
Câu 2:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a a và b sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng ax - by = 4
đ
i qua
đ
i
ể
m A(4 ;
3), B(-6 ; -7)
Câu 3:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2
3 1
1 6 2
x y
a x y a
+ =
+ + =
trong m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a) a=-1 b) a= 0 c) a = 1
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia s
t
t t
t
i
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu
ﾕ
ﾕﾕ
ﾕ
-
- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027
0989824932
0989824932 0989824932
0989824932
E mail:
-
Trang
17
-
