Chủ đề 14 đại:Bài tập biến đổi lượng giác

Bài tập Đại số 10 GV: Phạm Hoằng
1

Chủ đề 14: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Bài 1) Cho
2 1
os ;sin 0;sin ; os <0
5 4
c c
α α β β
= > = − . Hãy tính:
os2 ;sin2 ; cos2 ;sin2 ;cos( + );sin( - )
c
α α β β α β α β

Bài 2: a) Cho os 0,3;
2
c
π
α α π
= < <
. Hãy tính:
os ;sin ;tan
2 2 2
c
α α α

b) Cho
sin
m
α

=
. Hãy tính:
2 2
os2 ;sin 2 ;tan 2
c
α α α
theo
m.
H
ỏ
i
2 2
os2 ;sin 2 ;tan 2
c
α α α
có xác
đị
nh duy
nh
ấ
t theo
m
không?
c) Cho sin os
c t
α α
− =
. Hãy tính theo
t
:

3 3 6 6
)sin cos ; ) sin -cos ; )sin cos ;
)sin cos
a b c d
α α α α α α α α
− +

Bài 3:
a) Bi
ế
t
1 3
cos cos ;sin sin -
2 4
x y x y
+ = + = . Hãy tính
cos( - )
x y
.
b) Bi
ế
t
2 2
os os
c x c y p
+ =
. Hãy tính
cos( )cos( )
x y x y
− +

theo
p.

Bài 4:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
3 3 4 2
)cos3 4cos 3cos ;sin3 3sin 4sin ; cos4 8cos 8
cos 1
a x x x x x x x x x
= − = − = − +

b)
3 3 3 3 3
3
cos3 sin sin 3 cos sin 4 ; cos3 cos sin3 sin co
s 2
4
x x x x x x x x x x
+ = + =

c)
1 1
cos cos( - )cos( ) cos3 ; sin sin( - )sin( )
sin3
3 3 4 3 3 4
x x x x x x x x

π π π π
+ = + =

d) tan tan( - )tan( ) tan3 ; tan tan( ) tan( ) 3
tan3
3 3 3 3
x x x x x x x x
π π π π
+ = + − + + =

Bài 5:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
4 4 6 6
1 3 3 5
sin cos cos4 ; sin cos cos4
4 4 8 8
x x x x x x
+ = + + = +
;
8 8
1 7 35
sin cos cos8 cos4
64 16 64
x x x x+ = + +

b)
tan3 tan 2 tan tan tan 2 tan3
α α α α α α
− − =

Bài 6:
a) CMR: n
ế
u
os( ) 0
c
α β
+ =
thì
sin( 2 ) sin
α β α
+ =

b) CMR: n
ế
u
sin(2 ) 3sin ; os 0;cos( + ) 0
c
α β β α α β
+ = ≠ ≠
thì
tan( ) 2tan
α β α
+ =
.

Bài 7:
CMR:
2 2 2 2
2 2 2 2
1)sin( )sin( ) cos cos ; 2)cos(
)cos( - ) cos cos 1
3) os ( ) os ( ) sin2 sin 2 ; 4)cos ( ) sin
( ) cos2 cos2
a b a b b a a b a b a b
c a b c a b a b a b a b a b
+ − = − + = + −
− − + = − − + =

Bài 8:

Đ
HTM. 1998. CMR: n
ế
u
sinx=2sin(x+y)
x+y ,
2
k k
π
π



≠ + ∈



ℤ
thì
sin
tan( )
cos -2
y
x y
y
+ =
Bài 9: Cho
sin sin 2sin( )
,
x y x y
x y k k
π
+ = +


+ ≠ ∈

ℤ
CMR:
1
tan tan
2 2 3
x y
=

Bài 10: Cho

4 4
sin os 1
x c x
a b a b
+ =
+
CMR:
( )
8 4
3
3 3
sin os 1x c x
a b
a b
+ =
+

Bài 11: CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x:
2 2
cos 2cos cos cos( ) cos ( )
A x a x x a x a
= − + + +
;
2 2
cos 2sin cos sin( ) sin ( )
B x a x x a x a
= − + + +

2 3 4
sin -sin( ) sin( ) sin( )sin( )

5 5 5 5
C x x x x x
π π π π
= + + + − + + ;
Bài 12: Rút gọn biểu thức:
2
sin 2 cos cos cos 2
3 3 3 3
A x x x x
π π π π
       
= + + − − +
       
       

2 2
cos cos os
3 3
B x x c x
π π
   
= + + + −
   
   

Bài tập Đại số 10 GV: Phạm Hoằng
2

2 2
sin sin ( ) sin sin( - )

3 3
C x x x x
π π
= + − −
Bài 13:
Rút g
ọ
n
1)
sin sin 2 sin3 sin ; 2 ,a a a na a k k
π
+ + + + ≠ ∈
ℤ
(ĐS:
( 1)
sin sin
2 2
sin
2
na n a
a
+
)
2) os os2 os3 os ; 2 ,c a c a c a c na a k k
π
+ + + + ≠ ∈
ℤ
(ĐS:
( 1)
sin os

2 2
sin
2
na n a
c
a
+
)
3)sin sin( ) sin( 2 ) sin( ); 2 ,x x a x a x na a k k
π
+ + + + + + + ≠ ∈
ℤ
(ĐS:
( 1)
sin( )sin
2 2
sin
2
na n a
x
a
+
+
)
4)cos( ) cos( ) cos( 2 ) cos( ); 2 ,x a x a x a x na a k k
π
+ + + + + + + + ≠ ∈
ℤ
(ĐS:
( 1)

cos( )sin
2 2
sin
2
na n a
x
a
+
+
)
5)
sin cos cos2 cos4 cos8
x x x x x

Bài 14:

Đ
HAN.200l. Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 0 2 0 0 0
sin 50 sin 70 cos50 cos70
P
= + −

Bài 15:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c:
0
0 0 0
1 1 3
4sin70 ;
sin10 sin10 cos10
A B= − = −
5 7
cos cos cos ;
9 9 9
C
π π π
= + +
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
D
π π π
= + + ;
2 3
os os os
7 7 7

E c c c
π π π
= − +
Bài 16:
Tính: a)
2 2 2 2
3 5 7
sin sin sin sin
8 8 8 8
π π π π
+ + + ;
2 10
sin sin sin
11 11 11
π π π
+ + +
Bài 17:

Đ
HQGHN.KA.2001. CMR:
0 0 0 0 0
3 1
os12 os18 4cos15 os21 os24
2
c c c c
+
+ − = −
Bài 18:
HVKHQS.2001. CMR: v
ớ

i m
ọ
i giá tr
ị
th
ự
c c
ủ
a
,
x
α
ta luôn có:
2 2 2
(1 sin ) 2 (sin cos ) 1 cos 0
x x
α α α α
+ + + + + >

Bài 19:
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2

0;( 0)
ax bx c ac
+ + = ≠
có hai nghi
ệ
m
tan ;tan
α β
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng:
2 2
.sin ( ) .sin( )cos( ) cos ( )
a b c c
α β α β α β α β
+ + + + + + =

Bài 20:
CMR:
:sin 2 0
α α
∀ ≠
ta có:
1
sin(cot ) sin(tan ) 2sin cos(cot 2 )
sin 2
α α α

α
 
+ =
 
 

Bài 21:
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
4 4
sin cos
A x x
= +
.
Bài 22:

Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
6
6
4
3tan
cos
x
x
−

Bài 23:

Đ
HDLVanLang.2001. Cho
cos2 cos2 1,( , )
x y x y
+ = ∈
ℝ

. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
2 2
tan tan
A x y
= +
.
Bài 24:
C
ĐĐ
LTPHCM.2006. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c

ủ
a hàm s
ố
:
cos sin ; 0;
2
y x x x
π
 
= + ∈
 
 