Chương 1: Vectơ

CHƯƠNG I: VECTƠ
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA:
1. Vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có định hướng, vectơ AB ký hiệu
uuur
AB
. A là điểm đầu
. B là điểm cuối
. Giá là đường thẳng AB
. Chiều từ A đến B gọi là hướng
uuur
AB
. Độ dài của
uuur
AB
là độ đoạn thẳng AB
. Ký hiệu là
AB
uuur
hay AB
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng:
- Hai vectơ được gọi là cùng phương khi chúng song song hoặc trùng nhau.
- Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng.

A B M N
C D Q P

uuur
AB
cùng hướng với
CD
uuur

MN
uuur
ngược hướng
PQ
uuur
3. Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau :
. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
uuur
AB
,
CD
uuur
cùng hướng
.
uuur
AB
=
CD
uuur
⇔
AB CD=
uuur uuur
. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
uuur
AB
,
CD
uuur
ngược hướng
.

uuur
AB
= -
CD
uuur
⇔
AB CD=
uuur uuur
4. Vectơ không:
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ không

AA BB MM 0= = =
uuur uur uuur r
II. TỔNG CỦA HAI VECTƠ:
1. Định nghĩa: cho
a,b
r r
Dựng
AB a,BC b= =
uuur r uur
thì
AC a b= +
uuur r r
2. Các tính chất của cộng vectơ:
. Tính chất cộng giao hoán :
a b b a+ = +
r r r r
. Tính chất kết hợp :
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +

r r r r r r
. Tính chất của vectơ không :
a 0 0 a a+ = + =
r r r r r
3. Các quy tắc cần nhớ:
A
B
. Quy tắc 3 điểm: Nối ba điểm bất kỳ A , B , C ta có:
AB BC AC+ =
uuur uur uuur
. Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
4. Ghi nhớ: - Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì
MA MB 0+ =
uuur uuur r
- Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur r
III. HIỆU CỦA HAI VECTƠ:
1. Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ
a
r
và
b
r
kí hiệu
a
r
-

b
r
là tổng của
a b b a+ = +
r r r r
và vectơ
đối của
( )
a b a b− = + −
r r r r

2. Quy tắc hiệu của hai vectơ:
- Dựng
OA a;OB b= =
uuur r uuur r
khi đó ta có
BA a b= −
uur r r
IV. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ:
1. Định nghĩa: Tích của vextơ
a
r
với số thực k là một vectơ kí hiệu
ka
r
được xác định như
sau :
+ Nếu k ≥ 0 thì vectơ
ka
r

cùng hướng với vectơ
a
r
+ Nếu k < 0 thì vectơ
ka
r
ngược hướng với vectơ
a
r
+ Độ dài vectơ
ka
r
bằng
k . a
r
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số:
Với hai vectơ bất kỳ
a,b
r r
và mọi số thực k, l ta có :
+
( )
( )
k a k a=
r r
l l
+
( )
k a ka a+ = +
r r r

l l
+
( )
k a b ka kb+ = +
r r r r
+
( )
k a b ka kb− = −
r r r r
+
ka 0 k 0= ⇔ =
r r
hoặc
a 0=
r r
3. Ghi nhớ:
. I là trung điểm đoạn thẳng AB và M là điểm bất kỳ ta có :
MA MB 2MI+ =
uuur uuur uur
. G là trọng tâm ∆ ABC và M là điểm bất kỳ ta có :
MA MB MC 3MG+ + =
uuur uuur uuur uuur
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
. Vectơ
b
r
cùng phương với vectơ
a
r

( )
a 0≠
r r
khi và chỉ khi có số k sao cho
b ka=
r r
. Ứng dụng : Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng là có số k sao
cho
AB kAC=
uuur uuur
5. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương:
Định lý: Cho hai vectơ không cùng phương
a
r
và
b
r
. Khi đó mọi vectơ
c
r
đều có thể
biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ
a
r
và
b
r
nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao
cho
c ma nb= +

r r r
V. HỆ TRỤC TOẠ ĐÔ:
1. Các phép toán của vectơ: Cho
( ) ( )
1 2 1 2
a a ,a ;b b ,b= =
r r
và số thực k
.
( )
1 1 2 2
a b a b ;a b+ = + +
r r
.
( )
1 2
ka ka ;ka=
r
.
( )
1 1 2 2
a b a b ;a b− = − −
r r
.
1 1
2 2
a b
a b
a b
=


= ⇔

=

r r
.
a
r
cùng phương với
b
r

( )
1 2
1 2
1 2
a a
b ,b 0
b b
⇔ = ≠
2. Tọa độ của vectơ: Cho hai điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) ta có :

( )
B A B A
AB x x ;y y= − −
uuur
3. Khoảng cách hai điểm:
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
Ngày 1/12/2007
5. Toạ độ trọng tâm tam giác:
Nếu G là trọng tâm của ∆ABC ta có:

A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
− +

=



− +


=


6. Toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC:
Nếu I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ta có:
2 2
2 2
AI BI
AI CI

=


=


7. Tìm toạ độ trực tâm
∆
ABC:
Gọi H là trực tâm ∆ABC ta có :
AH.BC 0
BH.AC 0

=


=



uuur uur
uur uuur
VI. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ 0
0
đến 180
0
)
1. Định nghĩa: Với mỗi góc α (0
0
≤ α≤ 180
0
) ta xác định điểm M trên nữa đường tròn
đơn vị sao cho
·
MOxα=
. Giả sử điểm M có toạ độ (x; y), khi đó:
- Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α kí hiệu là sinα.
- Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của góc α kí hiệu là cosα.
- Tỉ số
( )
y
x 0
x
≠
của điểm M gọi là tan của góc α kí hiệu là tanα.
- Tỉ số
( )
x

y 0
y
≠
của điểm M gọi là côtang của góc α kí hiệu là cotα.
2. Định lý về góc phụ:
+ Hai góc phụ nhau khi tổng của chúng bằng 90
0
. Vậy một góc là α thì góc kia là 90
0
- α.
+ Định lý: Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng côtang
góc kia.
- sinα = cos(90
0
- α) - cosα = sin(90
0
- α)
- tanα = cot(90
0
- α) - cotα = tan(90
0
- α)
3. Định lý về góc bù:
+ Hai góc được gọi là bù nhau khi tổng của chúng bằng 180
0
Vậy một góc là α thì góc kia là 180
0
- α
+ Định lý: Hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn cosin, tang và cotang của
chúng đối nhau

- sin(180
0
- α) = sinα
- cos(180
0
- α) = - cosα
- tan(180
0
- α) = - tanα (α ≠ 90
0
)
- cot(180
0
- α) = - cotα (0
0
< α < 180
0
)