Bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

CHUYÊN ĐỀ 1
TỌA ĐỘ PHẲNG
Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ
một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng
phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng.
Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:
Cho
a
=
(
, = ta có:
G
b
G
)
G
G
G
G
)
1 2
a, a
(
1 2
b, b

a
=
G
b

G
⇔
1
2
1
2
a = b
a = b
⎧
⎨
⎩

a
+ = ( , )
b
1 1
a + b
2 2
a + b

a
– = ( , )
b
1 1
a - b
2 2
a - b
k
a
= (k , k ) (k

G
1
a
2
a
∈
R)

α
+ = ( +
a
G
β
b
G
α
1
a
β
1
b ,
α
2
a +
β
2
b )

a
. = +

G
G
b
1
a
1
b
2
a
2
b
. Với các quan hệ về độ dài ta có:

a
= ( , )
G
1
a
2
a ⇒
a
G
=
22
1 2
a + a

()
()
AA

BB
A x, y
Bx, y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
AB
JJJG
= ( – , – )
B
x
A
x
B
y
A
y
và AB =
()()
22
BA BA
x - x y - y+

. Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có:

a
+ = 0

G
G
G
G
⊥
b
⇔
1
a
1
b
2
a
2
b
cùng phương
a b
⇔
G
G
sin( a, b) = 0 ⇔ – = 0
1
a
2
b
2
a
1
b
⇔

1
1
a
b
=
2
2
a
b
( ,
1
b
2
b
≠
0)
A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
JJJG
cùng phương
AC
JJJG

⇔
BABA
CACA
x - x y - y
x - x y - y
= 0
. Với việc tìm góc của hai vectơ ta có:

- Góc hình học tạo bởi hai vectơ
a
G
,
b
G
được suy từ công thức:
cos(
n
a, b
G
G
) =
11 22
ab + a b
a.b
G
G
(1)
- Số đo góc đònh hướng của hai vectơ
a
G
,
b
G
ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong
hai công thức:

G
G

sin( a, b) =
12 1
G
G
2
a b - a b
a.b


G
G
tg( a , b) =
12 1
11 2
2
2
a b - a b
ab + a b

Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây:
. M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB
M
x
M
y
⇔
2
2
AB
M

AB
M
x + x
x =
y + y
y =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

. G( , ) là trọng tâm của
G
x
G
y
Δ
ABC
⇔
3
3
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪

⎩
AB
G
AB
G
x + x + x
x =
y + y + y
y =
C
C

. I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong
ABC thì:
I
x
I
y
J
x
J
y
Δ

IB
IC
JJG
JJG
=
−

JJJG
JB
JC
JJJG
=
−
AB
AC

. Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là:
A
x
A
y
B
x
B
y
C
x
C
y
S =
1
2
Δ
với
Δ
=
BABA

CACA
x - x y - y
x - x y - y

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).
a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B.
b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3
AM
JJJJG
BM
JJJJG
- 4
CM
JJJJG
=
0
G

c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên
Ox.
d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC.
Δ
e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng.
Giải
a) D là điểm đối xứng của A qua B
B là trung điểm của AD ⇔
⇔
AD

B
AD
B
x + x
x =
2
y + y
y =
2
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

hay D(–2, 7) ⇔
()
()
−−⎧
⎪
⎨
−
⎪
⎩
DBA
DBA
x = 2x x = 2 0 2 = 2
y = 2y y = 2 3 + 1 = 7

−
JJJJG JJJJG
b) Ta có: 2 + 3
BM
– 4
CM
AM
JJJJG
=
0
G
= ( 0, 0 )
⇔
()()( )
()()()
−−−−⎧
⎪
⎨
−− −
⎪
⎩
MMM
MMM
2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0
2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0

⇔ hay M(–12, –1)
−
⎧
⎨

−
⎩
M
M
x =12
y =1
c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox.
⇔
E
y = 0
CE
⎧
⎪
⎨
ΑΒ
⎪
⎩
JJJG JJJG
//
⇔
E
EE
y = 0
x - 4 y - 2
=
0 - 2 3 + 1
⎧
⎪
⎨
⎪

⎩

⇔ hay E(5, 0)
E
E
y = 0
x = 5
⎧
⎨
⎩
d) H là trực tâm của ABC
Δ
⇔
AH BC
BH AC
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩
⇔
AH.BC = 0
BH.AC = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
JJJJG JJJG
JJJJG JJJG

⇔
()()()( )
()()()()
412
42 321 0
−−++−=⎧
⎪
⎨
−−+−+=
⎪
⎩
HH
HH
x2 0 y
x0 y
30
239
HH
HH
xy
xy
−−=
⎧
⎨
+−=
⎩

⇔
490

0
⇔
18
7
9
7
H
H
x
y
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
hay H
18
7
9
,
7
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

G là trọng tâm ABC ta có:

Δ

204
2
33
132 4
33
ABC
G
ABC
G
xxx
x
yyy
y
++
++
⎧
==
⎪
⎪
⎨
++
−+ +
⎪
==
⎪
⎩
3
=

=
hay G
4
2
3
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp
Δ
ABC
⇔ IA = IB = IC ⇔
22
22
IA IB
IA IC
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
⇔
()( )()(
()( )()(
222
222

2103
2142
III
III
xyx
xyx
⎧
−+−−=−+−
⎪
⎨
−+−−=−+−
⎪
⎩
)
)
2
2
I
I
y
y
0
0
⇔
484
4615
II
II
xy
xy

−+ −=
⎧
⎨
+−=
⎩
⇔
24 12
14 7
19
14
I
I
x
y
⎧
==
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
hay I
12 19
714
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

e) Ta có : =
HG
JJJJG
41
721
,
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
và
HI
JJJG
=
61
714
,
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

⇒
4
7
6
7
−
−

=
1
21
1
14
=
2
3

⇒ cùng phương với
HG
JJJJG
HI
JJJG

⇒ H, I, G thẳng hàng.
Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính
cos (
AO
JJJG
,
AB
JJJG
) vaứ dieọn tớch tam giaực ABC.
Giaỷi
Ta coự:
AO
JJJG

= (2, 2 3 ),
AB
JJJG
= (1, 3 ) = ( a
1
;a
2
)
cos(
AO
JJJG
,
AB
JJJG
) =
26
41213.

+ +
=
1
2


JJJG
AC
= (3, 3 ) = = ( b
1
; b
2

)

12 21
1
2
=
ABC
Sabab
=
1
1333
2
()( ) ()
= 2 3
* * *