dap an 30 de thi thu cua hoc mai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (11.22 MB, 94 trang )
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2)
yxmmx
32
44(1)
Â
= + ;
x
y
xmm
2
0
0
1
ộ
=
Â
=
ờ
=-+
ở
.
Khong cỏch gia cỏc im cc tiu: d = mmm
2
2
13
212
24
ổử
-+=-+
ỗữ
ốứ
ị Mind =
3
m =
1
2
.
Cõu II: 1) PT
xxx
32
sin22sin23sin260
-++=
x
sin21
=-
xk
4
p
p
=-+
2)
xxyxyy
xyxy
3223
6940(1)
2(2)
ỡ
ù
-+-=
ớ
-++=
ù
ợ
. Ta cú: (1) xyxy
2
()(4)0
=
xy
xy
4
ộ
=
ờ
=
ở
ã Vi x = y: (2) ị x = y = 2
ã Vi x = 4y: (2) ị xy
32815;8215
=-=-
Cõu III: I =
29ln34ln2
+-
Cõu IV: K SH ^ PD ị SH ^ ((PQCD) ị
SPQCDPQCD
aa
VSSHa
2
3
.
1151425105
33927
14
===
ã
Cú th dựng cụng thc t s th tớch:
SPQC
SPQCSABC
SABC
SPCD
SPCDSACD
SACD
V
SPSQ
VVa
VSASB
V
SP
VVa
VSA
.
3
.
3
.
.
22445
33927
2225
339
ỡ
==ị==
ù
ù
ớ
ù
==ị==
ù
ợ
ị
SPQCDSPQCSPCD
VVVa
3
105
27
=+=
Cõu V: Ta cú:
xyxy
0,0,2
>>+=
ị
xy
01
<Ê
.
P =
xy
yxxy
2
3
ổử
++
ỗữ
ốứ
2
237
+=
. Du "=" xy ra
xy
1
==
. Vy, minP = 7.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) C i xng vi A qua ng thng d ị C(3; 1).
BDd
ABAD
,
5
ỡ
ẻ
ớ
==
ợ
ị B(2; 1), D(6; 5).
2) E ẻ (d
2
) ị E(3; 7; 6).
P
Pd
d
an
ana
aa
1
1
,4(1;1;1)
ỡ
^
ộự
ị==
ớ
ởỷ
^
ợ
V
V
V
rr
rrr
rr
ị (D):
xt
yt
zt
3
7
6
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=-
ợ
.
Cõu VII.a:
ai
zziai
ai
222
12
1
42
1
ộ
=-
+=-=-
ờ
=-+
ở
.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) (C): xyxy
22
6250
+ +=
ị Tõm I(3; 1), bỏn kớnh R =
5
.
Gi s (D):
axbycc
0(0)
++=ạ
. T:
dI
d
(,)5
2
cos(,)
2
D
D
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
ị
abc
abc
2,1,10
1,2,10
ộ
==-=-
ờ
===-
ở
ị
xy
xy
:2100
:2100
D
D
ộ
=
ờ
+-=
ở
.
2) Ly B ẻ (d
1
), C ẻ (d
2
). T :
ABkAC
=
uuuruuur
ị k
1
2
=
ị B l trung im ca on thng AC.
Ta cú th tớnh c B(2; 1; 1), C(3; 4; 1).
Cõu VII.b: Tim cõn xiờn (D):
yxm
2
=+ . T M(1; 5) ẻ (D) ị m = 2.
Kt hp vi:
m
y
x
2
1
(1)
Â
=-
-
> 0, "x ạ 1 ị m = 2.
=====================
S
001
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Gi s phng trỡnh ng thng d: y = m.
PT honh giao im ca (C) v d:
xxxm
32
18
3
33
+=
xxxm
32
39830
+-=
(1)
d ct (C) ti 2 im phõn bit A, B sao cho DOAB cõn ti O thỡ (1) phi cú x
1
, x
1
, x
2
(x
1
, x
1
l honh ca A,
B) ị x
1
, x
2
l cỏc nghim ca phng trỡnh: xxxx
22
12
()()0
=
xxxxxxx
3222
2112
0
+=
(2)
ng nht (1) v (2) ta c:
x
x
xxm
2
2
1
2
12
3
9
83
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=-
ợ
x
x
m
1
2
3
3
19
3
ỡ
=
ù
ù
=
ớ
ù
=-
ù
ợ
. Kt lun: d: y
19
3
=-
.
Cõu II: 1) Nhn xột: cosx = 0 khụng phi l nghim ca PT. Nhõn 2 v ca PT vi cosx, ta c:
PT
xxxx
3
2sin3(4cos3cos)cos
-=
xxx
2sin3.cos3cos
=
xx
sin6sin
2
p
ổử
=-
ỗữ
ốứ
kk
xx
22
147105
pppp
=+=+
2) PT xxxx
242
3
311
3
-+=-++
(1)
Chỳ ý: xxxxxx
4222
1(1)(1)
++=++-+
, xxxxxx
222
312(1)(1)
-+=-+-++
Do ú: (1) xxxxxxxx
2222
3
2(1)(1)(1)(1)
3
-+-++=-++-+
.
Chia 2 v cho
( )
xxxx
2
22
11
++=++ v t
xx
tt
xx
2
2
1
,0
1
-+
=>
++
Ta c: (1) tt
2
3
210
3
+-=
t
t
3
0
23
1
3
ộ
-
=<
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ở
xx
xx
2
2
11
3
1
-+
=
++
x
1
=
.
Cõu III: I =
xxxdx
2
522
2
()4
-
+-
ũ
=
xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
+
xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
= A + B.
ã Tớnh A =
xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
. t
tx
=-
. Tớnh c: A = 0.
ã Tớnh B =
xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
. t
xt
2sin
=
. Tớnh c: B =
2
p
.
Cõu IV: Gi P = MN ầ SD, Q = BM ầ AD ị P l trng tõm DSCM, Q l trung im ca MB.
ã
MDPQ
MCNB
V
MDMPMQ
VMCMNMB
1211
2326
===
ị
DPQCNBMCNB
VV
5
6
=
ã Vỡ D l trung im ca MC nờn
dMCNBdDCNB
(,())2(,())
=
ị
MCNBDCNBDCSBSABCD
VVVV
.
1
2
2
===
ị
DPQCNBSABCD
VV
.
5
12
= ị
SABNPQSABCD
VV
.
7
12
= ị
SABNPQ
DPQCNB
V
V
7
5
=
.
Cõu V: T gi thit xyz
222
1
++=
ị
xyz
0,,1
<<
.
ã p dng BT Cụsi cho 3 s dng:
xxx
222
2,1.1
ta c:
S
002
Trần Sĩ Tùng
xxx
xx
222
222
3
2(1)(1)
2(1)
3
+-+-
³- Û xx
222
3
2
2(1)
3
-£
Û
xx
2
2
(1)
33
-£
Û
x
x
x
2
2
33
2
1
³
-
Û
x
x
yz
2
22
33
2
³
+
(1)
· Tương tự ta có:
y
y
zx
2
22
33
2
³
+
(2),
z
z
xy
2
22
33
2
³
+
(3)
· Từ (1), (2), (3) Þ
xyz
xyz
yzzxxy
222
222222
3333
()
22
++³++=
+++
Dấu "=" xảy ra Û xyz
3
3
=== .
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh
bằng 3 Þ IA =
32
. Giả sử A(x; –x – m) Î d.
IA
2
18
=
Û xmx
22
(1)(2)18
-+ +=
Û xmxmm
22
22(3)4130
+ =
(1)
Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ =
mm
2
2350
-++=
Û
m
m
7
5
é
=
ê
=-
ë
.
2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:
AxByCz
0
++=
(với
ABC
222
0
++¹
).
· Vì (P) ^ (Q) nên:
ABC
1.1.1.0
++=
Û
CAB
=
(1)
· dMP
(,())2
= Û
ABC
ABC
222
2
2
+-
=
++
Û
ABCABC
2222
(2)2()
+-=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được:
ABB
2
850
+=
Û
B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P):
xz
0
-=
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P):
xyz
5830
-+=
.
Câu VII.a: Ta có:
nnn
ACC
321
849
-+=
Û
nn
nnnn
8(1)
(1)(2)49
2
-
+=
Û
nnn
32
77490
-+-=
Û
n
7
=
.
nkkk
k
xxCx
7
2272(7)
7
0
(2)(2)2
-
=
+=+=
å
. Số hạng chứa
x
8
Û
k
2(7)8
-=
Û k = 3.
Þ Hệ số của
x
8
là: C
33
7
.2280
=.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Gọi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C
1
), (C
2
).
Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C
1
), (C
2
) nên II
1
= R + R
1
, II
2
= R + R
2
Þ II
1
– R
1
= II
2
– R
2
Û aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++- Û a = 0 Þ I(0; –1), R =
2
Þ Phương trình (C): xy
22
(1)2
++=
.
2) Gọi
dP
uun
,,
D
rrr
lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử
d
uabcabc
222
(;;)(0)
=++¹
r
.
· Vì d Ì (P) nên
dP
un
^
rr
Þ
abc
0
-+=
Û
bac
=+
(1)
·
·
(
)
d
0
,45
D
= Û
abc
abc
222
222
2
3
++
=
++
Û
abcabc
2222
2(2)9()
++=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được:
cac
2
14300
+=
Û
c
ac
0
1570
é
=
ê
+=
ë
· Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d:
{
xtytz
3;1;1
=+= =
· Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d:
{
xtytzt
37;18;115
=+= =- .
Đ
Ề
S
Ố
002
Trần Sĩ Tùng
Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0.
Hệ PT Û
xyxy
xyxy
222
2
lglg(lglg)
lg()lg.lg0
ì
ï
=++
í
-+=
ï
î
Û
yxy
xyxy
2
lg(lglg)0
lg()lg.lg0
ì
+=
í
-+=
î
Û
y
xy
2
lg0
(1)
lg()0
ì
=
í
-=
î
hoặc
xy
xyxy
2
lglg0
lg()lg.lg0
ì
+=
í
-+=
î
(2)
· (1) Û
y
xy
1
1
ì
=
í
-=
î
Û
x
y
2
1
ì
=
í
=
î
.
· (2) Û
y
x
xx
xx
2
1
11
lglg.lg0
ì
=
ï
ï
í
æö
ï
-+=
ç÷
ï
èø
î
Û
y
x
x
x
x
2
22
1
1
lglg
ì
=
ï
ï
í
æö
-
ï
=
ç÷
ï
èø
î
Û
y
x
x
2
1
2
ì
=
ï
í
ï
=
î
Û
x
y
2
1
2
ì
=
ï
í
=
ï
î
Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và
1
2;
2
æö
ç÷
èø
.
=====================
Đ
Ề
S
Ố
002
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Hai im c nh A(1; 0), B(1; 0). Ta cú:
yxmx
3
42
Â
=+ .
ã Cỏc tip tuyn ti A v B vuụng gúc vi nhau yy
(1).(1)1
ÂÂ
-=-
m
2
(42)1
+=
m
m
3
2
5
2
ộ
=-
ờ
ờ
ờ
=-
ở
.
Cõu II: 1) H PT
yxx
xxxx+
2
432
95
4518180
ỡ
ù
=
ớ
+ =
ù
ợ
yxx
x
x
x
2
95
1
3
17
ỡ
=
ù
ù
ộ
=
ớ
ờ
=-
ù
ờ
ù
=-
ở
ợ
xy
xy
xy
xy
1;3
3;15
17;637
17;637
ộ
==
ờ
=-=
ờ
= =+
ờ
ờ
=-+=-
ở
2) PT
xxx
(sin1)(sincos2)0
-++=
x
sin1
=
xk
2
2
p
p
=+ .
Cõu III: I =
x
dx
xx
8
22
3
1
11
ổử
-
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
ũ
=
( )
xxx
8
22
3
1ln1
ộự
+-++
ởỷ
=
(
)
(
)
1ln32ln83
++-+
.
Cõu IV: Gi E = AK ầ DC, M = IE ầ CCÂ, N = IE ầ DDÂ. Mt phng (AKI) chia hỡnh lp phng thnh hai a din:
KMCAND v KBBÂCÂMAAÂDÂN. t V
1
= V
KMCAND
, V
2
= V
KBBÂCÂMAAÂDÂN
.
ã V
hlp
=
a
3
, V
EAND
=
ADN
EDSa
3
12
39
D
= .
ã
EKMC
EAND
V
EKEMEC
VEAENED
1
8
==
ị
KMCANDEAND
VVVaa
33
1
7727
.
88936
==== , V
2
= V
hlp
V
1
=
a
3
29
36
.
ị
V
V
1
2
7
29
=
.
Cõu V: ã Nu y = 0 thỡ M =
x
2
= 2.
ã Nu y ạ 0 thỡ t
x
t
y
=
, ta c: M =
xxyy
xxyy
22
22
23
2.
+-
-+
=
tt
tt
2
2
23
2
1
+-
-+
.
Xột phng trỡnh:
tt
m
tt
2
2
23
1
+-
=
-+
mtmtm
2
(1)(2)30
+++=
(1)
(1) cú nghim m = 1 hoc D = mmm
2
(2)4(1)(3)0
+ +
m
2(131)2(131)
33
+-
-ÊÊ .
Kt lun: M
4(131)4(131)
33
+-
-ÊÊ .
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) To im A l nghim ca h:
xy
xy
20
2630
ỡ
+-=
ớ
++=
ợ
ị A
157
;
44
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Gi s:
Bbb
(;2)
-
ẻ d
1
,
c
Cc
32
;
6
ổử
ỗữ
ốứ
ẻ d
2
.
M(1; 1) l trung im ca BC
bc
c
b
1
2
32
2
6
1
2
ỡ
+
=-
ù
ù
ớ
-+
ù
=
ù
ợ
b
c
1
4
9
4
ỡ
=
ù
ớ
ù
=-
ợ
ị B
17
;
44
ổử
ỗữ
ốứ
, C
91
;
44
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
2) (S) cú tõm I(1; 1; 2), bỏn kớnh R = 2. d cú VTCP
u
(2;2;1)
=
r
.
(P) // d, Ox ị (P) cú VTPT
[
]
nui
,(0;1;2)
==-
r
rr
ị Phng trỡnh ca (P) cú dng:
yzD
20
-+=
.
S
003
Trn S Tựng
(P) tip xỳc vi (S)
dIPR
(,())
=
D
22
14
2
12
-+
=
+
D
325
-=
D
D
325
325
ộ
=+
ờ
=-
ở
ị (P): yz
23250
-++=
hoc (P): yz
23250
-+-=
.
Cõu VII.a: PT
z
z
2
22
9
(1)5
ộ
=-
ờ
+=
ở
zi
z
2
3
51
ộ
=
ờ
=-
ở
zi
z
zi
3
51
51
ộ
=
ờ
=-
ờ
ờ
=+
ở
.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) V CH ^ AB, IK ^ AB. AB =
2
ị CH =
ABC
S
AB
2
3
2
D
=
ịIK =
CH
11
3
2
=
. Gi s I(a; 3a 8) ẻ d.
Phng trỡnh AB:
xy
50
=
.
dIABIK
(,)
=
a
321
-=
a
a
2
1
ộ
=
ờ
=
ở
ị I(2; 2) hoc I(1; 5).
ã Vi I(2; 2) ị C(1; 1) ã Vi I(1; 5) ị C(2; 10).
2)
xt
dyt
zt
1
11
1
12
:1
2
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
,
xt
dyt
zt
2
22
2
2
:
12
ỡ
=+
ù
=
ớ
ù
=-
ợ
. (P) cú VTPT
n
(2;1;5)
=
r
. Gi A = d ầ d
1
, B = d ầ d
2
.
Gi s:
Attt
111
(12;1;2)
+-+ ,
Bttt
222
((22;;12)
+- ị ABtttttt
212121
(21;1;221)
=-+-+ +
uuur
.
ã d ^ (P)
ABn
,
uuur
r
cựng phng
tttttt
212121
211221
215
-+-+ +
==
t
t
1
2
1
1
ỡ
=-
ớ
=-
ợ
ị A(1; 2; 2).
ị Phng trỡnh ng thng d:
xyz
122
215
+++
==.
Cõu VII.b:
mxxmm
y
mx
22
2
22
(1)
++-
Â
=
+
.
hm s luụn ng bin trờn tng khong xỏc nh thỡ
m
mm
32
0
210
D
ỡ
>
ớ
Â
=-+<
ợ
m
15
1
2
+
<< .
=====================
S
003
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) TC:
x
1
=-
; TCX:
y
2
=
ị M(1; 2). Gi s
x
Ix
x
0
0
0
21
;
1
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
ẻ (C), (x
0
> 0).
ã PTTT vi (C) ti I:
x
yxx
x
x
0
0
2
0
0
21
3
()
1
(1)
-
=-+
+
+
ị
x
A
x
0
0
24
1;
1
ổử
-
-
ỗữ
+
ốứ
,
(
)
Bx
0
(21;2
+ .
ã
MAMB
22
40
+=
x
x
x
2
0
2
0
0
36
4(1)40
(1)
0
ỡ
++=
ù
+
ớ
ù
>
ợ
x
0
2
=
(y
0
= 1) ị I(2; 1).
Cõu II: 1) BPT
x
34
ÊÊ
.
2) iu kin:
x
x
cos0
sin0
ỡ
ạ
ớ
ạ
ợ
. PT x
1
cos
2
=-
xk
2
2
3
p
p
=+ .
Cõu III: I =
dx
xx
2
1
169
1
43
ổử
+-
ỗữ
ốứ
ũ
=
( )
xxx
2
1
16ln49ln3
+ =
125ln216ln3
+-
.
Cõu IV:
SAHK
Rh
V
RhRh
25
.
2222
3(4)(2)
=
++
.
Cõu V: p dng bt ng thc
114
(0,0)
+>>
+
xy
xyxy
Ta cú:
114114114
;;
222
+++
++++++++++
abbcabcbccaabccaaba+b+c
Mt khỏc:
222
2222
122
244220
2247
=+++
++++++
abcabc
abcabca
222
2(1)(1)(1)0
-+-+-
abc
Tng t:
22
1212
;
2727
++++++
bcabcabc
T ú suy ra:
222
111444
777
++++
++++++
abbccaabc
ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c = 1.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Gi A
1
, A
2
ln lt l im i xng ca A qua BBÂ, CCÂ ị A
1
, A
2
ẻ BC.
Tỡm c: A
1
(0; 1), A
2
(2; 1) ị Png trỡnh BC:
y
1
=-
ị B(1; 1), C(4; 1) ị
ABAC
^
uuuruuur
ị
à
A
vuụng.
2) Gi s:
Attt
111
(82;6;10)
-++-
ẻ d
1
,
Bttt
222
(;2;42)
+ ẻ d
2
.
ị ABtttttt
212121
(28;4);214)
=-+ +-
uuur
.
ABi
,(1;0;0)
=
uuur
r
cựng phng
tt
tt
21
21
40
2140
ỡ
=
ớ
+-=
ợ
t
t
1
2
22
18
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị
AB
(52;16;32),(18;16;32)
.
ị Phng trỡnh ng thng d:
xt
y
z
52
16
32
ỡ
=-+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
.
Cõu VII.a: Phn thc a = 88, phn o b = 59.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Chỳ ý: d
1
^ d
2
v DABC vuụng cõn ti A nờn A cỏch u d
1
, d
2
ị A l giao im ca d v ng phõn giỏc
ca gúc to bi d
1
, d
2
ị A(3; 2).
Gi s B(1; b) ẻ d
1
, C(c; 2) ẻ d
2
. ABbACc
(4;2),(3;4)
= =
uuuruuur
.
Ta cú:
ABAC
BC
2
.0
50
ỡ
ù
=
ớ
=
ù
ợ
uuuruuur
bc
bc
5,0
1,6
ộ
==
ờ
=-=
ở
ị
ABC
ABC
(3;2),(1;5),(0;2)
(3;2),(1;1),(6;2)
ộ
ờ
ở
.
S
004
Trần Sĩ Tùng
2) u
(2;1;1)
D
=-
r
. Gọi H = d Ç D. Giả sử
Httt
(12;1;)
+-+-
Þ
MHttt
(21;2;)
=
uuuur
.
MHu
D
^
uuuur
r
Û
ttt
2(21)(2)()0
-+ =
Û t
2
3
=
Þ
d
uMH
3(1;4;2)
==
uuuur
r
Þ d:
xt
yt
zt
2
14
2
ì
=+
ï
=-
í
ï
=
î
.
Câu VII.b: Hệ PT Û
xyxy
xyxy
55
535
log(32)log(32)1
log(32)log5.log(32)1
ì
++-=
í
+ =
î
Û
xy
xy
5
5
log(32)1
log(32)0
ì
+=
í
-=
î
Û
xy
xy
325
321
ì
+=
í
-=
î
Û
x
y
1
1
ì
=
í
=
î
=====================
Đ
Ề
S
Ố
004
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Phng trỡnh honh giao im ca (C
m
) v d: xmxmxx
32
2(3)44
++++=+
(1)
xxmxm
2
(22)0
+++=
xy
xmxm
2
0(4)
220(2)
ộ
==
ờ
+++=
ở
(1) cú 3 nghim phõn bit (2) cú 2 nghim phõn bit, khỏc 0
mm
m
2
20
20
D
ỡ
Â
= >
ớ
+ạ
ợ
m
m
m
1
2
2
ỡ
ộ
<-
ù
ờ
>
ớ
ở
ù
ạ-
ợ
(*)
Khi ú x
B
, x
C
l cỏc nghim ca (2) ị
BCBC
xxmxxm
2,.2
+=-=+
IBC
S
82
D
= dIdBC
1
(,).82
2
=
BC
xx
2
()82
-=
BCBC
xxxx
2
()41280
+ =
mm
2
340
=
m
m
1137
2
1137
2
ộ
-
=
ờ
ờ
+
ờ
=
ờ
ở
(tho (*))
Cõu II: 1) H PT
(
)
(
)
xyxy
xy
20
1412
ỡ
+-=
ù
ớ
-+-=
ù
ợ
xy
xy
20
1412
ỡ
-=ù
ớ
-+-=
ù
ợ
xy
y
4
411
ỡ
=
ớ
-=
ợ
x
y
2
1
2
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
2) iu kin:
x
x
x
sin0
cos0
cot1
ỡ
ạ
ù
ạ
ớ
ù
ạ
ợ
. PT x
2
cos
2
=
xk
2
4
p
p
=-+ .
Cõu III: A =
x
xxx
xx
2
0
cossintan
lim
sin
đ
-
=
x
xx
xxx
2
2
0
(cos1)sin
lim
sin.cos
đ
-
=
x
x
xx
2
2
0
sin
lim1
cos
đ
-
=-
Cõu IV: AÂMCN l hỡnh thoi ị MN ^ AÂC, DBÂMN cõn ti BÂ ị MN ^ BÂO ị MN ^ (AÂBÂC).
ã
MABCABC
aa
VMOSaa
3
1121
2
33226
D
ÂÂÂÂ
=== ị
BAMCNMABC
a
VV
3
.
2
3
ÂÂÂÂ
==
ã Gi j l gúc gia hai mt phng (AÂMCN) v (ABCD), P l trung im ca CD ị NP ^ (ABCD).
MCN
a
S
2
6
4
D
=,
MCP
a
S
2
4
D
= ị
MCP
MCN
S
S
6
cos
6
D
D
j
==.
Cõu V: ã T gi thit ị
xyz
yzxzxy
1
++=
v
xyzxyzxyyzzx
222
=++++
ị
xyz
111
1
++Ê
.
ã Chỳ ý: Vi a, b > 0, ta cú:
abab
411
Ê+
+
ị
xx
yz
xyz
xyz
x
x
2
111
4
ổử
=Ê+
ỗữ
+
ốứ
+
(1). Tng t:
yy
yxz
yxz
2
11
4
ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
(2),
zz
zxy
zxy
2
11
4
ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
(3)
T (1), (2), (3) ị
xyzxyz
xyzyzxzxy
xyzyxzzxy
222
1111
4
ổử
++Ê+++++
ỗữ
+++
ốứ
Ê
11
(11)
42
+=
.
Du "=" xy ra
xyzxyz
xyz
xyzyxzzxy
222
222
;;
ỡ
++=
ù
==
ớ
ù
===
ợ
xyz
3
===
.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) (C
1
) cú tõm O(0; 0), bỏn kớnh R
1
=
13
. (C
2
) cú tõm I
2
(6; 0), bỏn kớnh R
2
= 5. Giao im A(2; 3).
Gi s d: axbyab
22
(2)(3)0(0)
-+-=+ạ
. Gi
ddOdddId
122
(,),(,)
==.
S
005
Trn S Tựng
T gi thit, ta suy ra c:
RdRd
2222
1122
-=-
dd
22
21
12
-=
aabab
abab
22
2222
(623)(23)
12
-=
++
bab
2
30
+=
b
ba
0
3
ộ
=
ờ
=-
ở
.
ã Vi b = 0: Chn a = 1 ị Phng trỡnh d:
x
20
-=
.
ã Vi b = 3a: Chn a = 1, b = 3 ị Phng trỡnh d:
xy
370
-+=
.
2) PT
xx
5151
22
22
ổửổử
-+
+=
ỗữỗữ
ốứốứ
(
)
( )
x
x
51
51
log21
log21
-
-
ộ
=-
ờ
ờ
=+
ở
.
Cõu VII.a: Xột
nnn
nnnnnn
xCCxCxCxCxCx
20122334422
222222
(1) +=++++++ (1)
nnn
nnnnnn
xCCxCxCxCxCx
20122334422
222222
(1) =-+-+-+ (2)
T (1) v (2) ị
nn
nn
nnnn
xx
CCxCxCx
22
0224422
2222
(1)(1)
2
++-
++++=
Ly o hm 2 v ta c:
nnnn
nnn
CxCxnCxnxx
2432212121
222
24 2(1)(1)
ộự
+++=+
ởỷ
Vi x = 1, ta c:
nnn
nnn
n
CCnCn
24221
222
24 224
2
-
+++==.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Tỡm c M(3; 0) ị MI =
32
2
ị AB =
32
ị AD =
22
. Phng trỡnh AD:
xy
30
+-=
.
Gi s A(a; 3 a) (vi a < 3). Ta cú AM =
2
a
2
=
ị A(2; 1). T ú suy ra: D(4; 1), B(5; 4), C(7; 2).
2) iu kin: x > 3. BPT xxxx
2
333
log56log3log2
-+++>-
x
2
91
->
x
10
>
.
Cõu VII.b: iu kin: a ạ 0. Tim cn xiờn d:
yxa
1
=-++
. d tip xỳc vi (CÂ) H phng trỡnh sau cú nghim:
xxxxa
xx
32
2
6831
31281
ỡ
ù
-+-=-++
ớ
-+=-
ù
ợ
x
a
3
4
ỡ
=
ớ
=-
ợ
. Kt lun: a = 4.
=====================
S
005
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Phng trỡnh honh giao im ca d v (C
m
):
xxmx
32
30
++=
(1)
x
xxm
2
0
30(2)
ộ
=
ờ
++=
ở
(2) cú 2 nghim phõn bit, khỏc 0
m
m
9
4
0
ỡ
ù
<
ớ
ù
ạ
ợ
(*). Khi ú:
DEDE
xxxxm
3;.
+=-=
DE
yy
''
.1
=-
mm
2
4910
-+=
m
965
8
= (tho (*))
Cõu II: 1) PT xx
cos3cos0
3
p
ổử
+-=
ỗữ
ốứ
xx
2
cos3cos
3
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ
xk
xk
3
62
p
p
pp
ộ
=+
ờ
ờ
ờ
=-+
ở
.
2) T (1) ị y ạ 0. Khi ú H PT
xyy
xyxyy
333
223
8277
46
ỡ
ù
+=
ớ
+=
ù
ợ
ị
txy
ttt
32
82746
ỡ
=
ớ
+=+
ợ
txy
ttt
319
;;
222
ỡ
=
ù
ớ
=-==
ù
ợ
ã Vi t
3
2
=-
: T (1) ị y = 0 (loi).
ã Vi t
1
2
=
: T (1) ị xy
3
3
1
;4
24
ổử
==
ỗữ
ốứ
ã Vi t
9
2
=
: T (1) ị xy
3
3
3
;34
24
ổử
==
ỗữ
ốứ
Cõu III: t xtt
3
cossin,0
22
p
ổử
=ÊÊ
ỗữ
ốứ
ị I =
tdt
4
2
0
3
cos
2
p
ũ
=
31
242
p
ổử
+
ỗữ
ốứ
.
Cõu IV: Gi H, M, I ln lt l trung im ca AB, AC, AM ị SH ^ (ABC),
ã
SIH
a
=
. SH =
a
IH
3
.tantan
4
aa
= .
ị
SABCABC
a
VSHS
3
.
1
.tan
316
D
a
==.
Cõu V: ã Chỳ ý: Vi a, b > 0, ta cú:
abab
411
Ê+
+
.
ị P Ê
xyxzyxyzzxzy
1111111
4
ổử
+++++
ỗữ
++++++
ốứ
=
xyyzzx
1111
2
ổử
++
ỗữ
+++
ốứ
Ê
xyz
1111
4
ổử
++
ỗữ
ốứ
=
1005
2
.
Du "=" xy ra xyz
1
670
=== . Vy MinP =
1005
2
.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Gi s: AB:
xy
5260
+=
, AC:
xy
47210
+=
. Suy ra: A(0; 3). BO ^ AC ị BO:
xy
740
-=
.
ị B(4; 7) ị BC:
y
70
+=
.
2) Gi s A(a; 0; 0) ẻ Ox, B(1+t; 2t; 2+2t) ẻ d.
ABtatt
(1;2;22)
=+ +
uuur
.
d
a
ABut
3
9
+
^=
uuur
r
ị
aaa
B
122(3)212
;;
999
ổử
++-
ỗữ
ốứ
. AB = aa
2
2
269
3
-+
.
dAPa
2
(,())
3
=.
AB = d(A, (P))
aaa
2
22
269
33
-+=
a
3
=
ị A(3; 0; 0).
Cõu VII.a: Gi s s tho món l:
aaaaa
12345
.
S
006
Trần Sĩ Tùng
· Nếu a
1
= 1 thì có: A
4
7
840
= (số)
· Nếu a
2
= 1 thì có: CA
13
66
.720
= (số) · Nếu a
3
= 1 thì có: CA
13
66
.720
= (số)
Þ Có tất cả: 840 + 720 + 720 = 2280 (số).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 0), bán kính R = 2. Giả sử M(0; b) Î Oy.
Vì góc giữa hai tiếp tuyến kẻ từ M bằng
0
60
nên MI =
R
0
sin30
= 4 Þ
MI
2
16
=
Û
b
2
7
=
Û
b
7
=±
.
Þ
(
)
M
0;7
hoặc
(
)
M
0;7
- .
2) d
1
có VTCP u
1
(2;1;0)
=
r
, d
2
có VTCP u
2
(1;1;0)
=-
r
. Giả sử Att
11
(2;;4)
Î d
1
, Btt
22
(3;;0)
- Î d
2
.
AB là đoạn vuông góc chung Û
ABu
ABu
1
2
ì
^
ï
í
^
ï
î
uuur
r
uuur
r
Û
tt
tt
12
12
56
23
ì
+=
í
+=
î
Û tt
12
1
==
Þ A(2; 1; 4), B(2; 1; 0).
Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm I(2; 1; 2) của AB và bán kính R =
AB
2
2
=
.
Þ (S): xyz
222
(2)(1)(2)4
-+-+-=
.
Câu VII.b: PT Û zzz
2
(1)(2)(8)0
+-+=
Û
zzzi
1;2;22.
=-==± .
=====================
Đ
Ề
S
Ố
006
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Phng trỡnh ng thng MN:
xy
230
++=
. Gi I(a; b) ẻ MN ị
ab
230
++=
(1)
Phng trỡnh ng thng d qua I v vuụng gúc vi MN l:
yxab
2()
=-+
.
Honh cỏc giao im A, B ca (C) v d l nghim ca phng trỡnh:
x
xab
x
24
2()
1
-
=-+
+
(x
ạ
1)
xabxab
2
2(2)240
++=
(x ạ 1)
A, B i xng nhau qua MN I l trung im ca AB. Khi ú:
AB
I
xx
x
2
+
=
ab
a
2
4
-
= (2)
T (1) v (2) ta c:
ab
ab
a
230
2
4
ỡ
++=
ù
-
ớ
=
ù
ợ
a
b
1
2
ỡ
=
ớ
=-
ợ
Suy ra phng trỡnh ng thng d:
yx
24
=-
ị A(2; 0), B(0; 4).
Cõu II: 1) PT
x
x
3
cos2cos2
4
+=
(*).
Ta cú:
x
x
cos21
3
cos1
4
ỡ
Ê
ù
ớ
Ê
ù
ợ
. Do ú (*)
x
x
cos21
3
cos1
4
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
xk
l
x
8
3
p
p
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
xm
8
p
=
.
2) PT
x
xx
3(21)21
-=+
(1). Ta thy x
1
2
=
khụng phi l nghim ca (1).
Vi x
1
2
ạ
, ta cú: (1)
x
x
x
21
3
21
+
=
-
x
x
x
21
30
21
+
-=
-
t
xx
x
fx
xx
213
()332
2121
+
=-=
. Ta cú:
x
fxx
x
2
61
()3ln30,
2
(21)
Â
=+>"ạ
-
Do ú f(x) ng bin trờn cỏc khong
1
;
2
ổử
-Ơ
ỗữ
ốứ
v
1
;
2
ổử
+Ơ
ỗữ
ốứ
ị Phng trỡnh f(x) = 0 cú nhiu nht 1 nghim trờn
tng khong
11
;,;
22
ổửổử
-Ơ+Ơ
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Ta thy
xx
1,1
==-
l cỏc nghim ca f(x) = 0. Vy PT cú 2 nghim
xx
1,1
==-
.
Cõu III: Ta cú:
xx
x
2
1sin1
1tan
1cos22
ổử
+
=+
ỗữ
+ốứ
.
Do ú: I =
x
x
edx
2
2
0
1
1tan
22
p
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũ
=
x
xx
edx
2
2
0
1
1tantan
222
p
ổử
++
ỗữ
ốứ
ũ
=
xx
xx
edxedx
22
2
00
1
1tantan.
222
pp
ổử
++
ỗữ
ốứ
ũũ
t
x
ue
x
dvdx
2
1
1tan
22
ỡ
=
ù
ổử
ớ
=+
ỗữ
ù
ốứ
ợ
ị
x
duedx
x
v
tan
2
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
ị I =
xxx
xxx
eedxedx
22
2
0
00
tantantan
222
pp
p
-+
ũũ
=
e
2
p
.
Cõu IV: Trờn AC ly im D sao cho: DS ^ SC (D thuc on AC) ị
ã
ASD
0
30
=
.
Ta cú:
ASD
CSD
ASSD
S
ADa
CDSc
CSSD
0
1
sin30
2
1
2
.
2
===
ị
a
DADC
c2
=-
uuuruuur
ị
cSAaSC
SD
ca
2
2
+
=
+
uuruur
uuur
ị
cSAaSCc
SDSBSBSASB
caca
22
22
ổử
+
==
ỗữ
++
ốứ
uuruur
uuuruuruuruuruur
=
cabc
ab
caca
0
2
.cos60
22
=
++
S
007
Trn S Tựng
v
cSAaSCcaSASC
SD
ca
2222
2
2
44.
(2)
++
=
+
uuruur
=
acacacac
caca
22222222
22
423
(2)(2)
+-
=
++
ị SD =
ac
ca
3
2
+
Mt khỏc,
ã
abc
SDSB
ca
SDB
SDSB
ac
b
ca
.3
2
cos
.3
3
.
2
+
===
+
uuuruur
ị
ã
SDB
6
sin
3
=
ã
SDBCSDB
VSCSSCSDSBSDB
11
sin
36
== =
abc
ca
2
2
.
62
+
M
ASDB
CSDB
V
ADa
VDCc
2
==
ị
ASDBCSDB
aabc
VV
cca
2
2
.
2122
==
+
Vy:
SABCASDBCSDB
abcabc
VVVabc
ca
22
222
12212
ổử
+
=+==
ỗữ
+
ốứ
.
Cõu V: t
axbycz
222
log,log,log
=== ị abcxyz
22
log()log83
++===
ị P =
xyz
222
222
log1log1log1
+++++
= abc
222
111
+++++
t
manbpc
(;1),(;1),(;1)
===
rrr
.
Khi ú: P =
mnpmnp
++++
rrrrrr
= abc
22
()(111)
+++++ =
32
Du "=" xy ra
abc
1
===
xyz
2
===
. Vy MinP =
32
khi
xyz
2
===
.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Gi s A(a; a 1) ẻ d
1
, B(b; 2b 1) ẻ d
2
. MAaaMBbb
(1;2),(1;22)
= =
uuuruuur
MAMB
20
+=
uuuruuur
ab
ab
2210
24220
ỡ
-+-=
ớ
+-=
ợ
a
b
0
3
ỡ
=
ớ
=
ợ
ị A(0; 1), B(3; 5) ị Phng trỡnh d:
xy
210
=
.
2) PTTS ca AB:
xt
yt
zt
43
25
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
ị Giao im ca AB vi (P) l: M(7; 3; 1)
Gi I l hỡnh chiu ca B trờn (P). Tỡm c I(3; 0; 2). Hỡnh chiu d ca ng thng AB l ng thng MI.
ị Phng trỡnh ng thng d l:
xt
yt
zt
34
3
2
ỡ
=-
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
Cõu VII.a: PT cú cỏc nghim
ii
xx
12
11
;
22
+-
== ị
ii
xx
22
12
11
2;2
=-=
.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) (C) cú tõm I(1; 1) v bỏn kớnh R =
5
. IM =
25
<
ị M nm trong ng trũn (C).
Gi s d l ng thng qua M v H l hỡnh chiu ca I trờn d.
Ta cú: AB = 2AH = IAIHIHIM
2222
2252523
-=--=.
Du "=" xy ra H M hay d ^ IM. Vy d l ng thng qua M v cú VTPT MI
(1;1)
=-
uuur
ị Phng trỡnh d:
xy
20
-+=
.
2) Phng trỡnh mp(ABC):
xyz
1
123
++=
. Gi H(x; y; z) l trc tõm ca DABC.
Ta cú:
AHBC
BHAC
HP
()
ỡ
^
ù
ớ
^
ù
ẻ
ợ
uuuruuur
uuuruuur
yz
xz
yz
x
230
30
1
23
ỡ
-+=
ù
ù
-+=
ớ
ù
++=
ù
ợ
x
y
z
36
49
18
49
12
49
ỡ
=
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
=
ù
ợ
ị H
361812
;;
494949
ổử
ỗữ
ốứ
.
S
007
Trần Sĩ Tùng
Câu VII.b: Phương trình
nnn
CCC
132
2
+= Û nnn
2
(914)0
-+=
Û
n
7
=
Số hạng thứ 6 trong khai triển
( )
x
x
7
5
lg(103)(2)lg3
22
+ là
( )
( )
x
x
C
2
5
5
5lg(103)(2)lg3
7
22
Ta có:
x
x
C
5lg(103)(2)lg3
7
.2.221
=
Û
x
xlg(103)(2)lg3
21
-+-
=
Û
x
x
lg(103)(2)lg30
-+-=
Û
xx2
(103).31
-
-=
Û
xx2
310.390
-+=
Û
xx
0;2
==
=====================
Đ
Ề
S
Ố
007
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Giao im ca hai tim cn l I(1; 2). Gi M(a; b) ẻ (C) ị
a
b
a
21
1
-
=
-
(a ạ 1)
Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti M:
a
yxa
a
a
2
121
()
1
(1)
-
= +
-
-
Phng trỡnh wũng thng MI: yx
a
2
1
(1)2
(1)
=-+
-
Tip tuyn ti M vuụng gúc vi MI nờn ta cú:
aa
22
11
.1
(1)(1)
-=-
ab
ab
0(1)
2(3)
ộ
==
ờ
==
ở
Vy cú 2 im cn tỡm M
1
(0; 1), M
2
(2; 3)
Cõu II: 1) PT
xxxx
coscos2cos3cos40
26262626
pppp
ổửổửổửổử
-+-+-+-=
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ
t
x
t
26
p
=-
,
PT tr thnh:
tttt
coscos2cos3cos40
+++=
tt
t
5
4cos.cos.cos0
22
=
t
t
t
cos0
2
cos0
5
cos0
2
ộ
=
ờ
ờ
=
ờ
ờ
=
ờ
ở
tm
tl
k
t
(21)
2
2
55
p
p
p
pp
ộ
=+
ờ
=+
ờ
ờ
ờ
=+
ờ
ở
ã Vi tmxm
(21)(42)
3
p
pp
=+ị=++
ã Vi
tlxl
4
2
23
pp
pp
=+ị=+
ã Vi
kk
tx
2114
55155
pppp
=+ị=+
2) iu kin:
x
xx
2
2
10
1
ỡ
-
ù
ớ
-
ù
ợ
x 1. Khi ú: xxxxxx
4
222
111
++>+-+-
(do x 1)
ị VT >
(
)
(
)
CoõSi
xxxxxxxx
44
8
2222
11211
-
++- +-
= 2
ị PT vụ nghim.
Cõu III: Phng trỡnh tung giao im ca (C) v (d):
yy
2
(1)14
-+=-
y
y
2
1
ộ
=
ờ
=-
ở
V =
yyydy
2
222
1
(22)(4)
p
-
-+
ũ
=
117
5
p
Cõu IV: Gi N = BM ầ AC ị N l trng tõm ca DABD.
K NK // SA (K ẻ SC). K KI // SO (I ẻ AC) ị KI ^ (ABCD). Vy
KBCDMBCDM
VKIS
.
1
.
3
=
Ta cú: DSOC ~ DKIC ị
KICK
SOCS
= (1), DKNC ~ DSAC ị
CKCN
CSCA
= (2)
T (1) v (2) ị
COCO
KICNCOON
SOCACOCO
1
2
3
223
+
+
====
ị
a
KISO
23
33
==
Ta cú: DADC u ị CM ^ AD v CM =
a
3
2
ị S
BCDM
=
DMBCCMa
2
133
().
28
+=
S
008
Trn S Tựng
ị V
K.BCDM
=
BCDM
a
KIS
3
1
.
38
=
Cõu V: Ta cú
xx
yzx
222
1
=
+-
. Ta cn chng minh:
xx
x
2
2
33
2
1
-
.
Tht vy, ỏp dng BT Cụsi ta cú:
( )
xxx
xxxxx
2
222
2
22222
2118
212(1)(1)
327
ổử
+-+-
-= Ê=
ỗữ
ốứ
ị
xx
2
2
(1)
33
-Ê
ị
xx
x
2
2
33
2
1
-
ị
xx
yz
2
22
33
2
+
(1)
Tng t:
yy
xz
2
22
33
2
+
(2),
zz
xy
2
22
33
2
+
(3)
Do ú:
( )
xyz
xyz
yzxzxy
222
222222
3333
22
++++=
+++
Du "=" xy ra xyz
3
3
=== .
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Tam giỏc OAB cú din tớch ln nht DOAB vuụng cõn ti O. Khi ú dOd
52
(,)
2
= .
Gi s phng trỡnh ng thng d: AxByAB
22
(2)(6)0(0)
-+-=+ạ
Ta cú: dOd
52
(,)
2
=
AB
AB
22
2652
2
=
+
BABA
22
4748170
+-=
BA
BA
24555
47
24555
47
ộ
=
ờ
ờ
-+
ờ
=
ờ
ở
ã Vi
BA
24555
47
= : chn A = 47 ị B =
24555
ị d:
(
)
xy
47(2)24555(6)0
+-=
ã Vi
BA
24555
47
-+
= : chn A = 47 ị B =
24555
-+
ị d:
(
)
xy
47(2)24555(6)0
-+-+-=
2) (P) cú VTPT
n
(1;1;1)
=
r
. Gi s AÂ(x; y; z). Gi I l trung im ca AAÂ ị
xyz
I
12
;;
222
ổử
++
ỗữ
ốứ
.
Ta cú: AÂ i xng vi A qua (P)
AAncuứng phửụng
I(P)
,
ỡ
ù
Â
ớ
ẻ
ù
ợ
uuur
r
xyz
xyz
12
111
12
30
222
ỡ
==
ù
ớ
++
ù
+++=
ợ
x
y
z
4
3
2
ỡ
=-
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
Vy: AÂ(4; 3; 2).
Cõu VII.a: S cỏc s gm 6 ch s khỏc nhau lp t cỏc s 1, 2, 3, 4, 5, 6 l: 6! (s)
S cỏc s gm 6 ch s khỏc nhau m cú 2 s 1 v 6 ng cnh nhau l: 2.5! (s)
ị S cỏc s tho yờu cu bi toỏn l: 6! 2.5! = 480 (s)
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Ta cú A = AD ầ AM ị A(9; 2). Gi CÂ l im i xng ca C qua AD ị CÂ ẻ AB.
Ta tỡm c: CÂ(2; 1). Suy ra phng trỡnh (AB):
xy
92
2912
-+
=
+
xy
750
++=
.
Vit phng trỡnh ng thng Cx // AB ị (Cx):
xy
7250
+-=
Gi AÂ = Cx ầ AM ị AÂ(17; 6). M l trung im ca AAÂ ị M(4; 2)
M cng l trung im ca BC ị B(12; 1).
2) Gi s
Attt
111
(238;104;)
-+-+ ẻ d
1
,
Bttt
222
(32;22;)
+ ẻ d
2
.
S
008
Trn S Tựng
ị
ABtttttt
212121
(2826;248;)
=-+ +-
uuur
AB // Oz
ABkcuứngphửụng
,
uuur
r
tt
tt
21
21
28260
2480
ỡ
-+=
ớ
+=
ợ
t
t
1
2
17
6
5
3
ỡ
=
ù
ớ
ù
=-
ợ
ị A
1417
;;
336
ổử
-
ỗữ
ốứ
ị Phng trỡnh ng thng AB:
x
y
zt
1
3
4
3
17
6
ỡ
=-
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
=+
ù
ợ
Cõu VII.b:
x
x
axx
2
4
22
345(1)
1log()log(1)(2)
ỡ
ù
-
ớ
ù
+-+
ợ
ã (1)
x
x
2
3540
. t f(x) =
x
x
2
354
. Ta cú: f
Â
(x) =
x
x
xR
2
ln5
ln3.3.50,
2
->"ẻ
ị f(x) ng bin. Mt khỏc f(2) = 0, nờn nghim ca (1) l: S
1
= [2; +Ơ)
ã (2)
[
]
axx
4
22
log2()log(1)
-+
axx
4
2()1
-+
x
ax
4
1
22
++
(*)
ã H cú nghim (*) cú nghim thuc [2; +Ơ)
t g(x) =
x
x
4
1
22
++
. Ta cú: g
Â
(x) =
x
3
21
+
> 0, "x 2 ị g(x) ng bin trờn [2; +Ơ) v g(2) =
21
2
.
Do ú (*) cú nghim thuc [2; +Ơ) a
21
2
.
Vy h cú nghim thỡ a
21
2
.
=====================
S
008
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) TX: D = R \ {1}.
th tip xỳc vi ng thng
yx
=
thỡ:
mxm
x
x
m
x
2
2
2
(21)
(*)
1
(1)
1(**)
(1)
ỡ
=
ù
ù
-
ớ
-
ù
=
ù
-
ợ
T (**) ta cú mx
22
(1)(1)
-=-
xm
xm
2
ộ
=
ờ
=-
ở
ã Vi x = m, thay vo (*) ta c:
m
00
=
(tho vi mi m). Vỡ x
ạ
1 nờn m
ạ
1.
ã Vi x = 2 m, thay vo (*) ta c: mmmmm
2
(21)(2)(2)(21)
=
m
2
4(1)0
-=
m
1
=
m = 1 ị x = 1 (loi)
Vy vi m ạ 1 thỡ th hm s tip xỳc vi ng thng
yx
=
.
Cõu II: 1) PT
xxx
31
cos2sin2cos6
22
-
+=
xx
5
cos2cos6
6
p
ổử
-=
ỗữ
ốứ
xk
xl
5
484
5
242
pp
pp
ộ
=+
ờ
ờ
ờ
=-+
ờ
ở
2)
xy
xy
xy
xyxy
22
2
2
1(1)
(2)
ỡ
++=
ù
+
ớ
ù
+=-
ợ
. iu kin:
xy
0
+>
.
(1) xyxy
xy
2
1
()1210
ổử
+ =
ỗữ
+
ốứ
xyxyxy
22
(1)()0
+-+++=
xy
10
+-=
(vỡ
xy
0
+>
nờn xyxy
22
0
+++>
)
Thay
xy
1
=-
vo (2) ta c:
xx
2
1(1)
=
xx
2
20
+-=
xy
xy
1(0)
2(3)
ộ
==
ờ
=-=
ở
Vy h cú 2 nghim: (1; 0), (2; 3).
Cõu III: t
tx
2
p
=-
ị dt = dx. Ta cú I =
t
dt
tt
2
3
0
cos
(sincos)
p
+
ũ
=
x
dx
xx
2
3
0
cos
(sincos)
p
+
ũ
ị 2I =
x
dx
xx
2
3
0
sin
(sincos)
p
+
ũ
+
x
dx
xx
2
3
0
cos
(sincos)
p
+
ũ
=
dx
xx
2
2
0
1
(sincos)
p
+
ũ
=
dx
x
2
2
0
11
2
cos
4
p
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
ũ
= x
2
0
1
tan
24
p
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
= 1 . Vy: I =
1
2
.
Cõu IV: Vỡ ABBÂAÂ l hỡnh bỡnh hnh nờn ta cú:
CABBCABA
VV
.'.''
= . M
CABBABC
aaa
VAMS
23
.'
1133
33248
Â
===
Vy,
CABBACABB
aa
VV
33
.''.'
22
84
===.
Cõu V: Ta cú: P = xyxyx
2222
(2)(2)4
+-++++-
Xột axybxy
(;2),(,2)
=-=+
r
r
. Ta cú:
abab
++
rr
rr
ị xyxyxx
222222
(2)(2)41624
+-++++=+
Suy ra: P xx
2
244
++-
. Du "=" xy ra
ab
,
r
r
cựng hng hay y = 0.
Mt khỏc, ỏp dng BT Bunhiacụpxki ta cú:
( )
xx
2
2
23(31)(4)
+Ê++ ị
xx
2
2423
++
Du "=" xy ra
x
2
3
=
.
S
009
Trn S Tựng
Do ú: P
xx
234
++-
234234
+=+
. Du "=" xy ra
xy
2
,0
3
==
.
Vy MinP =
234
+
khi
xy
2
,0
3
==
.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Ta cú:
ab
10,5
==
ị
c
53
=
. Gi M(x; y) ẻ (E). Ta cú:
MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+ .
Ta cú:
ã
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2 cos=+-
( )
xxxx
22
2
33331
103101021010
22222
ổửổửổửổử
ổử
=-++ +-
ỗữỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứốứốứốứốứ
x = 0 (y= 5)
Vy cú 2 im tho YCBT: M
1
(0; 5), M
2
(0; 5).
2) Gi I l im tho:
IAIBIC
230
++=
uuruuruur
r
ị I
231325
;;
666
ổử
ỗữ
ốứ
Ta cú: T =
(
)
(
)
(
)
MAMBMCMIIAMIIBMIICMIMI
232366++=+++++==
uuuruuuruuuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruuu
r
Do ú: T nh nht
MI
uuur
nh nht M l hỡnh chiu ca I trờn (P).
Ta tỡm c: M
13216
;;
999
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Cõu VII.a: Ta cú:
xCxCxCxC
1001019910
10101010
(1) +=++++ ị
(
)
xxCCx
10546
1010
(1)(2) 2
++=+++
ị aCC
54
51010
2672
=+=.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) (C) cú tõm I(3; 4).
ã Ta cú:
ABAC
IBIC
ỡ
=
ớ
=
ợ
ị AI l ng trung trc ca BC. DABC vuụng cõn ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca
ã
BAC
.
Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc
0
45
.
ã Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc
0
45
. Khi ú B, C l giao im ca d vi (C) v AB = AC.
Vỡ IA
(2;1)
=
uur
ạ (1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to ị VTCP ca d cú hai thnh phn u
khỏc 0. Gi
ua
(1;)
=
r
l VTCP ca d. Ta cú:
( )
aa
IAu
aa
222
222
cos,
2
12151
++
===
+++
uur
r
aa
2
2251+=+
a
a
3
1
3
ộ
=
ờ
=-
ờ
ở
ã Vi a = 3, thỡ
u
(1;3)
=
r
ị Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
53
ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
91373139137313
;,;
2222
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ
ã Vi a =
1
3
-
, thỡ u
1
1;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r
ị Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
1
5
3
ỡ
=+
ù
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7313111373131113
;,;
2222
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
ã Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l:
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
+-++
ỗữỗữ
ốứốứ
v
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
-+
ỗữỗữ
ốứốứ
2) Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d. Ta cú: MH = dMd
(,)2
= .
S
009
Trn S Tựng
Tam giỏc ABM u, nhn MH lm ng cao nờn: MA = MB = AB =
MH
226
3
3
=
Do ú, to ca A, B l nghim ca h:
xyz
xyz
222
23
111
8
(2)(1)(2)
3
ỡ
==
ù
ù
ớ
ù
-+-+-=
ù
ợ
.
Gii h ny ta tỡm c: AB
222222
2;;3,2;;3
333333
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Cõu VII.b:
y
xy
x
xy
xy
xy
2010
33
22
2
log2(1)
(2)
ỡ
ổử
=-
ỗữ
ù
ù
ốứ
ớ
+
ù
=+
ù
ợ
iu kin:
xy
0
>
. T (2) ta cú: xyxyxy
3322
()0
+=+>
ị
xy
0,0
>>
.
(1)
xy
y
x
2
2
2010
-
=
xy
xy
2
.20102.2010
= .
Xột hm s: f(t) =
t
t
.2010
(t > 0). Ta cú: f
Â
(t) =
t
t
201010
ln2010
ổử
+>
ỗữ
ốứ
ị f(t) ng bin khi t > 0 ị f(x) = f(2y) x = 2y
Thay x = 2y vo (2) ta c: yy
9
50
2
ổử
-=
ỗữ
ốứ
yloaùi
yx
0()
99
105
ộ
=
ờ
ổử
ờ
==
ỗữ
ốứ
ở
Vy nghim ca h l:
99
;
510
ổử
ỗữ
ốứ
.
=====================
S
009
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Gi
xy
00
(;)
l to ca tip im.
Tam giỏc OAB cõn ti O nờn tip tuyn song song vi mt trong hai ng thng
yx
=
hoc
yx
=-
.
ị yx
0
()1
Â
=
x
2
0
1
1
(23)
-
=
+
ị
xy
xy
00
00
1(1)
2(0)
ộ
=-=
ờ
=-=
ở
ã Vi
x
y
0
0
1
1
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị D:
yx
=-
(loi) ã Vi
x
y
0
0
2
0
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị D:
yx
2
=
(nhn)
Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l:
yx
2
=
.
Cõu II: 1) iu kin:
x
x
12sin0
1sin0
ỡ
+ạ
ớ
-ạ
ợ
xm
xn
xp
2
6
7
2
6
2
2
p
p
p
p
p
p
ỡ
ạ-+
ù
ù
ù
ạ+
ớ
ù
ù
ạ+
ù
ợ
PT
xxx
xxx
2
cos2sin.cos
3
1sin2sin2sin
-
=
-+-
xxxx
cossin23(sincos2)
-=+
xxxx
3113
cos2sin2cossin
2222
+=- xxcos2cos
63
pp
ổửổử
-=+
ỗữỗữ
ốứốứ
xkloaùi
xknhaọn
2()
2
2
()
183
p
p
pp
ộ
=+
ờ
ờ
ờ
=-+
ờ
ở
Vy PT cú nghim: xk
2
183
pp
=-+ .
2) iu kin: x
6
5
Ê
. t
ux
vx
3
32
65
ỡ
ù
=-
ớ
=-
ù
ợ
ị
ux
vx
3
2
32
65
ỡ
ù
=-
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta cú h PT:
uv
uv
32
238
538
ỡ
+=
ớ
+=
ợ
. Gii h ny ta c
u
v
2
4
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị
x
x
322
6516
ỡ
-=-
ớ
-=
ợ
x
2
=-
.
Th li, ta thy
x
2
=-
l nghim ca PT. Vy PT cú nghim
x
2
=-
.
Cõu III: I =
xdxxdx
22
52
00
cos.cos.
pp
-
ũũ
= A B.
ã A =
xdxxxdx
22
54
00
cos.cos.cos
pp
=
ũũ
=
( )
xdx
2
2
2
0
1sin(sin)
p
-
ũ
=
8
15
ã B =
xdxxdx
22
2
00
1
cos.(1cos2).
2
pp
=+
ũũ
=
4
p
Vy I =
8
15
4
p
.
Cõu IV: Gi E l trung im ca AB ị BC =
a
5
. Ta cú:
BICABCDABICDI
a
SSSS
2
3
2
= =
Trong tam giỏc BIC, k ng cao IF, ta cú: IF =
BIC
S
a
BC
2
3
5
=
.
T gi thit ị SI ^ (ABCD) ị
ã
SFI
0
60
=
ị SI =
a
IF
0
33
.tan60
5
=
ị Th tớch khi chúp S.ABCD:
ABCD
a
VSISaa
23
1133315
3
335
5
===
.
S
010
Trn S Tựng
Cõu V: Xột iu kin:
xxyxzyz
2
3
++= ị
xyxzyzyz
2222
()()2()()
+++=+
ị
xyxzxyxz
yzyzyzyz
222
2
ổửổửổử
++++
+=
ỗữỗữỗữ
++++
ốứốứốứ
(*)
t
xyxz
uv
yzyz
,
++
==
++
(u, v > 0). T (*) ị
uvuv
222
2()
+= ị
uvuv
22
1
+-=
(1)
Khi ú ta cú: BT
xyxzxyxz
yzyzyzyz
33
35
ổửổửổửổử
++++
++Ê
ỗữỗữỗữỗữ
++++
ốứốứốứốứ
uvuv
33
35
++Ê
uvuuvvuv
22
()()35
+-++Ê
uvuv
35
++Ê
(2) (do (1))
Mt khỏc t (1) ta cú: uvuv
2
1()1
= Ê
(3)
v
uvuvuv
22
3
()131()
4
+=+Ê++ ị uv
2
()4
+Ê
ị
uv
2
+Ê
(4)
T (3) v (4) ta suy ra c iu cn chng minh (2).
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Gi s E(a; 5 a) ẻ D ị
IEaa
(6;3)
=
uur
Gi P l im i xng ca E qua I ị P(12 a; a 1), MPaa
(11;6)
=
uuur
Ta cú:
MPIE
.0
=
uuuruur
aaaa
(11)(6)(6)(3)0
+ =
a
a
6
7
ộ
=
ờ
=
ở
ng thng i qua M(1; 5) v nhn
IE
uur
lm VTPT.
ã Vi
a
6
=
ị IE
(0;3)
=-
uur
ị Phng trỡnh AB:
y
5
=
ã Vi
a
7
=
ị IE
(1;4)
=-
uur
ị Phng trỡnh AB:
xy
4190
-+=
2) (S) cú tõm I(1; 2; 3), bỏn kớnh R = 5
dIPR
(,())3
=<
ị (P) ct (S) theo mt ng trũn (C).
D xỏc nh tõm ng trũn (C) l J(3; 0; 2) v bỏn kớnh l r = 4.
Cõu VII.a: PT cú cỏc nghim:
zizi
12
13,13
= =-+
ị A =
zz
22
12
+ = 20
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) (C) cú tõm I(2; 2), bỏn kớnh R =
2
.
Ta cú:
ã ã
IAB
SIAIBAIBRAIBR
22
111
sinsin1
222
==Ê=
Du "=" xy ra
ã
AIB
sin1
=
ã
AIB
0
90
=
DAIB vuụng cõn ti I
Khi ú:
R
dI
(,)1
2
D
==
mm
m
2
2223
1
1
+
=
+
mm
2
1580
-=
m
m
0
8
15
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
2) Gi s:
Mttt
(1;;96)
-+-+
ẻ D
1
.
Khong cỏch t M n D
2
:
ttt
dM
222
2
(814)(1420)(4)
(,)
3
D
-+-++-
=
Khong cỏch t M n mt phng (P):
t
dMP
1120
(,())
3
-
=
T ú ta cú:
ttt
222
(814)(1420)(4)
3
-+-++-
=
t
1120
3
-
tt
2
1403522120
-+=
t
t
1
53
35
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
S
010
Trn S Tựng
ã Vi t = 1 ị M(0; 1; 3) ã Vi t =
53
35
ị M
18533
;;
353535
ổử
ỗữ
ốứ
Cõu VII.b: iu kin:
xy
0
>
H PT
xyxy
xxyy
22
22
2
4
ỡ
ù
+=
ớ
-+=
ù
ợ
xy
x
2
4
ỡ
=
ớ
=
ợ
xy
xy
2
2
ộ
==
ờ
==-
ở
vy h phng trỡnh cú 2 nghim: (2; 2), (2; 2).
=====================
S
010
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) PTTT
D
ca (C) ti im
(
)
Mxy
000
;
l
( )
( )
D
=-+-+-+
yxxxxxxx
232
000000
1
:4323
3
D qua O
00
0,3
xx
==
ị Cỏc tip tuyn cn tỡm:
3
yx
=
,
0
y
=
.
Cõu II: 1) PT
(
)
(
)
sincos12cos30
xxx
++-=
2
1
sincos1sin
2
4
2
2
xk
xxx
xk
p
p
p
pp
ộ
=-+
ổử
ờ
+=-+=-
ỗữ
ờ
ốứ
=+
ở
.
KL: nghim PT l
2;2
2
xkxk
p
ppp
=-+=+ .
2) Ta cú:
(
)
( )
33223223
2222250
xyyxyxxxyxyy
-= ++-=
Khi
0
y
=
thỡ h VN.
Khi
0
y
ạ
, chia 2 v cho
3
0
y
ạ
ta c:
32
2250
xxx
yyy
ổửổửổử
++-=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
t
x
t
y
=
, ta cú :
32
22501
tttt
++-==
2
1,1
1
yx
xyxy
y
=
ỡ
ù
====-
ớ
=
ù
ợ
Cõu III: Ta cú:
2
221
xx
-+
nờn PT
2
2
22
x
m
xx
+
=
-+
Xột
2
2
()
22
x
fx
xx
+
=
-+
( )
22
43
'()
2222
x
fx
xxxx
-
ị=
-+-+
()
44
'0;10;lim()1;lim()1
33
xx
fxxffxfx
đ-Ơđ+Ơ
ổử
====-=
ỗữ
ốứ
Kt lun:
110
m<<
Cõu IV: Gi O l giao im AC v BD
(
)
SOABCD
ị^ . Ta cú:
2
222
22
42
aa
SOSAOAa=-=-=
23
.
1
2
6
ABCDSABCD
SaVa=ị=
Gi M, N l trung im AB v CD v I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc SMN. Ta chng minh I cỏch u cỏc mt
ca hỡnh chúp
( )
(
)
2
22231
4
43
SMN
aa
Sprr
aa
D
-
=ị==
+
Cõu V: t
txy
=
. Ta cú:
( )
(
)
xyxyxyxyxy
2
1
1224
5
+=+--ị-
V
( )
(
)
xyxyxyxyxy
2
1
1224
3
+=-+ịÊ
.
Suy ra :
( )
( )
xyxy
tt
P
xy
t
2
2222
2
2
721
21
421
+-
-++
==
+
+
. iu kin: t
11
53
-ÊÊ
.
Do ú:
(
)
( )
tt
P
t
2
2
7
'
221
=
+
,
tthoaỷ
P
tloaùi
0()
'0
1()
ộ
=
=
ờ
=-
ở
PP
112
5315
ổửổử
-==
ỗữỗữ
ốứốứ
v
()
P
1
0
4
=
.
S
011
