Đánh giá các phép biến hình á bảo giác lên cung tròn bị cắt theo các cung tròn đồng tâm 6

CHUONG 3
CONG Ct)
Trong chu'dng nay, chung toi neu mQt s6 b6 d€ va cae h~ qua cffn thie't cho vi~c
danh gia cae d~i Iu'Qngsau nay.

3.1 B6 d~ Carleman va cae h~ qua
B6 d~ 3.1 (Carleman)
Gill sa w = f(z) Zam(Jt PBHBG hlnh vanh khan 0 < r < Izi < R <
mi~n nhi lien D khong chaa dilm

00,

00

Zen m(Jt

wii bien trang C1 va bien ngoai C2 saD cho

Izi = R tUdng ling vdi C2.
GlJi S Za difn tich (trong) cila tq.p mi'J do C2 baa blJc, s Za difn tich (ngoai)

cila tq.pdong do C1 baa blJc.
Khi do, ta co
(3.1)

s~(~Js
Being thac xlly ra <=>j(z)

= az + b

vdi cac hling sa a, b, a::/:O.

Chung minh: Xem chung minh trong [4, tr.2I2], ho~c [11, tr.6] Tli b6 d€ nay ta suy ra ba h~ qua ra'tquail tn;mgd6i voi PBHBGmi€n nhi lien:
H~ qua 3.1 (djnh nghia modun mi@nnbj lien)

Gill sa mi~nnhi lien D qua cac PBHBG j va 1; bien Zenhai hlnh vanh khan
I

I

H:r
I

HI :rI
fJH.J
TH-U \tIEN

I

I
11

001063


Khi d6
R _RJ
---.

r rJ

(3.2)

Ty s5 nay gQiZam6dun cila mi~n nhi lien D va dllf/CkY hi~u Za mod(D).

Chung minh.
X6t hai PBHBG 101;-J mi€n HJ leD H va 1;01-1 mi€n H leD HJ' Tli b6 d€
3.I,tasuYfa

(~r
Tlid"
o. -=
R
r

~(~'

r va

(~r

s(~l

R !...-

rJ

H~ qua 3.2 (Hnb bilt bie'n cua modun mi~n nhi lien)
Ne'u mi~n nhi lien A c6 cac thank phdn bien kh6ng thaai h6a thanh milt diim

dllf/Cbie'n baa giac dan di~p Zenmi~n nhi lien B thz

mod (A) = mod(B).

(3.2.a)

Chung minh
GQi1 la PBHBGddn di~p mi€n A leDmi€n B. X6t hai PBHBG g mi€n A
leD hlnh vanh khan A' : lj < Isl < RJ va h mi€n Bien hlnh vanh khan
B' : rz < ItI < Rz. Tli h~ qua 3.1, ta suy fa
mod (A) = RJ va mod (B) = Rz.
lj

rz

GQi cp= hot thl cp la PBHBG ddn di~p mi€n A' leD mi€n B'. Khi d6 do b6 d€
3.1, ta c6:mod(A) = RI = Rz = mod (B) lj

lj

H~ qua 3.3 (Hnb ddn di~u cua modun mi~n nbi lien)

12


Gia sa cac mMnnhi lien D va DI vfJimodun tlldng ang R va !!J...,co tinh
r

chat D c DJ va D ngdn cach hai thanh pht1n bien cua

DJ'

Khido

R~RJ.
r

rJ

(3.3)

1j

Diing thuc xay ra khi va chi khi D == DI'

Chung minh
Xet f la PBHBG don di~p DI len hinh vanh khan HI : 1j < Iwl < Rl' Khi do
mi€n nhi lien D (c D1) qua phep bien hinh f se trd thanh mi€n nhi lien H voi
bien trong CI (CJ baa quanh ho~c trimg duong troll Iwl= 1j) va bien ngoai Cz
(duong troll Iwl= RJ baa quanh ho~c triing Cz).

GQiS la di~n tich (trong) cua t~p md do Cz baa bQcva s Ia di~n tich (ngoai)
cua t~p dong do CJ baa bQc.
,R
'
A
Ta co - Ia mo d un cua H va th eo b0 de 3 .1
?

'

.:!

);

r

~ ~(~)z.
M~t khac, ta co ba't d£ng thuc hi~n nhien
s ~ trR}, s ~ 7rrJz.
Dodo

(~:r

2 ~ 2(:)'

Tit d6 c6 (3.3) vdi d£ng thlte xay fa <0> ( ~,)'

Theo b6 d€ 3.1, CJ

va Cz phai la duong

13

= ~ = (~

r

troll Iwl= 1j va Iwi = RI' tuc la D ==DJ8

,

?

Bo de 3.2 (md rQng b6'd~ 3.1 cho PBHKABG bdi Thao)

Gid sa

w = j(z)

Za

mQt PBHKABG hinh vanh khan 0 < r < Izl< R < 00 Zen

mQt mi~n nhi lien D khong chaa diim

oc>,

vdi bien trong C] va bien ngoai Cz saD

cho Izi = R tudng ling vdi Cz.
Gri S Za di~n rich trong cila ti7p md do Cz baa brc, s Za di~n rich ngoai cila

t(ip dong do C] baa brc.
Khi do, ta co

(3.4)

s~(~)*s.

Ddng thac xdy ra ~ j(z)

= a Izli--lz + b

vdi cac hang so' a ("*0) va b.

Chung minh: (Thao[14], tr.521)
R5 rang tan tl,limQt PBHBG t = g(w) bie'n mi€n D leu mQt hlnh vanh khan
1J< ItI < R] sao cho Cz tu'dng ung vdi du'ong troll ItI = Rl' Ap d1;mg be) d€ 3.1 cho
phep bie'n hlnh ngu'<;lcg-], ta co

(3.5)

s ~(~},
trong do d~ng thuc Kayra

~

w = g-](t) = a/ + bl' vdi cae h~ng s6 a]("*0) va b].

M~t khac phep bie'n hlnh h<;lp t

= gf(z)

Ia mQt PBHKABG hlnh vanh khan

r < Izi< R leu hlnh v~lllhkhan 1J< ItI < R].
~

£) l,lt

-z = -,z -t = -,t
r

1J

- --

1

-

K
ta th ay t = t (z ) = - gf( rz ) Ia mQt PBHKABG b len

1J

1< Iz/ < R leu 1 < It I< R] , nen theo (2.2) va (2.6) ta co:
r
r]

1
~?
r1

R
( r)

14

K,

'

A

' K


1

trong do d~ng thuc xay ra <=>
t(z) =elzlTlz, lei= 1,
hay
1
t = (gofXz) = e-t-lzIK-1 z ,lei = 1.
rK

Ke't hQp ba"td~ng thuc vua neu voi (3.5) ta duQc (3.4) voi ke't lu~n v€ kha
~
:t
'ica1 b b .
nang xay ra dang thlic trong d 0 a =~,
= I
?

~

~

rK

3.2 Cae ham phI}T{p,r,s) va R{p,r,s)
Cac ham s6 tht!c

pEN,

1= T(p,r,s)

(O~s
r = R(P, I, s)

(0 ~ s < t < 1),

duQCdinh nghla sao cho hlnh vanh khan r < Izi < 1 tudng dudng baa giac

voi hlnh vanh khan s < Iwl< 1 bi dt dQc p do;;tn(hlnh 3.1)

F;

~

{w s

,; 11<1 ,; t,argw

~

j

2;}

(j=O,l,...,p-I).

z

G)

~

1

1

Hlnh 3.1: PBHBG r < Izi< lIen s < I~ < 1 bi dt dQc p(= 2) do~n.

Do tinh ddn di~u cua modun mien nhi lien (xem h~ qua 3.3), ta co cac tinh cha"t
sau cua ham T(p, r, s) va R(P, I, s):

r < T(p,r,s) < I

(0 ~ s < r < I),

15

(3.6)


T(p, r, s() > T(p, r, S2)

(0

SI < S2 < r < 1),

(3.7)

T(p,r(,s) < T(p,r2's)

(0

s < lj < r2 < 1),

(3.8)

T(p, r, s) < T(1,r, s)

(0

s < r < 1,P

(3.9)

(0

s < t < 1),

(3.10)

(0

S < tl < t2 < 1),

(3.11)

s < R(p,t,s) < t
R(p,tl,s) < R(p,t2's)
R(p,t,sl) < R(P,t,S2)

(0

R(p,t,s) > R(1,t,s)

2),

(3.12)

SI < S2 < t < 1),

(0

s < t < l,p

Nho cae c6ng thuc cua [10, tr.295], [13, tr.l0l-l04],

2),

(3.13)

ta tlm du

R (p, t, s) nhusau:

-ltK'(tP)
R(p,t,O) = exp { 2pK(tP) }

(0 < t < 1,pEN),

(3.14)

I

voi

K(k) =

J0 ~ (1-

x2)(Idx

k2x2) , K'(k)

~

K(.JI-

k' ),

va voi 0 < s < t < 1,pEN,
-ltK'(U)

R(p,t,s) = exp { 2pK(u) } ,

(3.15)

voi U = 1+ h - .Jh(2 + h) , trong do:
h

= (1-

1 + 4,
j=l [ 1 + S4PJ-2p]

k)(l- ak), k = 4sPIT

k(1 + a)

a = sn ( b + i 2~b In ~, k ). b = K(k) ,
d day sn(z, k) chi sin eliptic voi tham s6 k.
Vi~c tinh toaD K(tP) va K'(tP) ([13, tr.1l7], [19, tr.177]), cho
1

R(p, t,o)

~

4

16

P

t

khit~O

(3.16)


va
tr

l-R(p,t,O)

2

khi t

8

~

~

1.

(3.17)

2p In p(l- t)

Nho [13, tr.l02-105], ta cling chi fa bi€u thuc cua T(p, r, s) nhu'sau:
4

1

p

T(p,r,O)= 4PrfI

1+ r4pj

(3.18)

(O
[ 1 + r4pj-2p ]

j=l

a

T

rs

=sex

dx

(3.19)

P { 2pK(k) 1 ~(l-x')(l-k'x')

(p, , )
0 < s < r < 1,pEN

-tri

},

, v~i K(k) nhu' tfen,
4

a

1- m

=-

m

=

k+m'

k(1- h)2

h

= 4rP

2h(1- k) ,

00

1 + r4pj

D [ 1 + r4pj-2p ]

.

Tli bi€u thuc cua T(p, r,O)ta d~ dang tha"yding
1

T(p, r,O) < 4P r

(0 < r < I, pEN) .

(3.20)

Vi v~y, nho (3.6) va (3.7) c6
1

r

(3.21)

< T(p,r,s) < 4P r.

Tli d6 sur fa

=r

limT(p,r,s)
p-+oo

(0

s < r < 1).

(3.22)

Mt khac tU (3.20) c6
--1

R(p, t,O)> 4

p

t

(0 < t < I, pEN).

(3.23)

Vi v~y nho (3.10) va (3.12) c6
4

Pt

< R(p,t,s) < t.

Tli d6 sur fa

17

(3.24)


lim
R(p, I,s) = I
p-+oo

(0 ::; s < I < 1).

(3.25)

Han nua, ta nh~n duQc tit (3.16) va (3.17)
T(p, r,O) ~

4P

r

(3.26)

khi r ~ 0 , va

8

-1f

2

1- T(p, r, 0) ~ p exp { 2p(1- r) }

(3.27)

khi r ~ 1.

3.3 Cae b6 d@khae
B6 d~ 3.3 (md rQng mQt ba't diing that Grotzsch bdi Thao)
Gid sa D la hlnh vanh khan R < Izi < 1 Irit pn (p E N, n E N u

{o})nhal

cdl

nlim Iren cae duiJng Iron dong lam 0 saD cho D Irung vdi chfnh no blJi phep quay
,27r
1-

Z = e

P

z,

f

la PBHKABG miin D len miin E nlim trong m(it phdng phac

0 < Iwl < 1 saD cho duiJng tron Izi = R tUdng ang bien trong C] gidi h(;mblJi mQt
t(ip dong chaa gdc tQa dQ, duilng tron Izi = 1 tUdng ang bien ngoai C2. Hdn nila,
,27r
1-

gid sa E trung vdi chfnh no blJi phep quay W = e

P

w.

Khi do
(3.28)

M, ,; T(p,R~,m,)
vdi
m1 = min{lwllw
M1

= max

E C1}

(~ 0),

{Iwl Iw E C1}

va T(p,r, s) la ham ph{/-du(lc dinh nghia Irong phdn 3.2.

18


I

Ddng thuG xdy ra

fez)

~

=fo(z)

= ah(t), lal = 1, t = blzlK-1z, Ibl= 1, h za

I

I

PBHBG hinh vimh khan RK < ItI < 1 Zenmi~n nhj lien P saD cho ItI = RK tUdng
ring vlii

c,

{wiIWI=

~

m,}

u{w m, ,; 1»1';

M"argw

~

j

2;

},

j = O,I,...,p -1 va ItI = 1 tUdng ring vlii Cz = {wJlwI= I}.

Chung minh: Bfftd~ng thuc (3.28) vdi K = 1 va C2 la duong troll Iwl= 1 la mQt
d.;mg khac cua bfft d~ng thuc Grotzsch [6], tr. 372 khong trinh bay chung minh.
Ngo Thu Luong [11], tr.I8 da chung minh d mi bfft d~ng thuc (3.28) cho tru'ong
hQp da lieU cua Grotzsch va trlnh bay h;li [11, tr.33] stf ma rQng cua Thao[14],
tr.63 thanh b6 d€ 3.3 .

B6 d~ 3.4
Gid sa D Za hinh vanh khan Q < Izl < R trit pn (p E N, n E N u

{v}) nhat

cdt ndm tren cac duong trim dang tam 0 saD cho D trung vlii chinh no bai phep
.2"

quay Z

= e'f; z,

f

ZaPBHKABG mi~n D Zenmi~n E ndm trong mijt phdng phac

0 < Iwl < 00 saD cho duilng trim Izl = Q tUClngring bien trong C] gilii h~n mQt ttJ-p

dong chaa goc tQa dQ, duilng trim Izl = R tUdng ring bien ngoai C2. Hdn naa, gid
,z"
1-

sit'E trung wJi chinh no bai phep quay W
>
mz -

= e P w. Khido
(3.29)

mIl
Q K ml

T[P.(R) 'M, ]
vlii
mj = min{lwllwE Cj},

19

, ,

j = 12


M2

= max {IWIIw E C2}

va T(p, r, s) Zaham ph,! dl1(Jcdinh nghfa trong phdn 3.2.
1

Dllng

thac xdy

ra

<;:::)fez) = fo(z) = aH(t), lal = 1, t = blz/K-l z, Ibl= 1, H Za
1

1

1

PBHBG hlnh vanh khan QK < It1< RK Zenmiin nhi lien P' saD cho It1= RK tl1dng
ilng v{ti

c, ~ {wll1<1~ M,} u {w In, "11<1" M"argw ~ j 2; }.
I

j=O,l,...,p-l

Chung minh:

va

Itl=QK

tl1angilngv{ti

C] ={wllw1=m1}.

Xem chUng minh trong [20, tr.16], ho~c [11, tr.35]

B6 d~ 3.5 ("D~o ham" cuahamngu'fjc cho

-

PBHKABG)

V{ti cac kY hi~u dl1a vao 11m,!c 2.3, gid sa w = fez) ZaPBHKABG cua miin
chaa z = 0 v{ti f(O) = 0 va m'(O,f) > O. Dt;it g = 1-1, ta co:
1

m'(O,f)

= M* (O,g)-K,

(3.30)

1

M' (0,f) = m* (0,g fK .
Chung minh:
Lffy R > 0 dii be, d~t CR= {z: Izi= R} va c~ =/(CR), r6 rang
t6n t~i WI E C~ va Zl E CR sao cho

m(R,f)

= Iwl! = !f(ZI)!= r (r>O).

D~t Lr = {w: Iwl= r} va L; =g(Lr)
Vi L; n~m trong Izl:::;R, ta co
M(r,g)=lg(WIX=lzJ/=R.

Do do, tu m'(O,/»O, ta co

20

(3.31)


,

'

_

I
m, (0 f) -1m
R~O

'

m(R,f)

,

-

_ I'
-1m

r~O

RK

r

M(r,g)
_ I'
,-1m
r~O
rK

]

[

M( r,g ) K

-~

-K - M *
(0,gK,
)
-

Tu'dng tv,
U(y R > 0 dii be, d~t CR = {z: Izl = R} va c~ =f(CR), ra rang
t6n tC;liWz E C~ va Zz E CR sao cho

M(R,f)=lwzl=lf(zz~=r

(r>O),

B~t Lr = {w: Iwl= r} va L; = g (Lr)'

Vi Izi~ R niimtrong L;, ta co
m(r,g) = Ig(wz)1= Izzi= R,
Do do, ta co
I

' M(R,f)
M ' (O, f) _
- I1m
,
R~O

RK

-_ 1'1m
r~O

r

,
-

m ( r,g ) K

m(r,g)
_I
- r~O
1m
rK

-K

'

[

]

-

- m (0,g )-~.
K
*

H~ qua 3.4
Cho K=l, ta co m'(O,f)=If'(O~ va M*(o,g)=lg'(o~, phl1ang trinh (3.30) triJ

thanh 1f'(0~=Ig'(ofl,