đổi mới phương pháp hướng dẫn học sinh cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng việc phân loại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH PHÂN
TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG VIỆC PHÂN LOẠI
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THƯC THÀNH NHÂN TỬ
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động
có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực
nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn
luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển
phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh.
Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn
hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong
học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp
chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới
một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ
hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
1
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng
thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó
việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có
một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có
kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài

toán
Là giáo viên dạy toán, đã có 20 năm gắn bó với nghề trong quá trình giảng
dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để
giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ
thi, kiểm tra và có kĩ năng vận dụng vào cuộc sống.
Vì vậy, tôi chọn đề tài “ ”
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm
đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt
kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có
của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học
sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến
thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông
thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơnđó là phải có thủ thuật
riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và
phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình
với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài
tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất
lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến
kinh nghiệm "Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp
giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành
2
phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể
ở các dạng khác nhau.

III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú
và kết quả học tập của học sinh.
- Học sinh lớp trường THCS XXX
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
PHẦN II. NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận :
Trong luật giáo dục đã ghi rõ giáo dục phổ thông là phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với từng lớp học, môn
3

học, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú trong khi học môn toán
học
- Phương pháp tích cực là phương pháp GD – dạy học theo hướng phát huy tính
tích cực, chủ động sáng tạo của người học thông qua quan sát ĐDDH(tranh ảnh,
mô hình )
-Trong giáo dục học đại cương,bài tập được xếp trong hệ thống phương
pháp giảng dạy,phương pháp này được coi là một trong các PP quan trọng nhất
để nâng cao chất lượng giảng dạy của bộ môn.
Mặt khácviệc phụ đạo cho HS yếu kém bộ môn là một trong những vấn
đề rất quan trọng, cấp bách,cần thiết và không thể thiếu trong các môn học ở các
cấp học nói chung và cấp THCS nói riêng.Nhất là trong cuộc vận dộng " hai
không" hiện nay, đò hỏi GV thực chất và HS thực chất. Song song với vấn đề
trên HS phải nhanh chóng tiếp cận với phương pháp dạy học mới đang được tiến
hành" học sinh tích cực,chủ động, nghiên cứu tìm tòi,sáng tạo để lĩnh hội và
vận dụng kiến thức vào cuộc sống".
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
a. Điều tra và khảo sát:
*. Khảo sát chất lượng bộ môn đầu năm:
Kết quả như sau:
Khối
lớp
Tổng số
HS
Điểm 9, 10 Điểm 7, 8 Điểm 5, 6 Điểm
3-4
Điểm 0 -
2
8 70 1 6 21 24 18
*,Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
- Khi triển khai chương trình thay sách và sử dụng phương pháp mới(dạy,

học theo hướng tích cực) thì học sinh thông qua việc đọc thông tin SGK ,học
sinh sẽ rèn luyện tính làm việc độc lập, tự nghiên cứu có hiệu quả tuy nhiên HS
có thẻ do chưa thực sự nghiên cứu còn chểnh mảng nên chưa lĩnh hội đầy đủ
kiến thức dẫn đến còn "hổng kiến thức" dẫn đến chán nản, bỏ học
- Bên cạnh đó cũng có nhiều em đã thực sự vươn lên và luôn thể hiện sự
tự tin trong học tập để phấn đấu đạt điểm cao trong học tập môn hoá song vẫn
cần phải bổ xung thêm kiến thức mới
3 Giải pháp thực hiện
a, Về phía giáo viên:
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản
như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với
4
đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia
hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng
thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Giáo viên dạy "Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử"
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành
nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức
thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: y
m+3
- y
m
= y
m
(y
3
- 1) = y
m

(y - 1) (y
2
+ y + 1)
1. Các phương pháp thông thường.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên
để có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử.
M
1
= 3a - 3b + a
2
- 2ab + b
2
= (3a - 3b) + (a
2
- 2ab + b
2
) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)
2
(đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử.
M
2
= a
2

- b
2
- 2a + 2b
= (a
2
- b
2
) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử
cần chú ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa
thức.
+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải
nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử
chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng
thức. Cụ thể các ví dụ sau:
5
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
M
3
= 5a
2
+ 3(a + b)
2
- 5b
2
Ta thấy M

3
không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử
chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a
2
- 5b
2
có
nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên.
M
3
= (5a
2
- 5b
2
) + 3(a + b)
2
. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ
nhất làm xuất hiện hằng đẳng thức M
3
= 5(a
2
- b
2
) + 3 (a + b)
2
. Sử dụng hằng
đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là(a+b)
Vậy M
3
= 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)

2
. Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy
ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M
3
= (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M
4
= 3x
3
y - 6x
2
y - 3xy
3
- 6xy
2
2 - 3xyz
2
+ 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M
4
= 3xy (x
2
- 2x - y
2
- 2yz - Z

2
+ 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: M
4
= 3 xy[(x
2
- 2x + 1 ) - (y
2
+ 2y z + z
2
)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M
4
= 3xy [( x - 1)
2
- ( y + z)
2
] xem xét hai hạng tử
trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M
4
= 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M
4
đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát
xem, kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã
hướng dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường.
2. Một số phương pháp phân tích đa thức khác.

Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp
phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm
các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
6
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể một số phương pháp thông dụng nhất.
a. Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a
2
- 6a + 8.
Cách 1: a
2
- 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a
2
- 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong
đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các
hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a
2
- 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)

= (a
2
- 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng tử)
= (a - 3)
2
- 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 4:
N = a
2
- 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x)
= ( a
2
- 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm)
= (a - 2)
2
- 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách
sau là thông dụng nhất;
Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức
mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng
thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3).
Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng
phương pháp nhóm hạng tử và đặc biệt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử
chung mới (cách 1)
Ví dụ 6: Trong tam thức bậc hai: ax
2
+ bx + c

Tách hệ số b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
7
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc
nhất) (như cách 4)
b. Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
P
1
= x
4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 - 4x
2
(thêm 4x
2

, bớt 4x
2
)
= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - 4x
2
(nhóm hạng tử)
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2
(dùng hằng đẳng thức)
= (x
2
+ 2x + 2) (x
2
- 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P
2
= a
4
+ 64
P
2
= (a

4
+ 16a
2
+64) - 16a
2
(thêm 16a
2
, bớt 16a
2
)
= (a
2
+ 8)
2
- (4a)
2
= (a
2
+ 4a + 8) (a
2
- 4a + 8)
Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất
tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào để xuất hiện bình phương
của 1 tổng và làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương thì mới phân
tích triệt để được.
Ở ví dụ P
1
đã có bình phương hạng tử (1) và bình phương hạng tử (2). Vậy
muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử. Do đó ta thêm
2.x

2
.2 = 4x
2
thì đồng thời phải bớt 4x
2
.
c. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
D = (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12 (nhóm, đặt nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x
2
+ x) đặt y (đổi biến):
D
1
= y
2
+ 4y - 12

Khi đó ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D = (y
2
- 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y sau đó nhân)
D = y (y - 2) (y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x
2
+ x - 2) (x
2
+ x + 6) thay lại biến x
8
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x
2
+ x- 2) và (x
2
+ x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương
pháp đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được
như :
x
2
+ x + 6 = (x +
2
1
)
2
+ 5
4
3
. Do vậy không phân tích tiếp được nữa

Còn x
2
+ x - 2 = (x
2
- 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x
2
+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
d. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Cho đa thức ax
3
+ bx
2
+ cx+ d

(1)
Nguyên tắc: Nếu đa thức (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du có: m là
nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta
có:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - m) (a'x
2
+ b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân
tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
⇒ chứa nhân tử chung (x- 1)

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức
có x = -1
⇒ chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được hệ số ta xét các ước của hệ số tự do
(hệ số không đổi) (Ư
(d)
) ước nào làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước
đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
1
= x
3
+ 3x
2
- 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x
1
= 1
E
1
= (x - 1) (x
2
+ 4x + 4) (chia E
1
Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E
1
= (x - 1) (x + 2)

2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
2
= x
3
- 3x + 2
Xét các Ư
(2)
= ± 2 có x = -2 là nghiệm của E
2
⇒ E
2
= (x + 2)(x
2
- 2x + 1) (Chia E
2
cho(x - 2))
9
E
2
= (x + 2) (x -1)
2
Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các
phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó
thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương
trình.
3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1.a) x

2
- 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
Tách - 4x = - 3x + (-x)
Tách 3 = 4 - 1.
Tách 3 = 12 - 9
Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hau nhân tử chung.
b) 81a
4
+ 4 (thêm bớt hạng tử)
Gợi ý: Thêm 2 lần tính → Hằng đẳng thức cụ thể 36x
2
c) (x
2
+ x)
2
+ 9x
2
+ 9x + 14(phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x
2
+ ) = y
d) x
3
- 2x
2
- x + 2 (phương pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên

thành nhân tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M =
8147
44
3
23
−+−
+−−
aaa
aaa
với a = 102
Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a
3
- 4a
2
- a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức
đưa tử thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt
nhân tử chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a) y
2
- 5y + 4 = 0.
10
Gợi ý: Đưa vế trái thành các nhân tử ⇒ phương trình trởvềphương trình tích.
b) y

3
- 2y
2
- 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành
phương trình ⇒ giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) A = (a
2
+ 3a + 1)
2
- 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a
2
+ 3a + 2) (a
2
+ 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên
liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A  3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộct
trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽchia hết cho 4. Vậy A  8
+ Nhưng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết
cho 24.
b) B = 25m

4
+ 50m
3
- n
2
- 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dương tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x
2
- 4x + y
2
+ 2y + 12
Gợi ý:
+ Trước hết sử dụng các phương pháp của phân tích đa thức thành nhân tử
để phân tích A.
A = x
2
- 4x + 4 + y
2
+2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x
2
- 4x + 4) + (y
2
+ 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)
2
+ (y + 1)
2

+ 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)
2
≥ o và (y + 1)
2
≥ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A =
(x - 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7 ≥ 7
Vậy A
Min

= 7 đạt được khi x = 2; y = -1
11
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.

6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,
bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện
cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học
nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo
viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết
quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi
và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang
12
lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp
thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp
giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập,
say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có
được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán,
có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, tung ra cho học sinh cùng làm,

cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác
trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách
giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một vài phương pháp
phân tích đa thức ở trên đây rất có hữu hiệugiúp học sinh trong quá trình giải
toán có sử dụng phân tích đa thức mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều
hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi
có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ cho việc giảng dạy học sinh.
- Giáo viên chủ nhiệm cũng cần thường xuyên trao đổi thông tin đến gia
đình học sinh đồng thời phối hợp với đoàn thể chính quyền địa phương để cùng
chăm lo giáo dục học sinh một cách toàn diện.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
13