skkn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
phần I : Lý do chọn đề tài
Chúng ta đã biết, Toán học là một môn học chứa rất nhiều điều thú vị và bất
ngờ, nó chiếm một vai trò quan trọng trong hoạt động giáo dục, đặc biệt là trong
các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Dạy toán nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông
cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, năng
lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên
cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên
mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi ngời.
Trong chơng trình toán lớp8 nói riêng và toán THCS nói chung, dạng toán phân
tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức rất quan trọng và lý thú, xong
nó lại là một trong những dạng toán khó đối với các em.
Phân tích đa thức thành nhân tử đợc giới thiệu khá đầy đủ trong chơng trình
đại số 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chơng trình. Bởi nó đợc vận dụng rất
nhiều ở các dạng toán khác nh: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu của các phân
thức, biến đổi các biểu thức hữu tỷ, biến đổi các biểu thức vô tỷ, phơng trình bậc
cao
Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phơng pháp đợc giới thiệu trong sách
giáo khoa rất rõ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng. Đặc
biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức cha đáp ứng đợc nhu cầu học
toán của các em.
Vậy Dạy - Học nội dung:
"
Phân tích đa thức thành nhân tử
"
nh thế nào để đạt
kết quả tốt nhất? phù hợp với học sinh đại trà?
Đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi.
Để đạt đợc kết quả đó, ngoài phơng pháp truyền thụ của ngời thầy phải nắm bắt
đợc kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này.

Với nội dung trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu
hớng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảng
dạy của giáo viên THCS.
Phần II: Khảo sát thực tế
Qua thực tế giảng dạy và điều tra về hứng thú, trình độ nhận thức, vận dụng và
đặc biệt là khả năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh cũng nh
việc áp dụng chúng để giải một số bài toán liên quan trong quá trình dạy học còn
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
nhiều hạn chế, điều đó có thể do nhiều nguyên nhân, song theo tôi có thể một số
nguyên nhân chính sau đây:
Một là: Khả năng phân tích, khai thác bài toán của đại đa số giáo viên còn nhiều
hạn chế.
Hai là: Đối với dạng toán này nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm
cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng.
Ba là: Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích tìm
lời giải, cha kích thích học chủ động sáng tạo.
Trong quá trình thực hiện đề tài này tôi đã tổ chức khảo sát mức độ hứng thú,
nhận thức và khả năng vận dụng của học sinh lớp 8A, 8B và 8C Trờng THCS Quảng
Đông trớc khi áp dụng đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì
kết quả nh sau:
1. Về hứng thú đối với dạng toán này:
Mức độ Rất thích Thích Không thích
Tỉ lệ 0 % 22,5% 77,5%
2. Về tiếp thu kiến thức:
Mức độ Rất hiểu Hiểu Không hiểu
Tỉ lệ 3,4 % 37,6% 59%
3. Về khả năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo:
Mức độ Tốt Khá Trung bình Yếu

Tỉ lệ 0 % 9,5% 23,5% 68%
phần III - Nội dung
A: các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A1:các phơng pháp cơ bản
I - Ph ơng pháp đặt nhân tử chung
1. Ph ơng pháp :
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử .
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng
tử vào trong dấu ngoặc (kể cả hạng tử của chúng).
2. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 6xy + xy
3
- 2 x
2
y
b) 15x(x + y) - 5y(3x + 3y)
Bài làm
a) 6xy + xy
3
- 2 x
2
y = xy.6 + xy. y
2
- xy.2x = xy( 6+ y
2
-2x)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

b) 15x(x + y) - 5y(3x + 3y)= 15x(x + y) - 15y(x + y)
= (x + y)( 15x -15y) = 15(x + y) (x - y)
3. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) -6xy
2
- 12x
2
y + 3x
b) 15x + 30y
c) x(1 + z) + 2(z + 2z + 3)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 23,45 . 97,5 + 23,45 . 5,5 - 23,45 . 3
B = 2x(x - y) + 2x(y - x) + 2x(z - x)
(Với x = 2007 ; y = 2008 ; z = 2009)
C = x(x - y) + y(y - x) (Với x = 53 ; y = 3)
II - Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức
1. Ph ơng pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các
nhân tử .
Hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản .
Những hằng đẳng thức :
1. (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2. (A - B)
2
= A

2
- 2AB + B
2
3. A
2
- B
2
= (A + B)(A - B)
4. (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5. (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6. A
3

+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
)
7. A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
8. (A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA
9. A
n
- B
n
= (A - B)(A

n - 1
+ A
n - 2
B + + AB
n - 2
+ B
n - 1
)
10. A
2k+1
+ B
2k+1
= (A + B)(A
2k
- A
2k - 1
B + A
2k - 2
B
2
- + B
2k
)
11. (A + B)
n
= A
n
+ n A
n - 1
B -

( )
2.1
1nn
A
n - 2
B
2
+ +
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang3
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
( )
2.1
1nn
A
2
B
n - 2
+ n AB
n - 1
+ B
n
12. (A - B)
n
= A
n
- n A
n - 1
B +
( )

2.1
1nn
A
n - 2
B
2
- + (- 1)
n
B
n
2. Ví dụ
Ví dụ1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
- 10xy
2
+ 25y
4
b) x
4
- y
4
c) x
3
- 3x
2
+ 3x - 1
Bài làm
a) x
2

- 10xy
2
+ 25y
4
= x
2
+ 2.x.5y
2
+ (5y
2
)
2
= (x + 5y
2
)
2
b) x
4
- y
4
= (x
2
)
2
- (y
2
)
2
= (x
2

+ y
2
)(x
2
- y
2
)
= (x
2
+ y
2
)(x + y)(x - y)
c) x
3
- 3x
2
+ 3x - 1 = (x - 1)
3
Ví dụ2 :Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz
Bài làm
x
3
+ y

3
+ z
3
- 3xyz = (x + y)
3
+ z
3
- 3xyz - 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)
2
- (x + y)z + z
2
] - 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - zx)
3. Bài tập
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (y - 2)
2
- 9
b) 16 - (3 + x)
2
c) (7x - 4)
2
- (2x + 1)

2
d) 81(x + 5)
2
- 9(x - 7)
2
Bài 4 :Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 64x
3
- 27y
3
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang4
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
b) (x + 2)
3
- (x - 1)
3
c) y
3
- 6xy
2
+ 12x
2
y - 8x
3
Bài 5 : Tính giá trị của các biểu thức:
a) a
2
- b
2

tại x = 98 và y = 2
b) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 tại x = 99
c) y
3
- 9y
2
+ 27y - 27 tại y = 103
III - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp
nhóm nhiều hạng tử.
1. Ph ơng pháp:
- Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng
nhóm.
- áp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán.
2. Ví dụ
Ví dụ1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
- xy + 3x - 3y
b) x
2
+ 6x - y
2
+ 9
c) x
2
+ y

2
- z
2
- 9t
2
- 2xy + 6zt
Bài làm
a) x
2
- xy + 3x - 3y = (x
2
- xy) + (3x - 3y) = x(x - y) + 3(x - y)
= (x - y)(x + 3)
b) x
2
+ 6x - y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9)- y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 - y)
c) x
2
+ y
2

- z
2
- 9t
2
- 2xy + 6zt = (x
2
- 2xy + y
2
) - (z
2
- 6zt + 9t
2
)
= (x - y)
2
- (z - 3t)
2
= (x - y + z - 3t)(x - y - z + 3t)
Ví dụ2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz

2
+ 2xyz
Bài làm
x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang5
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz
2
+ yz

2

= z(x + y)
2
+

xy(x + y) + z
2
(x + y) = (x + y)(xz +yz + xy + z
2
)
= (x + y)[(yz +xy) + (xz + z
2
)]
= (x + y)[y(z + x) + z(z + x)]
= (x + y)(y + z)(z + x)
3. Bài tập
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
4
+ 3x
2
- 9x - 27
b) x
4
+ 3x
2
- 9x - 9
c) x
3

- 3x
2
+ 3x - 1 - 8y
3
Bài 7 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
) + z(x
2
- y
2
)
b) xy(x - y) - xz(x + z) - yz(2x + y - z)
c) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
- 4xyz
d) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y)
Bài 8 : Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức :
a) x
2

- 2xy - 4z
2
+ y
2
tại x = 6 ; y = - 4 ; z = 45
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x + 4)
2
+ 48 tại x = 0,5
IV - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều ph ơng pháp
1. Ph ơng pháp:
Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và tiến hành theo trình tự
sau:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử .
2. Ví dụ:
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang6
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 5y
3
- 45y
b) 3x
3
y - 6x
2
y - 3xy
3

- 6axy
2
- 3a
2
xy + 3xy
Bài làm
a) 5y
3
- 45y = 5y(y
2
- 9) = 5y(y + 3)(y -3)
b) 3x
2
y 6x
2
y - 3xy
3
- 6axy
2
- 3a
2
xy +3xy
= 3xy(x
2
- 2x - y
2
- 2ay - a
2
+ 1)
= 3xy[(x

2
- 2x

+ 1) - (y
2
+ 2ay + y
2
)]
= 3xy[(x - 1)
2
- (y +a)
2
]
= 3xy[(x - 1) + (y + a)] [(x - 1) - (y + a)]
= 3xy(x + y + a - 1)(x -y - a - 1)
3. Bài tập
Bài 9 :Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x
3
(x +z) - y
3
(z +2x) - z
3
(2x - y)
b) [(x
2
+ y
2
)(a
2

+ b
2
) +4abxy]
2
- 4 [xy(a
2
+ b
2
) + ab(x
2
+ y
2
)]
2
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
- z
3
Hớng dẫn
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3

- z
3
= [(x + y + z)
3
- x
3
] - (y
3
+ z
3
)
Sau đó áp dụng các hằng đẳng thức biến đổi để tìm nhân tử chung.
V - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách
một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1. Ph ơng pháp:
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện
những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng
hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang7
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
x
2
- 6x + 8
Bài làm
Ta có thể tách hạng tử bằng những cách sau:
Cách 1: x
2
- 6x + 8 = (x

2
- 2x) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x -2)
Cách 2: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 6x + 9) - 1 = (x - 3)
2
- 1
Cách 3: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 4) - 6x + 12 = (x - 2)(x +2) - 6(x -2)
Cách 4: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 16) - 6x + 24 =(x - 4)(x+4) - 6(x-4)
Cách 5: x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 4x + 4) - 2x +4 = (x - 2)
2
- 2(x - 2)
3. Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
2

+ 5x + 6
b) x
2
- 6x + 5
c) 3x
2
- 7x - 6
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
b) x
2
- 7xy - 10y
c) 4x
2
- 3x - 1
VI - Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
1. Ph ơng pháp:
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm
số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,
2. Ví dụ:
Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
4
+ 64 = x
4

+ 64 + 16x
2
- 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
- (4x)
2
= (x + 4x + 8)(x
2
- 4x + 8)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang8
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ2 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
4
+ 4y
4
Bài làm
x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4

+ 4x
2
y
2
- 4x
2
y
2
= (x + 2y)
2
- (2xy)
2
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
3. Bài tập
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
8
+ x
7
+ 1
c) x
8
+ x + 1
d) x
8

+ 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
+ 5x
2
+ 3x - 9
b) x
3
- 7x + 6
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4
b) x
3
- 3x + 2
c) x
3
- 5x
2
+ 3x + 9
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
e) x

3
+ 3x
2
+ 6x + 4x
A2: Một số phơng pháp khác
VII - ph ơng pháp đặt biến số (đặt biến phụ)
1. Ph ơng pháp
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang9
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Một số bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có
biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa
thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
4
+5x
2
+ 4
b) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+3x - 3) - 5
c) (x + 1)(x +3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài làm
a) Đặt x
2
= y
- Đa thức đã cho trở thành : y

2
+ 5y + 4 = (y +1)( y + 4)
- Trả lại biến cũ:
x
4
+5x
2
+ 4= (x
2
+1)( x
2
+ 4)
b) Đặt x
2
+ 3x + 1 = y => x
2
+ 3x - 3 = y - 4
- Đa thức đã cho trở thành
y(y - 4) - 5 = y
2
- 4y - 5 = (y + 1)(y - 5)
- Trả lại biến cũ
(x
2
+ 3x +1)(x
2
+ 3x - 3) - 5 = (x
2
+ 3x + 1 + 1)(x
2

+ 3x + 1 - 5)
= (x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 3x - 4)
= (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
- Đặt x
2
+ 8x + 7 = y => x
2
+ 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đã cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y
2
+ 8y + 15 = y
2
+ 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15
= (x
2
+ 8x + 7 + 5)(x
2
+ 8x + 7 + 3)
= (x
2
+ 8x + 12)(x

2
+ 8x + 10) = (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
0
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3. Bài tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x + 2) - 6
b) (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x(x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
b) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
2
c) 3x
6
- 4x

5
+ 2x
4
- 8x
3
+ 2x
2
- 4x + 3
VIII - Ph ơng pháp xét giá trị riêng
1. Ph ơng pháp
Khi các biên có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = (x + y + z)
3
- x
3
- y
3
- z
3

Bài làm
- Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = - y thì P = 0 => P(x + y)
- Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên:
P(x + z)
P(y + z)
=> P = (x + y)(x + z)(y + z) . Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biến x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0; y = z = 1, ta có Q = 3

Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
3. Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
1
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
IX - Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức
1. Ph ơng pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Nh vậy nếu đa thức
f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức
Ta biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
x
3
+ 3x - 4
Ta xét các ớc của (- 4) là: - 1; 1; - 2; 2; - 4; 4, sau khi kiểm tra thấy 1
là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)
Do vậy ta tách hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x -1)
* Cách 1: x
3
+ 3x
2
- 4 = x
3
-x
2
+ 4x
2

- 4= x
2
(x - 1)+ 4(x - 1)(x + 1)
= (x - 1) (x
2
+ 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)
2
* Cách 2: x
3
+ 3x
2
- 4 = x
3
- 1 + 3x
2
- 3 = (x
3
- 1) + 3(x
2
- 1)
= (x - 1)(x
2
+ x + 1) + 3(x
2
- 1)
= (x - 1)(x + 2)
2
Chú ý:
+)Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa
nhân tử (x - 1)

+) Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng
tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
Ví dụ :
* Đa thức : x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x - 1)
* Đa thức : x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x +1).
Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ .
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
2
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có
dạng p/q trong đó p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử
cao nhất.
Ví dụ: 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là :(- 1); 1; (- 1/2); 1/2;
(- 3/2); 3/2; - 3

Sau khi kiểm tra thấy x = 1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử
(x - 1/2) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để
xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
B: các bài toán áp dụng phân tích đa thức
thành nhân tử
I - Bài toán rút gọn biểu thức
1. Ph ơng pháp:
Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung.
áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho
nhân tử chung.
=> Học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển t
duy suy luận lô gic, sáng tạo.
2) Rút gọn biểu thức:
a) A =
342
1573
23
23
+
+
xxx
xxx
b) B =
1
3
1
12
1
3
2

+
+
x
x
x
x
x
x

Bài làm
a) A =
3322
14433
223
223
++
++
xxxxx
xxxxx
=
)1(3)1()1(2
)1()1(4)1(3
2
3

+
+
xxxxx
xxxxx
=
)1)(32)(1(
)13)(1)(1(
)32)(1(
)143)(1(
2
2
+

=
+
+
xxx
xxx
xxx
xxx
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
3
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
=
32
13
)32()1(
)13()1(
2

2
+

=
+

x
x
xx
xx
b) MTC = x
2
- 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
)1)(1(
)3()1)(12()1)(3(
+
++
xx
xxxxx
B =
)1)(1(
31232
22
+
++++
xx
xxxxx
B =
x

x
xx
x
xx
xx
+

=
+

=
+
++
1
1
)1)(1(
)1(
)1)(1(
12
22
3. Bài tập
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =
2322
222
)()()(
bcbacab
bacacbcba
+
++

b) B =
933193
451272
23
23
+
+
xxx
xxx
c) C =
222
333
)()()(
3
xzzyyx
xyzzyx
++++
++
Bài 20: Rút gọn biểu thức
a) A =
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
xyyyxxyxyyxx
+

+
+
+
+
b) B =
))((
1
))((
1
))((
1
bcacccbabbcabaa
+

+

Bài 21: Cho x
2
- 4x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức A =
2
24
1
x
xx ++
II - Bài toán giải ph ơng trình bậc cao
1. Ph ơng pháp:
áp dụng phơng pháp Phân tích đa thức thành nhân tử để đa về phơng trình tích.

A = 0
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
4
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B = 0

D = 0
2. Ví dụ: Giải phơng trình:
* Ví dụ1:
x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
<=> x
3
- 5x
2
- 2x
2
+ 10x + 5x - 25 = 0
<=> x
2
(x - 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
<=> (x - 5)(x
2
- 2x + 5) = 0
<=>

=+
=
052
05
2
xx
x
<=>



=+
=
lý) (vô 04)1(
5
2
x
x
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S = {5}
* Ví dụ 2 :
(2x
2
+ 3x - 1)
2
- 5(2x
2
+ 3x + 3) + 24 = 0
Đặt : 2x

2
+ 3x - 1 = t
=> 2x
2
+ 3x + 3 = t + 4
Phơng trình đã cho trở thành:
t
2
- 5(t + 4) +24 = 0
<=> t
2
- 5t + 4 = 0
<=> (t - 1)(t - 4) = 0
<=>



=
=
04
01
t
t
<=>



=
=
4

1
t
t
+) Thay t = 1 vào (*) ta có:
2x
2
+ 3x - 1 = 1
<=> 2x
2
+ 3x - 2 = 0
<=> (2x
2
+ 4x) - x - 2 = 0
<=> 2x(x + 2) - (x + 2) = 0
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
5
AB D = 0 <=>
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
<=> (x + 2)(2x - 1) = 0
<=>




=
=

=
=+
2
1
2
012
02
x
x
x
x
+) Thay t = 4 vào (*) ta có:
2x
2
+ 3x - 1 = 4
<=> 2x
2
+ 3x - 5 = 0
<=> (x - 1)(2x + 5) = 0
<=>




=
=

=+
=
2
5
1
052
01
x
x
x
x
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm: S =






1;
2
1
;
2
5
;2
3) Bài tập
Bài 22: Giải phơng trình:
a) 2x
3

+ 3x
2
+ 6x + 5 = 0
b) x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x - 120 = 0
c) x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
Bài 23: Giải phơng trình:
a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24
b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
c) (2x + 1)(x + 1)
2
(2x + 3) = 18
d) (12x + 7)
2
(3x + 2)(2x + 1) = 3
Bài 24: Giải phơng trình
a) x
4
- 2x
3
+ 4x

2
- 3x + 2 = 0
b) x
6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0
Bài 25: Giải phơng trình
x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = 0
III - Bài toán giải bất ph ơng trình
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
6
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1.Ph ơng pháp
Với một số bất phơng trình bậc cao dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0, trong đó vế trái

f(x) là một đa thức có thể phân tích thành các nhân tử mà những nhị thức bậc nhất
thì ta có thể giải nhờ vào cách giải bất phơng trình tích
2. Ví dụ: Giải bất phơng trình.
* Ví dụ 1:
x
2
- 5x + 6 < 0 (1) <=> (x - 2)(x - 3) < 0
Ta có bảng:
x 2 3
x - 2 - 0 + // +
x - 3 - // - 0 +
(x - 2)(x - 3) + 0 - 0 +
Vậy bất phơng trình (1) có nghiệm là 2 < x < 3

* Ví dụ 2:
x
4
- 3x
3
- x + 3 0
<=> (x - 1)(x - 3)(x
2
+ x + 1) 0
Vì x
2
+ x + 1 =

+
2
1
x
2
+
4
3
> 0

x
Nên x
4
- 3x
3
- x + 3 0 <=> (x - 1)(x - 3) 0 <=> 1 x 3
3. Bài tập:
Bài 26: Giải bất phơng trình:
a) x
3
- 2x
2
+ x + 2 > 0
b) x
2
- 4x + 3 0
c) x
4

- 4x + 3 < 0
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
7
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 27: Giải bất phơng trình:
a)
)43)(7(
5
xx
x
+
+
< 0
b)
2
2
2
>
+
+
x
x
x
x
IV - Bài toán chia hết
1. Ph ơng pháp
Biến đổi đa thức đã cho thành một tích, trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia
hết.
2. Ví dụ

* Ví dụ 1: Chứng minh rằng : (4x + 3)
2
- 25 8

x Z
Bài làm
Có (4x + 3)
2
- 25 = 8(2x - 1)(x + 1) 8

x Z
* Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

n Z thì biểu thức
623
32
nnn
++
Z
Bài làm
Có
623
32
nnn
++
=
6
32
32
nnn ++

Xét 2n +3n
2
+ n
3
= n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên
tiếp. Vì vậy ít nhất có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3.
Mà (2; 3) = 1. Nên tích này chia hết cho 6.
Vậy

n z thì
623
32
nnn
++
z
3. Bài tập
Bài 28: Chứng minh rằng :
a) 2
4n
- 1 15
b) 7
1
+ 7
2
+ 7
3
+ 7
4

+ + 7

4k
400 (k n)
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
8
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 29: Chứng minh rằng:
a) n
3
- n + 4 không chia hết cho 3
b) n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49
Phần IV: Kết quả sau khi đề tài đợc áp dụng

Sau khi hoàn thành đề tài này, tôi đã đa vào áp dụng trong thực tiễn giảng dạy tại
ba lớp 8A,B,C Trờng THCS Quảng Đông. Tôi nhận thấy hứng thú học tập, kiến thức
cũng nh kĩ năng vận dụng của học sinh đợc cải thiện rõ nét.
Kết quả khảo sát nh sau:
1. Về hứng thú:
Mức độ Rất thích Thích Không thích
Tỉ lệ 75 % 20% 5%
2. Về tiếp thu kiến thức:
Mức độ Rất hiểu Hiểu Không hiểu
Tỉ lệ 79,5 % 19% 1,5%
3. Về khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo kiến thức vào thực tiễn:
Mức độ Tốt Khá Trung bình Yếu
Tỉ lệ 52 % 20,5% 24% 3,5%
Phần V - Kết luận chung
Dạy học giải các bài toán thông qua các phơng pháp là cả một nghệ thuật để

giúp các em nắm đợc bài, hiểu bài và có hứng thú, kỹ năng làm bài, nhất là các bài
tập khó trong giờ luyện tập, chuyên đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình
học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phơng pháp khác tạo nên sự lôgic
chặt chẽ của toán học. Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức
tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống câu kỹ năng, kỹ xảo, phân
tích.
Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực
nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ cần thiết đối với
học sinh THCS nói chung mà nó rất cần cho giáo viên trong quá trình dạy toán để
giúp giáo viên chủ động về kiến thức, tự tin trong dạy toán, trong công tác bồi dỡng
học sinh giỏi.
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang1
9
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Tuy nhiên do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu còn ít ỏi,
thêm nhiều yếu tố khách quan nên tài liệu có thể cha đáp ứng hết sự mong mỏi của
các thầy cô giáo, đồng nghiệp và các em học sinh.
Rất mong đợc sự đóng góp chân thành, sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô
giáo, bạn bè, đồng nghiệp.
Tôi xin chân trọng cảm ơn !!!
Quảng Bình, ngày 15 tháng 05 năm 2009
Ngời viết


Nguyễn Quốc Huy
Đánh giá của HĐKH
Trờng THCS Quảng Đông

phụ lục
Phần I: lí do chọn đề tài Trang1
Phần II: Khảo sát thực tế2
Phần III: Nội dung
A - Các phơng pháp Phân tích đa thức thành nhân tử 3
*Các phơng pháp cơ bản 3
I. Phơng pháp đặt nhân tử chung 3
II. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức 4
III. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử 6
IV. Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp 8
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
0
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
V. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 9
VI. Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử 10
* Một số phơng pháp khác 12
VII. Phơng pháp đặt biến số 12
VIII. Phơng pháp xét giá trị riêng 13
IX. Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức 14
B - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 16
I - Bài toán rút gọn 16
II - Bài toán giải phơng trình bậc cao 17
III - Bài toán giải bất phơng trình 20
IV - Bài toán chia hết 21
Phần IV: Kết quả sau khi đề tài đợc áp dụng 23
Phần V: Kết luận 23
Tài liệu tham khảo
STT Tên tài liệu Tác giả

1 SGK Đại số 8 Phan Đức Trí (Tổng chủ biên)
Tôn Thân (Chủ biên)
2 SGV Đại số 8 Nguyễn Huy Đoan
Lê Văn Hồng
3 Nâng cao & phát triển toán 8 (Tập I
& II)
Vũ Hữu Bình
4 Toán nâng cao & các chuyên đề Đại
số 8
Vũ Dơng Thụy (Chủ Biên)
Nguyễn Ngọc Đạm
5 Để học tốt Đại số 8 Nguyễn Vinh Cân
Vũ Thế Hu
Hoàng Trung
6 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
toán lớp 8 (phần Đại số)
Võ Đại Mau
Võ Đại Hoài đức
Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
1
Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông
Trang2
2