Bất đẳng thức berry esseen

Mục lục
Mở đầu 4
1 Các kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Định nghĩa và phân loại . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 8
1.2 Phân bố chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Phân bố chuẩn một chiều . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Phân bố chuẩn nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Khoảng cách biến phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Phương trình Stein và ý nghĩa . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Xây dựng các đẳng thức Stein . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Xấp xỉ chuẩn của hàm trơn . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Bất đẳng thức Berry - Esseen một chiều 16
2.1 Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Bất đẳng thức Berry – Esseen đều . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Trường hợp cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
2.2.2 Trường hợp không cùng phân bố . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen đều . . . 19
2.2.4 Áp dụng định lý Berry – Esseen đều . . . . . . . . . 24
2.3 Bất đẳng thức Berry – Esseen không đều . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Trường hợp cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Trường hợp không cùng phân bố . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen không đều 27
3 Bất đẳng thức Berry - Esseen nhiều chiều 36
3.1 Trường hợp cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Trường hợp không cùng phân bố . . . . . . . . . . . . . . . 49
Kết luận 51
Tài liệu tham khảo 52
3
Mở đầu
Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiện tượng
ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những
hiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nó được ra đời đầu tiên
ở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17.
Trong lý thuyết xác suất định lý giới hạn trung tâm là một trong
những định lý cơ bản và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Nó đưa ra một phép
tính xấp xỉ cho hàm phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập W
so với hàm phân phối chuẩn hóa Φ. Tuy nhiên định lý này không đánh giá
được tốc độ hội tụ của giới hạn W→ Φ.
Trong thực tế ta lại quan tâm nhiều đến khoảng cách giữa phân bố
của W và phân bố chuẩn hóa. Khoảng cách này càng nhỏ thì xấp xỉ chúng
ta cần càng có giá trị. Một trong những công cụ để đánh giá khoảng cách
giữa W và Φ hay đánh giá được tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trung
tâm là bất đẳng thức Berry – Esseen. Trong đề tài này tôi sẽ trình bày
về lịch sử, quá trình hoàn thiện, chứng minh, mở rộng, phát triển và ứng
dụng của bất đẳng thức này.
Nội dung đề tài gồm ba chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Chương này đưa ra một số kiến
thức về biến ngẫu nhiên, phân phối chuẩn, khoảng cách biến phân toàn
phần, phương pháp Stien. Đây là những kiến thức bổ trợ sẽ được nhắc đến
ở những chương sau.
4
Chương 2. Bất đẳng Berry - Esseen một chiều. Chương này tác giả
phát biểu định lý Berry - Esseen đều và không đều. Với mỗi dạng tác giả
phát biểu định lý trong trường hợp cùng phân bố và không cùng phân bố,

có giới thiệu sơ lược về lịch sử của định lý, cuối cùng là chứng minh và đưa
ra một vài áp dụng của định lý.
Chương 3. Bất đẳng Berry - Esseen nhiều chiều. Chương này là sự
mở rộng của định lý Berry - Esseen một chiều. Sự mở rộng được phát biểu
cho cả hai trường hợp cùng phân bố và không cùng phân bố. Tuy nhiên,
để giảm độ phức tạp tác giả chỉ dừng lại ở việc chứng minh định lý trong
trường hợp đơn giản hơn, đó là trường hợp cùng phân bố.
5
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Chương này tác giả đưa ra một vài kiến thức cơ bản về biến ngẫu
nhiên, phân bố chuẩn, khoảng cách biến phân toàn phần, phương pháp
Stein. Đây là những kiến thức cơ bản của xác suất thống kê mà được sử
dụng nhiều trong các chương sau.
1.1 Biến ngẫu nhiên
1.1.1 Định nghĩa và phân loại
Nói một cách chung chung thì biến ngẫu nhiên là đại lượng lấy giá trị
thực tùy thuộc vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử. Định nghĩa chính
xác của biến ngẫu nhiên như sau:
Định nghĩa 1.1 : Giả sử (Ω, A) là không gian đo đã cho. Biến ngẫu
nhiên là ánh xạ X : Ω → R sao cho:
(X ≤ x) = {ω ∈ Ω |X(ω) ≤ x} ∈ A, ∀x ∈ R
Hoặc tương đương:
X
−1
(B) = {ω ∈ Ω |X(ω) ∈ B} ∈ A, ∀B ∈ B
với B là σ - đại số các tập Borel của R.
Định nghĩa 1.2 : Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của
nó là hữu hạn hay đếm được. Biến ngẫu nhiên rời rạc được xác định bằng
6

bảng phân phối xác suất:
X x
1
x
2
. . . x
i
. . . x
n
P p
1
p
2
. . . p
i
. . . p
n
trong đó
n

i=1
p
i
= 1, p
i
> 0
Định nghĩa 1.3 : Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể
có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Biến ngẫu nhiên liên tục X
được xác định bởi hàm mật độ f(x) thỏa mãn hai tính chất: f(x)≥ 0 với
mọi x và

+∞

−∞
f(x)dx = 1
1.1.2 Hàm phân phối
Định nghĩa 1.4 : Hàm phân phối (quy luật phân phối) của biến ngẫu
nhiên X là hàm F(x) được xác định như sau F(x)= P(X<x) với x ∈ R
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì F (x) =

i:x
i
<x
p
i
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F (x) =
x

−∞
f(t)dt
Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có một số tính chất sau:
• Hàm phân phối xác định với mọi x ∈ R
• 0 ≤ F (x) ≤ 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1
• Hàm phân phối là hàm không giảm: x
1
> x
2
→ F (x
1
) ≥ F (x
2

)
• P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
• Mối quan hệ giữa hàm phân phối và hàm mật độ: F

(x) = f(x)
Ta có thể định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu hàm phân
phối của nó có đạo hàm.
1.1.3 Hàm đặc trưng
Định nghĩa 1.5 : Giả sử F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Khi
đó hàm đặc trưng của X là hàm biến thực ϕ(t) = ϕ
X
(t) được định nghĩa
7
bởi:
ϕ(t) = Ee
itX
=

R
e
itx
dF (x)
Nếu X có hàm mật độ f(x) thì : ϕ(t) =

R
e
itx
f(x)dx
Các tính chất của hàm đặc trưng:
• ϕ(0) = 1, |ϕ(t)| ≤ 1, ∀t ∈ R

• ϕ(−t) = ϕ(t)
• ϕ(t) là hàm xác định không âm:
∀λ
i
∈ C, t
i
∈ R :
n

i,j=1
λ
i
λ
j
ϕ( t
i
− t
j
) ≥ 0
• ϕ(t) là hàm liên tục đều trên R.
• Với mọi số thực a, b thì: ϕ
aX+b
(t) = e
ibt
ϕ
X
(at)
• Nếu X, Y độc lập thì ϕ
X+Y
(t) = ϕ

X
(t).ϕ
Y
(t)
1.1.4 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
a. Kỳ vọng toán
Định nghĩa 1.6: Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất. X là biến ngẫu
nhiên. Ta gọi EX =

Ω
XdP =

Ω
X(ω)dP (ω) là kì vọng của X.
Ta có:
EX =
n

i=1
x
i
p
i
nếu X - rời rạc
EX =
+∞

−∞
xf(x)dx nếu X - liên tục
Các tính chất của kỳ vọng:

Ec = c nếu c là hằng số
E(X + Y) = EX + EY
EcX = c.EX, c là hằng số
X, Y độc lập thì E(XY) = EX.EY
Eg(X) =
n

i=1
g(x
i
)p
i
nếu X - rời rạc
8
Eg(X) =
+∞

−∞
g(x)f(x)dx nếu X - liên tục
b. Phương sai:
Định nghĩa 1.7: Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không
âm, kí hiệu DX, được xác định bởi DX = EX
2
− (EX)
2
Các tính chất của phương sai:
Dc = 0 nếu c là hằng số
DcX = c
2
DX

Nếu X, Y độc lập thì D(X ± Y) = DX + DY
1.2 Phân bố chuẩn
1.2.1 Phân bố chuẩn một chiều
Định nghĩa 1.8 : Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong
khoảng (−∞, +∞) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn hóa, kí hiệu: X
∼ N(0,1), nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
f(x) =
1
√
2π
e
−x
2
/2
Khi đó hàm phân bố xác suất chuẩn hóa (hàm phân bố tiêu chuẩn)
có dạng:
Φ(x) =
1
√
2π
x

−∞
e
−t
2
/2
dt
Định nghĩa 1.9 : Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong
khoảng (−∞, +∞) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số

µ và σ
2
, kí hiệu: X ∼ N(µ,σ
2
), nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
f (x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−µ)
2
2σ
2
Nếu X ∼ N(µ,σ
2
) thì EX = µ, DX = σ
2
Nếu X ∼ N(µ,σ
2
) thì ta có thể đưa về phân phối chuẩn hóa N(0,1)
9
bằng phép biến đổi chuẩn hóa Y =
X−µ
σ
Nếu X ∼ N(µ,σ
2
) thì: P (a < X < b) = Φ(

b−µ
σ
) − Φ(
a−µ
σ
)
1.2.2 Phân bố chuẩn nhiều chiều
Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X
1
, X
2
, , X
k
). Khi đó ta kí hiệu:
• cov(X
i
, X
j
) = E(X
i
−EX
i
)(X
j
−EX
j
) = EX
i
X
j

−EX
i
.EX
j
, gọi
là covarian của X
i
, X
j
.
• A = (cov(X
i
, X
j
)), gọi là ma trận covarian của X. Rõ ràng A là ma
trận đối xứng, xác định không âm cấp kxk.
• a = EX = (EX
1
, EX
2
, , EX
k
) = (a
1
, a
2
, , a
k
), gọi là vectơ kỳ
vọng của X.

Định nghĩa 1.10 : Vectơ ngẫu nhiên X = (X
1
, X
2
, , X
k
) có phân phối
chuẩn k chiều N(a,A) nếu hàm mật độ của X có dạng:
f(x) =
1

(2π)
k
|A|
exp

−
1
2
(x − a)A
−1
(x − a)
t

Hay: f(x
1
, x
2
, , x
k

) =
1
√
(2π)
k
|A|
exp

−
1
2
k

i=1
k

j=1
a
ij
(x
i
− a
i
)(x
j
− a
j
)

Trong đó:

x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ R
k
A là ma trận covarian của X có định thức |A| và ma trận nghịch đảo
A
−1
= (a
ij
)
Cụ thể, với k = 2, vectơ ngẫu nhiên (X,Y) tuân theo quy luật phân
phối chuẩn hai chiều thì hàm mật độ xác suất đồng thời của nó có dạng:
f(x, y) =
1
2πσ
x
σ
y

1 − ρ
2
.e
−
1
2(1−ρ
2

)

(
x−a
σ
x
)
2
+

y−b
σ
y

2
−2ρ
(x−a)(x−b)
σ
x
σ
y

Trong đó: a = EX, b = EY, σ
x
=
√
DX, σ
y
=
√

DY
10
ρ là hệ số tương quan của X, Y: ρ =
cov(X,Y )
σ
x
σ
y
Nếu X, Y độc lập thì hàm mật độ của phân bố chuẩn hai chiều có
dạng:
f(x, y) =
1
2πσ
x
σ
y
.e
−
1
2

(
x−a
σ
x
)
2
+

y−b

σ
y

2

= f
X
(x).f
Y
(y)
1.3 Khoảng cách biến phân toàn phần
Kí hiệu Ω là không gian độ đo với δ - đại số A.
Định nghĩa 1.11 : Gọi µ, ν là hai độ đo xác suất trên Ω. Khi đó khoảng
cách biến phân toàn phần được định nghĩa bởi:
d
T V
(µ, ν) := sup
A∈A
|µ(A) − ν(A)|
1.4 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
Giả sử (X
n
) là dãy các biến ngẫu nhiên trong không gian xác suất
(Ω, A, P ). Ta có các định nghĩa hội tụ sau:
Định nghĩa 1.12 : Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
) được gọi là hội tụ theo
xác suất tới biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X
n
−→ X, nếu với ε > 0 bất kì

thì :
lim
n→∞
P (|X
n
− X| ≥ ε) = 0
Định nghĩa 1.13 : Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
) được gọi là hội tụ hầu
chắc chắn (hay hội tụ với xác suất 1) tới biến ngẫu nhiên X, kí hiệu
X
n
−→ X, nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho với ω /∈ A:
X
n
(ω) → X(ω)
11
Định nghĩa 1.14 : Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
) được gọi là hội tụ theo
trung bình bậc p tới biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X
n
−→ X, nếu:
E|X
n
− X|
p
→ 0 (n → ∞)
Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ:
Nếu X

n
−→ X thì X
n
−→ X
Nếu X
n
−→ X thì tồn tại dãy con (X
n
k
) sao cho (X
n
k
) −→ X
Nếu X
n
−→ X (0 < p < +∞) thì X
n
−→ X
Nếu X
n
−→ X và (X
n
) vị chặn đều với xác suất 1 thì X
n
−→ X với
mọi p, 0 < p < +∞
1.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn
Trong lý thuyết xác suất không phải phân bố của biến ngẫu nhiên nào
cũng được xác định rõ ràng. Điều đó điều hỏi chúng ta phải xấp xỉ một
phân bố phức tạp bằng một phân bố đơn giản hơn. Phương pháp Stein là

là phương pháp mới được công bố năm 1972. Đó là phương pháp dùng để
suy ra ước lượng xấp xỉ của phân bố này bởi một phân bố khác, là công
cụ cho xấp xỉ không chỉ tốt với các biến ngẫu nhiên độc lập mà còn dùng
cho cả các biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Hơn nữa ta có thể ước lượng sai số
của xấp xỉ một cách trực tiếp.
1.5.1 Phương trình Stein và ý nghĩa
Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa.
h là hàm đo được nhận giá trị thực cho trước sao cho E |h (X)| < ∞
f : R → R là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục trên từng đoạn
thỏa mãn E


f

(X)


< ∞. Khi đó ta có:
f

(ω) − ωf (ω) = h (ω) −Eh (X) (1.1)
12
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình Stein tổng quát.
Hàm f
h
(x) = e
x
2
2
+∞


−∞
{h(t) − Eh(X)}e
−
t
2
2
dt là nghiệm của nó.
Đặc biệt: với x ∈ R cố định, phương trình (1.1) có dạng:
f

(ω) − ωf (ω) = 1
(−∞;x]
(ω) − Φ (x) (1.2)
Thay w bởi biến ngẫu nhiên W, rồi lấy kì vọng hai vế của phương
trình (1.1), (1.2) ta được:
E {f

(W ) − W f(W )} = Eh(W) −Eh(X) (1.3)
P (W ≤ x) − Φ(x) = E {f

(W ) − W f(W )} (1.4)
Trong hai phương trình (1.3), (1.4) thay vì ước lượng vế phải ta đi
ước lượng vế trái đơn giản hơn. Đó là ý nghĩa thiết thực của phương trình
Stein.
1.5.2 Xây dựng các đẳng thức Stein
Trong phần này chúng ta trở lại phương pháp cơ sở mà Stein đã sử
dụng. Giả sử X
1
, X

2
, . . . X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
có kì vọng 0 và
n

i=1
EX
i
2
= 1. Đặt W =
n

i=1
X
i
, W
(i)
= W − X
i
và định
nghĩa:
K
i
(t) = E

X
i


I
{0≤t≤X
i
}
− I
{X
i
≤t<0}

Khi đó thì:
K
i
(t) ≥ 0, ∀t ∈ R
+∞

−∞
K
i
(t) dt = EX
2
i
,
+∞

−∞
|t|K
i
(t) dt =
1
2

E|X
i
|
3
Vì X
i
và W
(i)
độc lập với mỗi 1 ≤ i ≤ n và EX
i
= 0 nên:
E {Wf (W)} =
n

i=1
E {X
i
f (W)}
=
n

i=1
E

X
i

f (W) − f

W

(i)

13
Viết dưới dạng tích phân ta được:
EWf(W ) =
n

i=1
E

X
i
X
i

0
f

(W
(i)
+ t)dt

=
n

i=1
E

+∞


−∞
f

(W
(i)
+ t)X
i
(I
0≤t≤X
i
− I
X
i
≤t<0
) dt

=
n

i=1
+∞

−∞
Ef

(W
(i)
+ t).K
i
(t)dt (1.5)

Từ định nghĩa của K
i
, tính độc lập và do:
n

i=1
+∞

−∞
K
i
(t) dt =
n

i=1
EX
2
i
= 1
nên ta có:
Ef

(W ) =
n

i=1
+∞

−∞
Ef


(W ).K
i
(t)dt (1.6)
Từ 1.5 và 1.6 ta có:
E

f

(W ) − W f(W )

=
n

i=1
+∞

−∞
E

f

(W ) − f

(W
(i)
+ t)

.K
i

(t)dt
(1.7)
Phương trình 1.6 và 1.7 có vai trò quan trọng trong việc chứng minh
xấp xỉ chuẩn và chúng luôn đúng với mọi hàm f bị chặn liên tục tuyệt đối.
1.5.3 Xấp xỉ chuẩn của hàm trơn
Trong phần này, tác giả sẽ đưa ra các ước lượng Eh(W) - Eh(X) cho
các lớp biến ngẫu nhiên khác nhau với:
h là một hàm trơn thỏa mãn: h

 := sup
x
|h

(x)| < ∞
X là biến nhẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa.
Định lý 1.1. Giả sử tồn tại δ > 0 sao cho với hàm h - Lipschiz đều ta có
14
|Eh(W) −Eh(X)| ≤ δ h

 thì:
sup
h∈Lip(1)
|Eh(W) −Eh(X)| ≤ δ (1.8)
sup
x
|P (W ≤ x) − Φ(x)| ≤ 2.δ
1/2
(1.9)
Định lý trên cho thấy cận trên của khoảng cách |Eh(W) −Eh(X)|
tương ứng với cận trên của khoảng cách |P (W ≤ x) −Φ(x)|. Sau đây là

các hệ quả suy ra từ định lý (1.1):
Hệ quả 1.1. Cho X
1
, X
2
, , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập có EX
i
= 0
và E|X
i
|
3
< ∞,
n

i=1
EX
2
i
= 1. Khi đó định lý 1.1 đúng với δ = 3
n

i=1
E|X
i
|
3
tức ta có:

|Eh(W) −Eh(X)| ≤ 3 h


n

i=1
E|X
i
|
3
(1.10)
Trong trường hơp không cần thiết về sự tồn tại momen bậc ba hữu
hạn thì ta có khẳng định sau:
Hệ quả 1.2. Cho X
1
, X
2
, X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập có EX
i
= 0
và
n

i=1
EX
2
i
= 1. Khi đó định lý 1.1 đúng với:

δ = 4(4β
1
+ 3β
2
) (1.11)
với β
1
=
n

i=1
EX
2
i
I
{|X
i
|>1}
, β
2
=
n

i=1
E|X
i
|
3
I
{|X

i
|≤1}
15
Chương 2
Bất đẳng thức Berry - Esseen một
chiều
2.1 Giới thiệu chung
Trong lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng, định lý giới hạn trung
tâm là một trong những định lý cơ bản và có nhiều ứng dụng thực tiễn.
Định lý này khẳng định:
Nếu (X
n
) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có
EX
i
= µ và DX
i
= δ
2
, i = 1, , n
Đặt W
n
=
X
1
+X
2
+ X
n
−nµ

δ
√
n
và F
n
(x) là hàm phân phối của W
n
.
Khi đó: với mọi x ∈ R thì F
n
(x) hội tụ yếu đến hàm phân phối chuẩn
hóa Φ(x)
Tuy nhiên định lý này chỉ cho biết về sự hội tụ yếu của F
n
(x) → Φ(x)
mà chưa đánh giá được tốc độ hội tụ của nó. Berry (1941) và Esseen (1942)
là hai nhà toán học đầu tiên đã độc lập đưa ra một bất đẳng thức cho phép
đánh giá khoảng cách giữa F
n
(x) và Φ(x). Vì vậy bất đẳng thức mang tên
hai ông ra đời, đó là bất đẳng thức Berry – Esseen.
Kể từ đó, nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến việc xác
định cận cho bất đẳng thức Berry – Esseen nhằm thu hẹp khoảng cách
giữa F
n
(x) và Φ(x). Khoảng cách này càng nhỏ thì xấp xỉ chúng ta cần
càng có giá trị. Hơn nữa trong thống kê bài toán cỡ mẫu tối thiểu có ý
16
nghĩa thực tế vô cùng to lớn. Nhờ bất đẳng thức Berry - Esseen ta có thể
xác định cỡ mẫu tối thiểu n nhỏ hơn đáng kể so với kết quả có được bằng

các phương pháp khác.
Với ý nghĩa thiết thực như vậy, tác giả nghiên cứu đề tài "Bất đẳng
thức Berry - Esseen". Chương này tác giả trình bày về bất đẳng thức Berry
- Esseen một chiều.
2.2 Bất đẳng thức Berry – Esseen đều
2.2.1 Trường hợp cùng phân bố
Định lý sau đây được đưa ra độc lập bởi Berry năm 1941 và Esseen
năm 1942. Kết quả nghiên cứu của họ như sau:
Định lý 2.1. Nếu (X
i
) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố
có: EX
i
= 0, DX
i
= σ
2
, β
3
= E |X
i
|
3
< ∞, ∀i
Đặt W
n
=
n

i=1

X
i
σ
√
n
. Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho :
sup
x∈R
|P (W
n
≤ x) −Φ(x)| ≤
C
n
1/2

β
σ

3
(2.1)
Trong đó: Φ(x) =
1
√
2π
x

−∞
e
−t
2

/2
dt là hàm phân phối chuẩn hóa.
Vài nét về lịch sử: Việc đưa ra bất đẳng thức (2.1) và xác định
hằng số C trong (2.1) là bài toán rất quan trọng trong lý thuyết cũng như
thực hành và có một lịch sử khá dài.
Năm 1942, Esseen chỉ ra C ≤ 7.59, sau đó là C ≤ 2.9 năm 1956
Năm 1958, Wallace chứng minh được C ≤ 2.05
Năm 1967, Zolotarev chỉ ra C ≤ 0.81097
Năm 1982, Shiganov khẳng định C ≤ 0.7655
Kết quả tốt nhất thuộc về Tyurin (năm 2009) đưa ra C ≤ 0.4785
Với mỗi nhà toán học thì bất đẳng thức Berry - Esseen có một phiên
17
bản khác nhau. Năm 1965, Petrov đưa ra phát biểu tổng quát hơn khi
thêm vào tham số δ ∈ (0, 1]. Định lý (2.1) chỉ là trường hợp riêng khi
δ = 1. Petrov chứng minh được:
Định lý 2.2. Nếu (X
i
) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố
có: EX
i
= 0, DX
i
= σ
2
, β
2+δ
= E |X
i
|
2+δ

< ∞, ∀i
Đặt W
n
=
n

i=1
X
i
σ
√
n
. Khi đó với δ ∈ (0, 1] tồn tại hằng số C > 0 sao cho:
sup
x∈R
|P (W
n
≤ x) −Φ(x)| ≤
C
δ
n
δ/2

β
σ

2+δ
(2.2)
2.2.2 Trường hợp không cùng phân bố
Sau khi đưa ra định lý 2.1 ở trên, Berry - Esseen tiếp tục mở rộng

định lý cho trường hợp không cùng phân bố. Kết quả nghiên cứu của họ
như sau:
Định lý 2.3. Nếu (X
i
) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập (không nhất
thiết cùng phân bố) có: EX
i
= 0, DX
i
= σ
2
i
Đặt Γ
3
n
=
n

i=1
E|X
i
|
3
< ∞, s
2
n
=
n

i=1

σ
i
2
, W
n
=
n

i=1
X
i
s
n
Khi đó tồn tại hằng số C > 0 sao cho :
sup
x∈R
|P (W
n
≤ x) −Φ(x)| ≤ C

Γ
n
s
n

3
(2.3)
Những cố gắng ước lượng cận trên cho C trong (2.3):
Esseen (năm 1945) chỉ ra C ≤ 7.5
Bergstrom (năm 1949) chứng minh được C ≤ 4.8

Beck (năm 1972) khẳng định C ≤ 0.7975
Kết quả tốt nhất thuộc về Tyurin (năm 2010) với C ≤ 0.5606.
Trải qua nhiều năm nghiên cứu, các tác giả đã đưa ra bất đẳng thức
Berry – Esseen dưới nhiều dạng khác nhau về mặt hình thức cũng như
18
cách chứng minh bất đẳng thức này. Phát biểu sau đây có thể coi là khái
quát hơn cả. Nó được đưa ra bởi Katz (năm 1963) và Petrov (năm 1965)
với sự có mặt của tham số δ ∈ (0, 1]. Cụ thể:
Định lý 2.4. Nếu (X
i
) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập (không nhất
thiết cùng phân bố) có: EX
i
= 0, DX
i
= σ
2
i
Đặt s
2
n
=
n

i=1
σ
i
2
, Γ
2+δ

n
=
n

i=1
E|X
i
|
2+δ
< ∞, δ ∈ (0, 1], W
n
=
n

i=1
X
i
s
n
Khi đó tồn tại hằng số C
δ
> 0 sao cho :
sup
x∈R
|P(W
n
≤ x) −Φ(x)| ≤ C
δ

Γ

n
s
n

2+δ
(2.4)
2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức Berry - Esseen đều
Trong mục này tác giả trình bày chứng minh định lý 2.4. Vì đây là
định lý tổng quát nhất cho trường hợp bất đẳng thức Berry - Esseen đều.
Để chứng minh định lý 2.4 ta cần sử dụng các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Nếu F là hàm phân phối, G là hàm thực khả vi thỏa mãn:
lim
x→−∞
G(x) = 0, lim
x→+∞
G(x) = 1, sup |G

(x)| ≤ M > 0
Khi đó với mọi T > 0 tồn tại hằng số c ∈ R sao cho :






∞

−∞

s

inx
x

2
H
c

2x
T

dx






≥ 2Mδ



π
2
− 3
∞

T δ/2

s
inx

x

2
dx



≥ 2Mδ

π
2
−
6
T δ

Với δ = sup
x
|F (x) − G(x)|/2M, H
c
(x) = F (x + c) −G(x + c)
Chứng minh. Theo giả thiết do F, G bị chặn nên δ hữu hạn và tích phân
ở vế trái của bất đẳng thức trên tồn tại.
Xét trường hợp không tầm thường δ > 0:
Do δ = sup
x
|F (x) − G(x)|/2M nên tồn tại dãy số thực (x
n
) sao cho:
|F (x
n

) − G(x
n
)| → 2Mδ
19
Từ giả thiết suy ra F (x) − G(x) → 0 khi x → ±∞ nên (x
n
) có
điểm giới hạn b nào đó. Do G liên tục nên F (b) − G(b) ≤ −2Mδ hoặc
F (b+) − G(b) ≥ 2Mδ. Đặt c = b - δ. Nếu |x| < δ thì theo định lí giá trị
trung bình ta có:
H
c
(x) = F (x + c) −G(x + c) = F (b + x − δ) − G(b + x − δ)
≤ F (b) − [G (b) + (x − δ)G

(θ)]
≤ −2Mδ + (δ − x)M = − M(x + δ)
Do đó:
δ

−δ
1−cos T x
x
2
H
c
(x)dx ≤ −M
δ

−δ

(x+δ)(1−cos T x)
x
2
dx
= −2Mδ
δ

0
1−cos T x
x
2
dx
= −2MδT

π
2
−
∞

T δ/2

s
inx
x

2
dx

Mặt khác:


|x|>δ
1−cos T x
x
2
H
c
(x)dx ≤ 2Mδ

|x|>δ
1−cos T x
x
2
dx
= 4MδT

∞

T δ/2

s
inx
x

2
dx

Không mất tính tổng quát, giả sử T đủ lớn để vế phải của bất đẳng thức
có tích phân dương. Khi đó:







∞

−∞






=







−

|x|≤δ
−

|x|>δ








≥ 2MδT



π
2
− 3
∞

T δ/2

s
inx
x

2
dx



Từ đó suy ra bất đẳng thức đầu.
Do
∞

T δ/2


s
inx
x

2
dx ≤
∞

T δ/2
1
x
2
dx = −
1
x



∞
T δ/2
=
2
T δ
nên ta có bất đẳng thức
thứ hai.
20
Bổ đề (2.1) được dùng để chứng minh bổ đề (2.2) sau đây:
Bổ đề 2.2. Nếu F là hàm phân phối, G là hàm thực khả vi thỏa mãn:
lim
x→−∞

G(x) = 0, lim
x→+∞
G(x) = 1, sup |G

(x)| ≤ M > 0
G có biến phân bị chặn trên R, F – G ∈ L
1
. Khi đó với mọi T > 0 thì:
sup
x∈R
|F(x) − G(x)| ≤
2
π
T

0




ϕ
F
(t) − ϕ
G
(t)
t





dt +
24M
πT
Với ϕ
F
, ϕ
G
là các biến đổi Fourier – Stieltjes của F và G
Chứng minh. Xét trường hợp không tầm thường: tích phân là hữu hạn.
ϕ
F
(t) − ϕ
G
(t) =
∞

−∞
e
itx
d[F (x) − G(x)] = −it
∞

−∞
e
itx
[F (x) − G(x)]dx
Do đó:
ϕ
F
(t) − ϕ

G
(t)
−it
.e
−itc
=
∞

−∞
H
c
(x)e
itx
dx
Do vế phải bị chặn, áp dụng định lí Fubini ta có:
T

−T
ϕ
F
(t)−ϕ
G
(t)
−it
.e
−itc
(T − |t|)dt =
T

−T

∞

−∞
H
c
(x)e
itx
(T − |t|)dxdt
=
∞

−∞
T

−T
e
itx
(T − |t|)H
c
(x)dtdx
=
∞

−∞
2(1−cos T x)
x
2
H
c
(x)dx

= 2T
∞

−∞

s
inx
x

2
H
c

2x
T

dx
Và do vậy:
∞

−∞

s
inx
x

2
H
c


2x
T

dx =
1
2T





T

−T
ϕ
F
(t)−ϕ
G
(t)
−it
.e
−itc
(T − |t|)dt





≤
1

2
T

−T



ϕ
F
(t)−ϕ
G
(t)
t



dt
=
T

0



ϕ
F
(t)−ϕ
G
(t)
t




dt
21
Theo bổ đề (2.1) thì:
T

0




ϕ
F
(t) − ϕ
G
(t)
t




dt ≥ 2Mδ(
π
2
−
6
T δ
)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.3. Giả sử (X
i
) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có: EX
i
= 0,
DX
i
= δ
2
i
. Gọi ϕ
∗
n
(t) là hàm đặc trưng của S
n
=
n

i=1
X
i
.
Đặt s
2
n
=
n

i=1

δ
i
2
, Γ
2+δ
n
=
n

i=1
γ
2+δ
i
, γ
2+δ
i
= E|X
i
− EX
i
|
2+δ
. Khi đó với
δ ∈ (0, 1] ta có:




ϕ
∗

n

t
s
n

− e
−t
2
/2




≤ 3




Γ
n
t
s
n




2+δ
e

−t
2
/2
, |t| ≤
s
n
2Γ
n
Chứng minh. Gọi ϕ
i
là hàm đặc trưng của X
i
, 1 ≤ i ≤ n. Khi đó ta có:
ϕ
i

t
s
n

= 1 −
t
2
δ
2
i
2s
2
n
+ θ


γ
i
|t|
s
n

2+δ
, |θ| ≤ 1
Với |t| ≤
s
n
2Γ
n
ta có



tδ
i
s
n



≤



tγ

i
s
n



≤



tΓ
n
s
n



<
1
2
do đó :





−
t
2
δ

2
i
2s
2
n
+ θ

γ
i
|t|
s
n

2+δ





≤
1
2
.
1
4
+
1
4
=
3

8
Mà ln(1 + z) = z +
4θ
5
|z|
2
với |z| ≤
3
8
, do đó :
ln ϕ
i

t
s
n

= −
t
2
δ
2
i
2s
2
n
+ θ

γ
i

|t|
s
n

2+δ
+
8θ
5

t
4
δ
4
i
4s
4
n
+



γ
i
|t|
s
n



4+2δ


= −
t
2
δ
2
i
2s
2
n
+ θ



γ
i
t
s
n



2+δ
[1 +
8
5
(
1
8
+

1
4
)]
Nên khi lấy tổng theo i ta có :
ln ϕ
∗
n

t
s
n

= −
t
2
2
+
8θ
5

Γ
i
|t|
s
n

2+δ
Suy ra:
ϕ
∗

n

t
s
n

= e
−
t
2
2
+
8θ
5

Γ
i
|t|
s
n

2+δ
22
Mặt khác, do |e
z
− 1| ≤ |z|e
|z|
nên :




ϕ
∗
n

t
s
n

− e
−t
2
/2



= e
−t
2
/2




e
8θ
5
(
Γ
n

|t|
s
n
)
2+δ
− 1




≤
8
5
e
−t
2
/2

Γ
n
|t|
s
n

2+δ
e
8
5
(
Γ

n
|t|
s
n
)
2+δ
≤
8
5

Γ
n
|t|
s
n

2+δ
e
−
t
2
2
+
2
5
< 3

Γ
n
|t|

s
n

2+δ
e
−t
2
/2
, |t| ≤
s
n
2Γ
n
Bổ đề 2.3 được dùng để chứng minh bổ đề 2.4 sau đây:
Bổ đề 2.4. Giả sử (X
i
) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có: EX
i
= 0,
DX
i
= δ
2
i
. Gọi ϕ
∗
n
(t) là hàm đặc trưng của S
n
=

n

i=1
X
i
.
Đặt s
2
n
=
n

i=1
δ
i
2
, Γ
2+δ
n
=
n

i=1
γ
2+δ
i
, γ
2+δ
i
= E|X

i
− EX
i
|
2+δ
.
Khi đó với |t| ≤

1
36

s
n
Γ
n

2+δ

1/δ
và δ ∈ (0, 1] thì:



ϕ
∗
n
(t/s
n
) − e
−t

2
/2



≤ 16

Γ
n
|t|
s
n

2+δ
e
−t
2
/3
Chứng minh. Nếu X
j
, X

j
là độc lập cùng phân phối, 1 ≤ j ≤ n, ta có:



ϕ
j


t
s
n




2
= Ee
it(X
j
−X

j
)
s
n
= 1 −
t
2
2s
2
n
E(X
j
− X
j

)
2

+ E



t
s
n
(X
j
− X

j
)



2+δ
Mà ta có (a + b)
p
≤ (a
p
+ b
p
)max(1, 2p − 1) với a > 0, b > 0, p > 0
Suy ra:
E





t
s
n
(X
j
− X

j
)




2+δ
≤




t
s
n




2+δ
2
2+δ
E|X

j
|
2+δ
Do vậy:



ϕ
j

t
s
n




2
≤ 1 −
t
2
δ
2
j
s
2
n
+ 2
2+δ




t
s
n



2+δ
E|X
j
|
2+δ
≤ 1 −
t
2
δ
2
j
s
2
n
+ 8



γ
j
t
s

n



2+δ
≤
e
−
t
2
δ
2
j
s
2
n
+8



γ
j
t
s
n



2+δ
Vì thế:

23



ϕ
∗
n

t
s
n




2
≤
e
−t
2
+8
|
Γ
n
t
s
n
|
2+δ
≤

e
−t
2
+2t
2
/9
≤
e
−2t
2
/3
với 36|t|
δ
≤

s
n
Γ
n

2+δ
Nếu |t| <
s
n
2Γ
n
thì theo bổ đề (2.3) ta có điều phải chứng minh.
Nếu |t| ≥
s
n

2Γ
n
thì ta có:



ϕ
∗
n
(t/s
n
) − e
−t
2
/2



≤ e
−t
2
/3
+ e
−t
2
/2
≤ 2e
−t
2
/3

≤ 16

Γ
n
|t|
s
n

2+δ
e
−t
2
/3
Chứng minh định lý 2.4
Chứng minh. Ta có: Φ

(x) =
1
√
2π
e
−x
2
/2
≤
1
√
2π
= M
Đặt F

n
(x) = P (W
n
≤ x) là hàm phân phối của W
n
. Khi đó F
n
−Φ ∈ L
1
.
Do đó trong bồ đề (2.2), lấy T
δ
=
1
36

s
n
Γ
n

2+δ
.
Sau đó áp dụng bổ đề (2.4) ta có:
sup
x∈R
|F
n
(x) − Φ(x)| ≤
2

π
T

0




ϕ
∗
n
(t/s
n
)−e
−t
2
/2
t




dt +
24M
πT
≤
2
π
T


0
16

Γ
n
s
n

2+δ
t
1+δ
e
−t
2
/3
dt +
24M
π

1
36

s
n
Γ
n

2+δ

−1/δ

≤ C

δ
.max


Γ
n
s
n

2+δ
,

Γ
n
s
n

1+(2/δ)

Do δ ∈ (0, 1] nên 2 + δ < 1 + (2/δ).
Nếu
Γ
n
s
n
≤ 1 thì chọn C
δ
= C


δ
, nếu
Γ
n
s
n
> 1 thì chọn C
δ
= C

δ

Γ
n
s
n

(2/δ)−1−δ
Từ đó ta được điều phải chứng minh.
2.2.4 Áp dụng định lý Berry – Esseen đều
2.2.4.1. Áp dụng với dãy Bernoulli
Dùng bất đẳng thức Berry – Esseen với (X
i
) là dãy Bernoulli ta suy ra
được định lí Moivre – Laplace.
Thật vậy: Cho (X
i
) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có:
P (X

i
= 1) = p, P (X
i
= 0) = 1 − p = q
24
Áp dụng định lý (2.1) cho dãy (X
i
) ta được:
σ
2
= pq, β
3
= (1 − p)
3
p + p
3
(1 − p) = pq(p
2
+ q
2
)
Do đó :
sup
x∈R
|P (W
n
≤ x) −Φ(x)| ≤ C
β
3
σ

3
.
√
n
= C
p
2
+ q
2
√
npq
(2.5)
Trong (2.5) thay x = a, x = b ta được :
|P (W
n
≤ a) −Φ(a)| ≤ C
a
p
2
+ q
2
√
npq
|P (W
n
≤ b) −Φ(b)| ≤ C
b
p
2
+ q

2
√
npq
Do vậy, với a, b ∈ R, a < b ta có:
|P
n
(a, b] − (Φ(b) − Φ(a))| = |P (W
n
≤ b) −P (W
n
≤ a) −(Φ(b) −Φ(a))|
≤ |P (W
n
≤ b) −Φ(b) −[P (W
n
≤ a) −Φ(a)]|
≤ |P (W
n
≤ b) −Φ(b)|+ |P(W
n
≤ a) −Φ(a)|
≤ C
b
p
2
+q
2
√
npq
+ C

a
p
2
+q
2
√
npq
≤ C
p
2
+q
2
√
npq
Suy ra:
|P
n
(a, b] − (Φ(b) − Φ(a))| ≤ C
p
2
+ q
2
√
npq
(2.6)
Công thức (2.6) chính là công thức Moivre - Laplace.
2.2.4.2. Áp dụng cho tổng Poisson
X
1
, X

2
, . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố với:
EX
1
= µ, DX
1
= δ
2
, E|X
1
|
3
< ∞
N
λ
là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson với tham số λ > 0. Giả sử với
mọi λ > 0 thì N
λ
và dãy X
1
, X
2
, . . . độc lập.
Đặt S
λ
= X
1
+ X
2
+ . . . + X

N
λ
. Nếu Nếu N
λ
= 0 thì đặt S
λ
= 0.
Khi đó: ES
λ
= λµ, DS
λ
= λ(µ
2
+ δ
2
).
25
Kí hiệu:
∼
S
λ
=
S
λ
−λµ
√
λ(µ
2
+δ
2

)
. Hàm phân bố của
∼
S
λ
là F
λ
(x).
Với các giả thiết trên của X
1
ta có bất đẳng thức sau thường được gọi là
bất đẳng thức giả Berry – Esseen:
Định lý 2.5. Tồn tại hằng số C < ∞ sao cho :
sup
x∈R
|F
λ
(x) − Φ(x)| ≤ C
β
3
(µ
2
+ δ
2
)
3/2
√
λ
(2.7)
Năm 1972 bất đẳng thức (2.7) được G.V. Rotar chứng minh đầu tiên

với C = 2.33. Năm 1993, R.Michel đã chỉ ra C ≤ 0.8. Kết quả tốt nhất
thuộc về Korolev và Shevtsova năm 2009 với C ≤ 0.3051.
2.3 Bất đẳng thức Berry – Esseen không đều
2.3.1 Trường hợp cùng phân bố
Năm 1945, Esseen dựa trên phương pháp Fourier đưa ra phát biểu đầu
tiên về ước lượng không đều cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với giới hạn về mô men bậc 3. Cụ thể:
Định lý 2.6. Cho X
1
, X
2
, . . . là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân bố có: EX
i
= 0, DX
i
= σ
2
, E|X
i
|
3
= β
3
< ∞. Khi đó tồn tại hằng
số C > 0 sao cho:
|P (W ≤ x) − Φ(x)| ≤
C
(1 + |x|
3

)
.
β
3
σ
3
.
√
n
(2.8)
Năm 1981, R.Michel đã chứng minh được C ≤ 30.84.
2.3.2 Trường hợp không cùng phân bố
Sau đó, Nagaev (năm 1965) và Bikelis (năm 1966) cùng nghiên cứu trong
trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập, không nhất thiết cùng phân bố
và đưa ra được:
26