Hệ phương trình Phần 3 có đáp án Hồ Văn Diên THPT Thái Lão Hưng Nguyên Nghệ An
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.75 MB, 63 trang )
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III)
201.
2
22
1 4 3 0
22 9 18 4 3 76
x x y y
x y x
202.
6 3 2 2
9 28 30
23
x y x y y
x x y
203.
22
2
33
3
x y x x y
x y x x
204.
23
2
22
12
1
log 1 1 log 2
x y x y
y
x
205.
2 2 2
2
13
1 3 0
x x xy y x y
y y xy x
206.
22
2
50
2 5 1 0
x y xy x y
xy y y
207.
22
2 2 3 2
2 2 3 0
2 3 2 6 1 0
x y x y
x xy y x y y
208.
2 2 4 2
2 4 3 3
227 2 2 5 1 454
x
y y x x x
y x x
209.
11 10 22 12
4 4 2 2
3
7 13 8 2 . 3 3 1
x xy y y
y x y x x y
210.
2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x
211.
2 4 2 4 2
2
2 2 1 2 3 2
3
x y xy y x y
x y x
212.
2
32
2 4 3 8 13
x x y
xy
213.
22
6
33
22
3 3 2. 3 10 3
2 4 5 3
x y x y x xy y
x x y y
214.
22
22
1 1 4
6 4 6
x x y y
x x y y
215.
3 3 2
3
3
1
32
4
2
2ln ln 2ln 0
3
x y xy y x
y x x x y
216.
22
3
3
1 2 1 2 2 1 2
68 15
x y xy
x
xy
217.
33
22
22
3 10 12
6
23
x xy y
xy
x x y
x y xy
218.
2
12
3 3 2
2 2 2 6
xy
x
x y x y
x y x y
219.
3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
220.
3 2 2
2 1 1
1 1 10
x x y x y y
x y y
221.
2 2 3
2
22
2 3 4 0
13
x y xy y x y
xy x y xy x y
222.
3 2 2 2 2 2 2
32
22
2 3 6 12 13
x y x y y x x x y
x x y x
223.
4
22
44
34
9
7
3
3ln 0
64 32 8 3
x y x y
xy
xy
x y x
y
224.
2
2
2
22
2
0
1
2 1 3
y
xy
xx
x
xy
y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 2
225.
22
22
11
2
2
11
2
xy
xy
yx
xy
226.
22
2
9 2 4
2
1 9 18
yx
xy
xy
xy
yx
227.
32
2
2 2 3 5 1 0
3 1 3 14 14
x y x y x y
y x x
228.
30 18 1
45 2 20 2
xy
yx
229.
2
2
2 2 2 2 2 2
2207 1 1
2 2 4 10 14 5
y y x
x y xy x y x xy y
230.
2
2
2 5 6 7 0
5 4 5 11 12 7
x y y
x y x y
231.
2 2 2 2
44
11
33
2
11
2
2
x y x y
xy
yx
xy
232.
22
22
9
5
53
65
x x y
x
x x y
xx
yy
233.
22
3 2 1 1 4 2 1
33
y y x y x y
y y x y
234.
33
33
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y xy
235.
2
2 7 10 3 1 1
3
12
1
y y x y y x
y x y
x
236.
22
3
1 1 2
72
29. 4
xy
xy
xy
xy
237.
2
4 2 3 2
1 4 2 5 2 1 5
3 ( ) 6
x y y x
x x y x y y
238.
10 10 4 4
8
yy
xx
xy
yx
x y x y
239.
22
22
22
22
3
2
1
2
2
1
x y x y
xy
y x x y
xy
240.
14
2
22
2
x y x y
x
x
x y x
y
y
y
241.
2
22
2
9 9 22 1
2 4 1 0
x x y y
x y y
242.
2
22
3
2
4 1 32 4
40 14 1
y x x x
x x y x
243.
4 3 4 1
2 3 4 5 4 1
x y y x
y x y x y x x y
244.
22
3 3 14
14 36
x y x y xy
x y x xy y
245.
32
2
2 2 1 1
4 2 1 4 1 0
y y x y x
x x y x y x
246.
2
2
2 3 17 13
2 4 10 13
x x xy
y y xy
247.
2
2 2 1 7 2
4 1 7 3
x y x y x x y
x x y
248.
25
34
x y xy x y xy
x y xy x y xy
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 3
249.
44
3 3 4 4
21
2
243
xy x y
x y x y
250.
2
2
1
2
15
1
1
12
y xy
y
x xy
x
251.
22
3 3 3
1 1 1 1 1
3 4 1 0
x y x x y y
x x x y x y
252.
22
4 2 2 4
x xy y x y
x x y y x y
253.
32
2
2 8 3 3 3 2
2 1 0
x x xy x y y
x x y
254.
22
42
2 2 3
x y x y
xy xy x y
255.
3
4
22
2 4 3 0
2 4 2 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y
256.
33
1
y x x
x y x
257.
3
3 2 2
2
3 4 4 45
2 3 4
x y y x y xy
xy x y
258.
2
2
12 2 4
1 2 5 2
xy
y y x
259.
3 2 3 2
2
3
1 3 2 1 3 3
3 5 2 1
x x y x xy y x y y
x y y x
260.
22
2 2 1 0
2 2 1
x y x y
x y y
261.
3
32
11
22
22
ln 2
yx
xy
xy
xx
e x y y x e
262.
22
55
33
3
31
7
x xy y
xy
xy
263.
22
22
2 5 3 4
3 3 1 0
x x x y y
x y x y
264.
23
22
6 2 35 0
5 5 2 5 13 0
x y y
x y xy x y
265.
33
3 3 3
8 6 2 6 13
5 2 6 2 1 0
y xy x y x
x x x y x y
266.
22
22
3
x y xy x y
xy
267.
1
2
2
2
1
2 9 6
4 18 20 1
2 9 8
x
y
xy
xx
x x y
xx
268.
3
2 2 2 2
22
3
2
76 20 2 4 8 1
x x y x x y
x y x x
269.
2
2 4 3 2
2 6 5 4 3
2 5 4 4
x x y
x y y y y
270.
3
3
1 2 9 5
5 1 1 3
xy y xy
xy y y
271.
3 2 2 3 2
2
12 3 7 3 7 2
2 3 5 0
y x xy x x y x y
x xy x
272.
3
2
3 55 64
3 3 12 51
xy
xy y y x
273.
2
2
1 2007
1
2007
1
y
x
xx
yy
274.
22
3
4 1 4
4
21
x x y
xy
xy
xy
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 4
275.
2 2 2
22
3 2 5 2 1 2 1 2 2
2 2 4 3
x x x x y y y
x y x y
276.
22
2 2 8
2
x y y x
xy
277.
2
2
3
3
2
3
3
7
7 7 0
2
3 35 98
3 21 7 2
7
xx
y x y x
xx
x y x y
x
278.
2
2
11
1
1 2 1 7 2
24
3 1 3 1
xy
xy
yx
xy
y
x
yx
279.
2
2
2 2 1 34 2
2 2 1 34 2
x x y xy x
y x y xy y
280.
3 4 2
3 4 2
x y xy x
y x yx y
281.
22
33
2
2 1 2 log 2 log 2
4 4 32.2 260
x x y
xy
xy
yx
282.
22
2 2 2 2
6 3 7
3 6 2
x y y x xy
x x y y x y
283.
2
22
11
32 1 2 1 0
x x x x y y
x x x y
284.
2
2 4 1 2
12 19
xy
x x y
285.
22
2 1 4
1 2 1
x y x y
x x y y y x
286.
22
1
2 1 4 3
xy
x y xy
287.
3 2 3 2
2
3 2 3
3 2 8
x x y y
x y y
288.
2
2 4 1 2
12 19
xy
x x y
289.
3
3
2010 2011 2012 2013 1
2010. 4024 2012
xy
xy
290.
3 2 2 2
3 2 2 2
3 1 2
3 1 2
x xy x y xy x
y yx y y xy x
291.
3 3 2
22
3 17 27 3 13
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
292.
4
13 4
32
x y x
x y x y
293.
22
22
3 4 18 22 31 0
2 4 2 6 46 175 0
x y xy x y
x y xy x y
294.
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
295.
33
2
2
32
2
74
log log 2
2
2
4 2 1 6
6 11
x
yx
xy
y y x y
xy
x
296.
22
1
1 1 1
4
xy
x
xy
x y x y
xy
297.
4 3 2
4 3 2
2 11 12 41
2 11 12 31
x x y y
y y x x
298.
2
2
1 2 3 7 2
6 2 7
x x x y
y x y
299.
2 2 2 2 3
5
22
1 4 4 1 1 8
8 4 2 0
x x y x y x y
x y x y x
300.
34
2 2 3
28
2 18 2
y x x
xy x y x
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 5
CÁC BÀI GIẢI
Bài 201: Điều kiện
3y
và
34x
.
Không khó để phát hiện ra hàm số ở phương trình thứ nhất của hệ. Phương trình thứ nhất của
hệ tương đương với:
2
1 4 3x x y y
(*).
Xét hàm số
2
1f t t t
trên . Hàm số có đạo hàm
2
' 3 1 0f t t
nên hàm số
ft
đồng biến trên . Mặt khác (*) có dạng:
22
00
33
33
xx
f x f y x y
y x y x
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
2
22
22 9 3 18 4 3 76x x x
(**).
Nhận thấy x = 0 và x =
4
3
đều không là nghiệm của (**).
Xét hàm số
2
22
22 9 3 18 4 3g x x x x
trên
4
0;
3
. Hàm số có đạo hàm:
32
27 16 27 4 4 27
' 36 64 36 36
9 3 3
4 3 4 3 4 3
g x x x x x x x x
x x x
Với
4
0;
3
x
thì
'0gx
(do
44
0
33
x x x
và
27
0
43x
) nên hàm số
gx
nghịch biến trên
4
0;
3
. Mặt khác thấy
1 76f
nên (**)
2
1 3 2x y x
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
, 1;2xy
Bài 202: Điều kiện
2 3 0x
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2
6 2 3 2 2 2
9 28 30 1 3 3 1x x y y y x x y y
(*).
Xét hàm số
2
1f t t t
trên . Hàm số có đạo hàm
2
' 3 1 0f t t
nên hàm số
ft
đồng biến trên . Mặt khác (*) có dạng:
2 2 2
3 3 3f x f y x y y x
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
22
2 3 3 2 3 3x x x x x x
2
2
2
2
2
30
30
36
3 1 2
21
3 2 3
xx
xx
xy
x x x
xy
x x x
Vậy nghiệm của hệ là
, 3;6 , 2;1xy
Cách giải khác: Khi nhẩm được một nghiệm của phương trình là x = 3:
22
2 3 3 6 3 2 3 0x x x x x x
62
3 2 0
2 3 3
x
xx
x
3
2
3 2 0
2
2 0 (**)
2 3 3
2 3 3
x
xx
x
x
x
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 6
+) Với x = 3 thì y = 6.
+) (**) tương đương với
2 2 3 3 2xx
.
Với
3
;
2
x
thì hàm số
2 2 3 3g x x x
đồng biến (dễ thấy khi x tăng thì
gx
tăng). Mặt khác ta lại có
20g
nên (**)
21xy
.
Cách làm này có thể chấp nhận được nhưng dường như chưa thuyết phục! Bởi vì nghiệm
2x
thì không phải ai cũng nhẩm được mà phải sử dụng đến máy tính bỏ túi.
Bài 203: Điều kiện
0x
và
2
0xy
.
Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
22
2 2 2 2
22
3
33
3
x y x
x x x y x x y x x
x y x
(*).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
22
3 3 3 3x x x x x x
.
Đến đây để bài làm gọn ta dùng cách đánh giá:
+) Nếu
01x
thì
22
3 1 3 1 3xx
, không thỏa mãn.
+) x = 1 thỏa mãn.
+) Nếu
1x
thì
2
33xx
, không thỏa mãn nốt.
Vậy x = 1, thay vào (*) ta được:
1 3 8yy
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
, 1;8xy
Bài 204: Điều kiện
0x
và
1
20
x
1
2
x
hoặc
0x
.
Với điều kiện trên thì phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
2 2 2
22
22
log 1 log 4 1 4 3 2y y xy x
xx
.
Lúc này hệ được viết lại thành:
23
23
2
2
12
2 2 (1)
3 2 ( 2)
32
x y x y
x y xy x y
x xy
x xy
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:
2 3 2 2 3 2
0x y x xy xy y x xy y xy x y
22
2
0 1 0
10
xy
x x y y x y x y x y x y
xy
+) Với x = y thay vào (2) ta được:
2
3
1
3 2 2 1 0
2
xy
x x x x
xy
(thỏa mãn)
+) Với
22
1 0 1x y y x
, thay vào (2) ta có:
2
3 2 1 2 2 0 1 3x x x x x x
(thỏa mãn điều kiện).
– Nếu
13x
thì
2
62
1 2 3 2 3
2
y x y
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 7
– Nếu
13x
thì
2
62
2 3 2 3
2
yy
.
Vậy nghiệm của hệ là
6 2 6 2
, 1; 1 , 2;2 , 1 3; , 1 3;
22
xy
Bài 205: Nếu x = 0 thì hệ trở thành:
2
2
3
0
10
yy
y
yy
.
Nếu x khác 0 thì phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
2
1
3
yy
xy
x
.
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
22
2 2 2 2 2 4 2 2 2
1
11
yy
x x x y x x y y x x y
x
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 0x y x y x x y x y x y x
22
10x y x
(do
0x
nên
22
0xy
)
22
1y x x
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
3
3 0 2 3 0 2 3 0
12
y x x xy x x xy y xy y y
x
.
(dễ thấy x =
1
2
thì phương trình trên trở thành 3 = 0, vô lý
1
2
x
)
Lại tiếp tục thế vào y phương trình thứ nhất ta được:
2
22
3 3 3
1 3 .
1 2 1 2 1 2
x
x x x
x x x
2
3 3 3
1 3 0
1 2 1 2 1 2
x
x x x
x x x
2
33
1 . 0
1 2 1 2
x
x x x
xx
2
2 2 4 3 2
2
9
1 0 1 2 1 9 0 4 8 3 10 0
12
x x x x x x x x x
x
2
3
21
12
2 1 4 4 5 0
3
11
12
xy
x
x x x x
xy
x
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ là
, 0;0 , 2; 1 , 1;1xy
Bài 206: Rõ ràng thấy y = 0 không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ nên y phải khác 0.
Lúc này phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
2
51
2
yy
x
y
.
Thế x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
2 2 2
2
5 1 5 1 5 1
. . 5 0
2 2 2
y y y y y y
y y y
y y y
2
2 2 2 2 2
5 1 2 5 1 . 2 5 1 20 0y y y y y y y y
(nhân hai vế với 4y)
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 8
2
4 2 2
3 5 5 1 5 1
3 1 0
2 2 2
y y y y
hoặc
51
2
y
5 1 5 5
22
5 1 5 5
22
yx
yx
hoặc
5 1 5 5
22
1 5 5 5
22
yx
yx
Vậy hệ có bốn nghiệm là
5 5 5 1 5 5 5 1
, ; , ;
2 2 2 2
xy
Bài 207: Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất vế theo vế ta được:
2 2 3 2
2 2 2 3 3 2 6 1 0xy y x y y x y y
2 2 3 2
2 2 2 3 3 2 6 1 0xy xy x y xy x y y
2
2 3 2
2 2 3 1 0 1 2 1 2 1 1 0xy xy x y y x y y y y
1
1 2 1 1 0 1 1
2
y y x y y y y x
.
+) Với
1y
, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
3 0 3xx
.
+) Với
1
2
y
, thay vào phương trình thứ nhất của hệ:
2
3 3 2 3
3
42
x x x
.
+) Với
1yx
, thay vào phương trình thứ nhất của hệ:
2
2 2 2
2 3 1 0 4 6 3 0x x x x x
, vô nghiệm do
0
.
Vậy hệ có bốn nghiệm là
3 2 3 1
, 3; 1 , ;
22
xy
Cách giải khác: Phân tích hệ để đưa hai phương trình trong hệ về dạng:
2
2
2
2 2 0
2 3 1 0
x y x y
x y x y
Đến đây ta đặt ẩn phụ
a x y
và
2
2b x y
để giải hệ hai ẩn.
Dường như cách giải này có vẻ “có hệ thống” hơn, bởi vì không dễ gì phát hiện được việc phải
trừ hai vế của hệ cho nhau.
Bài 208: Điều kiện
2 5 2yx
. Biến đổi phương trình thứ nhất:
2 2 4 2 3 6 2 4
2 4 3 3 8 6 3 0y y x x x y x x y x
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2
2 4 2 3 2 0 2 4 2 3 0y x y yx x x y x y x y yx x x
2
2
2
2
2 2 4 2
2 2 2
2
20
2
0
4 2 3 0
3 3 0
yx
yx
yx
xy
y yx x x
x y y x
Rõ ràng x = y = 0 không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ, loại.
Thế
2
2yx
vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
227 2 5 1 454
x
x x x
(*).
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 9
Xét hàm số
2
227 2 5 1
x
f x x x x
trên .
Đạo hàm
2
2
1
' 227 . 1 2 5 1 .227 ln227
25
xx
x
f x x x x
xx
.
2
2
2
1 2 5
' 227 . 2 5 1 .227 ln227
25
xx
x x x
f x x x x
xx
.
2
2
1
' 227 1 2 5 ln227
25
x
f x x x x
xx
.
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1
ln227 ln227 0
2
2 5 2 5
14
x x x x
x
.
22
2
1 2 5 1 1 5 1 1 1 1 0x x x x x x x x x
.
Từ hai điều này suy ra
'0f x x
. Mặt khác
1 454f
nên phương trình (*) có
nghiệm duy nhất là
2
1
1
22
x
xy
.
Vậy nghiệm của hệ là
1
, 1;
2
xy
Bài 209: Với y = 0 thì thay vào phương trình thứ nhất ta được x = 0. Rõ ràng cặp số này không
thỏa mãn hệ, vậy nên ta phải có y khác 0.
Lúc này chia hai vế của phương trình thứ nhất cho
11
y
ta được:
11
11
xx
yy
yy
(*).
Xét hàm số
11
f t t t
trên . Đạo hàm
10
' 11 1 0f t t
nên đồng biến trên . Mặt
khác (*) lại có dạng
2
xx
f f y y y x
yy
(suy ra x > 0).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 2 2
3
3
2 3 2
7 13 8 3 1
7 13 8 2 . 3 3 1 2. 3x x x x x x
x x x x x
3
3 2 2 2
8 12 10 1 3 1 3
3 3 2. 3
x x x x x x x
3
3
22
2 2 1 3 1 3
1 2. 1 3 2. 3
x x x x x x
Xét hàm số
3
2g t t t
trên . Hàm số có đạo hàm
2
' 3 2 0g t t
nên hàm số
gt
đồng biến trên . Mặt khác (*) có dạng:
3
33
2 2 2
2 1 3 2 1 3 2 1 3
1 3 1 3 1 3gg
x x x x x x x x x
3 2 2
8 13 3 1 8 1 1 5 89
2 0 1 5 2 0 1
16
x
x x x x x x x
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 10
Do x > 0 nên
1
0
x
, ta chỉ lấy
1 5 89 5 89 5 89
16 4 2
x y x
x
.
Vậy nghiệm của hệ là
5 89 5 89
,;
42
xy
Bài 210: Điều kiện
4, 3x y x
và
4xy
.
Bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta thu được:
2
2 2 2
2 2 4 2 2 2 4x x y x y y x x y y x x y
(do
32y x x
)
2
4 4 0 4 4 0 4 4 0y xy y y y x y x
(do
30yx
)
44yx
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
22
16 2 4 16 3 1 4 0x x x x
2
22
25 5 5 1
0 5 0
1 4 1 4
16 3 16 3
x x x
x
xx
xx
5x
(thỏa mãn)
(Dễ thấy
22
5 5 5 1
1
3
14
16 3 3
x x x
x
x
xx
nên biểu thức trong ngoặc vuông luôn
dương)
Với x = 5 thì ta tìm được y = 16.
Vậy nghiệm của hệ là
, 5;16xy
Bài 211: Điều kiện
2
xy
và
2 4 2 4
21x y xy y
.
Thấy rằng
2
2 4 2 4 2 4
2 1 1x y xy y xy y
, nên khi ta nhân liên hợp với “lượng chứa
căn” ở vế trái phương trình thứ nhất thì sẽ được dạng hiệu của hai bình phương chính là
2
24
19xy y
. Biểu thức này lại có liên hệ với
2
3y
ở vế trái, vì vậy ta thử thực hiện phép
nhân liên hợp. Điều chú ý là khi thực hiện phép nhân liên hợp này thì phải chú ý đến điều kiện
của biểu thức liên hợp khác 0.
(+) Nếu y = 0 thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
2 1 0
, vô lý!
(+) Nếu y khác 0 thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2 4 2 4 2 2
2 1 2 2 2 3 2 0x y xy y y x y
2
24
22
2
2 4 2
19
2 3 1 0
1 2 2
xy y
y xy
xy y y
2 2 2 2
22
2
2 4 2
1 3 1 3
2 1 3 0
1 2 2
xy y xy y
xy y
xy y y
22
22
2
2 4 2
13
1 3 2 0
1 2 2
xy y
xy y
xy y y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 11
22
22
2
2 4 2
13
1 3 0 (*) 2
1 2 2
xy y
xy y
xy y y
(**).
Để mạch giải được liên tục ta sẽ xử lý (**) trước. Nhận thấy phương trình này là phương trình
đồng bậc nên để dễ nhìn ta đặt
2
1a xy
và
2
by
1; 0ab
. Lúc này (**) trở thành:
2
22
22
2 2 4 2 1 2 1 4 2
22
a b a a
a b a b b
bb
a b b
(***).
Đặt
1
a
tt
b
thì phương trình (***) trở thành:
2
2
2
2
4 2 1
4 2 1
1 4 2 2 1
3 2 4 2 1 37 8 2 0
1 4 2 4 1
t
t
tt
tt
tt
Hệ này vô nghiệm, tức là (**) không xảy ra.
Vậy
2 2 2 2
1
1 3 0 3 1
3
xy y y x y
x
(dễ thấy x khác 3).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
2
2
3
1 1 3
33
13
33
3
3
x
xx
x x x
xx
xx
x
x
3
2
2
3
3
2
2 8 14 0
3 1 3 0
42
x
x
x
x x x
x x x
x
+) Với x = 2 thì
2
11yy
, thỏa mãn các điều kiện.
+) Với
42x
thì
2
2 1 1 2yy
, thỏa mãn các điều kiện.
Vậy hệ có các nghiệm là
2 ; 1 , 4 2 ; 1 2x
Cách giải khác: Đầu tiên ta cũng có thể đặt ẩn phụ a , b như trên và đưa phương trình thứ nhất
về dạng:
22
2 2 2 6a b a b
và giải phương trình đẳng cấp này cũng thu được kết quả
như trên.
Bài 212: Điều kiện
0 , 8xy
và
2
30xy
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwart:
2
2 2 2
13 2 4 3 8 2 3 4 8 1x y x y x y
(*).
Phương trình thứ nhất của hệ tương đường với:
2 2 2 2
3 2 3 4 1 2 3 1x x y x x y x y x x x y
(**).
Từ (*) và (**), ta có dấu đẳng thức ở các bất đẳng thức trên đề phải xảy ra, tức là:
22
30
0
8
4
1
23
x x x y
x
y
x
y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 12
Thử lại thấy đây là nghiệm của hệ.
Như vậy hệ có nghiệm duy nhất là
, 0 ;1xy
Bài 213: Điều kiện
22
3 10 3 0 3 3 0x xy y x y x y
.
Nhận xét thêm
33
3 3 0x y x y
, kết hợp với điều kiện ta có
30
30
xy
xy
(*)
Lúc này phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2
3 6 6 3 6 6
3 2. 3 . 3 3 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y
66
3 3 3 3x y x y x y x y x y
.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
22
2 4 5 3x x x x
(**).
Ta giải nhanh (**) bằng cách nhân lượng liên hợp:
(**)
2 2 2
2 4 5 4 1 2 4 5 2 1x x x x x x x x
2
2
22
2
4 5 2
2 2 4 5 2 4 5 4
4 5 2
x x x
x x x x x x x
x x x
2
4 9 0 2 15x x x
.
(+) Nếu
2 15x
thì
2 15y
, không thỏa mãn điều kiện (*).
(+) Nếu
2 15x
thì
2 15y
, thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của hệ là
, 2 15;2 15xy
Bài 214: Điều kiện
2
1yy
.
Hệ này thực ra là một hệ dễ, nhưng với vẻ bề ngoài lại nhìn có vẻ “không dễ”!
Thật vậy nếu ta đặt
2
1a x x
và
2
3
1 , 0
4
b y y a b
thì hệ đã trở thành:
22
22
22
44
4
5 4 5 6 4 5 6 5
5 5 6
b a b a
ab
a a a a
ab
22
2
2 2 2
4
4
5 6 31
4 5 36 5 12 5 2 5 3 5
ba
ba
aa
a a a a a
22
2
44
22
2
31 31
2
55
5 20 20 0
2 5 9 5
b a b a
a
aa
b
aa
aa
(thỏa mãn)
Với
2ab
thì
2
2 2 2
2
1 13
30
2
1 1 4
50
1 21
2
x
xx
x x y y a
yy
y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 13
Vậy hệ có bốn nghiệm là
1 13 1 21
,;
22
xy
Bài 215: Điều kiện
,0xy
và
2ln 0xy
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2 2 2 2
11
3 0 3 0
44
x y x xy y x y x y x xy y x y
.
(dễ thấy
2
2 2 2 2
1 1 5 1 1
30
4 2 2 2 4
x xy y x y x y
).
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
3
3
2
2ln ln 2ln 0
3
x x x x x
.
3
33
2ln 2ln 2ln 2ln 2lnx x x x x x x x x
(*).
Xét hàm số
3
2lnf t t t t
trên
0;
.
Hàm số có đạo hàm:
2
2
' 3 1 0 0;f t t t
t
nên hàm số đồng biến trên
0;
.
Mặt khác (*) có dạng
3
33
2ln 2ln 2ln 0f x f x x x x x x x x
(**).
Tiếp tục xét hàm số
3
2lng x x x x
trên
0;
.
Hàm số có đạo hàm:
2
2
' 3 1g x x
x
.
Ta có:
3
32
32
' 0 0 3 2 0 1 3 3 2 0 1
xx
g x x x x x x x
x
.
Lập bảng biến thiên, ta thấy
10g x g
. Phương trình (**) lại có dạng
0gx
nên nó
phải tương đương với x = 1. Từ đây suy ra y = 1.
Vậy nghiệm của hệ là
, 1;1xy
Cách giải khác: Khi giải (*), có thể đặt ẩn phụ
3
2lny x x
và đưa về hệ đối xứng:
3
33
3
2ln
2ln 2ln
2ln
x y y
x x x y y y
y x x
(trừ hai phương trình trong hệ).
Từ đây tương tự ta cũng xét hàm và suy ra rằng
xy
.
Bài 216: Điều kiện
1 2 0xy
. Ta sẽ dùng bất đẳng thức để xử lý phương trình thứ nhất:
2 2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2x y x y x y
(*).
(đây là bất đẳng thức véctơ thường được sử dụng).
Ta lại có
2
2
2
1 1 2 2 4 2.2 2 1 2 2 1 2x y xy xy xy
(**).
Từ (*) và (**) ta suy ra
22
1 2 1 2 2 1 2x y xy
.
Như vậy nên phương trình thứ nhất của hệ phải tương đương với:
0
0
xy
xy
xy
.
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 14
3 6 2 6 2
3
68 1 5
68 15 15 2 17 0x x x x x
xx
2 4 2 2
17 . 17 2 0 17x x x x
(đã loại
2
17 3
0
2
x
, vô lý).
4
17x
.
Đến đây ta kết luận hệ có hai nghiệm là
4 4 4 4
, 17; 17 , 17; 17xy
Cách giải khác: Có nhiều cách dùng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức ở trên, ví dụ là
dùng biến đổi tương đương phương trình thứ nhất (bình phương hai vế):
2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2x y x y xy
2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 4x y x y xy
.
Ta có:
22
22
1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 (Cauchy Schwart)
x y xy
x y xy xy
Từ đây ta cũng suy ra
xy
0
.
Bài 217: Điều kiện
0xy
và
22
0xy
.
Nhận thấy trong tất cả ba số hạng ở phương trình thứ hai của hệ (không kể hệ số tự do) thì
chúng đều có bậc là 1. Nhận xét thêm phương trình thứ nhất của hệ có vế phải chứa một đa thức
bậc 1. Vì vậy ta hoàn toàn có thể đưa hệ phương trình trên về dạng đẳng cấp. Và để bài giải
được gọn hơn, ta sẽ đánh giá như sau:
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:
22
22
22
6 . 2 3 0
x y xy
x x y x y
x y xy
(*).
Ta thấy rằng nếu x < 0 thì
0y
. Lúc này thì
22
22
6 . 0
x y xy
x x y
x y xy
, mâu thuẫn (*).
Như vậy ta phải có
00xy
. Thế số 3 ở phương trình thứ hai như sau:
33
22
22
6
3 10
2
4
xy
x xy y
x x y
x y xy
3
3
2
2
2
2
3
61
10 1
21
4
1
x
xx
y
yy
xx
xx
yy
yy
(*) (do
0y
).
Đến đây ta đặt
0
x
t
y
thì (*) trở thành:
3
2
2
61
3 10 1
21
14
t
tt
tt
tt
(**).
Đến đây ta nhẩm được nghiệm là t = 1. Thế nhưng nếu dùng nhân liên hợp thông thường thì
dường như cũng không có kết quả. Sử dụng đạo hàm cũng không khả quan. Ta nghĩ đến sử
dụng bất đẳng thức. Biến đổi (**) thành:
3
2
2
61
15
21
4 1 2
t
tt
t
tt
(***).
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 15
Ta sẽ phân tích một chút để sử dụng bất đẳng thức. Thử các giá trị của x vào thì ta thấy rằng vế
trái lớn hơn vế phải. Như vậy ta sẽ chứng minh vế trái lớn hơn hoặc bằng vế phải. Có thêm các
nhận xét sau:
– Bậc cao nhất của vế trái là bậc nhất. Và bậc cao nhất của vế phải cũng là bậc nhất.
– Vế phải chứa đến hai dấu căn làm ta liên tưởng đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy,
nhưng một điều rắc rối khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy với số hạng
2
21t
thì sẽ làm
tăng bậc của nó (thành bậc hai, cụ thể:
2
2
21
21
2
t
t
). Vì vậy khi chứng minh thì ta
nên bình phương hai vế lên. Và để gọn gàng thì ta sẽ cố gắng quy số hạng
5
2
t
bé hơn hoặc
bằng một bội nào đó của
2
21t
để việc bình phương trở nên gọn nhẹ.
Ta có:
2
2
5 5 1 5
. . 2 1
2 2 2 4
tt
t
, từ đây suy ra:
22
59
2 1 . 2 1
24
t
tt
.
Bây giờ ta sẽ đi chứng minh rằng:
3
2
2
61
91
. 2 1
4 4 1
t
t
t
tt
(1).
Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với:
(1)
2 2 2 3
9 1 2 1 1 1 24 1t t t t t t t
22
2 2 3 2
81.2 1 1 25 2 2 25t t t t t t
6 5 4 3 2
436 244 544 610 544 244 463 0t t t t t t
2
4 3 2
1 4 63 702 379 702 463 0t t t t t
, luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. Suy ra
3
2
2
61
51
21
2 4 1
t
tt
t
tt
. Vậy nên nếu muốn có (***) thì
dấu bằng tại (1) phải xảy ra, tức là t = 1. Thử lại t = 1 thỏa mãn (***).
Với t = 1 thì
xy
. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ tìm được x = y = 1. Đây cũng chính
là nghiệm duy nhất của hệ.
Vậy nghiệm của hệ là
, 1;1xy
Nhận xét: Bài toán trên sử dụng phương pháp đồng bậc, khá rắc rối về mặt biến đổi. Lời giải có
thể gọn hơn như sau:
Ta có:
12 3 10 3 10. 8 4 2 3
2
xy
x xy y x y x y x y
.
Suy ra
2 2 2 2
2 3 2 2x y x y x y
.
Ta sẽ chứng minh:
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
66
2 2 2
x y x y
x y x y x x y x y
x y xy x y xy
.
Để chứng minh điều này ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn là:
33
2 2 2 2 2 2 3 3
22
6
2 2 2 3
xy
x y x y xy x y x y
x y xy
(2).
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 16
Chia hai vế của (2) cho
3
y
và đặt
x
t
y
thì (2) trở thành:
22
2 2 3 2 2 3
1 2 1 3 1 2 1 1 9 1t t t t t t t t
2
6 5 4 3 2 4 3 2
7 4 8 10 8 4 7 0 1 7 10 5 10 7 0t t t t t t t t t t t
, luôn đúng.
* Bài toán gốc của bài hệ trên có đề bài là
33
22
22
3 10 12
6
23
x xy y
xy
x x y
x y xy
Với đề bài như thế này thì chúng ta sẽ không áp dụng được bất đẳng thức Cauchy cho số hạng
10 xy
giống như trên do không biết x , y dương hay âm. Thật vậy, nếu x không âm thì có thể
áp dụng, thế nhưng ta thấy nếu x âm thì bất phương trình thứ hai nằm trong hệ sẽ luôn đúng, tức
là xem như bất phương trình cho ta một điều hiển nhiên. Lúc này, x âm thì y sẽ âm, và từ đó ta
sẽ tìm được vô số nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ, tức là hệ có vô số nghiệm.
Bài 218: Điều kiện
3 , 0xx
và
0y
.
Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ là phương trình đẳng cấp.
Đặt
y tx
(
0t
) thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
22
2
22
2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 2 2 1 2 1
2 3 1
3 3 2 3 3 2
2
x x tx t t t t
t t t
x t x x t x t x t t
tx
2
4 3 2 2
3 4 0 2 1 0 2 0 2 2t t t t t t t t y x
(x > 0)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
2 2 2
2 2 2 2 6 4 4 8 2 6 4 8 2 6x x x x x x x x x x
2
2 2 2
1 1 1 1
4 8 2. 4 8 . 2 6 2. 4 8 .
2 4 2 4
x x x x x x x
2 2 2
2 2 2
1 25 1 5
4 8 4 10 4 8 2
2 4 2 2
x x x x x x x
2
2
2
2
15
4 8 2
4 6 2 0
22
15
4 10 3 0
4 8 2
22
x x x
xx
xx
x x x
Hệ thống trên chỉ có duy nhất một nghiệm dương là
2
3 17 13 3 17
4 4 32
x
xy
.
Vậy nghiệm duy nhất của hệ là
17 3 13 3 17
,;
4 32
xy
Bài 219: Điều kiện
2x
và
3
2
y
.
Nhận xét rằng x = 0 làm phương trình thứ nhất của hệ trở thành điều vô lý nên suy ra x khác 0.
Với x khác 0 thì ta có thể chia hai vế của phương trình thứ nhất cho
3
x
ta được:
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 17
2 3 2
4 3 1 1 2 1
2 2 2 3 2 2 1 4 2 3 2y y y y
x x x x x x
(*).
Xét hàm số
2
1f t t t
trên . Hàm số có đạo hàm
2
' 3 1 0f t t
nên hàm số đồng
biến trên . Mặt khác (*) có dạng
1
1 3 2f f y
x
nên (*)
1
1 3 2y
x
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
33
3
1
2 14 1 1 2 15 1 2 15 1 0x x x x x x
x
(**).
Xét hàm số
3
2 15 1g t x x
trên
D 2;
.
Hàm số liên tục trên D và có đạo hàm
2
3
11
' 0 D \ 2;15
22
3. 15
g t x
x
x
nên
gt
đồng biến trên D. Mặt khác ta có
70g
nên (**)
7x
.
Với x = 7, thay lại ta được:
1 49 143
1 3 2 3 2
7 64 128
y y y
.
Vậy nghiệm của hệ là
143
, 7;
128
xy
Bài 220: Điều kiện
2
1, 2 1 0y x y
và nhận xét thêm
1 0 1x y x y
.
Với điều kiện trên thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2
2
3 2 2 2
2
2 1 1
2 1 1 0 0
2 1 1
x y y
x x y x y y x x y
x y y
22
22
22
00
2 1 1 2 1 1
x y x y
x x y x y x x y
x y y x y y
.
(với
1xy
và
10y
thì biểu thức trong dấu ngoặc vuông luôn dương).
Với x = y, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 1 1 10xx
(*).
Đặt
2
1 0 1t x x t
. Phương trình (*) trở thành:
2 3 2
2 3 10 2 3 10 0 2 2 4 5 0 2t t t t t t t t
(thỏa mãn).
Với t = 2 thì x = y = 3.
Vậy nghiệm của hệ là
, 3;3xy
Bài 221: Bài toán này tương tự câu 3 Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2011 – 2012.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 0xy x y xy x y x y xy xy
2 2 2 2
1 1 0 1 1xy x y xy x y
.
(+) Nếu xy = –1 thì thế lên phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2 2 3 2 2 3 2 2
2 3 4 0 3 6 3 0 3 2 0x y xy y xy x y x y xy y y x xy y
22
3 0 0y x y x y x y
(dễ thấy với xy = –1 thì y khác 0).
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 18
Thế x = –y trở lại vào xy = –1 ta được:
2
11
1
11
yx
y
yx
(+) Nếu
22
1xy
, thế lên phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 3 4 0 4 5 2 0x y xy y x y x y x x y xy y
(*).
+) Nếu y = 0 thì thay vào (*) ta được x = 0. Cặp số này không là nghiệm của hệ.
+) Nếu y khác 0 thì chia hai vế của (*) cho
3
y
ta được:
3 2 2
3 2 2
4 5 2 4
1 0 1 1 0 1 0 1
x x x x x x x x
yx
y y y y y y y y
.
(dễ thấy
2
2
2
4 1 1
1 1 0
22
x x x
y y y
).
Với y = –x, thay vào
22
1xy
ta được
2
22
22
21
22
22
xy
x
xy
Vậy hệ có các nghiệm
2 2 2 2
, 1; 1 , 1 ;1 , ; , ;
2 2 2 2
xy
Bài 222: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 0 1 1 2 1 0x y x y y x y x x x y x y x x x
2 2 2
2 2 2
1
1 2 0
2
x
x x y y x
x y y x
+) Nếu x = –1 thì thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
13
1 6 25
3
yy
.
+) Nếu
2 2 2
2x y y x
(dễ thấy x
0)
2
2 2 2
22
21
1 2 1
11
xx
y x x y
xx
.
Từ đây cũng suy ra
11y
10y
.
Phương trình thứ hai của hệ lại được viết lại thành:
2
32
2 3 12 7 6 6 0 2 7 1 6 1 0x x x y x x y
(*).
Do x
0 và
10y
nên vế trái của (*) luôn không âm, vì vậy nên:
(*)
2
1
2 7 1 0
1
10
x
xx
y
y
Thử lại thấy chính là nghiệm của hệ phương trình.
Vậy hệ có hai nghiệm là
13
, 1; 1 , 1;
3
xy
Bài 223: Điều kiện
3 3 0xy
.
Đặt t = x + y thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
2
4 4 2
3 4 4 3 0 1 2 3 0 1t t t t t t t t
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 19
(không khó để nhận thấy rằng
2
2
2 3 1 2 0t t t
)
Với t = 1 thì x + y = 1
1yx
. Thay vào điều kiện ta có:
3 1 3 0 3 2 0 2 3x x x x x
.
Tương tự ta cũng tìm được điều kiện của y là
23y
.
Với điều kiện trên thì phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
22
44
9
7
3ln 3 3ln 3 0
64 32 8
xy
xy
xy
xy
4 2 4 2
9 7 9 7
3ln 3 3ln 3
64 32 8 64 32 8
x x x y y y
xy
(1)
Xét hàm số
42
97
ln 3
64 32 8
t t t
f t t
trên
D 2;3
. Hàm số có đạo hàm:
2
2
3 4 3 2
16
9 7 3 3 9 13 6
' 0 D
16 16 8 3 16 3 16 3
t t t
t t t t t t
f t t
t t t
Như vậy với t thuộc D thì hàm số
ft
nghịch biến. Mặt khác phương trình (1) có dạng
f x f y x y
. Kết hợp với
1xy
thì ta tìm được
1
2
xy
.
Vậy nghiệm của hệ là
11
,;
22
xy
Bài 224: Điều kiện
0y
.
Hệ được viết lại:
2
22
2
22
2
22
2
2
22
2
1
10
0
1
2 1 3
2 1 3
y x x
x y x x y
xy
xx
x
xy
x
y
xy
y
2
2
2
2
22
2
2
10
10
2 2 1 2 3
2 1 3
x
x
y x x
x x y
y
y
x
x
y x x x
y x x
y
y
Đặt
x
ay
y
và
2
1b x x
thì hệ trên lại trở thành:
22
0
13
13
2 3 2 3 0
a b b a
aa
bb
a b a a
(+) Nếu
22
2
2
10
11
1
1
1
1 1 1 1
11
x
xx
yy
a
x
yy
y
b
y
x x x x
xx
0
1
x
y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 20
(+) Nếu
2
3
13
3
a
xx
b
.
Điều này vô lý do
22
1 x x x
, tức là
2
1 xx
luôn dương.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
, 0;1xy
Bài 225: Điều kiện
0x
và
0y
.
Nhận thấy hệ trên có dạng đẳng cấp, thế nhưng nếu ta giải theo kiểu đẳng cấp thì sẽ thu được
một phương trình đẳng cấp bậc 4. Thế nhưng, nghiệm của phương trình này rất lẻ, không thể
dùng phương pháp thông thường để giải nó một cách ngắn gọn được.
Bài hệ phương trình này có cách giải riêng của nó. Đó là:
Cộng vế theo vế hai phương trình ta được:
2 2 3 2
2
3 3 2x y x xy
x
(1).
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai vế theo vế ta được:
2 2 2 3
1
3 3 1x y x y y
y
(2).
Bây giờ ta tiếp tục cộng (1) với (2) vế theo vế ta được:
3
3 2 2 3
3
3 3 3 3 3x x y xy y x y x y
(3).
Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế ta được:
3
3 2 2 3
3 3 1 1 1x x y xy y x y x y
(4).
Kết hợp (3) và (4) ta được hệ:
3
3
3
31
3
2
1
31
2
x
xy
xy
y
Vậy nghiệm của hệ là
33
3 1 3 1
,;
22
xy
Bài 226: Điều kiện
2
0 , 0 , 2 0x y y x
và
2
90xy
.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
22
2 2 2 2
2 18 18 2 18
9 18 9 9 2
x y x y x y
xy
xy y x y x xy y x
.
Đặt
9
y
ax
x
và
2x
by
y
,0ab
thì ta có:
22
22
2 18
9 9 2 2 2 4 2
y x x y
a b x y xy ab
x y y x
(do
,0ab
)
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
24ab
.
Như vậy ta có hệ
2
42
42
2 4 1
4 2 2
22
2 4 2 0
ab
ab
a b b
bb
ab a
bb
(thỏa mãn)
2
2
22
2
22
22
2
94
49
9 4 4 9
2
2 2 0
4 9 2 4 9 0
1
y
xa
y x x
x y x y x x
x
x
y x y y x y
x x x x x
yb
y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 21
2
2
2
4 3 2
49
49
9 1 9 7 2 0
81 72 25 2 0
y x x
y x x
x x x x
x x x x
1
0
9
01
3
x
x
y
y
Như vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
11
, 0;0 , ;
93
xy
Bài 227: Điều kiện
1y
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
3 2 2 2
3 3 3 5 5 5 0x x y x x xy x x y
2
1 3 1 5 1 0x x y x x y x y
2
3 5 1 0 1 0x x x y x y
(do
2
2
3 11
35
24
x x x
)
1yx
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta thu được:
2
3 3 14 14x x x
(*).
Đặt
0t x t
thì (*) trở thành:
4 2 2
2
2 4 3
3 3 14 14 1 2 3 9 7 0 1 1 0
3 9 7 0 (VN)
t x y
t t t t t t t t x y
tt
Vậy hệ có hai nghiệm là
, 1;0 , 4;3xy
Bài 228: Điều kiện
45
18
2
y
và
30 20x
.
Hệ phương trình này không hề khó, chỉ có điều hình thức của nó làm chúng ta “hơi sợ”. Thật
vậy, ta đặt
30ax
và
18by
(điều kiện
0 5 2a
và
92
0
2
b
) thì:
2 2 2
2 2 2
18 18 45 2 81
30 30 20 50
b y y b y b
a x x a x a
Hệ ban đầu trở thành:
2
2
2
2
1
81 2 50 2
1
81 2 1 50 2 (1)
ba
a
b
a
a
ba
(1)
22
2 2 2
81 2 1 50 2 81 2 1 50 4 4 50a a a a a
2
2 2 2 2
25 4 4 50 (*) 25 4 16 50a a a a a a
4 3 2
8 18 200 175 0 5 1 5 7 0a a a a a a a a
5 1 5 7a a a a
.
Thử lại vào điều kiện của a , kết hợp với việc thử lại vào (*) ta chỉ lấy các nghiệm:
+)
29
10
18
x
ab
y
+)
5
54
2
x
ab
y
+)
19
76
18
x
ab
y
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 22
Như vậy hệ có ba nghiệm là
, 29;18 , 5;2 , 19; 18xy
Bài 229: Điều kiện
01x
và
0y
.
+) Nếu x = 0 thì thay vào phương trình thứ hai ta được:
2
2 2 2
2 .5 0y y y y
. Thử lại đây
chính là nghiệm của hệ.
+) Nếu x khác 0, đặt
0y tx t
. Lúc này phương trình thứ hai của hệ trở thành:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 10 14 5x t x tx x t x x tx t y
22
4 2 4 2 2 2 2 2
2 2 4 5 14 10 2 2 4 5 14 10x t t x t t t t t t t t
2
2 2 2 4 3 2
2 2 4 5 14 10 10 37 60 36 0t t t t t t t t t
22
2 3 0 2 3t t t t
(thỏa mãn).
Để lời giải được ngắn gọn thì ta sẽ biến đổi phương trình thứ nhất thành:
2
2
11
2207 2207 .
11
11
x
x
y y y y
x
x
2207
2207 2207
1 1 2
11
y
y
x
x
hay chính là
2207
2
t
. Điều này cho thấy hai nghiệm t ở
trên đều không thỏa mãn.
Vậy nghiệm duy nhất của hệ là
, 0;0xy
Bài 230: Điều kiện
2
4 5 0xy
.
Với bài toán này ta sẽ sử dụng một “đơn giản” nhưng lại “ít được sử dụng”, đó là rút – thế.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2
2 2 2 2
2
57
2 6 5 7 2 6 5 7
26
x
x y y x y x x y
x
.
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
22
4 2 3 2
2
2 2 2 2
4 5 7 12 5 7
2 1 11 23 33 21
5 5 11 7 5
2 6 2 6 3 3
xx
x x x x x
xx
x x x x
2
2
22
2
1
5 3 1 11 12 21
3
x
x x x x
x
(1).
Nhận thấy vế trái luôn không âm nên vế phải cũng không âm. Ta lại có
2
11 12 21 0xx
(vì
nó là một tam thức bậc hai có hệ số a > 0 và
0
), nên từ đó suy ra
10x
, tức
1x
.
(1)
2 2 2
5 1 3 1 11 12 21x x x x x
22
5 1 1 1 1 11 12 21x x x x x x
2
2
22
22
1
10
25 1 1 11 12 21 (*)
5 1 1 11 12 21
x
x
x x x x
x x x x
+) Nếu x = –1 thì y =
3
2
.
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 23
+) Giải (*)
432
96 314 556 554 146 0x x x x
(**).
Xét hàm số
432
96 314 556 554 146f x x x x x
trên
1;
.
Hàm số có đạo hàm:
3 2 2 2
' 384 942 1122 554 2 1 192 279 277f x x x x x x x
,
luôn dương với mọi
1;x
, suy ra
fx
đồng biến trên
1;
.
Mặt khác ta có
1 210 0f
nên phương trình (**) vô nghiệm.
Như vậy nghiệm của hệ là
3
, 1;
2
xy
Bài 231: Tương tự Bài 225, thế việc giải phương trình này theo kiểu đẳng cấp lại khó khăn hơn
(do hệ này đẳng cấp bậc 6!). Ta áp dụng cách giải cộng trừ đại số.
Điều kiện
,0xy
.
Cộng vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được:
4 4 2 2 2 2 4 2 2 4 5 3 2 4
22
2 2 3 3 10 5 10 5 2y x x y x y x x y y x x y xy
xx
(1).
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai vế theo vế ta được:
2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 5 2 3 4
11
3 3 2 2 10 5 10 5 1x y x y x y y y x x y x y x y
yy
(2).
Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) vế theo vế ta được:
5
5 4 3 2 2 3 5
5
5 10 5 3 3 3x x y x y x y y x y x y
.
Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế theo vế ta được:
5
5 4 3 2 2 3 5
5 10 5 1 1 1x x y x y x y y x y x y
.
Ta có hệ:
5 5 5
3 1 3 1 3
,;
22
1
xy
xy
xy
Như vậy hệ có duy nhất một nghiệm là
55
1 3 1 3
,;
22
xy
Bài 232: Điều kiện
22
0 , , 5x y x x y y
.
Nhận thấy vế trái của phương trình thứ nhất có bậc 0, còn vế phải lại là bậc nhất. Và nếu ta
“thay” được vế phải bằng một đa thức bậc 0 thì nó sẽ trở thành một phương trình đẳng cấp, dễ
làm hơn rất nhiều. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
96
6 5 5 3 9 30 5 1
5
xx
x y y x xy x y
y
(1).
Thế lên phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
22
2 2 2 2 2 2
22
22
22
6 6 6
1 1 1
x x y
x x y x x x y y
x x x
y y y y y
x x y
2 2 2 2 2 2
22
22
2 2 6 3
. 1 1 . 3 0
x y x y x y
x x x x x x x x
y y y y y y y y y y y
(2)
Nhận xét rằng
0xy
nên
0
x
y
. Mặt khác ta biến đổi như trên thì thấy rằng:
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 24
2
22
2
9
5
x x y
x
y
nên
0x
. Kết hợp với (1) ta suy ra
0y
.
Như vậy (2)
22
2
2
2
2
2
3
5
3 0 1 3
3
13
x
y
xy
x x x x
y y y y y
xx
yy
.
Với
5
3
x
y
, thay vào (1) ta tìm được
93
9 5 3
55
xx
xy
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm
, 5;3xy
Bài 233: Điều kiện
2
2 1 0xy
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2
2
2 2 2 2 2 2
4 4 2 1 2 1 2 2 2 1y y x y x y x xy y y x y x y
2
2
2
21
2 2 1
3 2 1
x y x y
y x y x y
y x x y
2
2
22
0
0 3 0
2 2 1
30
9 6 2 1
2 1 9 2 1
26
yx
y x y x
y xy y
yx
y
y y y y
x
xy y
x
yy
+) Trường hợp 1:
0yx
và
2
21
2
yy
x
y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
22
11
2 1 3 7
3 3 2 0
7 41
2 2 2
3 21
yx
y y y
y y y y
y
yx
Thử lại thấy chỉ có
, 1;1xy
thỏa mãn hệ.
+) Trường hợp 2:
3yx
và
2
9 2 1
2
yy
x
y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
22
9 2 1 7 5
3 3 4 0
2 2 2
y y y
y y y y
y
(phương trình này vô nghiệm).
Như vậy nghiệm của hệ là
, 1;1xy
Bài 234: Đây là một hệ phương trình khá thú vị!
Ta xem hệ trên như là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là
3
x
và
3
y
, còn tham số là
xy
.
Lúc đó ta tìm được
3
3
22 21
13 12
x xy
y xy
(*).
Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn hệ nên ta có thể nhân vế theo vế của hai phương trình trên:
32
33
22 21 13 12 273 538 264 0x y xy xy xy xy xy
Lovebook – Nhà sách của học sinh Việt Nam
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 25
22
1 274 264 0 1 137 19033xy x y xy xy xy
.
+) Nếu
1xy
, thay vào (*) ta được:
33
11x y x y
.
+) Nếu
137 19033xy
, thay vào (*) ta được:
3
3
3
3
2899 21 19033 2899 21 19033
1793 13 19033
1793 13 19033
xx
y
y
+) Nếu
137 19033xy
, thay vào (*) ta được:
3
3
3
3
2899 21 19033 2899 21 19033
1793 13 19033
1793 13 19033
xx
y
y
Vậy nghiệm của hệ là
33
33
, 1;1 , 2899 21 19033; 1793 13 19033 ,
2899 21 19033; 1793 13 19033
xy
Bài 235: Điều kiện
1x
,
1y
và
2
2 7 10 3 0y y x y
.
Phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành:
2
1 1 3 1 2 1 1 2 2 3x y x x y x y x xy x y
(1).
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2
2 7 10 3 1 1y y x y x y
2
2
11
2 7 10 3 1 1 2 1 1 (2)
xy
y y x y x y x y
Thế (1) vào (2) ta được:
2
22
2 7 10 3 1 1 2 2 2 3y y x y x y x xy x y
22
3 3 2 4 2 0x xy x y y
(3).
Xem (3) như là phương trình bậc hai ẩn x và tham số y thì ta có:
22
2
3 3 4 2 4 2 1y y y y
.
Như vậy phương trình có hai nghiệm là
22xy
và
1xy
.
+) Nếu
22xy
, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
3 4 3
1 2 (*) 1
3 2 2 3
y
yy
yy
22
32
6 15
2 3 1 4 3 4 24 21 0 0
2
y y y y y y y y
.
Thử lại chỉ có hai giá trị thỏa mãn là
02
6 15
15 4
2
yx
yx
Thử lại điều kiện xác định ta chỉ lấy nghiệm
, 2;0xy
.
+) Nếu
1 1 2x y x y
, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
