Các dạng bài tập tích phân theo chương trình mới

I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ NÕu hµm sè
( )u u x=
®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n
[ ]
;a b
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
th×
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.
NÕu hµm sè
( )u u x=
®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n
[ ]
;a b
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
th×
( )
( )
( ) ( )

u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.
B ài tập
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx

cosx
π
+
∫
3.
4
0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2
0
1x x dx+

∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫

8.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫

10.
1
3 2
0
1x x dx−

∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫

14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2

4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

20.
2
sin
4

x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π

π
∫

24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.

4
6
cot gxdx
π
π
∫

28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1
2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0

1x x dx+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln

e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx

x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

40.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
41.
1
1 3ln ln
e
x x
dx

x
+
∫
4.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
43
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

44.
2
2
1

(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
45.
1
2 3
0
5+
∫
x x dx
46.
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
47.
4
2
0
4 x dx−
∫
2/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng
2 2 2 2

,a x a x+
và
2 2
x a
(trong trong đó
a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất
căn thức, cụ thể là:
Với
2 2
a x
, đặt
sin , ;
2 2
x a t t


=



hoặc
[ ]
cos , 0;x a t t

=
.
Với
2 2
a x+
, đặt

, ;
2 2
x atgt t


=
ữ


hoặc
( )
, 0;x acotgt t

=
.
Với
2 2
x a
, đặt
{ }
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t


=

hoặc
;
cos
a
x
t
=
[ ]
0; \
2
t






.
B i tp : Hãy tính các tích sau:
a)
4
2
0
4 x dx

b)
1
2
0
1

dx
x+

c)
9
2
0
9 x dx

d)
2
2
0
4
dx
x+

e)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x

f)

+

32
5
2
4xx
dx
g)
1
2
0
1 x dx

h)
3
5 2
0
1x x dx+

II. PHNG PHP TCH PHN TNG PHN:
Cụng thc tớch phõn tng phn :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx=

@ Da

ng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e

t
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =







= =







@ Da

ng 2:
( )ln( )f x ax dx

t
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=




=


=


@ Da

ng 3:

sin
.
cos
ax
bx
e dx
bx






t:
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=

=
=



Bi tp
1)

1
0
3
. dxex
x
2)


2
0
cos)1(

xdxx
3)


6
0
3sin)2(

xdxx

4)

2
0
2sin.

xdxx

5)

e
xdxx
1
ln
6)


e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)

3
1
.ln.4 dxxx
8)

+

1
0
2
).3ln(. dxxx

9)

+
2
1
2
.).1( dxex
x
10)


0
.cos. dxxx
11)

2
0
2
.cos.

dxxx
12)

+
2

0
2
.sin).2(

dxxxx
13)
2
5
1
lnx
dx
x

14)
2
2
0
xcos xdx


15)
1
x
0
e sinxdx

16)
2
0
sin xdx

17)
e
2
1
xln xdx

18)
3
2
0
x sinx
dx
cos x

+

19)
2
0
xsin x cos xdx


20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx

III.Tích phân một số hàm số thờng gặp
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

( )
2
0
dx
I a
ax bx c


=
+ +

.
(trong đó
2
0ax bx c
+ +
với mọi
[ ]
;x


)
Xét
2

4b ac
=
.
+)NÕu
0
∆ =
th×
2
2
dx
I
b
a x
a
β
α
=
 
−
 ÷
 
∫
tÝnh ®îc.
+)NÕu
0
∆ >
th×
( ) ( )
1 2
1 dx

I
a x x x x
β
α
=
− −
∫
,
(trong ®ã
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
)

( )
1
1 2 2
1
ln
x x
I
a x x x x
β
α
−

⇒ =
− −
.
+) NÕu
0
∆ <
th×
2
2
2
2
2 4
= =
+ +
 
 
−∆
 
+ +
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
∫ ∫
dx dx
I
ax bx c

b
a x
a a
β β
α α
§Æt
( )
2
2 2
1
1
2 4 2
−∆ −∆
+ = ⇒ = +
b
x tgt dx tg t dt
a a a
, ta tÝnh ®îc I.
b) TÝnh tÝch ph©n:
( )
2
, 0
mx n
I dx a
ax bx c
β
α
+
= ≠
+ +

∫
.
(trong ®ã
2
( )
mx n
f x
ax bx c
+
=
+ +
liªn tôc trªn ®o¹n
[ ]
;
α β
)
+) B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho:

cbxax
B
cbxax
baxA
cbxa x
nmx
++
+
++
+
=
++

+
222
)2(
+)Ta cã I=
∫
β
α
dx
cbxax
B
dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
∫∫
222
)2(
β
α
β
α

. TÝch ph©n
dx
cbxax
baxA
++
+
∫
2
)2(
β
α
=
β
ε
cbxaxA
++
2
ln
TÝch ph©n
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
tÝnh ®îc.
c) Tính tích phân
( )
( )

b
a
P x
I dx
Q x
=

với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn
1 2
, , ,
n

thì đặt

1 2
1 2
( )

( )
n
n
A
A AP x
Q x x x x

= + + +

.
+ Khi
( )
( )
2 2
( ) , 4 0Q x x x px q p q

= + + = <
thì đặt
2
( )
.
( )
P x A Bx C
Q x x x px q

+
= +
+ +
+ Khi
( ) ( )
2
( )Q x x x

=
với thì đặt
( )
2
( )
( )

AP x B C
Q x x x
x


= + +


.
Bi tp
a/
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +

b/
1
2
0
1
dx
x x+ +

c/
1
2
3
2
0
1
x
dx
x


d/


+
+
0
2
2
32
22
dx
xx
x

e/

++

1
1
2
52xx
dx

f/

+

5
3
2
23
12
dx
xx
x
g/

++
b
a
dx
bxax ))((
1
h/

+
++

1
0
3
1
1
dx
x
xx
i/

++
1
0
2
34xx
dx
k/

+
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
l/

+
3
2
1
2
dx
x
x
m/
dx
x
xx

+
++
1
0
2
3
32
IV.Tích phân hàm vô tỉ
.Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ : Tính tích phân:
1
0
1
dx
I

x x
=
+ +

.
.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác
Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
ViÕt biÓu thøc trong c¨n díi d¹ng b×nh ph¬ng ®óng
VÝ dô :TÝnh

∫
−=
1
0
23
1 dxxxI
Bài tập:
a/
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
∫
b/
∫
−+
2
1

11
dx
x
x
c/
∫
++
1
0
311 x
dx
d/
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
e/
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
f/
∫
+

32
5
2
4xx
dx
V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
∫
−
−
3
3
2
1dxx
2.
∫
+−
2
0
2
34 dxxx
3.
dxxx
∫
−
2
0
2
4.
4

2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
5.
3
1
2x dx−
∫
6.
2
2
2
1x dx
−
−
∫