BT he thuc luong giac

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 1




I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OA OM(, )
α
=
. Giả sử
Mxy(;)
.

( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
α
α

απ
α απ
α
α
α απ
α
= =
= =

= = ≠+


= = ≠

Nhận xét
, 1 cos 1; 1 sin 1
αα α
∀ −≤ ≤ −≤ ≤
:
•
• tanα xác định khi
kkZ,
2
π
απ
≠+ ∈
• cotα xác định khi
kkZ,
απ
≠∈

•
ksin( 2 ) sin
απ α
+=
•
ktan( ) tan
απ α
+=


kcos( 2 ) cos
απ α
+=

kcot( ) cot
απ α
+=

2. Dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0
6
π

4
π

3
π

2
π

2
3
π

3
4
π

π

3
2
π

2
π

0
0
30
0
45
0
60

0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

0 –1 0
cos 1
3
2

2
2

1
2

0
1
2
−

2
2
−

–1 0 1
tan 0
3
3

1
3


3−

–1 0

0
cot

3

1
3
3

0
3
3
−

–1

0


CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cos
α

+
–
–
+
sin
α

+
+
–
–
tanα
+
–
+
–
cotα
+
–
+
–







cosin

O
cotang

sin
tang
H
A
M
K
B S
α
T

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 2


4. Hệ thức cơ bản:
22
sin cos 1
αα
+=
;
tan .cot 1
αα
=
;
22
22

11
1tan ;1cot
cos sin
αα
αα
+= +=

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt



II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng



2. Công thức nhân đôi

sin2 2sin .cos
α αα
=


22 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α αα α α
= − = −=−


2

2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
αα
αα
α
α
−
= =
−

sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba+= +

sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba−= −

cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b+= −

cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b−= +


tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab
+
+=

−

tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab
−
−=
+


Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π απ α
αα
αα
 
+−
+= −=
 
−+
 


Góc hơn kém
π

Góc hơn kém
2
π

sin( ) sin
πα α
+=−

sin cos
2
π
αα

+=



cos( ) cos
πα α
+=−

cos sin
2
π
αα

+=−



tan( ) tan
πα α
+=

tan cot
2
π
αα

+=−



cot( ) cot
πα α
+=

cot tan
2
π
αα

+=−




Góc đối nhau
Góc bù nhau

Góc phụ nhau
cos( ) cos
αα
−=

sin( ) sin
πα α
−=

sin cos
2
π
αα

−=



sin( ) sin
αα
−=−

cos( ) cos
πα α
−=−

cos sin
2
π
αα


−=



tan( ) tan
αα
−=−

tan( ) tan
πα α
−=−

tan cot
2
π
αα

−=



cot( ) cot
αα
−=−

cot( ) cot
πα α
−=−

cot tan
2
π
αα

−=




Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 3


3. Công thức biến đổi tổng thành tích

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
−
=
+

=
−
=
+

3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
αα α
α αα
αα
α
α
= −
= −
−
=
−



cos cos 2cos .cos
22
ab ab

ab
+−
+=


cos cos 2sin .sin
22
ab ab
ab
+−
−=−
sin sin 2sin .cos
22
ab ab
ab
+−
+=
sin sin 2cos .sin
22
ab ab
ab
+−
−=


sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab

ab
+
+=


sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab
−
−=


sin( )
cot cot
sin .sin
ab
ab
ab
+
+=


ba
ab
ab
sin( )
cot cot

sin .sin
−
−=

sin cos 2.sin 2.cos
44
ππ
αα α α
 
+ = += −
 
 
sin cos 2 sin 2 cos
44
ππ
αα α α
 
− = −=− +
 
 



1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1

sin .cos sin( ) sin( )
2
a b ab ab
a b ab ab
a b ab ab

= −+ +


= −− +


= −+ +




Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 4


cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.


Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
00
sin50 .cos( 300 )−
b) B =

0
21
sin215 .tan
7
π

c) C =
32
cot .sin
53
ππ

−


d) D =
c
4 49
os .sin .tan .cot
533 5
ππ π π

Bài 2. Cho
00
0 90
α
<<
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0

sin( 90 )
α
+
b) B =
0
cos( 45 )
α
−

c) C =
0
cos(270 )
α
−
d) D =
0
cos(2 90 )
α
+

Bài 3. Cho
0
2
π
α
<<
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
απ

+
b) B =
tan( )
απ
−

c) C =
2
sin
5
π
α

+


d) D =
3
cos
8
π
α

−



Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
ABCsin sin sin++

b) B =
ABCsin .sin .sin

c) C =
ABC
cos .cos .cos
222
d) D =
ABC
tan tan tan
222
++

Bài 5.
a)



VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
α
, tính cos
α
, tan
α
, cot
α

•
Từ
22
sin cos 1
αα
+=

⇒

2
cos 1 sin
αα
=±−
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
cos 1 sin
αα
= −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
cos 1 sin
αα

=−−
.

•
Tính
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
1
cot
tan
α
α
=
.
2. Cho biết cos
α
, tính sin
α
, tan
α
, cot
α

•
Từ
22
sin cos 1
αα
+=

⇒

2
sin 1 cos
αα
=±−
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin 1 cos
αα
= −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
sin 1 cos
αα
=−−
.

•
Tính
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
1
cot
tan
α
α
=
.
3. Cho biết tan
α
, tính sin
α
, cos
α
, cot
α


•
Tính

1
cot
tan
α
α
=
.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 5


•
Từ
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +

⇒

2
1
cos
1 tan
α
α

= ±
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1
cos
1 tan
α
α
=
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1
cos
1 tan
α
α
= −
+
.

•
Tính

sin tan .cos
α αα
=
.
4. Cho biết cot
α
, tính sin
α
, cos
α
, tan
α


•
Tính
1
tan
cot
α
α
=
.

•
Từ
2
2
1
1 cot

sin
α
α
= +

⇒

2
1
sin
1 cot
α
α
= ±
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1
sin
1 cot
α
α
=
+
.
– Nếu
α

thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1 cot
α
α
= −
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

•
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.

•
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A B A B AB
22 2
( )2+=+ −

A B A B AB
4 4 2 22 2 2
( )2+= + −


A B A B A AB B

33 2 2
( )( )+=+ −+

A B A B A AB B
33 2 2
( )( )−=− ++

IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

•
Đặt
t xt
2
sin , 0 1= ≤≤

⇒

xt
2
cos =
. Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.

•
Thiết lập phương trình bậc hai:
t St P
2
0−+=
với
S x y P xy;=+=

. Từ đó tìm x, y.


Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a)
aa
00
4
cos , 270 360
5
= <<
b)
2
cos , 0
2
5
π
αα
= −<<

c)
aa
5
sin ,
13 2
π
π
= <<
d)
00

1
sin , 180 270
3
αα
=− <<

e)
aa
3
tan 3,
2
π
π
= <<
f)
tan 2,
2
π
α απ
=− <<

g)
0
cot15 2 3= +
h)
3
cot 3,
2
π
α πα

= <<

Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a)
aa
A khi a a
aa
cot tan 3
sin , 0
cot tan 5 2
π
+
= = <<
−
ĐS:
25
7

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 6


b)
aa
B khi a a
aa
2
00
8tan 3cot 1 1

sin , 90 180
tan cot 3
+−
= = <<
+
ĐS:
8
3


c)
a aa a
C khi a
a aa a
22
22
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
+−
= = −
−+
ĐS:
23
47
−

d)
aa
D khi a

aa
33
sin 5cos
tan 2
sin 2cos
+
= =
−
ĐS:
55
6

e)
a aa
E khi a
aa
33
3
8cos 2sin cos
tan 2
2cos sin
−+
= =
−
ĐS:
3
2
−

g)

aa
G khi a
aa
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
+
= = −
+
ĐS:
19
13

h)
aa
H khi a
aa
sin cos
tan 5
cos sin
+
= =
−
ĐS:
3
2
−

Bài 3. Cho
aa

5
sin cos
4
+=
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A aasin .cos=
b)
Baasin cos= −
c)
Caa
33
sin cos= −

ĐS: a)
9
32
b)
7
4
±
c)
41 7
128
±

Bài 4. Cho
aatan cot 3−=
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

Aaa
22
tan cot= +
b)
B aatan cot= +
c)
C aa
44
tan cot= −

ĐS: a) 11 b)
13±
c)
33 13±

Bài 5.
a) Cho
xx
44
3
3sin cos
4
+=
. Tính
Ax x
44
sin 3cos= +
. ĐS:
7
A

4
=

b) Cho
xx
44
1
3sin cos
2
−=
. Tính
Bx x
44
sin 3cos= +
. ĐS: B = 1
c) Cho
xx
44
7
4sin 3cos
4
+=
. Tính
Cxx
44
3sin 4cos= +
. ĐS:
CC
7 57
4 28

=∨=

Bài 6.
a) Cho
xx
1
sin cos
5
+=
. Tính
xxxxsin ,cos ,tan ,cot
.
b) Cho
xxtan cot 4+=
. Tính
xxxxsin ,cos ,tan ,cot
.
ĐS: a)
4343
;;;
5534
−−−
b)
1 23
; ;2 3;2 3
2
22 3
−
+−
−

hoặc
23 1
2 3; 2 3; ;
2
22 3
−
−+
−

Bài 7.
a)



VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 7



Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a)
000000000000 0
120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550

b)
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9;11;;; ;; ;; ;;;

24 43 33 3 6 6 4
ππ ππ ππ πππ π
ππ
−−− −

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
Ax x xcos cos(2 ) cos(3 )
2
π
ππ

= + + −+ +



b)
Bx x x x
73
2cos 3cos( ) 5sin cot
22
ππ
π
  
= − −+ − + −
  
  

c)
C xx xx

3
2sin sin(5 ) sin cos
2 22
π ππ
π
  
= ++ −+ ++ +
  
  

d)
Dx x x x
33
cos(5 ) sin tan cot(3 )
22
ππ
ππ
  
= −− + + −+ −
  
  

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A
00 0 0
00
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
− −−

= −
−
ĐS: A = –1
b)
B
00
0
00
sin( 234 ) cos216
.tan36
sin144 cos126
−−
=
−
ĐS:
B 1= −

c)
C
000 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180= + + ++ +
ĐS:
C 1= −

d)
D
202020 20
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180= + + ++
ĐS:
D 9=

e)
E
000 0 0
sin20 sin40 sin60 sin340 sin360= + + ++ +
ĐS:
E 0=

f)
x x xx
0 0 00
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )++ −+ + −
ĐS:
Fx1 cos= +



Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 8



VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong
khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

ABC
π

++=
và
ABC
2222
π
++=



Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
xx x
44 2
sin cos 1 2cos−=−

b)
x x xx
4 4 22
sin cos 1 2cos .sin+=−

c)
x x xx
6 6 22
sin cos 1 3sin .cos+=−

d)
x x xx xx
8 8 22 44
sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+=− +

e)
x x xx
2 2 22
cot cos cos .cot−=

f)
x x xx
2 2 22
tan sin tan .sin−=

g)
xxx x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )++ + =+ +

h)
xx xx xx x x
22
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot
++ =+

i)
xx x
x xx
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+−
=
− −+

k)
x

x
x
2
2
2
1 sin
1 tan
1 sin
+
= +
−

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
ab
ab
ab
tan tan
tan .tan
cot cot
+
=
+
b)
aa a
a a aa
a
2
2
sin cos 1 cot

sin cos cos sin
1 cot
+
−=
−−
−

c)
aa
aa
aa
22
sin cos
1 sin .cos
1cot 1tan
−−=
++
d)
a aa
aa
aa
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
+
−=+

−
−

e)
aa
a
a
a
2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin
sin

+−
−=


f)
aa a
a a aa
22 4
2 2 22
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
++
=
++

g)
aa
a
aa
2
2
1 sin 1 sin
4tan
1 sin 1 sin

+−
−=

−+

h)
ab ab
a b ab
2 2 22
2 2 22
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
−−
=

i)
aa
a
aa

22
6
22
sin tan
tan
cos cot
−
=
−
k)
aa
aa
aa
aa
33
33
22
tan 1 cot
tan cot
sin .cos
sin cos
− +=+

Bài 3. Cho
xa
vôùi a b
a b ab
44
sin cos 1
, , 0.+= >

+
Chứng minh:
xx
a b ab
88
33 3
sin cos 1
()
+=
+
.
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
xx x
22 2
(1 sin )cot 1 cot− +−
b)
xx xx
22
(tan cot ) (tan cot )+ −−

c)
x xx
x xx
2 22
2 22
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+

d)
x ay a x ay a
22
( .sin .cos ) ( .cos .sin )− ++

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 9

e)
xx
ax
22
22
sin tan
cos cot
−
−
f)
xxx
xxx
224
224
sin cos cos
cos sin sin
−+
−+

g)
xx xx
22

sin (1 cot ) cos (1 tan )++ +
h)
xx
x
xx
1 cos 1 cos
; (0, )
1 cos 1 cos
π
+−
−∈
−+

i)
xx
x
xx
1 sin 1 sin
;;
1 sin 1 sin 2 2
ππ

+−
+ ∈−

− + 
k)
x x xx
22
3

cos tan sin ; ;
22
ππ

−− ∈



Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
xx xx
44 66
3(sin cos ) 2(sin cos )+− +
ĐS: 1
b)
xx x x x
88 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin−+ − +
ĐS: 1
c)
xx xx
44 22
(sin cos 1)(tan cot 2)+− ++
ĐS: –2
d)
xx x x x
22 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin+ −+
ĐS: 2
e)

xx
xx x
44
66 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
+−
++ −
ĐS:
2
3

f)
x x xx
xx
2 2 22
22
tan cos cot sin
sin cos
−−
+
ĐS: 2
g)
xx
xx
66
44
sin cos 1
sin cos 1
+−

+−
ĐS:
3
2

Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B ACsin sin( )= +
b)
AB Ccos( ) cos+=−

c)
AB C
sin cos
22
+
=
d)
BC A Ccos( ) cos( 2 )−=− +

e)
ABC Ccos( ) cos2+− =−
f)
ABC
A
3
cos sin2
2
− ++
= −

g)
AB C
C
3
sin cos
2
++
=
h)
AB C C
23
tan cot
22
+−
=

Bài 7.
a)



Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 10



VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba+= +

sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba−= −

cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b+= −

cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b−= +


tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab
+
+=
−

tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab
−
−=
+


Hệ quả:

1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π απ α
αα
αα
 
+−
+= −=
 
−+
 


Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
00 0
15 ; 75 ; 105
b)
57
;;
12 12 12
πππ

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
3
tan sin ,
3 52

ππ
α α απ

+ = <<


ĐS:
38 25 3
11
−

b)
khi
12 3
cos sin , 2
3 13 2
ππ
α α απ

− =− <<


ĐS:
(5 12 3)
26
−

c)
a b a b khi a b
11

cos( ).cos( ) cos , cos
34
+− ==
ĐS:
119
144
−

d)
ab ab absin( ), cos( ), tan( )−++
khi
ab
85
sin , tan
17 12
= =
và a, b là các góc nhọn.
ĐS:
21 140 21
;; .
221 221 220

e)
a babtan tan , tan , tan+
khi
ab a b0, ,
24
ππ
< < +=
và

abtan .tan 3 2 2= −
. Từ đó suy
ra a, b . ĐS:
22 2−
;
a b abtan tan 2 1,
8
π
= =−==

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
ooo22 2
sin 20 sin 100 sin 140
++
ĐS:
3
2

b) B =
oo o22
cos 10 cos110 cos 130++
ĐS:
3
2

c) C =
oo o o oo
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20++
ĐS: –3

d) D =
oo oo oo
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190++
ĐS: –3
e) E =
o oo
oo
cot 225 cot79 .cot 71
cot 259 cot251
−
+
ĐS:
3

f) F =
oo22
cos 75 sin 75−
ĐS:
3
2
−

g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
−
+
ĐS:

3
3

h) H =
00
tan15 cot15
+
ĐS: 4
HD:
000000
40 60 20 ; 80 60 20=−=+
;
000000
50 60 10 ; 70 60 10=−=+

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 11

Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
xy xy x y
22
sin( ).sin( ) sin sin+ −= −

b)
xy
xy
xy xy
2sin( )
tan tan

cos( ) cos( )
+
+=
++ −

c)
xx x x x x
22
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 33 3
πππ π
    
+++ +++ =−
    
    

d)
xx xx
32
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 44
ππππ
     
− ++ + + = −
     
     

e)
oo o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )

++
o oo o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0++ + =

f)
xx
xx
xx
22
22
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
−
=
−

Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
a a b khi b a cos a b2tan tan( ) sin sin . ( )=+=+

b)
a abkhi b ab2tan tan( ) 3sin sin(2 )=+=+

c)
a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
=− += −

d)
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1
−
+ = +=
+

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
C AB BAsin sin .cos sin .cos= +

b)
C
A B AB
AB
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
=+≠

c)
A B C A B C ABC

0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )++= ≠

d)
AB BC C Acot .cot cot .cot cot .cot 1++=

e)
AB BC CA
tan .tan tan .tan tan .tan 1
22 22 22
++=

f)
A B C ABC
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 222
++=

g)
o
CB
B CA
BA CA
cos cos
cot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
+=+ ≠

h)
A B C AB C A BC ABC

cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 22 2 2 22 222
=++

i)
A B C ABC
222
sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 222
++ =+

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180
0
e, f) Sử dụng
AB C
0
90
22 2

+ +=



g) VT = VP = tanA h) Khai triển
ABC
cos
222

++




i) Khai triển
ABC
sin
222

++


.
Chú ý: Từ
BC A
cos sin
22 2

+=



⇒

B C A BC
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 22
= +

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 12

⇒

A B C A ABC
2
sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 222
= +

Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a)
A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .
∆
++ ≥∀

b)
A B C ABC nhoïn
222
tan tan tan 9, .
∆
+ + ≥∀

c)
A B C ABC nhoïn
666
tan tan tan 81, .
∆
+ + ≥∀

d)
ABC
222
tan tan tan 1
222
++≥

e)
ABC
tan tan tan 3
222
++≥

HD: a, b, c) Sử dụng
A B C ABCtan tan tan tan .tan .tan++=
và BĐT Cô–si
d) Sử dụng
a b c ab bc ca
222
++≥++

và
AB BC CA
tan .tan tan .tan tan .tan 1
22 22 22
++=

e) Khai triển
ABC

2
tan tan tan
222

++


và sử dụng câu c)
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 13

VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi

sin2 2sin .cos
α αα
=


22 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α αα α α
= − = −=−


2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot2
2cot

1 tan
αα
αα
α
α
−
= =
−



Bài 6. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
53
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
π
α α α α πα
=− <<

b)
khicos2 , sin2 , tan2 tan 2
ααα α
=

c)
khi
43
sin , cos sin2 ,

52 2
ππ
αα α α
=− <<

d)
khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
ααα α
=

Bài 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
oooo
A cos20 .cos40 .cos60 .cos80=
ĐS:
1
16

b)
ooo
B sin10 .sin50 .sin70=
ĐS:
1
8

c)
C

45
cos .cos .cos
77 7
πππ
=
ĐS:
1
8

d)
D
000
cos10 .cos50 .cos70=
ĐS:
3
8

e)
oooo
E sin6 .sin 42 .sin66 .sin78=
ĐS:
1
16

f)
G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
πππ π π

=
ĐS:
1
32

h)
ooo oo
H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85=
ĐS:
2
512

i)
I
000 00
cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80=
ĐS:
3
256

k)
K 96 3 sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
π π π ππ
=
ĐS: 9
l)
L
234567
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos

15 15 15 15 15 15 15
π ππππππ
=
ĐS:
1
128

Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
−
=

+
=
−
=
+

3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
αα α
α αα
αα
α
α
= −
= −
−
=
−


Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 14

m)
M sin .cos .cos
16 16 8
πππ
=
ĐS:
2
8

Bài 8. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
aa a a a
P
a
23
sin
cos cos cos cos
2
22 2
2 .sin
2
= =

b)
n

n
Q
nn n
21
cos .cos cos
21 21 21
2
ππ π
= =
++ +

c)
n
R
nn n
2 4 21
cos .cos cos
21 21 21 2
ππ π
= = −
++ +

Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
xx
44
31
sin cos cos4
44
+=+

b)
xx x
66
53
sin cos cos4
88
+=+

c)
x x xx x
33
1
sin .cos cos .sin sin 4
4
−=
d)
xx
xx
66 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 24
−= −

e)
x
x
2
1 sin 2sin
42

π

−= −


f)
x
xx
2
2
1 sin
1
2cot .cos
44
ππ
−
=

+−



g)
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
42

sin
2
π
π
π

++



+=



+


h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
π

+
+=



i)
xx
x
cos
cot
1 sin 4 2
π

= −

− 
k)
xx
xx
xx
22
22
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=
−

l)
xx xtan cot 2cot= −
m)
xx
x

2
cot tan
sin2
+=

n)
x
x vôùi x
111111
cos cos , 0 .
222222 8 2
π
+++ = <<

Bài 10.
a)


Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 15


VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích


2. Công thức biến đổi tích thành tổng


Bài 1. Biến đổi thành tổng:

a)
ab ab2sin( ).cos( )+−
b)
ab ab2cos( ).cos( )+−

c)
x xx4sin3 .sin2 .cos
d)
xx
x
13
4sin .cos .cos
22

e)
oo
xxsin( 30 ).cos( 30 )+−
f)
2
sin .sin
55
ππ

g)
xxx2sin .sin2 .sin3 .
h)
xxx8cos .sin2 .sin3

i)
xx xsin .sin .cos2

66
ππ
  
+−
  
  
k)
ab bc ca4cos( ).cos( ).cos( )−−−

Bài 2. Chứng minh:
a)
x x xx4cos .cos cos cos3
33
ππ
  
− +=
  
  
b)
x x xx4sin .sin sin sin3
33
ππ
  
− +=
  
  

Áp dụng tính:

ooo

A sin10 .sin50 .sin70=

ooo
B cos10 .cos50 .cos70=


C
000
sin20 .sin 40 .sin80=

D
000
cos20 .cos40 .cos80=

Bài 3. Biến đổi thành tích:
a)
x2sin4 2+
b)
x
2
3 4cos−

c)
x
2
1 3tan−
d)
xxxsin2 sin 4 sin6++

e)

xx3 4cos4 cos8++
f)
xxxxsin5 sin6 sin7 sin8+++


cos cos 2cos .cos
22
ab ab
ab
+−
+=


cos cos 2sin .sin
22
ab ab
ab
+−
−=−
sin sin 2sin .cos
22
ab ab
ab
+−
+=
sin sin 2cos .sin
22
ab ab
ab
+−

−=


sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab
+
+=


sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab
−
−=


sin( )
cot cot
sin .sin
ab
ab
ab
+

+=


ba
ab
ab
sin( )
cot cot
sin .sin
−
−=



1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b ab ab
a b ab ab
a b ab ab

= −+ +



= −− +


= −+ +




sin cos 2.sin 2.cos
44
ππ
αα α α
 
+ = += −
 
 
sin cos 2 sin 2 cos
44
ππ
αα α α
 
− = −=− +
 
 

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 16

g)
xxx1 sin2 –cos2 –tan2+
h)
oo
xx
22
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+− −

i)
xxx xcos5 cos8 cos9 cos12+++
k)
xxcos sin 1++

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
xxx x
A
xxx x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin7 sin8 sin9 sin10
−−+
=
−−+
b)
x xx
B
x xx
sin2 2sin3 sin4
sin3 2sin 4 sin5
++

=
++

c)
xxx
C
xx
2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
++ +
=
+−
d)
xxx
D
xxx
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
++
=
++

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A
2
cos cos
55
ππ

= +
b)
B
7
tan tan
24 24
ππ
= +

c)
ooo
C
222
sin 70 .sin 50 .sin 10=
d)
o o oo
D
22
sin 17 sin 43 sin17 .sin43=++

e)
o
o
E
1
2sin70
2sin10
= −
f)
oo

F
13
sin10 cos10
= −

g)
oo
oo oo
G
tan80 cot10
cot 25 cot 75 tan25 tan75
= −
++

h)
H
0000
tan9 tan27 tan63 tan81
=−−+

ĐS:
A
1
2
=

B 2( 6 3)= −

C
1

64
=

D
3
4
=

E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
ππ π π π
ĐS:
1
32

b)
ooooo
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90
ĐS: 1
c)
oooo
cos24 cos48 cos84 cos12+−−
ĐS:
1
2

d)
246
cos cos cos
777
πππ
++
ĐS:
1
2
−

e)
23
cos cos cos
77 7
πππ
−+
ĐS:
1
2

f)
57
cos cos cos
99 9
πππ
++
ĐS: 0
g)
2468

cos cos cos cos
5555
ππππ
+++
ĐS: –1
h)
3579
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
πππππ
++++
ĐS:
1
2

Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
oooo
tan9 tan27 tan63 tan81 4−−+=

b)
ooo
tan20 tan 40 tan80 3 3−+ =

c)
oooo
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3
−++ =

d)

oooo o
83
tan30 tan 40 tan50 tan60 .cos20
3
+++ =

e)
oooo o
tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40+++ =

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 17

f)
ooo
642
tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + −=

Bài 8. Tính các tổng sau:
a)
S nk
1
cos cos3 cos5 cos(2 1) ( )
α α α ααπ
= + + ++ − ≠

b)
n
S
nn n n

2
2 3 ( 1)
sin sin sin sin .
πππ π
−
= + + ++

c)
n
S
nn n n
3
3 5 (2 1)
cos cos cos cos .
πππ π
−
=+++

d)
S vôùi a
aa aa aa
4
11 1
, .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
π
= + ++ =

e)
n

S
xxx
x
5
1
11 1 1
1 1 1 1
cos cos2 cos3
cos2
−
     
=++ + +
   

   


ĐS:
n
S
1
sin2
2sin
α
α
=
;
S
n
2

cot
2
π
=
;
S
n
3
cos
π
= −
;

aa
S
a
4
tan5 tan
15
sin
−
= = −
;
n
x
S
x
1
5
tan2

tan
2
−
=
Bài 9.
a) Chứng minh rằng:
x xx
3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4
= −

b) Thay
n
n
nn
a aa a
x vaøo tính S
3 3 13
2
(1), sin 3sin 3 sin .
3
3 33
−
= = + ++

ĐS:
n
n

n
a
Sa
1
3 sin sin .
4
3

= −



Bài 10.
a) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos
2sin
=
.
b) Tính
n
n
xx x
P
2
cos cos cos .
2

22
=
ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2 sin
2
=

Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cot cot
sin 2
= −
.
b) Tính
n
n
Sk
1

1
11 1
(2 )
sin sin2
sin2
απ
αα
α
−
−
= + ++ ≠
ĐS:
n
S
1
cot cot 2
2
α
α
−
= −

Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
xx x x
2
tan .tan2 tan2 2tan= −
.
b) Tính
n

n
nn
a aa a a
Sa
2 2 12
21
tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan
22
2 22
−
−
= + ++

ĐS:
n
n
n
a
Satan 2 tan
2
= −

Bài 13. Tính
x
2
sin 2 ,
biết:
xxx x
222 2
1111

7
tan cot sin cos
+++ =
ĐS:
8
9

Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 18


a)
xx x xcot tan 2tan2 4cot4−− =
b)
xx
xx
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
−+
=
−−

c)
x
x
xx
2

6
62
1 3tan
tan 1
cos cos
−= +
d)
xx
x
x xx
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
−
−=
+


e)
x x x xxxtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6−−=

f)
x
xxx
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
=+++

g)
x x xx x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+=

Bài 15.
a) Cho
ab bsin(2 ) 5sin+=
. Chứng minh:
ab
a
2tan( )
3
tan
+
=

b) Cho
ab atan( ) 3tan+=
. Chứng minh:
ab a bsin(2 2 ) sin2 2sin2++ =

Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
ABC
ABCsin sin sin 4cos cos cos
222
++ =

b)
ABC
ABCcos cos cos 1 4sin sin sin

222
++ =+

c)
A B C ABCsin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin++ =

d)
A B C ABCcos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + =−−

e)
A B C ABC
222
cos cos cos 1 2cos .cos .cos++ =−

f)
A B C ABC
222
sin sin sin 2 2cos .cos .cos++ =+

Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a)
B C vaø B C
1
sin .sin .
32
π
−= =
ĐS:
BCA,,
263

πππ
= = =

b)
B C vaø B C
2 13
sin .cos .
34
π
+
+= =
ĐS:
AB C
5
,,
3 12 4
π ππ
= = =

Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a)
ABCcos2 cos2 cos2 1++=−
b)
ABCtan2 tan2 tan2 0++=

c)
bc a
B C BCcos cos sin .sin
+=
d)

B ac
b
cot
2
+
=

Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
AB
a Ab B abtan tan ( )tan
2
+
+=+
b)
B C BC
2
2tan tan tan .tan+=

c)
AB
AB
AB
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
+
= +
+
d)

C AB
C
2sin .sin
cot
2 sin
=

Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a)
ABC
33
sin sin sin
2
++≤
HD: Cộng
sin
3
π
vào VT.
b)
ABC
3
cos cos cos
2
++≤
HD: Cộng
cos
3
π
vào VT.

c)
ABCtan tan tan 3 3++≥
(với A, B, C nhọn)
d)
ABC
1
cos .cos .cos
8
≤
HD: Biến đổi
ABC
1
cos .cos .cos
8
−
về dạng hằng đẳng thức.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 19

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI

Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
xxx
x
xxx
224
4
224
sin cos cos

tan
cos sin sin
−+
=
−+
b)
xx xx x
2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan− −=

c)
x
xx
x
22
6 2cos4
tan cot
1 cos4
+
+=
−
d)
x xx
x xx
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
+−
−=
−+

e)
xx
xx
xx
22
sin cos
1 sin .cos
1cot 1tan
−−=
++
f)
xx x
00
cos cos(120 ) cos(120 ) 0+−++=

g)
xx
x
xx
2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin
4
π
π

−+



=

+−


h)
xx
xx
x
22
22
3
cot cot
22
8
3
cos .cos . 1 cot
22
−
=

+



i)
xx x x
66 2
1
cos sin cos2 1 sin 2

4

−= −


k)
xxx x
44
cos sin sin2 2 cos 2
4
π

−+= −



Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a)
xx xx
44 66
3(sin cos ) 2(sin cos )+− +

b)
x xx xx x
6 42 24 4
cos 2sin cos 3sin cos sin
+++

c)
xx xx

3
cos .cos cos .cos
34 6 4
ππππ
     
− ++ + +
     
     

d)
xx x
22 2
22
cos cos cos
33
ππ
  
+++−
  
  

Bài 13. a) Chứng minh:
1
cot cot 2
sin2
αα
α
−=
.
b) Chứng minh:

xx
xxx x
111 1
cot cot16
sin2 sin 4 sin8 sin16
+++ =−
.
Bài 14. a) Chứng minh:
tan cot 2cot2
αα α
= −
.
b) Chứng minh:
n nn n
xx x x
x
22
11 1 1
tan tan tan cot cot
22
2 2 2 22 2
+ ++ = −
.
Bài 15. a) Chứng minh:
xxx
22 2
1 41
4cos sin 2 4sin
= −
.

b) Chứng minh:
nn
nn
xx x x
x
2
2 22 2 2
2
1 1 1 11

sin
4cos 4 cos 4 cos 4 sin
2
22 2
+ ++ = −
.
Bài 16. a) Chứng minh:
x xx
3
1
sin (3sin sin3 )
4
= −
.
b) Chứng minh:
nn
nn
xx x x
x
3 3 13

2
1
sin 3sin 3 sin 3 sin sin
34
3 33
−

+ ++ = −


.
Bài 17. a) Chứng minh:
1 tan2
1
cos2 tan
α
αα
+=
.
b) Chứng minh:
n
n
x
xx
xx
2
1 1 1 tan2
1 1 1
cos2 tan
cos2 cos2

    
+ + +=

  

  
.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác

Trang 20


Bài 18. a) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
α
α
α
=
.
b) Chứng minh:
n
n
n
xx x x
x
2
sin
cos .cos cos

2
22
2 sin
2
=
.
Bài 19. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
ooooooooo
A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83=

b)
B
2468
cos cos cos cos
5555
ππππ
=+++

c)
C
11 5
sin .cos
12 12
ππ
=

d)
D
5 7 11

sin .sin .sin .sin
24 24 24 24
π ππ π
=

HD: a)
o
A tan27=
. Sử dụng
x x xx
00
tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− +=
.
b) B = –1 c)
C
13
24
= −
d)
D
1
16
=

Bài 20. Chứng minh:
a)
2 31
cos cos cos
7 7 72
πππ

−+=

b)
oo32
8sin 18 8sin 18 1
+=

c)
8 4tan 2tan tan cot
8 16 32 32
π ππ π
++ +=

d)
oo
1 14
3
cos290 3.sin250
+=

e)
oooo o
83
tan30 tan 40 tan50 tan60 cos20
3
+++ =

f)
o o ooo
31

cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24
2
+
+− =−

g)
o o oo
tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3++ =

h)
3 91
cos cos cos
11 11 11 2
ππ π
+ ++ =

i)
2 4 10 1
cos cos cos
11 11 11 2
ππ π
+ ++ =−

Bài 21. a) Chứng minh:
xx x x x
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
=
.

b) Áp dụng tính:
A
0000
sin6 .sin42 .sin66 .sin78=
,
B
35
cos .cos .cos
77 7
πππ
=
.
Bài 22. a) Chứng minh:
x xx
4
31 1
sin cos2 cos4
82 8
=−+
.
b) Áp dụng tính:
S
44 4 4
357
sin sin sin sin
16 16 16 16
ππππ
=+++
. ĐS:
S

3
2
=

Bài 23. a) Chứng minh:
x
x
x
1 cos2
tan
sin2
−
=
.
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác
Trang 21

b) Áp dụng tính:
S
22 2
35
tan tan tan
12 12 12
πππ
=++
.
Bài 24. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
00
sin18 , cos18

b)
A
20 20 0 0
cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= −

c)
B
2 0 20
sin 24 sin 6= −

d)
C
000000000
sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82=

HD: a)
0
51
sin18
4
−
=
. Chú ý:
00
sin54 cos36=

⇒

00
sin(3.18 ) cos(2.18 )=

b)
A
1
16
=
c)
B
51
4
−
=

d)
C
51
1024
−
=
. Sử dụng:
x x xx
00
1
sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4
− +=

Bài 25. Chứng minh rằng:
a) Nếu
abcos( ) 0+=

thì
ab asin( 2 ) sin+=
.
b) Nếu
ab bsin(2 ) 3sin+=
thì
ab atan( ) 2tan+=
.
Bài 26. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a)
b Bc C a BCcos cos cos( )+= −
b)
SR ABC
2
2 sin .sin .sin=

c)
S Ra A b B c C2 ( cos cos cos )= ++
d)
ABC
rR4 sin sin sin
222
=

Bài 27. Chứng minh rằng:
a) Nếu
BC
A
BC
sin sin

sin
cos cos
+
=
+
thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu
BB
C
C
2
2
tan sin
tan
sin
=
thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
c) Nếu
B
A
C
sin
2cos
sin
=
thì tam giác ABC cân.