de thi hsg toan lop 8+DA(hot)

§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m häc 2010 2011–
M«n thi: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Câu 1 : Giải phương trình : a)
)4(.)2(
2
4
3
2
1
xxx
x
x
x
−−
+
−
+
+
−
−
b) 6x
2
- x - 2 = 0
Câu 2 : Cho x + y + z = 0
Rút gọn :
222
222
)()()( yxxzzy
zyx

−+−+−
++
Câu 3 : Chứng minh rằng không tồn tại x thỏa mãn :
a) 2x
4
- 10x
2
+ 17 = 0
b) x
4
- x
3
+ 2x
2
- x + 1 = 0
Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
2
1
=
DC
DB
;
điểm O nằm trên đoạn AD sao cho
2
3
=
OD
OA
. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỷ
số AK : KC.

Câu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H
cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng tam giác MPQ cân tại M.
hướng dẫn giải
Câu 1 (Bạn đọc tự giải)
Câu 2:
Từ x + y + z = 0
⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
= - 2(xy + yz + zx) (1)
Ta có: (x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (z - x)
2
= 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) - 2(xy + yz + zx) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)
2

+ (y - z)
2
+ (z - x)
2
= - 6(xy + yz + zx) (3)
Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có:
A =
- 2(xy + yz + zx) 1
- 6(xy + yz + zx) 3
=
Câu 3:
a) 2x
4
- 10x
2
+ 17 = 0
⇔
2( x
4
- 5x
2
+
17
2
) = 0
⇔
2(x
4
- 2.
5

2
x
2
+
25
4
)
2
+
9
2
= 0
⇔
2(x
2
-
5
2
)
2
+
9
2
= 0
Vì 2(x
2
-
5
2
)

2
+
9
2
> 0 với mọi x nên không tồn tại x để 2x
4
- 10x
2
+ 17 = 0
b) x
4
- x
3
+ 2x
2
- x + 1 = 0
⇔
(x
2
+ 1)(x
2
- x + 1) = 0
Vì vế phải luôn dương với mọi x nên không tồn tại x để x
4
- x
3
+ 2x
2
- x + 1 = 0
Câu 4:

Từ D kẻ DM // BK
áp dụng định lí Talét vào
∆
AOK ta có:
AK AO 3
KM OD 2
= =
(1)
Tương tự, trong
∆
CKB thì:
KM CD 1
CK DB 3
= =
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
AK 1
CK 2
=
Câu 5
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (N
∈
AB),
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ,
hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là
trung điểm CN
⇒
MK là đường trung bình của
∆

BCN
⇒
MK // CN
⇒
MK // AB (1)
H là trực tâm của
∆
ABC nên CH
⊥
A B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK
⊥
CH
⇒
MK là đường cao
của
∆
CHK (3)
Từ AH
⊥
BC
⇒
MC
⊥
HK
⇒
MI là đường cao của
∆
CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của

∆
CHK
⇒
MH
⊥
CN
⇒
MH
⊥
PQ
∆
MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M
O
K
M
C
D
B
A
I
K
N
M
Q
P
H
C
B
A