Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 9

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Mơn Tốn Lớp 12
Thời gian: 180 phút ( Khơng kể thời gian giao đề )
Câu 1: (3,0 điểm )
Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hàm số sau cắt trục hồnh tại ít nhất một điểm
y=(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m
Câu 2: (3,0 điểm ) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
.
Câu 3: (3,0 điểm )
Cho tứ giác lồi ABCD có các góc A, B, C, D không vuông và
0 0
90 ; 270A B A B+ ≠ + ≠
.
Chứng minh rằng:

tan tan tan tan
cot cot cot cot
tan .tan .tan .tan

A B C D
A B C D
A B C D
+ + +
= + + +
.
Câu 4: (3,0 điểm)
Từ một điểm O bên trong tam giác đều ABC, ta vẽ các đường vuông góc OP, ON, OM
xuống các cạnh AB, AC, BC.
Chứng minh rằng tổng độ dài AP + BM + CN không phụ thuộc vào vò trí của điểm O.
Câu 5:( 4,0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi số thực bất kì a và b đều thỏa mãn bất đẳng thức sau:
2 2 3 3 6 6
. .
2 2 2 2
a b a b a b a b+ + + +
≤
.
Câu 6: (4,0 điểm)
Cho dãy số
{ }
n
U
được xác đònh như sau:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2 3 , 1,2,3,
n

U n n n n n= + + + + + + =
Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10.
ĐỀ CHÍNH THỨC