Tải bản đầy đủ (.doc) (7 trang)

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 1.Doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.75 KB, 7 trang )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI : (4 điểm):
Cho hàm số y= x
3
+ 3x
2
- 2 (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị.
2/ Giải bất phương trình : 0 ≤ 2006 + 6018x
2
- 4012 ≤ 4012.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đi qua A(0; -2)
CâuII : (2 điểm) Tính
I=

+1
x
e
dx
CâuIII : (2 điểm) Giải và biện luận phương trình theo tham số m
mxx =−++ 11
Câu IV: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1/ Sin(π/2 - πcosx)= cos(3πcosx)
2/ 6
x
+ 4
x
= 2.9
x


Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông:
Cos
2
A + Cos
2
B + Cos
2
C = 1
Câu VI: (2 điểm): Tính giới hạn sau:
2
2
3
2
0
927279
lim
x
xx
x
+−+

Câu VII: (2 điểm): Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d
1
//d
2
lần lượt có
phương trình là :
d
1
: x-y+2 = 0 ; d

2
: x-y-2 = 0
1/ Viết phương trình đường thẳng d
3
đi qua điểm A(-2; 0) và vuông góc với
d
2
2/ Viết phương trình đường thẳng d
4
sao cho d
1
, d
2
, d
3
, d
4
cắt nhau tạo thành
một hình vuông.
Câu XIII: (2 điểm): Chứng minh rằng với a,b> 0 ta có:
a
5
+b
5
≥ a
4
b + ab
4



x

y

0

1

2

-2

-1-

3

3

-1+

3

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn: Toán- Đề 2
(Bản hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu 1: (4 điểm)
1, (2 điểm)
• TXĐ : D = R (0,25đ)
• Chiều biến thiên: (0,5đ)

+ y' = 3x
2
+ 6x = 3x(x+2), y' = 0



−=
=

2
0
x
x
+ dấu y':
x
-∞
-2 0
+∞
y' + 0 - 0 +
2
+∞
y
-∞
-2
Với x∈(-∞; -2) ∪ (0; +∞) hàm số đồng biến
x∈(-2; 0) hàm số nghịch biến
Tại x= -2 hàm số đạt cực đại y

= 2
Tại x= 0 hàm số đạt cực tiểu y

CT
= -2 (0,25đ)
• Tính lồi lõm, điểm uốn. (0,25đ)
+ y'' = 6x + 6 = 6(x+1); y'' = 0 ⇔ x= -1
+ dấu y'':
x
-∞
-1
+∞
y'' - 0 +

đ.u
y Lồi (-1,0) lõm

• Bảng biến thiên: (0,25đ)

x
-∞
-2 -1
0
+∞
y' + 0 0 +
2
+∞
y (CĐ) 0 (CT)
-∞
-2
* Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2)
* Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1, x =
31±−

Qua điểm (-3; -2); (1; 2)
2. (1 điểm)
0

2006 x
3
+ 6018 x
2
- 4012

4012

0

x
3
+ 3x
2
- 2

2 (*) (0,5đ)
theo đồ thị (C) ta có: (*)

x

[ -1-
3
; -1 ]

[ -1+

3
; 1 ] (0,5đ)
3. (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) có hệ số góc k:
y+2= k(x- 0) (d) ⇔ y = kx-2
(d) là tiếp tuyến của (c)




+=
=+






+=
−=−+
xxk
kxxx
xxk
kxxx
63
)1(3
63
223
3
2
23

(0,5đ)
có nghiệm.
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
x
2
(2x+3) = 0

x = 0, x= -
2
3
(0,25đ)
* Với x= 0

k= 0 tiếp tuyến là y = - 2
* Với x= -
2
3


k= -
4
9
tiếp tuyến là y= -
2
4
9
−x
(0,25đ)
Câu 2 (2 điểm).
1. (1 điểm)

Ta có I =

+ )1(
xx
x
ee
dxe
Đặt e
x
+1 = t (*) → e
x
= t-1
e
x
dx = dt
I=
dt
tt
tt
tt
dt
∫ ∫

−−
=
− )1(
)1(
)1(
=
dt

t
dt
t
∫ ∫


1
1
1
(0,5đ)
=ln
1−t
- ln
t
+c =ln
t
t 1

+c
Từ (*) ta có: I = ln
1+
x
x
e
e
+ c = x - ln(e
x
+1) +c (0,5đ)
Câu 3. (2đ) Xét hàm số y=
11 −++ xx

(c)
Ta có bảng xét dấu (1đ)
0,5 đ

x -

-1 1
∞+
1+x
-x-1 0 x+1 x+1
1−x
-x+1 -x+1 0 x-1
y=
11 −++ xx
-2x 2 2x
Khi đó y=






x
x
2
2
2








<<−
−<
1
11
1
x
x
x
đồ thị (C)
* Biện luận số nghiệm của phương trình theo m:

11 −++ xx
= m (*) (0,5đ)
⇒ số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
y = m
+ Nếu m<2 phương trình vô nghiệm
+ Nếu m=2 phương trình có nghiệm [1; 1]
+ Nếu m>2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 4 (4đ)
1. Phương trình tương đương với :
Cos (
π
cosx) = cos 3
π
cosx (0,25đ)




+−=
+=

πππ
πππ
23
23
kCosxCosx
kCosxCosx
(k
Z∈
)



+−=
+=

kCosxCosx
kCosxCosx
23
23
(0,5đ)






=
−=

)2(
2
)1(
k
Cosx
kCosx
(0,25đ)
Vì k

Z,
1≤Cosx
nên:
(1)
(*)
1
0



±=
=

Cosx
Cosx
(0,25đ)
(2)








±=
±=
=

2
1
1
0
Cosx
Cosx
Cosx
(**) (0,25đ)
Từ (*) và (**) ta có:







±=
±=
=
)5(

2
1
)4(1
)3(0
Cosx
Cosx
Cosx
(0,25đ)
Nếu
Nếu
Nếu

y = 2
y = m
2
-1
1
x
y
(0,5đ)
(C)

[ ]






+±=

+±=

=⇔
+=⇔
)(2
3
2
)(2
3
)5(
)()4(
)()3(
2
dkx
ckx
bkx
akx
π
π
π
π
π
π
π
Với (k
Z∈
). (0,5đ)
Từ (a),(b),(c),(d) ta có nghiệm của phương trình là :







+=
+=
23
22
ππ
ππ
k
x
k
x
(k
Z∈
) (0,25đ)
2. Phương trình tương đương với
2
3
2
3
2
2
=







+






xx
(1) (0,5đ)
Đặt t =
x






3
2
Điều kiện t > 0. (0,25đ)
(1)

t
2
+ t -2 = 0





−=
=
2
1
2
1
t
t
Với t = 1

x






3
2
= 1


x






3

2
=
0
3
2






(0,5đ)

x=0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0. (0,25đ)
Câu 5 (2đ)
[ ]





=
=
=

=⇔
=−++⇔
=+−+⇔
=+++⇔

=+
+
+
+

=++
0
0
0
0
0)()(
0)()(
1)22(
2
1
1
1
2
21
2
21
1
2
2
2
222
CosC
CosB
CosA
CosCCosBCosA

BACosBACosCosC
CCosBACosBACos
CCosBCosACos
CCos
BCosACos
CCosBCosACos
* Nếu CosA = 0 ⇒

ABC vuông tại A.
* Nếu CosB = 0 ⇒

ABC vuông tại B.
* Nếu CosC = 0 ⇒

ABC vuông tại C.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông
Câu 6. (2đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(Loại)
2
2
0
2

3
2
0
2
2
3
2
0
2
2
3
2
0
3927
lim
3279
lim
)3927()3279(
lim
927279
lim
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx

xx
−+

−+
=
−+−−+
=
+−+
→→
→→
6
25
2
9
3
1
33
27
999
9
3927
27
lim
92793)279(
9
lim
)3927(
27
lim
92793)279(

9
lim
2
0
3 2
3
22
0
22
2
0
3
2
3
222
0
−=−=
+

++
=
++

++++
=
++

++++
=
→→

→→
xxx
xx
x
xxx
x
xx
xx
Câu 7 (2đ)
1. d
3
vuông góc với d
2
nên có dạng x+y+c = 0
Vì d
3
qua A(-2 ; 0) nên : -2 + 0 + c = 0

c =2 (0,75đ)
2. Vì A(-2;0)

d
1
nên
Để d
4
và d
1
, d
2

, d
3
cắt nhau tạo thành một hình vuông khi và chỉ khi d
4
//d
3

d(A,d
4
) = d(A,d
2
) (*) (0,5đ)
Do đó d
4
có dạng : x + y + D = 0
(*)

2
202
2
02 −−−
=
++− D
(0,5đ)



−=
=
⇔=−

2
6
42
D
D
D
Vậy đường thẳng d
4
có dạng x+y+6 =0 hoặc x+y-2 = 0 (0,25đ)
Câu 8.(2đ)
a
5
+b
5

a
4
b+ab
4

a
5
+b
5
- a
4
b - ab
4



0 (0,5đ)

a
4
(a-b) - b
4
(a-b)

0

(a - b)(a
4
-b
4
)

0 (0,5đ)

(a-b)(a
2
-b
2
) (a
2
+b
2
)

0 (0,25đ)


(a-b)
2
(a+b) (a
2
+b
2
)

0 (0,5đ)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b (0,25đ)
(1đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)


×