Tiểu luận toán A3 - Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN A3
TIỂU LUẬN:
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
1
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Nhóm thực hiện: nhóm 8
Lớp: B211300307
Khóa: 2007-2011
Giáo viên hướng dẫn: Th.s Võ Hoàng Trụ
TPHCM, Ngày 01 tháng 11năm 2008
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN A3
TIỂU LUẬN:
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
STT Họ và tên MSSV
1 Lê Duy 0770247
2
Phạm Nguyễn Bá
Trình
0770059
3 Phạm Như Nhiên 0770063
4 Phạm Sơn Tùng 0770284
5 Nguyễn Thành Nhân 0770561
6 Phạm Đức Huân 0771719
7 Dương Thị Thu 0770276
8 Phạm Thị Dung 0770707
9 Lê Thành Đạt
2
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Nhóm thực hiện: nhóm 8
Lớp: B211300307
Khóa: 2007-2011
Giáo viên hướng dẫn: Th.s Võ Hoàng Trụ
TPHCM, Ngày 01 tháng 11năm 2008
MỤC LỤC
Chương I : Phép vi tích phân hàm nhiều biến 1
Chương II: Tích phân bội 3
Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt 5
Chương IV: phương trình vi phân 8
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
3
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 1: Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng
M(x
o
,y
o
). Đặt A=f’’
xx
(x
o
,y
o
), B=f’’
xy
(x
o
,y

o
), C=f’’
yy
(x
o
,y
o
),
∆
=AC-B
2
Ta có: Nếu
∆
< 0 thì f(x,y) không có cực trị
Nếu



<
>∆
0
0
A
M là điểm cực đại
Nếu



>
>∆

0
0
A
M là điểm cực tiểu
Nếu
∆
= 0 ta chưa kết luận được gì.

Câu 2: cho hàm z=x
4
-8x
2
+y
2
+5. Tìm cực trị của hàm số.
Ta có : z’
x
=4x
3
-16x , z’
y
=2y



=
=
0'
0'
y

x
z
z
⇔



=
=−
02
0164
3
y
xx

⇔







=





=

−=
=
0
0
2
2
y
x
x
x
⇒
hàm số có 3 điểm dừng : M
1
(0,0), M
2
(-2,0), M
3
(2,0)
Xét : z’’
xx
= 12x
2
-16, z’’
yy
= 2, z’’
xy
= 0
+ Tại M
1
(0,0) thì A=z’’

xx
(0,0) = -16
⇒
∆
=AC-B
2
= 2.(-16) - 0=-32 < 0
⇒
hàm số không có cực trị tại M
1
(0,0).
+Tại M
2
(-2,0) thì A=z’’
xx
(-2,0) = 32
⇒
∆
=AC-B
2
=64>0 và A= 32>0
⇒
hàm số đạt cực tiểu M
2
(-2,0)
+ Tại M
3
(2,0) thì A=z’’
xx
(2,0)=32

⇒
∆
=AC-B
2
=64>0 và A=32 >0
⇒
hàm số đạt cực tiểu tại M
3
(2,0)
Vậy hàm số đạt hai cực tiểu tại M
2
(-2,0), M
3
(2,0)
Câu 3: Cho hàm số z= 2x
2
- 4x+ siny - y/2 với x
∈
R, -
π
<y<
π
. Tìm cực trị của
hàm số.
Ta có : z’
x
= 4x-4, z’
y
= cosy - 1/2
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008

4
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM



=
=
0'
0'
y
x
z
z

⇔




=−
=−
02/1cos
044
y
x







=



=
−=
⇔
1
3/
3/
x
y
y
π
π
⇒
hàm số có hai điểm dừng M
1
(1,
3/
π
), M
2
(1,-
3/
π
)
Ta có : z’’
xx

= 4, z’’
xy
= 0, z’’
yy
= - siny
+ Tại M
1
(1,
3/
π
) thì C = z’’
yy
(1,
3/
π
)= -
2
3

⇒
∆
=AC-B
2
=- 2
3
<0
⇒
hàm số không có cực trị tại M
1
(1,

3/
π
)
+Tại M
2
(1,-
3/
π
) thì C=z’’
yy
(1,-
3/
π
)=
2
3
∆⇒
=AC-B
2
= 2
3
> 0 và A= 4 >0
⇒
hàm số đạt cực tiểu tại M
2
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M
2
(1,-
3/
π

)
Câu 4 : Tìm cực trị của hàm sốz=x
2
(y-1)-3x+2 với điều kiện x-y+1=0 :
Ta có : x-y+1=0
⇒
y = x+1 nên z= x
3
-3x+2
⇒
z’
x
=3x
2
-3
⇒
z’
x
=0
⇔



=⇒−=
=⇒=
01
21
yx
yx
Hàm số có hai điểm dừng M

1
(1,2), M
2
(-1,0)
x -
∞
-1 1 +
∞
z’
x
+ 0 - 0 +
z 0 CT +
∞
-
∞
CĐ 2
Vậy hàm số đạt cực cực đại M
2
(-1,0), đạt cực tiểu tại M
1
(1,2)
Câu 5 : tìm cực trị của hàm số z=x
2
(y+1)-3x+2 với điều kiện x+y+1=0. tìm cực
trị của hàm số.
Ta có : x+y+1=0
⇒
y= -x-1
⇒
z= -x

3
-3x+2
Z’
x
=0
⇔
-3x
2
-3=0
⇔
x
2
=-1 (vô nghiệm)
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
5
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Vậy hàm số không có cực trị .
CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI
Câu 1 : Xác định cận của tích phân
3
1
0 0
( , )
x
I dx f x y dy
=
∫ ∫
trong đó D là miền
giới hạn bởi các đường: y = 3x , y = x
2

.
Bài giải:
Ta có: D:
2
2
3 0
3
9
3 9
y
x
y x y
y y
y y
y x y
x y


=
= =

 
⇔ ⇒ = ⇔ = ⇔
 

= =

 
=



⇒

3
0
9
y
x
x y
y
y

=



=


=

=


Vậy:
9
0
3
( , )
y

y
I dy f x y dx
=
∫ ∫
Câu 2 : Tính tích phân I =
ln
D
x
ydxdy
y
∫∫
trong đó D là hình chữ nhật
0 2;1x y e
≤ ≤ ≤ ≤
.
Bài giải:

I =
ln
D
x
ydxdy
y
∫∫
=
2 2
0 1 0 1
ln ln . (ln )
e e
x

dx ydy dx x y d y
y
=
∫ ∫ ∫ ∫
=
1
2

2
0
2
ln
ey
xdx
∫
=
2 2
2 2
0 0
ln ln 1 1
.( ).
2 2 2
e
x dx xdx
− =
∫ ∫
=
2
2
0

1
2 2
x
=
( )
2 2
1
2 0
4
−
= 1
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
6
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Câu 3 : Tính tích phân I =
( )
2
1
D
dxdy
x y+ +
∫∫
trong đó D là hình vuông
0 2;0 1x y
≤ ≤ ≤ ≤
.
Bài giải:
I =
( )
2

1
D
dxdy
x y
+ +
∫∫
=
( )
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1
( 1) ( 1)
d y x
dy
dx dx
y x y x
+ + 
 
=
 
 
+ + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
=
1
1
0

0
1
.
1
dx
x y
 
−
 ÷
+ +
 
∫
=
1
0
1 1
2 1
dx
x x
 
− −
 ÷
+ +
 
∫
=
1 1
0 0
ln( 2) ln( 1)x x
− + + +

=
ln3 ln 4
− +
.
Câu 4 : Tính tích phân I =
2
2
D
x ydxdy
∫∫
trong đó D là tam giác với các đỉnh
O(0,0); A(1,0); B(1,1).
Bài giải:
Dựa vào hình vẽ ta xác định được cận tích phân như sau:

0 1
0
x
y x
≤ ≤


≤ ≤

I =
1
2 2 2
0 0 0
0
2

x
x x
dx x ydy dxx y=
∫ ∫ ∫
=
1
1
5
4
0
0
1
5 5
x
x dx = =
∫
.
Câu 5 :Chuyển tích phân sau sang tọa độ cực
( , )
D
I f x y dxdy
=
∫∫
, trong đó D
là hình tròn
2 2
4x y y
+ ≤
.
Bài giải:

Ta có: D:
2 2 2 2
4 ( 2) 4x y y x y
+ ≤ ⇔ + − ≤
,
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
7
A
O
B
x
y
1
1
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
là đường tròn tâm A(0, 2) và bán kính r = 2
Đặt
cos
sin
x r
y r
φ
φ
=


=


0 2

0
r
φ π
≤ ≤

⇒

≤ ≤

Nên I=
∫∫
2
00
)sin,cos(. rdrrrfd
φφφ
π
CHƯƠNG III. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG , TÍCH PHÂN MẶT
Câu 1 : Tính tích phân đường
( )
C
I x y dl= +
∫
, trong đó C có phương trình
x+y=1;0
≤
x
≤
1.

Giải:

x+ y = 1
⇒
rút y theo x ta được :
y=1- x
⇒

'
( )x
y
= - 1
dl=
' 2
( )
1 ( )
x
y+
dx =
2
dx
→
I =
1
0
2dx
∫
=
2
[ ]
1
0

x
=
2
Vậy I =
2
Câu 2: Tính tích phân đường
2
( )
C
I x y dl= +
∫
trong đó C có phương trình
x+y=a , 0
≤
x
≤
a.
Giải:
x+y=a
⇒
y=a – x
→
'
( )x
y
= -1
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
8
o
1 2

4
x
y
A
r
o
o
o
2
o
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
dl=
' 2
( )
1 ( )
x
y+
dx =
2
1 ( 1)+ −
dx =
2
dx
→
I=
2
0
( ) 2
a
x a x dx

− −
∫
=
2
0
2
a
a dx
∫
=a
2
2
[ ]
1
0
x
=a
3
2
→
I=
1
0
2dx
∫
=
2
[ ]
1
0

x
=
2
Câu 3: Cho điểm A(0,1) và B(1,0) tính tích phân đường .
( 2 1) ( 1)
AB
I y x dx y dy
= + + + −
∫
.lấy theo đường y=1-x đi từ A đến B.
Giải:
y=1-x
→
dy = -dx
1
0
(1 2 1) (1 1)( 1)I x x dx x dx
= − + + + − − −
∫
=
1
0
( 2 )x x dx+ +
∫
=
1
0
(2 2)x dx
+
∫

=
1
2
0
2x x
 
+
 
=3
Vậy I= 3
Câu 4: Tính
2
3 (3 2 )
OA
I xydx x y dy= − −
∫
lấy theo đoạn nối từ O(0,0) đến
A(-1,-1).

Giải:
Pt đường thẳng OA :
1 1
x y
x y dx dy= ⇔ = ⇔ =
− −
1
2 2
0
3 (3 2 )I y dx y y dy
−

= − −
∫
=
1
0
2ydy
−
∫
=
1
2
0
y
−
 
 
=1
Vậy I = 1
Câu 242:Tính I=
2 2
( ) ( )
OA
x y dx x y dy
− + +
∫
lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0)
đến A(3,0)

Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
9

Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải:
Pt đường thẳng OA :
0 0y dy dx= → =
I=
3
2
0
0x dx
+
∫
=
3
3
0
3
x
 
 
 
=9
I = 9
Câu 5: tính tích phân mặt loại 1:I =
( )
s
x y z dS
+ +
∫∫
trong đó S là mặt của
hình lập phương

[ ]
0,1
x
[ ]
0,1
x
[ ]
0,1

Giải
Miền S gồm 6 mặt :
S
1
=
{ }
( , , ): 0,0 1,0 1x y z z x y= ≤ ≤ ≤ ≤
S
2
=
{ }
( , , ): 1,0 1,0 1x y z z x y= ≤ ≤ ≤ ≤
S
3
=
{ }
( , , ): 0,0 1,0 1x y z y x z= ≤ ≤ ≤ ≤
S
4
=
{ }

( , , ): 1,0 1,0 1x y z y x z= ≤ ≤ ≤ ≤
S
5
=
{ }
( , , ): 0,0 1,0 1x y z x y z= ≤ ≤ ≤ ≤
S
6
=
{ }
( , , ): 1,0 1,0 1x y z x y z= ≤ ≤ ≤ ≤
Trên mặt S
1
, ta có z = 0
dS dxdy⇒ =
Vậy
1
( )
s
x y z ds
+ +
∫∫
=
( )
D
x y dxdy
+
∫∫
=
1 1

0 0
( )dx x y dy
+
∫ ∫
=
[ ]
1
1
2
0
0
1
( )
2
xy y dx
+
∫
=
[ ]
1
1
0
0
1
( )
2
x dx
+
∫
=

1
2
0
2 2
x x
 
+
 
 
=1
Trên mặt S
2
ta có :

z =1
dS dxdy
⇒ =
, do đó
2
( )
s
x y z dS
+ +
∫∫
=
( 1)
D
x y dxdy
+ +
∫∫

=
( )
D
x y dxdy
+
∫∫
+
D
dxdy
∫∫
=1+1=2.
Vậy
( )
s
x y z dS+ +
∫∫
=3(1+2) =9
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
10
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
11
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’ +
1
+
x
y
=0

Bài giải:
Ta có : y’ +
1
+
x
y
=0 , (x
1−≠
, y
≠
0)
⇔
dx
dy
+
1
+
x
y
=0
Hay
0
1
=
+
+
x
dx
y
dy

lấy tích phân hai vế ta được : ln
y
+ ln
1+x
= C

⇒
y (x + 1)= C
Câu 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
0
1
1
2
2
=
−
+
+
y
dy
x
dx
( *)
Bài giải:
Ta có :
0
1
1
2
2

=
−
+
+
y
dy
x
dx
(y
≠

1±
) , lấy tích phân hai vế ta được
∫ ∫
=
−
+
+
C
y
dy
x
dx
2
2
1
1

⇔
arctgx + arcsiny = C là phương trình tổng quát

của (*)
Câu 3 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
0ln)1(
2
=+− xdyxdxy
,(x >0) (1)
Bài giải:
Ta có :
0ln)1(
2
=+− xdyxdxy

⇔
0
1
ln
2
=
−
+
y
dy
xx
dx
,(y
≠

1±
)
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008

12
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
lấy tích phân hai vế ta được
∫∫
−
+
2
1
ln
y
dy
xx
dx
= C (2)
xét
∫
xx
dx
ln
=
x
x
xd
lnln
ln
)(ln
=
∫
và
∫

−
2
1 y
dy
=arctgy
(2)
⇔
xlnln
+ arctgy= C là phương trình tổng quát của (1)
Câu 4 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
01
1
2
2
=++
−
dyxdx
y
y
(*)
Bài giải:
Ta có
01
1
2
2
=++
−
dyxdx
y

y

⇔
0
11
22
=
−
+
+
y
ydy
x
dx
với (y
≠

1±
)
Lấy tích phân hai vế ta được :
∫ ∫
=
−
+
+
C
y
ydy
x
dx

22
11
⇔
ln
2
1 xx
++
-
2
1 y
−
= C là phương trình tổng quát của (*)
Câu 5 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’=
2
2
x
y
x
y
−
(x
≠
0)
(*)
Bài giải:
Đặt u =
x
y

⇒

y =ux
⇒
y’= u +u’x và y’= u -u
2
⇒
u +u’x = u -u
2
⇔
u’x + u
2
=0
⇔
0.
2
=+
ux
dx
du
⇔
0
2
=+
x
dx
u
du
Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008
13
Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Lấy tích phân hai vế ta được

Cx
u
=+−
ln
1
⇔
+−
y
x
Cx
=
ln
⇔
y=
xC
x
ln
+
là phương trình tổng quát của (*) .



Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008

THE END
14