Các biến thể tương đương của tích phân Riemann trong toán phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM

W X


MAI QUANG VINH

LỚP DH
2
A
1

CÁC

BIẾN THỂ TƯƠNG ĐƯƠNG
CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN TRONG TOÁN PHỔ
THÔNG




Giáo viên hướng dẫn:Th.S Lê Thái Duy






An Giang, tháng 06 năm 2004

MỤC LỤC
D E

Trang
Lời nói đầu 2
Chương 1: Cơ sở lí luận 3
Bổ đề về dãy các đoạn thắt 4
Bổ đề Bolzano – Weierstrass 4
Định lý 1 5
Định nghĩa hàm bậc thang 5-6
Định lý 2 6
Định nghĩa tích phân của hàm bậc thang 7
Định lý 3 8
Định lý 4 8-9
Định lý 5 9
Định lý 6 9-10
Chương 2 : Các biến thể của tích phân Riemann
và mối quan hệ 11
Các biến thể của tích phân Riemann 12
Định nghĩ
a 1 12
Định nghĩa 2 12
Định nghĩa 3 13
Định nghĩa 4 13-14
Mối quan hệ giữa các biến thể đó 14
Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông
khi giải toán tích phân 19-29
Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31
L ỜI N ÓI Đ ẦU
D E

Tích phân Riemann là lý thuyết có một vai trò quan trọng trong Giải tích toán
học, đặc biệt là trong chương trình toán học phổ thông .
Đề tài này giới thiệu các hình thức khác nhau của tích phân Riemann đối với
lớp hàm liên tục trên một đoạn và làm rõ bản chất tương đương của chúng. Nội
dung đề tài có ý nghĩa thiết thực đối với học sinh phổ thông và sinh viên ngành sư
phạm toán,
Nội dung đề tài g
ồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận.
Chương 2: Các biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ.
Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích
phân.
Để giúp người đọc dễ hiểu, phần chứng minh các bổ đề, định lý,nhận xét được
trình bày một cách chi tiết và chặt chẽ. Ngoài ra trong chương 2, định nghĩa 4 của
tích phân Riemann được giới thiệu như là sự mô phỏ
ng của tích phân Lebesgue
đối với lớp hàm liên tục trên tập có độ đo hữu hạn.
Mong rằng đề tài này sẽ giúp ích được phần nào cho các bạn hiểu nhiều thêm
về tích phân Riemann.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thái Duy đã tận tình hướng
dẫn em trong quá trình nghiên cứu, các thầy cô trong Khoa Sư phạm và Ban
Giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện cho em học tập cũng như nghiên cứu đề tài
này.
Do thời gian hạn hẹp và còn ít kinh nghiệm nên rất khó tránh khỏi những thiếu
sót. Mong được các thầy cô và các bạn góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
An Giang, tháng 06 năm 2004

Mai Quang Vinh

2
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
D E

Chương này trình bày một số kiến thức toán học thích hợp làm cơ sở cho đề
tài: định nghĩa dãy các đoạn thắt, định nghĩa hàm bậc thang, tích phân của hàm
bậc thang,bổ đề Bolzano – Weierstrass và một số định lý - thể hiện tính chất của
hàm số liên tục trên một đoạn và các tính chất của tích phân của hàm bậc thang.
3
1.1 Bổ đề về dãy các đoạn thắt:
1.1.1 Định nghĩa:
Ta sẽ gọi dãy các đoạn : ,....,........,,
21 n
∆∆∆ (trong đó ];[
nnn
ba=∆ ) là một dãy
các đoạn thắt nếu:
,......2,1,
1
=∆⊆∆
+
n
nn

và
0)(lim =−

+∞→
nn
n
ab

1.1.2 Bổ đề:
Nếu là một dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất thuộc mọi đoạn
của dãy.
}{
n
∆
Chứng minh:
• Tồn tại:
Vì
nn
∆⊆∆
+1
,với mọi cho nên:
n
,...............
21 kn
baaa ≤≤≤≤≤
trong đó
là một số nguyên dương nào đó. Dãy {a
k
n
} tăng và bị chặn trên cho nên
nó có giới hạn:
n
n

a
+∞→
= lim
α
. Rõ ràng:
α
≤
k
a .
Vì với
nguyên dương bất kỳ ta có
k
kn
ba ≤ với mọi ,nên
n
kn
n
ba ≤=
+∞→
α
lim
. Tức
là ta luôn có:
kk
ba ≤≤
α

Điều này chứng tỏ rằng
α
thuộc mọi đoạn.

• Duy nhất:
Giả sử rằng
β
cũng thuộc mọi đoạn
n
∆

. Thế thì:
nn
ab −≤−≤
αβ
0
Vì
nên
0)(lim =−
+∞→
nn
n
ab
αβ
=
.
Bổ đề được chứng minh.
1.2 Bổ đề Bolzano – Weierstrass:
Từ mọi dãy bị chặn ta đều có thể rút ra được một dãy con hội tụ.
Chứng minh:
Giả sử
là một dãy bị chặn. Thế thì tồn tại hai số
a
và

b
sao cho
}{
n
u bua
n
≤≤ ,
với mọi
. Chia thành hai đoạn bằng nhau; ít nhất một trong hai đoạn đó
phải chứa vô số phần tử của dãy.Ta gọi đoạn đó là
n
];[ ba
1
∆
(nếu cả hai đều chứa vô số
phần tử của dãy thì gọi một trong hai đoạn ấy là
1
∆
). Lại chia thành hai đoạn
bằng nhau; ít nhất một trong chúng phải chứa vô số phần tử của
, ta gọi đoạn
ấy là
,……Tiếp tục mãi quá trình trên ta được dãy đoạn thắt:
1
∆
}{
n
u
2
∆

..............];[
21
⊃∆⊃⊃∆⊃∆⊃∆=
n
ba
trong đó
và
];[
nnn
ba=∆
0
2
→
−
=−
k
kk
ab
ab
khi +∞→n .
Theo bổ đề trên, có một số
α
thuộc vào mọi đoạn
k
∆ , và
α
==
+∞→+∞→
n
n

n
n
ba limlim
.
Ta rút dãy con của
như sau: trong
}{
n
u
1
∆
lấy một phần tử bất kỳ, ký hiệu là
4
1
m
u
; trong lấy một phần tử sao cho . Rõ ràng bao giờ cũng làm
được điều đó vì rằng trong
2
∆
2
m
u
12
mm >
2
∆
có vô số phần tử; tiếp tục mãi quá trình đó, ta được
một dãy con
của . Vì nên

}{
n
m
u
}{
n
u nm
n
≥
nmm
nn
u ∆⊂∆∈
. Do đó :
nmn
bua
n
≤≤
.
Nhưng
α
==
+∞→+∞→
n
n
n
n
ba limlim
cho nên
α
=

+∞→
n
m
n
ulim
. Đó là điều phải chứng minh.
Bổ đề được chứng minh.
1.3 Định lý 1:
Nếu hàm số
liên tục trên đoạn , thì với mỗi số dương
f ];[ ba
ε
nhỏ tuỳ ý, tìm
được số dương
δ
sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà
', xx ];[ ba
δ
<− 'xx
,
ta có
ε
<− )'()( xfxf
.
Chứng minh:
Giả sử hàm số liên tục trên đoạn , nhưng kết luận của định lí không
đúng, nghĩa là có một số dương
f ];[ ba
0
ε

sao cho với mọi số dương
δ
đều tìm được hai
điểm
thuộc đoạn mà
δδ
',xx
];[ ba
δ
δδ
<− 'xx
, nhưng
0
)'()(
ε
δδ
≥− xfxf
.
Ta lấy dãy số duơng
n
n
1
=
δ

,......)2,1( =n
, thế thì 0→
n
δ
khi . Khi đó với

mỗi số tự nhiên Tìm được hai điểm thuộc đoạn mà
+∞→n
,......2,1=n ', xx ];[ ba
n
xx
nn
1
' <−

nhưng :
0
)'()(
ε
≥−
nn
xfxf
(1)
Ta nhận được hai dãy số {
},{ } đều thuộc đoạn [ ].Theo bổ đề Bolzano -
Weierstrass, từ dãy {
} bị chặn,
n
x
n
x'
ba;
n
x bxa
n
≤≤ , rút ra được một dãy con { } hội tụ

về
:
n
m
x
0
x
n
m
x
0
x→ khi +∞→n .
Hiển nhiên,
thuộc đoạn [ ].Ta lại có:
0
x
ba;
000
1
'' xx
m
xxxxxx
nnnnn
m
n
mmmm
−+<−+−≤−

Do
0

1
→
n
m
khi , +∞→n
0
0
→− xx
n
m
khi +∞→n ,nên dãy con cũng có
giới hạn là . Từ tính chất liên tục của hàm số tại điểm thuộc [ ], suy ra:
}'{
n
m
x
0
x
f
0
x
ba;
)()(
0
xfxf
n
m
→
khi +∞→n , khi .
)()'(

0
xfxf
n
m
→
+∞→n
Do đó:
)'()()()()'()(
00
nnnn
mmmm
xfxfxfxfxfxf −+−≤−
, nghĩa là
)'()(
nn
mm
xfxf −

dần tới 0 khi
n
dần tới vô hạn. Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1).Vì vậy,
hàm số
phải thỏa mãn kết luận của định lý.
f
Định lý được chứng minh.
1.4 Định nghĩa hàm bậc thang:
1.4.1 Định nghĩa:
5
Hàm số
xác định trên đoạn được gọi là hàm bậc thang, nếu đoạn

được chia thành hữu hạn khoảng
f ];[ ba ];[ ba
n
∆∆∆ ,......,
21
đôi một không giao nhau, sao cho
trên mỗi khoảng , hàm số nhận giá trị không đổi
i
∆
f
i
α

),......,2,1( ni =
.
Để tiện cho việc trình bày, ta sử dụng hàm số:
⎩
⎨
⎧
∆∉
∆∈
=
∆
i
i
x
x
x
i
,0

,1
)(
χ

Nhờ đó, hàm bậc thang có thể biểu diễn dưới dạng:
)()(
1
xxf
i
i
n
i
∆
=
∑
=
χα

Hiển nhiên mỗi hàm bậc thang có thể biểu diễn bằng nhiều cách.
1.4.2 Định lý 2:
Đối với mỗi hàm số
liên tục trên đoạn , luôn luôn tìm được dãy hàm bậc
thang
xác định trên đoạn thỏa mãn điều kiện: với số dương
f ];[ ba
}{
n
f
];[ ba
ε

cho trước
nhỏ tùy ý, tồn tại số nguyên dương , sao cho với mọi và với mọi thuộc
, ta đều có:
0
n
0
nn >
x
];[ ba
.)()(
ε
≤− xfxf
n

Chứng minh:
Với mỗi số nguyên dương
ta chia đoạn thành đoạn bằng nhau bởi
các điểm:
n
];[ ba
n
bxxxxxa
nn
=<<<<<=
−1210
... .
Hiển nhiên:
n
ab
xxx

iii
−
=−=∆
−1

),......,2,1( ni =
. Ta đặt:
⎩
⎨
⎧
=≤<
≤≤
=
−
),......,3,2(),(
),(
)(
1
101
nixxxxf
xxxxf
xf
iii
n

Ta nhận được một dãy hàm bậc thang
xác định trên đoạn . Ta chứng
minh dãy này thỏa mãn kết luận của định lí.
}{
n

f
];[ ba
Thật vậy, vì hàm số
liên tục trên đoạn , nên theo định lí 1 với số dương
f ];[ ba
ε

cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số dương
δ
sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc
đoạn
mà
', xx
];[ ba
δ
<− 'xx
, ta có
ε
<− )'()( xfxf
.
Khi đó với số dương
δ
tìm được tồn tại số nguyên dương sao cho với mọi
số nguyên dương
, đều có
0
n
0
nn >
δ

<
−
n
ab
.
Giả sử . Với mỗi thuộc thì thuộc hoặc thuộc
nào đó
, nên
0
nn >
x
];[ ba
x
];[
10
xx
x
];(
1 ii
xx
−
),......,2,1( ni =
ε
<− )()(
1
xfxf
hoặc
ε
<− )()(
i

xfxf

do đó
ε
<− )()( xfxf
n
(2)
Hiển nhiên, bất đẳng thức (2) thỏa mãn với mọi
và không phụ thuộc vào
0
nn >
6

thuộc .
x
];[ ba
Định lí được chứng minh.
Chú ý:
Dãy hàm bậc thang thỏa mãn kết luận của định lí 2 được gọi là dãy hàm hội tụ
đều tới hàm số
trên đoạn và ký hiệu trên khi
f ];[ ba
)()( xfxf
n
→
→
];[ ba
+∞→n .
1.5 Định nghĩa tích phân của hàm bậc thang:
1.5.1 Định nghĩa:

Cho hàm bậc thang
∑
=
∆
=
n
i
i
xxf
i
1
)()(
χα

xác định trên đoạn
. Ký hiệu
];[ ba
i
x∆ là độ dài của khoảng . Ta gọi tích phân lấy
từ
a
đến
b
của hàm bậc thang là số thực và ký hiệu .
i
∆
f
i
n
i

i
x∆
∑
=1
α
∫
b
a
dxxf )(
Vì vậy
∫
b
a
dxxf )(
= (3)
i
n
i
i
x∆
∑
=1
α
Nhận xét:
Tích phân của hàm bậc thang không phụ thuộc cách biểu diễn nó.
Thật vậy:
Giả sử hàm bậc thang
xác định trên đoạn có hai cách biểu diễn:
f ];[ ba
∑∑

=
∆∆
=
==
m
j
ji
n
i
xxxf
ji
1
'
1
)()()(
χβχα

trong đó , là độ dài tương ứng của các khoảng
i
x∆
j
x'∆
i
∆ ,
j
'∆
. Hiển nhiên:
UU
m
j

j
n
i
i
ba
11
'];[
==
∆=∆=
IIUUI
m
j
m
j
jijiii
ba
11
)'()'(];[
==
∆∆=∆∆=∆=∆
UIIUI
n
i
ji
n
i
ijjj
ba
11
)'()('];[''

==
∆∆=∆∆=∆=∆

và các khoảng

I
jiij
'∆∆=∆
),......,2,1;,......,2,1( mjni ==
đôi một không giao nhau,
ký hiệu độ dài tương ứng của chúng là
ij
x∆
. Ta có:
∑
=
∆=∆
m
j
iji
xx
1
,
∑
=
∆=∆
m
i
ijj
xx

1
'
),......,2,1;,......,2,1( mjni ==

Suy ra:
∑∑ ∑∑∑
== ===
∆=∆=∆
n
i
m
j
n
i
m
j
ijiiji
n
i
ii
xxx
11 111
)(
ααα

Bằng cách tương tự ta cũng có:
7
∑∑ ∑∑∑
== ===
∆=∆=∆

m
j
n
i
n
i
m
j
ijjijj
m
j
jj
xxx
11 111
)('
βββ

Nếu , thì
∅=∆∆
I
ji
'
0=∆
ij
x
, còn nếu thì
∅≠∆∆
I
ji
'

ji
βα
=
.
Suy ra :
∑∑∑∑
====
∆=∆
n
i
m
j
ijj
n
i
m
j
iji
xx
1111
βα

Vì vậy,
∑∑
∫
==
∆=∆=
m
j
jj

n
i
ii
b
a
xxdxxf
11
')(
βα

Đó là điều cần chứng minh.
1.5.2 Các định lý:
1.5.2.1 Định lý 3:
Nếu hai hàm bậc thang
và
f
g
cùng xác định trên đoạn , thì với mọi số
thực
,
q
ta đều có:
];[ ba
p
∫∫∫
+=+
b
a
b
a

b
a
dxxgqdxxfpdxxqgxpf )()()]()([
(4)
Chứng minh:
Giả sử trên đoạn
, ta có:
];[
ba
∑∑
=
∆
=
∆
==
m
j
j
n
i
i
xxgxxf
ji
1
'
1
)()(,)()(
χβχα

Khi đó:

∑∑∑
=
∆
=
∆
=
∆
===
m
j
j
n
i
i
n
i
i
xqxqgxpxpxpf
jii
1
'
11
)()(,)()()(
χβχαχα

∑∑
==
∆∆
+=+
n

i
m
j
ji
xqpxqgxpf
ji
11
'
)()()()(
I
χβα

ký hiệu
, , là độ dài tương ứng của các khoảng
i
x∆
j
x'∆
ij
x∆
i
∆ , , .
j
'∆
I
ji
'∆∆
Theo định nghĩa tích phân:
∑∑
∫

==
∆+=+
n
i
m
j
ijji
b
a
xqpdxxqgxpf
11
)()]()([
βα



∑∑∑∑
====
∆+∆=
m
j
n
i
ijj
n
i
m
j
iji
xqxp

1111
)()(
βα



.
∑∑
==
∆+∆=
m
j
jj
n
i
ii
xqxp
11
'
βα
∫∫
+=
b
a
b
a
dxxgqdxxfp )()(
Định lý được chứng minh.
1.5.2.2 Định lý 4:
8

Đối với mọi hàm bậc thang
xác định trên đoạn ta đều có:
f
];[
ba
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(

Chứng minh:
Giả sử trên đoạn :
];[
ba
∑
=
∆
=
n
i
i
xxf
i
1
)()(
χα

thế thì
∑
=
∆
=
n
i
i
xxf
i
1
)()(
χα
. Ký hiệu
i
x∆ là độ dài của khoảng . Ta
có:
i
∆
),......,2,1(
ni
=
∑∑
==
∆≤∆
n
i
ii
n
i

ii
xx
11
αα

do đó:
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(

Định lý được chứng minh.
1.5.2.3 Định lý 5:
Giả sử
và là hai hàm bậc thang cùng xác định trên đoạn . Nếu
f g
];[
ba gf
≤

trên đoạn
, thì:
];[
ba
∫∫
≤
b

a
b
a
dxxgdxxf )()(

Chứng minh:
Giả sử trên đoạn
:
];[
ba
∑∑
=
∆
=
∆
==
m
j
j
n
i
i
xxgxxf
ji
1
'
1
)()(,)()(
χβχα

Ký hiệu
, , là độ dài tương ứng của các khoảng , ,
. Lặp lại chứng minh nhận xét sau định nghĩa, ta được:
i
x∆
j
x'∆
ij
x∆
i
∆
j
'∆
I
ji
'∆∆
),......,2,1;,......,2,1(
mjni
==
∑∑∑
∫
===
∆=∆=
n
i
m
j
iji
n
i

ii
b
a
xxdxxf
111
)(
αα

∑∑∑
∫
===
∆=∆=
n
i
m
j
ijj
m
j
jj
b
a
xxdxxg
111
')(
ββ

Ta nhận thấy, nếu
, thì
∅=∆∆

I
ji
'
0=∆
ij
x
, còn nếu thì
∅≠∆∆
I
ji
'
ji
βα
≤
.
Do đó:
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(

Định lý được chứng minh.
1.5.2.4 Định lý 6:
9
Giả sử
là hàm số liên tục trên đoạn , và là hai dãy hàm bậc
thang xác định trên đoạn sao cho , khi

f
];[
ba
}{
n
f }{
n
g
];[
ba
)()( xfxf
n
→
→
)()( xgxg
n
→
→
+∞→n trên
đoạn . Khi đó:
];[
ba
∫∫
+∞→+∞→
=
b
a
n
n
b

a
n
n
dxxgdxxf )(lim)(lim
(5)
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh tồn tại các giới hạn trong hệ thức (5). Từ giả thiết, ta
có với số dương
ε
cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số nguyên dương sao cho
với mọi và với mọi thuộc , ta đều có:
0
n
0
nn >
x
];[
ba
)(2
)()(
ab
xfxf
n
−
<−
ε
,
)(2
)()(
ab

xfxg
n
−
<−
ε

Từ đó suy ra với mọi
:
0
, nnm >
≤−+−=− )]()([)]()([)()( xfxfxfxfxfxf
mnmn


ababab
xfxfxfxf
mn
−
=
−
+
−
<−+−≤
εεε
)(2)(2
)()()()(
Theo các định lý 3,4,5 ta được:

≤−=−
∫∫∫

b
a
mn
b
a
b
a
mn
dxxfxfdxxfdxxf )]()([)()(


ε
ε
=
−
<−≤
∫∫
b
a
b
a
mn
dx
ab
dxxfxf )()(

Điều này chứng tỏ tồn tại
. Bằng cách tương tự ta chứng minh
được
tồn tại. Đồng thời, với mọi

∫
+∞→
b
a
n
n
dxxf )(lim
∫
+∞→
b
a
n
n
dxxg )(lim
0
nn >
≤−+−=− )]()([)]()([)()( xgxfxfxfxgxf
nnnn


ababab
xfxgxfxf
nn
−
=
−
+
−
<−+−≤
εεε

)(2)(2
)()()()(
Theo các định lý 3,4,5 ta được:

≤−=−
∫∫∫
b
a
nn
b
a
b
a
nn
dxxgxfdxxgdxxf )]()([)()(


ε
ε
=
−
<−≤
∫∫
b
a
b
a
nn
dx
ab

dxxgxf )()(

Điều này chứng tỏ:

∫∫
+∞→+∞→
=
b
a
n
n
b
a
n
n
dxxgdxxf )(lim)(lim
Định lý được chứng minh.
10
CHƯƠNG 2: CÁC BIẾN THỂ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN
VÀ MỐI QUAN HỆ
D E

Ngoài định nghĩa quen thuộc như đã biết ở toán phổ thông hiện hành, khái
niệm tích phân Riemann còn được định nghĩa dưới dạng nào khác không? Trong
chương này, chúng ta sẽ phát hiện được một số biến thể của tích phân Riemann
và mối quan hệ giữa chúng.
11