SKKN Phan tich da thuc thanh nhan tu

Phần a: đặt vấn đề
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những ngời yêu
thích toán học. Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu
rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho
các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
I. Lí do chọn đề tài SKKN
Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" đợc học khá kỹ ở chơng trình lớp 8, nó
có rất nhiều bài tập và cũng đợc ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chơng
trình đại số lớp 8 cũng nh ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận
dụng nhuần nhuyễn các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan
trọng. Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có
nhiều bài tập vận dụng tơng tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các
bài toán khó.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1, Đối với học sinh : Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy toán
8C tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy.
Lớp
S số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8C 32 03 9,3 04 12,5 14 43,7 11 34,3
Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm bài rất mơ hồ, số học
sinh làm đợc chỉ rơi vào học sinh Khá- Giỏi. Số còn lại là học sinh TB, Yếu, kém
không biết giải quyết bài toán nh thế nào.
2, Đối với giáo viên :Thực trạng này, không thể đổ lỗi hết cho học sinh bởi
vì ngời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, nhng cũng chỉ tuân theo
sách giáo khoa mà dạy loại toán này. Song lại đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và
phải thâu tóm đợc kiến thức đã học để vận dụng vào để giải bài tập . Nh vậy, là áp
đặt, gò bó đối với học sinh.
Phần B: giải quYết vấn đề

Trớc hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ Phân tích đa thức thành nhân tử là
gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập
nào đợc vận dụng nó và vận dụng nó nh thế nào ?
- 1 -
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích
của các đa thức,đơn thức khác.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví
dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức
+Giải phơng trình bậc cao
+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
I. Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1- Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt
hạng tử.
Ví dụ: x
4
+ 5x
3
+15x - 9
Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các
hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta có
thể phân tích nh sau:
Cách 1: x
4
+ 5x
3
+ 15x - 9.
= x
4

- 9 + 5x
3
+ 15x
= (x
2
- 3) (x
2
+ 3) + 5x (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3) (x
2
- 3 + 5x)
= (x
2
+ 3) (x
2
+ 5x - 3)
Cách 2: x
4
+ 5x
3
+ 15x - 9.
= x
4
+ 5x
3
- 3x

2
+ 3x
2
+ 15x - 9
= x
2
(x
2
+ 5x - 3) + 3 (x
2
+ 5x - 3)
= (x
2
+ 3) (x
2
+ 5x - 3)
Bài này cần lu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x
2
+ 5x - 3 không phân tích
đợc nữa.
2 - Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ: (b - c)
3
+ (c - a)
3
+ (a - b)
3
.
Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b.
Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y

(b - c)
3
+ (c - a)
3
+ (a - b)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
= x
3
+ y
3
+ (- x - y)
3
= x
3
+ y
3
- x
3
- y
3
- 3x
2
y - 3xy
2

= - 3xy ( x + y)
- 2 -
= 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b)

3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
*Cách tìm nghiệm của một đa thức
-Phơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa
thức phải là ớc của hạng tử tự do.
VD. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau:
x
3
+ 3x
2
- 4
Giải:
C1)Các ớc của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 .Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là
nghiệm của đa thức đã cho.
C2) Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x = 1.
- Phơng pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số
nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ớc của hệ số tự do;q là ớc
dơng của số hạng có bậc cao nhất.
Chú ý:
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1.
Ví dụ: Đa thức
a) 3x
4
- 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1.
b) 4x
3
+5x

2
- 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số
hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 .
II. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử
thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
60677
120106194
+
+
=
xxxx
xxxx
A
Giải : Ta có
- 3 -
60677
120106194
+
+
=
xxxx
xxxx
A
Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5
Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5
Do đó

60677
120106194
+
+
=
xxxx
xxxx
A

)5)(4)(3)(1(
)5)(4)(3)(2(
+++
+
=
xxxx
xxxx
A

)4)(1(
)4)(2(
++

=
xx
xx
A

Dạng 2 : Chứng minh chia hết
Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhng ở
đây tôi chỉ trình bày phơng pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải.

Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:
[(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]

(x+6)
Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
= (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15
= (x
2
+ 8x +7) (x
2
+ 8x +15) + 15
Đặt t = x
2
+ 8x +11
(t - 4)(t + 4) +15 = t
2
- 1 = (t + 1)(t - 1)
Thay t = x
2
+ 8x +11 , ta có
(x
2
+ 8x + 12) (x
2
+ 8x +10)
(x
2
+ 8x +10)(x +2)(x + 6)

(x+6)

Vy [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]

(x+6)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có
(4x + 3)
2
- 25 chia hết cho 8.
Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)
2
- 25 ra thừa số
(4x + 3)
2
-25 = (4x + 3)
2
- 5
2
= (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên.
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.
Cách 2: (4x + 3)
2
- 25
= 16x
2
+ 24x + 9 - 25
= 16x
2
+ 24x - 16
= 8 (2x

2
+ 3x - 2).
- 4 -
Vì x là số nguyên nên 2x
2
+ 3x - 2 là số nguyên
Do đó 8 (2x
2
+ 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM.

Dạng 3: áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phơng trình.
* Giải phơng trình bậc cao
Ví dụ : Giải phơng trình
( 3x - 5 )
2
-( x - 1 )
2
= 0
Giải: Ta có:
( 3x - 5 )
2
-( x - 1 )
2
= 0
ú ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0
ú ( 4x - 6)(2x - 4) = 0
4x - 6 = 0 ú x = 3/2
hoặc 2x - 4 = 0 ú x = 2
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2

III - Bài tập:
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1) x
3
- 4x
2
+ 8x - 8
2) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ yz
2
+ 2xyz
3) x
2
+ 7x + 10
4) y
2
+ y - 2
5) n
4
- 5n
2
+ 4
6) 15x

3
+ x
2
- 2n
7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b)
8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b)
9) x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1
10) x
4
- 4x
3
+ 10x
2
- 12x + 9
11) (x
2
+ x) (x
2
+ x + 1) - 2
12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3
13) CMR biểu thức (2n + 3)
2
- 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên.
14) CM biểu thức

24812
32
nnn
++
là số nguyên với mọi số chẵn n.
15) Chứng minh đa thức: x
79
+ x
78
+ + x
2
+ x+ 1
chia hết cho đa thức x
19
+ x
18
+ + x
2
+ x + 1
- 5 -
C - Kết luận:
I. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sau khi áp dụng các cách giải bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử"
trong đại số 8 thực tế học sinh chủ động khi giải toán "Phân tích đa thức thành
nhân tử" chứ không lúng túng, mơ hồ nh trớc.
Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đợc thể hiện ở bảng sau:
Lớp
S số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %

8C 30 04 13,3 08 26,7 12 40,0 06 20,0
II. Kết quả:
Để giải quyết các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" đại số ở lớp 8
các em phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng các
hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến phức tạp.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán "Phân tích đa thức thành
nhân tử" trong đại số 8 có phơng pháp hơn, hiệu quả hơn .Khơi dậy đợc sự đam
mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán "Phân tích đa thức thành
nhân tử"nói riêng.
Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng t duy tích cực độc lập,
sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã đợc học.
Về mặt t tởng các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" giúp học sinh
thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghĩ, làm việc
khoa học, luôn có t tởng cầu tiến trong học tập cũng nh trong công việc.
III. Bài học kinh nghiệm:
Với đề tài "Phân tích đa thức thành nhân tử" đại số 8. Tôi đã cố gắng hệ
thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân
tử" trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi đa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ,
trong mỗi ví dụ có gợi ý và hớng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết
để khi gặp các bài toán khác các em có thể giải đợc.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn có học sinh nắm cha vững tất cả
các dạng giải toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" nh trình bày ở trên, đặc
biệt là với học sinh yếu, kém.
Trên đây là một số kinh nghiệm, biện pháp mà tôi đã thực hiện nhằm nâng cao
chất lợng dạy môn toán ở cấp học THCS. Những điều đó, có đợc cũng qua tích lũy
thực tế giảng dạy, tìm tòi các tài liệu, sách báo, Internet, học hỏi các thế hệ đồng
nghiệp do trình độ năng lực của bản thân có hạn, không tránh khỏi những thiếu
- 6 -
sót . Rất mong nhận đợc sự giúp đỡ, góp ý của các đồng nghiệp để hoạt động dạy
học của chúng ta ngày càng thêm hiệu quả.

Ngày 20 tháng 4 năm 2011
Ngời thực hiện:
o Th Thanh Võn
- 7 -
- 8 -

Trờng tHCS ĐàO Xá

phơng pháp
PHÂN TíCH ĐA THứC THàNH NHÂN Tử
'
ngời thực hiện: Đào Thị Thanh Vân
Tổ bộ môn: KHoa học Tự nhiên
Năm học 2010 - 2011
*************